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(共35張PPT)
4.4.2角的度量與運(yùn)算
第4章 幾何圖形初步
【2025-2026學(xué)年】2024滬科版 數(shù)學(xué) 七年級(jí)上冊(cè)
授課教師：********
班 級(jí)：********
時(shí) 間：********
4.4.2 角的度量與運(yùn)算
匯報(bào)人：[教師姓名]
匯報(bào)班級(jí)：[具體班級(jí)]
知識(shí)回顧
上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了角的定義和表示方法，知道角是由兩條具有公共端點(diǎn)的射線組成的圖形，也可以看作是一條射線繞著端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)形成的圖形，并且掌握了用大寫字母、數(shù)字、希臘字母等表示角的方法。本節(jié)課我們將學(xué)習(xí)角的度量單位、角的大小比較以及角的運(yùn)算，這些知識(shí)是進(jìn)一步學(xué)習(xí)角的相關(guān)性質(zhì)和幾何圖形的基礎(chǔ)。
學(xué)習(xí)目標(biāo)
知道角的度量單位是度、分、秒，掌握它們之間的換算關(guān)系。
會(huì)使用量角器度量角的大小，能比較兩個(gè)角的大小。
理解角的和、差、倍、分的意義，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的角的運(yùn)算。
培養(yǎng)動(dòng)手操作能力和計(jì)算能力，體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。
知識(shí)點(diǎn)：角的度量單位及換算
度量單位
角的度量單位是度、分、秒，分別用符號(hào) “°”“′”“″” 表示。
換算關(guān)系
把一個(gè)周角（即射線繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周形成的角）平均分成 360 等份，每一份就是 1 度的角，記作 1°。
把 1 度的角平均分成 60 等份，每一份就是 1 分的角，記作 1′，即 1°=60′。
把 1 分的角平均分成 60 等份，每一份就是 1 秒的角，記作 1″，即 1′=60″。
綜上所述，度、分、秒之間的換算關(guān)系為：
1°=60′，1′=60″，1°=3600″
單位換算示例
例 1：將 5.2° 換算成度、分、秒的形式。
解：因?yàn)?1°=60′，所以 0.2°=0.2×60′=12′，則 5.2°=5°12′。
例 2：將 3°15′換算成度的形式。
解：因?yàn)?1′=（1/60）°，所以 15′=15×（1/60）°=0.25°，則 3°15′=3.25°。
例 3：將 48°36′18″換算成度的形式。
解：先將 18″換算成分：18″=18×（1/60）′=0.3′；
再將 36′+0.3′=36.3′換算成度：36.3′=36.3×（1/60）°=0.605°；
所以 48°36′18″=48°+0.605°=48.605°。
知識(shí)點(diǎn)：角的大小比較
角的大小比較與線段的大小比較類似，有疊合法和度量法兩種方法。
疊合法
操作步驟：
將兩個(gè)角的頂點(diǎn)重合。
將其中一個(gè)角的一邊與另一個(gè)角的一邊重合。
觀察兩個(gè)角另一邊的位置關(guān)系：
如果另一邊落在另一個(gè)角的內(nèi)部，則這個(gè)角較小。
如果另一邊與另一個(gè)角的另一邊重合，則這兩個(gè)角相等。
如果另一邊落在另一個(gè)角的外部，則這個(gè)角較大。
示例：比較∠AOB 和∠COD 的大小，將頂點(diǎn) O 和 C 重合，邊 OB 和 CO 重合，若 OA 落在∠COD 的內(nèi)部，則∠AOB＜∠COD；若 OA 與 OD 重合，則∠AOB=∠COD；若 OA 落在∠COD 的外部，則∠AOB＞∠COD。
度量法
操作步驟：
用量角器分別測(cè)量出兩個(gè)角的度數(shù)。
比較兩個(gè)角的度數(shù)大小：度數(shù)大的角較大，度數(shù)小的角較小，度數(shù)相等則兩個(gè)角相等。
示例：測(cè)量得∠1=30°，∠2=45°，因?yàn)?30°＜45°，所以∠1＜∠2。
