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章末復(fù)習(xí)
第3章 一次方程與方程組
【2025-2026學(xué)年】2024滬科版 數(shù)學(xué) 七年級(jí)上冊(cè)
授課教師：********
班 級(jí)：********
時(shí) 間：********
第 3 章 一次方程與方程組 章末復(fù)習(xí)
復(fù)習(xí)目標(biāo)：
系統(tǒng)梳理本章所學(xué)知識(shí)，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，加深對(duì)一次方程與方程組相關(guān)概念的理解。
熟練掌握一元一次方程、二元一次方程組、三元一次方程組的解法，并能靈活運(yùn)用解決實(shí)際問題。
總結(jié)解題規(guī)律和易錯(cuò)點(diǎn)，提高解題的準(zhǔn)確性和效率。
知識(shí)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建
一次方程與方程組
├── 一元一次方程
│ ├── 概念：只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是1，等號(hào)兩邊都是整式的方程
│ ├── 解法步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1
│ └── 應(yīng)用：列方程解決實(shí)際問題（如行程、工程、利潤(rùn)等）
├── 二元一次方程組
│ ├── 概念：含有兩個(gè)未知數(shù)，含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的兩個(gè)方程組成的方程組
│ ├── 解法：代入消元法、加減消元法
│ └── 應(yīng)用：解決含兩個(gè)未知量的實(shí)際問題（如比賽得分、調(diào)配、配比等）
└── 三元一次方程組
├── 概念：含有三個(gè)未知數(shù)，含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的三個(gè)方程組成的方程組
├── 解法：消元（先轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，再轉(zhuǎn)化為一元一次方程）
└── 應(yīng)用：解決含三個(gè)未知量的實(shí)際問題
重點(diǎn)知識(shí)回顧
一、一元一次方程
等式的性質(zhì)
性質(zhì) 1：等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等。如果\(a = b\)，那么\(a\pm c = b\pm c\)。
性質(zhì) 2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為 0 的數(shù)，結(jié)果仍相等。如果\(a = b\)，那么\(ac = bc\)；如果\(a = b\)（\(c\neq0\)），那么\(\frac{a}{c}=\frac{b}{c}\)。
解一元一次方程的注意事項(xiàng)
去分母時(shí)，不要漏乘不含分母的項(xiàng)。
去括號(hào)時(shí)，若括號(hào)前是負(fù)號(hào)，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)要變號(hào)。
移項(xiàng)要變號(hào)。
系數(shù)化為 1 時(shí)，注意分子分母不要顛倒。
二、二元一次方程組
二元一次方程（組）的解
使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解（有無數(shù)組）。
二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解（有唯一解、無解或無數(shù)組解）。
解法對(duì)比
代入消元法：適用于有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)為 1 或 - 1 的方程組，將其變形為用含一個(gè)未知數(shù)的式子表示另一個(gè)未知數(shù)，再代入另一個(gè)方程。
加減消元法：適用于同一未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)，或通過變形可使其滿足該條件的方程組，通過相加或相減消去一個(gè)未知數(shù)。
三、三元一次方程組
解法核心：消元，即通過代入或加減消元法，逐步將三元轉(zhuǎn)化為二元，再轉(zhuǎn)化為一元。
步驟：消去一個(gè)未知數(shù)得到二元一次方程組→解二元一次方程組→回代求出第三個(gè)未知數(shù)→檢驗(yàn)。
四、方程（組）的應(yīng)用
解題步驟：審（審題，找等量關(guān)系）→設(shè)（設(shè)未知數(shù)）→列（列方程或方程組）→解（解方程或方程組）→驗(yàn)（檢驗(yàn)解的合理性）→答（寫出答案）。
常見題型：行程問題（相遇、追及、順逆流）、工程問題、利潤(rùn)問題、比賽得分問題、調(diào)配問題、配比問題、配套問題等。
典型例題解析
例 1：解一元一次方程
解方程：\(\frac{2x - 1}{3}-\frac{5x + 1}{2}=1\)
解：去分母（兩邊同乘 6），得：\(2(2x - 1)-3(5x + 1)=6\)
去括號(hào)：\(4x - 2 - 15x - 3 = 6\)
移項(xiàng)：\(4x - 15x = 6 + 2 + 3\)
合并同類項(xiàng)：\(-11x = 11\)
系數(shù)化為 1：\(x=-1\)
例 2：解二元一次方程組
解方程組：\(\begin{cases}3x + 2y = 13& \\5x - 3y = 9& \end{cases}\)
