資源簡介

(共30張PPT)
4.5.3用尺規作角
第4章 幾何圖形初步
【2025-2026學年】2024滬科版 數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
4.5.3 用尺規作角
匯報人：[教師姓名]
匯報班級：[具體班級]
知識回顧
在前面對角的學習中，我們已經掌握了角的定義、表示方法、度量與比較，以及補角和余角的相關知識。本節課我們將學習一種重要的幾何作圖方法 —— 用尺規作角，即只用圓規和沒有刻度的直尺來作出一個角等于已知角。這種作圖方法不依賴于度量工具，是幾何推理和作圖的基礎技能。
學習目標
了解尺規作圖的含義和基本工具（圓規、無刻度直尺）。
掌握用尺規作一個角等于已知角的步驟，并能獨立完成作圖。
理解作圖的原理，能結合圖形說明每一步操作的依據。
培養動手操作能力和幾何推理能力，感受尺規作圖的嚴謹性和邏輯性。
知識點：尺規作圖的基本概念
定義
尺規作圖是指只用圓規和沒有刻度的直尺來完成的作圖方法。其中，直尺的作用是連接兩點或延長線段，圓規的作用是畫圓或圓弧，截取等長的線段。
特點
不使用度量工具，作圖的準確性依賴于圓規截取等長線段和直尺連接直線的規范性。
每一步操作都有嚴格的幾何依據，體現了幾何的邏輯性和嚴謹性。
知識點：用尺規作一個角等于已知角
已知
一個角∠AOB。
求作
一個角∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB。
作圖步驟
作射線 O'A'：
用直尺畫一條射線 O'A'，作為要作的角的一邊。這是角的起始邊，相當于已知角∠AOB 的邊 OA。
以點 O 為圓心，任意長為半徑畫弧：
用圓規的針尖固定在已知角的頂點 O 處，選取一個適當的長度作為半徑（半徑的長度可以任意，但在后續步驟中要保持一致），畫一條弧，分別交 OA 于點 C，交 OB 于點 D。
依據：圓的定義（到定點的距離等于定長的點的集合），此時 OC=OD（同圓的半徑相等）。
以點 O' 為圓心，OC 的長為半徑畫弧：
保持圓規的半徑不變（即與步驟 2 中截取的 OC 長度相等），將圓規的針尖固定在射線 O'A' 的端點 O' 處，畫一條弧，交 O'A' 于點 C'。
依據：圓規截取等長線段，此時 O'C'=OC=OD。
以點 C' 為圓心，CD 的長為半徑畫弧：
用圓規量取已知角上弧 CD 的長度（即圓規的針尖固定在點 C，筆尖調整到點 D 處），然后將圓規的針尖固定在點 C' 處，畫一條弧，與步驟 3 中所畫的弧交于點 D'。
依據：等長線段截取，此時 C'D'=CD。
過點 D' 作射線 O'B'：
用直尺連接點 O' 和點 D'，并延長為射線 O'B'。
此時，∠A'O'B' 即為所求作的角，且∠A'O'B'=∠AOB。
作圖圖示
已知角∠AOB：
A
/|
/ |
/ |C
O |
\ |
\ |D
\|
B
作圖過程：
1. 作射線O'A'：
O'——A'
2. 以O為圓心畫弧交OA于C，交OB于D：
A
/|
/ |
/ |C
O———|——D
\ |
\ |
\|
B
3. 以O'為圓心，OC為半徑畫弧交O'A'于C'：
O'——C'——A'
4. 以C'為圓心，CD為半徑畫弧交前弧于D'：
O'——C'——A'
\
\
D'
5. 作射線O'B'：
D'
/
/
O'——C'——A'
\
\
B'
最終∠A'O'B'=∠AOB
作圖原理
在△OCD 和△O'C'D' 中：
OC=O'C'（步驟 2 和 3 中截取的半徑相等）
CD=C'D'（步驟 4 中截取的弧長相等）
OD=O'D'（步驟 2 和 3 中截取的半徑相等）
根據 “邊邊邊”（SSS）全等判定定理，△OCD≌△O'C'D'，因此對應角相等，即∠COD=∠C'O'D'，也就是∠AOB=∠A'O'B'。這就是用尺規作一個角等于已知角的理論依據。
例題解析
例 1：已知∠α，用尺規作一個角，使它等于∠α 的 2 倍。
解：作法如下：