知識(shí)點(diǎn)：角的和、差、倍、分
角的和
兩個(gè)角的和是指把兩個(gè)角的一邊重合，另一邊分別在重合邊的兩側(cè)，所形成的新角的度數(shù)等于這兩個(gè)角的度數(shù)之和。
例如，∠AOB=30°，∠BOC=40°，且 OA 和 OC 在 OB 的兩側(cè)，則∠AOC=∠AOB+∠BOC=30°+40°=70°。
角的差
兩個(gè)角的差是指從一個(gè)較大的角中減去一個(gè)較小的角，所得到的角的度數(shù)等于這兩個(gè)角的度數(shù)之差。
例如，∠AOC=70°，∠AOB=30°，且 OB 在∠AOC 的內(nèi)部，則∠BOC=∠AOC-∠AOB=70°-30°=40°。
角的倍
一個(gè)角的 n 倍是指將這個(gè)角連續(xù)相加 n 次所得到的角的度數(shù)，等于這個(gè)角的度數(shù)乘以 n。
例如，∠AOB=20°，則它的 3 倍角是 3×20°=60°。
角的分
一個(gè)角的 n 等分是指將這個(gè)角平均分成 n 份，每一份角的度數(shù)等于這個(gè)角的度數(shù)除以 n。其中，將一個(gè)角平均分成 2 份所得到的角叫做這個(gè)角的平分線。
例如，∠AOB=60°，將其平均分成 3 份，每一份角的度數(shù)是 60°÷3=20°。
例題解析
例 1：計(jì)算：
（1）35°24′+50°56′；
（2）90°-37°18′25″；
（3）25°36′×4；
（4）48°2′÷5。
解：（1）35°24′+50°56′=（35°+50°）+（24′+56′）=85°+80′=85°+1°20′=86°20′；
（2）90°-37°18′25″=89°59′60″-37°18′25″=（89°-37°）+（59′-18′）+（60″-25″）=52°41′35″；
（3）25°36′×4=25°×4+36′×4=100°+144′=100°+2°24′=102°24′；
（4）48°2′÷5=48°÷5+2′÷5=9°+3°÷5+0.4′=9°+180′÷5+0.4′=9°+36′+0.4′=9°36′+24″=9°36′24″。
例 2：已知∠AOB=80°，∠BOC=30°，求∠AOC 的度數(shù)。
解：本題需要分兩種情況討論：
情況一：當(dāng) OC 在∠AOB 的內(nèi)部時(shí)，∠AOC=∠AOB-∠BOC=80°-30°=50°；
情況二：當(dāng) OC 在∠AOB 的外部時(shí)，∠AOC=∠AOB+∠BOC=80°+30°=110°。
所以∠AOC 的度數(shù)是 50° 或 110°。
例 3：如圖，OC 是∠AOB 的平分線，∠AOB=70°，求∠AOC 和∠BOC 的度數(shù)。
A
/|
/ |
/ |
O C
\ |
\ |
\|
B
解：因?yàn)?OC 是∠AOB 的平分線，所以∠AOC=∠BOC=∠AOB÷2。
已知∠AOB=70°，則∠AOC=∠BOC=70°÷2=35°。
小練習(xí)
填空題：
（1）1°=′，1′=″，1°=″。
（2）32.4°=°′；45°36′=°。
（3）比較大小：38°15′38.15°（填 “＞”“＜” 或 “=”）。
（4）如圖，∠AOB=∠AOC-，∠AOD=∠AOB+=∠AOC+。
A
/
/
O——C——B——D
計(jì)算題：
（1）48°39′+67°31′；
（2）180°-79°19′；
（3）22°16′×5；
（4）176°52′÷3。
解答題：
（1）已知∠α=50°17′，求∠α 的余角和補(bǔ)角的度數(shù)（余角是指和為 90° 的角，補(bǔ)角是指和為 180° 的角）。
（2）如圖，OD 是∠AOC 的平分線，OE 是∠BOC 的平分線，∠AOB=130°，求∠DOE 的度數(shù)。
A
/
/
O——E——C——D——B
思考討論
度、分、秒的換算與時(shí)間單位時(shí)、分、秒的換算有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？
相同點(diǎn)：度、分、秒之間的進(jìn)率是 60，時(shí)、分、秒之間的進(jìn)率也是 60，都是滿 60 進(jìn) 1。
不同點(diǎn)：度、分、秒是角的度量單位，用于衡量角的大小；時(shí)、分、秒是時(shí)間單位，用于衡量時(shí)間的長(zhǎng)短。此外，它們的表示符號(hào)不同，度用 “°”，分用 “′”，秒用 “″”；時(shí)用 “h”，分用 “min”，秒用 “s”。