解：①×3 + ②×2，消去\(y\)：\(9x + 6y + 10x - 6y = 39 + 18\)\(19x = 57\)，解得\(x = 3\)
把\(x = 3\)代入①：\(3 3 + 2y = 13\)，解得\(y = 2\)
所以，方程組的解是\(\begin{cases}x = 3\\y = 2\end{cases}\)
例 3：解三元一次方程組
解方程組：\(\begin{cases}x + y + z = 12& \\x + 2y + 5z = 22& \\x = 4y& \end{cases}\)
解：把③代入①②，得：\(\begin{cases}4y + y + z = 12\\4y + 2y + 5z = 22\end{cases}\)，化簡(jiǎn)為\(\begin{cases}5y + z = 12& \\6y + 5z = 22& ¤\end{cases}\)
④×5 - ⑤：\(25y + 5z - 6y - 5z = 60 - 22\)\(19y = 38\)，解得\(y = 2\)
把\(y = 2\)代入③，得\(x = 8\)
把\(x = 8\)，\(y = 2\)代入①，得\(z = 2\)
所以，方程組的解是\(\begin{cases}x = 8\\y = 2\\z = 2\end{cases}\)
例 4：方程（組）的應(yīng)用
某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品共 50 件，甲種商品進(jìn)價(jià)每件 35 元，利潤(rùn)率是 20%；乙種商品進(jìn)價(jià)每件 20 元，利潤(rùn)率是 15%，共獲利 278 元。問甲、乙兩種商品各購(gòu)進(jìn)多少件？
解：設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種商品\(x\)件，乙種商品\(y\)件。
根據(jù)題意，得\(\begin{cases}x + y = 50\\35 20\%x + 20 15\%y = 278\end{cases}\)
化簡(jiǎn)第二個(gè)方程：\(7x + 3y = 278\)
由①得\(x = 50 - y\)，代入②：\(7(50 - y)+3y = 278\)\(350 - 7y + 3y = 278\)\(-4y = -72\)，解得\(y = 18\)
則\(x = 50 - 18 = 32\)
答：購(gòu)進(jìn)甲種商品 32 件，乙種商品 18 件。
易錯(cuò)點(diǎn)解析
去分母漏乘：解方程\(\frac{x}{2}-1=\frac{x - 1}{3}\)時(shí)，易漏乘常數(shù)項(xiàng) 1，正確去分母應(yīng)為\(3x - 6 = 2(x - 1)\)。
解方程組時(shí)符號(hào)錯(cuò)誤：用加減消元法解\(\begin{cases}2x - y = 5\\3x + y = 10\end{cases}\)時(shí)，相加后應(yīng)為\(5x = 15\)，而非\(-x = -5\)。
列方程時(shí)等量關(guān)系錯(cuò)誤：行程問題中，相遇問題是 “路程和 = 總路程”，追及問題是 “路程差 = 初始距離”，易混淆兩者關(guān)系。
忽略實(shí)際問題的解的合理性：如人數(shù)、物品數(shù)量等應(yīng)為正整數(shù)，解出負(fù)數(shù)或小數(shù)時(shí)需檢驗(yàn)是否符合題意。
復(fù)習(xí)題
解下列方程（組）：
（1）\(4(x - 1)-3(2x + 1)=7\)；
（2）\(\begin{cases}2x + y = 5\\x - 3y = 6\end{cases}\)；
（3）\(\begin{cases}x + 2y - z = 3\\2x - y + z = 5\\3x + y - 2z = 4\end{cases}\)。
當(dāng)\(k\)為何值時(shí)，方程\(2(x - 1)=k + x\)的解與方程\(\frac{x + 3}{2}=2x - 1\)的解相同？
某工廠計(jì)劃生產(chǎn) A、B 兩種產(chǎn)品共 100 件，已知生產(chǎn)一件 A 產(chǎn)品需耗煤 3 噸、耗電 2 度；生產(chǎn)一件 B 產(chǎn)品需耗煤 2 噸、耗電 4 度。該工廠現(xiàn)有煤 300 噸，電 200 度。問 A、B 兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少件時(shí)，耗煤和耗電剛好都用完？
甲、乙兩人從相距 36 千米的兩地相向而行，若甲先出發(fā) 2 小時(shí)，則乙出發(fā) 2.5 小時(shí)后兩人相遇；若乙先出發(fā) 2 小時(shí)，則甲出發(fā) 3 小時(shí)后兩人相遇。求甲、乙兩人的速度。
一個(gè)三位數(shù)，百位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大 1，個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字的 3 倍少 2，若將這個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)，所得的新三位數(shù)與原三位數(shù)的和是 1171，求原三位數(shù)。
5
課堂檢測(cè)
4
新知講解
6
變式訓(xùn)練
7
中考考法
8
小結(jié)梳理
學(xué)習(xí)目錄
1
復(fù)習(xí)引入
2
新知講解
3
典例講解
等式的基本性質(zhì)
1
性質(zhì)1：等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)整式，所得結(jié)果仍是等式. 即
如果 a＝b，那么 a＋c＝b＋c，a-c＝b-c.