作∠AOB=∠α（按上述用尺規作一個角等于已知角的步驟）。
以點 O 為頂點，OB 為一邊，在∠AOB 的外部作∠BOC=∠α。
則∠AOC=∠AOB+∠BOC=∠α+∠α=2∠α，∠AOC 即為所求作的角。
例 2：用尺規作圖，已知∠1 和∠2，作一個角等于∠1+∠2。
解：作法如下：
作射線 OA。
以 O 為頂點，OA 為一邊，作∠AOB=∠1。
以 O 為頂點，OB 為一邊，在∠AOB 的外部作∠BOC=∠2。
則∠AOC=∠AOB+∠BOC=∠1+∠2，∠AOC 即為所求作的角。
小練習
填空題：
（1）尺規作圖的工具是______和______。
（2）用尺規作一個角等于已知角時，第 2 步和第 3 步都要畫弧，其中第 2 步是以______為圓心，第 3 步是以______為圓心，且這兩步畫弧的半徑______。
（3）用尺規作角的理論依據是全等三角形的______判定定理（SSS）。
作圖題：
（1）已知∠ABC，用尺規作一個角等于∠ABC。
（2）已知∠α 和∠β（∠α＞∠β），用尺規作一個角等于∠α-∠β。
簡答題：
（1）在 “用尺規作一個角等于已知角” 的步驟中，為什么要保證 OC=O'C'，CD=C'D'，OD=O'D'？
（2）用尺規作角與用量角器畫角有什么不同？
思考討論
除了作一個角等于已知角，你認為用尺規還能作出哪些特殊角？（如 60°、30° 等）
可以作出 60° 角：因為等邊三角形的三個角都是 60°，所以可以用尺規作一個等邊三角形，其中的一個角就是 60°。具體步驟：作一條線段 AB，以 A 為圓心，AB 為半徑畫弧，以 B 為圓心，AB 為半徑畫弧，兩弧交于點 C，連接 AC 和 BC，則∠CAB=60°。
在此基礎上，可以作出 30° 角（作 60° 角的角平分線）、90° 角（作兩個 60° 角的和減去 30° 角，或利用等腰直角三角形）等。
尺規作圖在幾何學習中的意義是什么？
尺規作圖是幾何的基本技能之一，它不依賴于度量，能培養學生的動手操作能力和空間想象能力；每一步操作都有嚴格的幾何依據，有助于學生理解幾何概念和定理，培養邏輯推理能力；同時，尺規作圖體現了幾何的嚴謹性和邏輯性，是后續學習復雜幾何作圖和證明的基礎。
課堂小結
尺規作圖的定義：只用圓規和無刻度直尺進行的作圖，強調不依賴度量，注重操作的規范性和依據的邏輯性。
用尺規作一個角等于已知角的步驟：
作射線（起始邊）；
已知角上畫弧（定半徑，得兩點）；
新作射線上畫弧（同半徑，得對應點）；
截取等長弧（定另一點）；
作射線（終邊）。
作圖原理：通過構造全等三角形（SSS），保證所作角與已知角相等。
通過本節課的學習，我們掌握了用尺規作一個角等于已知角的方法，理解了作圖的原理和每一步操作的依據。這種作圖方法是幾何學習中的重要工具，在后續學習角的和差、角平分線的作圖等內容時會經常用到，希望同學們勤加練習，熟練掌握。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
圖形的繪制，圖案的設計，時常需要畫線段和角.
新課導入
之前我們已經學會了用尺規作線段，那我們這節課來學一下如何用尺規作角吧！
新知探究
知識點
作一個角等于已知角
例 3 已知∠M，畫∠AOB，使得∠AOB=∠M.
M
解 用量角器量得∠M=110°.
畫∠AOB=110°，∠AOB即為符合題意的角.
M
O
A
B
操 作
如圖，張開圓規，當圓規兩足末端的距離為a時，圓規的張角為∠α. 將圓規閉合后重新張開，如何調整圓規使張角仍為∠α？
調整圓規，使圓規兩足末端的距離為a ，這時圓規張角仍為∠α.
基于上面的發現，
尺規作圖 作一個角等于已知角.
已知：∠AOB.
求作：∠DEF，使得∠DEF=∠AOB.
A
O
B
作法：（1）作射線EG.
（2）在∠AOB上以點O 為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交射線OA和OB于點P，Q；
（3）以點E為圓心，線段OP長為半徑畫弧，交射線EG于點D.