在進(jìn)行角的運(yùn)算時(shí)，需要注意哪些問題？
在進(jìn)行角的運(yùn)算時(shí)，需要注意以下幾點(diǎn)：
度、分、秒分別進(jìn)行運(yùn)算，即度與度相加、減、乘、除，分與分相加、減、乘、除，秒與秒相加、減、乘、除。
相加時(shí)，滿 60 要進(jìn) 1，即分滿 60 要轉(zhuǎn)化為度，秒滿 60 要轉(zhuǎn)化為分；相減時(shí)，不夠減要借 1 當(dāng) 60，即度不夠減時(shí)，借 1° 當(dāng) 60′，分不夠減時(shí)，借 1′當(dāng) 60″。
相乘時(shí)，結(jié)果要將分、秒滿 60 的部分進(jìn)行轉(zhuǎn)化；相除時(shí)，要將余數(shù)轉(zhuǎn)化為下一級(jí)單位繼續(xù)除。
進(jìn)行角的和、差運(yùn)算時(shí)，要注意角的位置關(guān)系，當(dāng)角的邊的位置不明確時(shí)，需要分情況討論，避免漏解。
課堂小結(jié)
角的度量單位及換算：角的單位是度、分、秒，換算關(guān)系為 1°=60′，1′=60″，1°=3600″，換算時(shí)要注意滿 60 進(jìn) 1 和借 1 當(dāng) 60。
角的大小比較：有疊合法和度量法兩種方法，疊合法通過重合頂點(diǎn)和一邊，觀察另一邊的位置比較；度量法通過測(cè)量度數(shù)比較。
角的運(yùn)算：包括角的和、差、倍、分運(yùn)算，運(yùn)算時(shí)要分別對(duì)度、分、秒進(jìn)行操作，并注意單位換算。
角的平分線是將一個(gè)角平均分成兩個(gè)相等的角的射線，利用角的平分線可以進(jìn)行角的等量關(guān)系轉(zhuǎn)化。
通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們掌握了角的度量、比較和運(yùn)算方法，這些知識(shí)是幾何學(xué)習(xí)中的重要基礎(chǔ)，在后續(xù)學(xué)習(xí)三角形、四邊形等圖形的性質(zhì)時(shí)會(huì)經(jīng)常用到，希望同學(xué)們能夠熟練掌握。
5
課堂檢測(cè)
4
新知講解
6
變式訓(xùn)練
7
中考考法
8
小結(jié)梳理
學(xué)習(xí)目錄
1
復(fù)習(xí)引入
2
新知講解
3
典例講解
我們可以度量角嗎？如果可以，那你知道角的度量單位有哪些嗎？度量單位之間的關(guān)系是怎樣的呢？
新課導(dǎo)入
1°
角的度量單位是“度、分、秒”. 把一個(gè)周角360等分，每一等份是1度的角，1度記作1°，如圖.
新知探究
知識(shí)點(diǎn)1
角的度量及換算
把1°的角60等分，每一等份是1分的角，1分記作1′；把1′的角60等分，每一等份是1秒的角，1秒記作1″. 即
1°=60′， 1′=60″
1°
解：（1）因?yàn)?.26°=60′×0.26 = 15.6′，
0.6′ =60″×0.6 = 36″，
所以30.26°=30°15′36″.
例 1 計(jì)算：
（1）用度、分、秒表示30.26°；
（2）42°18′15″等于多少度？（精確到0.001°）
例 1 計(jì)算：
（1）用度、分、秒表示30.26°；
（2）42°18′15″等于多少度？（精確到0.001°）
解：（2）因?yàn)?5″ = ×15 = 0.25′，
18.25′ = ×18.25 ≈ 0.304°，
所以42°18′15″ ≈ 42.304°.
例 2 把一個(gè)周角17等分，每份是多少？（精確到1′）
解：360°÷17 = 21°+3°÷17
= 21°+180′ ÷17
≈21°11′.
方法總結(jié)：
（1）將度用度、分、秒表示的方法：先將度的小數(shù)部分化為分，再將分的小數(shù)部分化為秒.
（2）將度、分、秒用度表示的方法：先將秒化為分，再將分化為度，也可以直接將分除以60，秒除以3600，再相加.
如圖，我們?nèi)绾蚊枋錾渚€OA，射線OB表示的方向呢？
知識(shí)點(diǎn)2
方向角
O
A
B
東
西
北
南
30°
40°
射線OA表示北偏東30°方向
射線OB表示南偏東40°方向
O
A
B
東
西
北
南
30°
40°
射線OA表示北偏東30°方向
射線OB表示南偏東40°方向
平面測(cè)量時(shí)，通常以正北、正南方向?yàn)榛鶞?zhǔn)，描述物體運(yùn)動(dòng)的方向，這種表示方向的角叫作方向角.