1
2
性質(zhì)2：等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不能為0），所得結(jié)果仍是等式. 即
如果 a＝b，那么 ac＝bc， （c≠0）.
3
性質(zhì)3：如果 a＝b，那么 b＝a.（對(duì)稱性）.
例如，由 -4=x，得 x=-4.
在解題過程中，根據(jù)等式的傳遞性，將一個(gè)量用與它相等的量代替，稱為等量代換.
4
性質(zhì)4：如果 a＝b，b=c，那么 a＝c.（傳遞性）.
例如，x=3，又y=x，所以y=3.
一元一次方程
2
只含有一個(gè)未知數(shù)(元)，未知數(shù)的次數(shù)是1，且等式兩邊都是整式的方程叫作一元一次方程.
使方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫作方程的解. 一元方程的解也叫作根.
步驟 根據(jù) 注意事項(xiàng)
去分母 等式性質(zhì)2 ①不漏乘不含分母的項(xiàng)；
②注意給分子添括號(hào).
去括號(hào) 分配律、 去括號(hào)法則 ①不漏乘括號(hào)里的項(xiàng)；
②括號(hào)前是“-”號(hào)，要變號(hào).
移項(xiàng) 移項(xiàng)法則 移項(xiàng)要變號(hào)
合并同類項(xiàng) 合并同類項(xiàng)法則 系數(shù)相加，不漏項(xiàng)
系數(shù)化1 等式性質(zhì)2 兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)或乘以未知數(shù)系數(shù)的倒數(shù).
解一元一次方程
3
弄清題意和題中的數(shù)量關(guān)系，用字母（如x，y）表示問題里的未知數(shù)；
分析題意，找出相等關(guān)系（可借助于示意圖、表格等）；
根據(jù)相等關(guān)系，列出需要的代數(shù)式，并列出方程；
解這個(gè)方程，求出未知數(shù)的值；
檢查所得的值是否正確和符合實(shí)際情形，并寫出答案（包括單位名稱）.
1
2
3
4
5
列方程解應(yīng)用題的步驟
4
二元一次方程組
5
含有兩個(gè)未知數(shù)的一次方程，叫作二元一次方程.
由兩個(gè)一次方程組成，且含兩個(gè)未知數(shù)的方程組叫作二元一次方程組.
使二元一次方程組中每個(gè)方程都成立的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫作二元一次方程組的解. 二元一次方程組的解必須同時(shí)滿足方程組中的每一個(gè)方程.
解二元一次方程組的基本思路是消元.
解二元一次方程組的基本思路是什么？
代入消元法和加減消元法.
二元一次方程組有哪兩種解法？
消去兩個(gè)未知數(shù)中的一個(gè)．
解二元一次方程組中“代入”與“加減”的目的是什么？
用代入消元法解二元一次方程組的步驟：
①?gòu)姆匠探M中選定一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程進(jìn)行變形，用含有x(或y)的代數(shù)式表示y(或x)；
②將變形后的方程代入另一個(gè)方程中，消去y(或x)，得到一個(gè)關(guān)于x(或y)的一元一次方程；
③解這個(gè)一元一次方程，求出x(或y)的值；
④把x(或y)的值代入方程中，求y(或x)的值；
⑤用“{”聯(lián)立兩個(gè)未知數(shù)的值，得到方程組的解.
用加減法解二元一次方程組的一般步驟：
（1）如果某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等時(shí)，采用加減消去一個(gè)未知數(shù).
（2）如果方程組中不存在某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)絕對(duì)值相等，那么應(yīng)選出一組系數(shù)求出它們的最小公倍數(shù)，然后將原方程組變形，使新方程組的這組系數(shù)的絕對(duì)值相等，再加減消元.
（3）對(duì)于較復(fù)雜的二元一次方程組，應(yīng)先化簡(jiǎn)，再作如上加減消元的考慮.
由三個(gè)一次方程組成，且含三個(gè)未知數(shù)的方程組，叫作三元一次方程組.
三元一次方程組的解法：通過消元轉(zhuǎn)化成解二元一次方程組的問題，再消元轉(zhuǎn)化成解一元一次方程的問題.