A
O
B
E
G
P
Q
D
A
O
B
E
G
P
Q
D
（4）以點D 為圓心，線段PQ長為半徑畫弧，與（3）中所畫弧交于點F；
（5）作射線EF. ∠DEF即為所求作的角.
F
例 4 如圖，已知兩個角∠1和∠2（∠1＞∠2），求作這兩個角的和.
1
2
作法 作∠AOB =∠1，以O為頂點，OB為一邊在∠AOB外作∠BOC =∠2，那么∠AOC=∠1 +∠2.
1
2
O
A
B
C
1
2
1.如圖，已知∠α，用尺規作∠AOB=2∠α.
練習
α
【教材P162 練習 第1題】
解:如圖所示.
作法:（1）作射線OD.
（2）以∠α的頂點M為圓心,任意長為半徑畫弧,分別與∠α的兩邊交于點P,Q.
（3）以點О為圓心,線段MP長為半徑畫弧,交射線OD于點A.
（4）以點A為圓心,線段PQ長為半徑畫弧,與（3）中所畫弧交于點E.
（5）以點E為圓心,線段PQ長為半徑畫弧,交（3）中所畫弧于點B（不在OD上）.
（6）作射線OB.∠AOB=2∠α即為所求作的角.
2.參考例4，作給定兩角的差.
α
β
【教材P162 練習 第2題】
解：如圖所示.已知∠α，∠β,求作∠α-∠β.
作法:①作∠AOC= ∠α.
②以點О為角的頂點,OC為一邊,在∠AOC的內部作∠COB=∠β,則∠AOB= ∠α-∠β即為所求作的角.
1. 如圖，利用尺規作圖作∠AOC=∠AOB的第一步是以點О為圓心、適當長為半徑作弧①，分別交OA、OB于點E、F，那么作圖痕跡②的作法是（ ）
A. 以點F為圓心、OE長為半徑作弧
B. 以點F為圓心、EF長為半徑作弧
C. 以點E為圓心、OE長為半徑作弧
D. 以點E為圓心、EF長為半徑作弧
隨堂練習
D
2. 如圖①，以點B為頂點，射線BC為一邊，利用尺規作圖在∠CAD內部作∠EBC，使∠EBC=∠A.
解:如圖②，以點B為頂點，BC為一邊在∠CAD內部作∠EBC=∠A. ∠EBC即為所求作的角.
3. 如圖①，已知∠α，∠β，求作一個角使它等于2∠α-∠β（保留作圖痕跡，不寫作法）.
解: 如圖，∠AOC即為所求作的2∠α-∠β.
1星題 基礎練
知識點 利用尺規作一個角等于已知角
1.如圖，作一個角等于已知角
(尺規作圖)的正確順序是
____________.(填序號)
2.如圖，用尺規作圖作的第一步是以點 為圓
心，任意長為半徑畫弧①，分別交，于點， ，那么
第二步的作圖痕跡②的作法是( )
D
A.以點為圓心， 長為半徑畫弧
B.以點為圓心， 長為半徑畫弧
C.以點為圓心， 長為半徑畫弧
D.以點為圓心， 長為半徑畫弧
3.(8分)如圖，已知 ， ，作一個角，使它等于 與
的和.(不寫作法，保留作圖痕跡)
解：如圖, 即為所求作.
2星題 中檔練
4.如圖， ， ，根據圖中尺規作
圖的痕跡，可知____ .
35
5.(8分)［2025·上海月考］如圖，已知 和 ，利用尺規
作，使 .
解：如圖， 即為所求作的角.
3星題 提升練
6.(8分)真實情境 小亮的一張地圖上有，， 三個城市，
地圖上的城市被墨跡污染了(如圖)，但知道 ，
，請你用尺規作圖的方法幫他在圖中確定 城市
的具體位置.(保留作圖痕跡，不寫作法)
解：如圖，點 即為所求.
課堂小結
步驟 作圖
（1）作射線EG
（2）在∠AOB上以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交射線OA和OB于點P，Q
（3）以點E為圓心，線段OP長為半徑畫弧，交射線EG于點D
（4）以點D為圓心，線段PQ長為半徑畫弧，與（3）中所畫弧交于點F
（5）作射線EF.∠DEF即為所求作的角
用尺規作∠DEF=∠AOB的步驟：
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