注意：
（1）習(xí)慣上，把南或北寫在前，把偏東或偏西的角度寫在后.
（2）“東北方向”指的是北偏東45°， 西北方向、東南方向、西南方向同理.
練習(xí)
1. 填空：
15
0
52.32
【教材P155 練習(xí) 第1題】
2.計(jì)算:
（1）25°23′17′′+46°53′43″；
（2）75°23′12″-46°53′43″；
（3）19°20′24″×4；
（4）134°22′÷3.
解：（1）原式=72°17′
（2）原式=28°29′29″
（3）原式=77°21′36″
（4）原式=44°47′20″
【教材P155 練習(xí) 第2題】
1.已知∠α=18°18′，∠β=18.18°，∠γ=18.3°，下列結(jié)論正確的是（ ）
A.∠α=∠β B.∠α<∠β
C.∠α=∠γ D.∠β>∠γ
C
隨堂練習(xí)
2.如圖，直線AB，∠AMC=52°48′，∠BMD=74°30′，則∠CMD=__________.
52°42′
3.計(jì)算:
（1）48°39′+67°45′
（2）180°-87°19′42″.
解：（1）48°39′+67°45′
=115°84′
=116°24′.
（2）180°-87°19′42″
=179°59′60″-87°19′42″
=92°40′18″.
4. 如圖，指出OA是表示什么方向的一條射線？仿照這條射線畫出表示下列方向的射線：
（1）射線OB：南偏東40°；
（2）射線OC：南偏西60°；
（3）射線OD：西北方向.
解:射線OA表示北偏東40°方向.
（1）射線OB如圖所示.
（2）射線OC如圖所示.
（3）射線OD如圖所示.
B
C
D
40°
60°
45°
1星題 基礎(chǔ)練
知識(shí)點(diǎn)1 角的度量
1.用度、分、秒表示 為( )
D
A. B. C. D.
2.(1)__________ ；
(2)____________ ；
(3)________ .
15
3.(16分)計(jì)算下列各題.
(1) ；
解：原式 .
(2) ；
原式 .
(3) ；
解：原式
.
(4) .
原式
.
知識(shí)點(diǎn)2 方向角與鐘面角
4.(8分)教材改編題 如圖所示.
(1)射線表示____偏____ 方向；射
線 表示______方向；
北
東
西北
(2)請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出南偏西 方向的射線 ，東南方向的射
線 .
解：如圖.
5.［2024·廣西中考］如圖，2時(shí)整，鐘表的時(shí)針
和分針?biāo)傻匿J角為( )
C
A. B. C. D.
2星題 中檔練
6.下列式子正確的是( )
C
A. B.
C. D.
7.創(chuàng)新題·新考法 如圖，海平面上有一
個(gè)燈塔，測(cè)得海島在燈塔的北偏東
方向上，同時(shí)測(cè)得海島 在燈塔的北偏
東 方向上，則燈塔的位置是( )
A
A.點(diǎn) B.點(diǎn) C.點(diǎn) D.點(diǎn)
8.把一個(gè)平角7等分，每一份是________的角.(精確到分)
9.(12分)［2025年1月?lián)P州期末］如圖,在一個(gè)
圓形時(shí)鐘的表面上,表示時(shí)針, 表示分針
為兩針的轉(zhuǎn)動(dòng)中心，凌晨3時(shí),與 成
直角.
(1)分針每分鐘轉(zhuǎn)過的角度是___,時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)過的角度是
______;
(2)上午9:30時(shí),時(shí)針與分針?biāo)傻慕嵌仁莀_____;
(3)在凌晨2時(shí)至凌晨3時(shí)之間，從凌晨2時(shí)開始,經(jīng)過多少分鐘,
時(shí)針與分針成 角
解：設(shè)在凌晨2時(shí)至凌晨3時(shí)之間，從凌晨2
時(shí)開始，經(jīng)過分鐘，時(shí)針與分針成 角.
①當(dāng)分針在時(shí)針上方時(shí)，由題意得
,解得 ;
②當(dāng)分針在時(shí)針下方時(shí)，由題意得 ,
解得 .
答：在凌晨2時(shí)至凌晨3時(shí)之間，從凌晨2時(shí)開始，經(jīng)過 或
分鐘，時(shí)針與分針成 角.
1°=60′ 1′=60″
度分秒的換算：
課堂小結(jié)
平面測(cè)量時(shí)，通常以正北、正南方向?yàn)榛鶞?zhǔn)，描述物體運(yùn)動(dòng)的方向，這種表示方向的角叫作方向角.
謝謝觀看！

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