三元一次方程組
6
聯(lián)系：都是消元，轉(zhuǎn)化為一元一次方程，最后求出方程組的解。
區(qū)別：未知數(shù)和方程的個(gè)數(shù)不同。
解三元一次方程組與解二元一次方程組有什么聯(lián)系和區(qū)別？
解：x＝6－2y的正整數(shù)解有
x = 4，
y = 1，
x = 2，
y = 2；
把
x = 4，
y = 1，
x = 2，
y = 2
分別代入方程x－y＝9－3k，
得k＝2或k＝3.
[解析] 因?yàn)閮蓚€(gè)方程的解相同，先求出方程2x＝ 的解，再將其代入方程3(x＋a)＝a－5x 中得到關(guān)于a的一元一次方程，從而求出a的值．
解：將4x－y=5和3x+y=9組成方程組，得
4x－y=5，
3x+y=9，
x = 2，
y = 3.
解得
將x = 4，y = 3代入方程ax+ay=－1，
得2a+3b=－1，則(2a+3b)2017= －1.
解：設(shè)方程●x＋●y＝22中x，y的系數(shù)分別為a，b，方程3x－●y＝8中y的系數(shù)為c，由題意，得方程組
4a+2b=22，
12－2c=8，
a+6b=22.
a = 4，
b = 3
c = 2.
解得
所以原方程組為
4x+3y=22，
3x－2y=8.
例5 某電視臺(tái)在黃金時(shí)段的2分鐘廣告時(shí)間內(nèi)，計(jì)劃插播長(zhǎng)度為15秒和30秒的兩種廣告. 15秒廣告每播1次收費(fèi)0.8萬元，30秒廣告每播1次收費(fèi)1.5萬元.若要求每種廣告播放不少于2次．
(1)兩種廣告的播放次數(shù)有幾種安排方式？
(2)電視臺(tái)選擇哪種方式播放收益較大？
解：（1）設(shè)15秒的廣告播放x次，30秒的廣告播放y次，則15x＋30y＝120.
又因?yàn)槊糠N廣告播放不少于2次，故該方程的解為
x=2，
y=3
x = 4，
y = 2.
或
故電視臺(tái)有兩種播放方式：15秒的廣告播放2次，30秒的廣告播放3次或15秒的廣告播放4次，30秒的廣告播放2次．
（2）當(dāng)x＝4，y＝2時(shí)，
0.8×4＋1.5×2＝6.2(萬元)；
當(dāng)x＝2，y＝3時(shí)，
0.8×2＋1.5×3＝6.1(萬元)．
所以，選擇15秒的廣告播放4次，30秒的廣告播放2次收益較大．
整合1 方程(組)的相關(guān)概念及等式的基本性質(zhì)
1.已知關(guān)于的方程 是一元一次方程，
則 ( )
C
A. B.2 C. D.
2.［2025年1月安慶期末］已知是關(guān)于， 的方程
的一個(gè)解，則 的值為( )
A
A.1 B. C.2 D.
3.［2025年1月滁州期末］下列各式中，正確的是( )
B
A.若，則
B.若，則
C.若，則
D.若，則
整合2 方程(組)的解法
4.(12分)解方程(組)
(1) ；
解： ，去分母，得
，去括號(hào)，得
，移項(xiàng)，得
，合并同類項(xiàng)，得
，兩邊同除以，得 .
(2)
解：整理，得，得 ,解得
.把代入②，得,解得 .所以原
方程組的解為
(3)
解：，得,解得.,得 ,解得
.將,代入③，得 .所以原方程組的解為
整合3 方程(組)的應(yīng)用
5.某商場(chǎng)舉辦“迎元旦送大禮”促銷活動(dòng)，某品牌冰箱若按標(biāo)
價(jià)的八折銷售，每件可獲利200元，其利潤(rùn)率為 ，若按
標(biāo)價(jià)的八五折銷售，每件可獲利( )
D
A.475元 B.375元 C.562.5元 D.337.5元
6.［2025·天津模擬］甲地距乙地 ，有一段上坡路與
一段下坡路，一天李海同學(xué)保持上坡路每小時(shí)走 ，下坡
路每小時(shí)走的速度，從甲地到乙地共用了 .若設(shè)
李海同學(xué)上坡路用了，下坡路用了 ，可列出方程
組為_ ______________.
7.(8分) 數(shù)學(xué)文化 [2025年1月合肥期末] 我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)名著
《九章算術(shù)》中記載：“今有牛五、羊二，直金十九兩；牛
二、羊五，直金十六兩.問牛、羊各直金幾何？”譯文：“5頭
牛、2只羊，值19兩銀子；2頭牛、5只羊，值16兩銀子.問每
頭牛、每只羊分別值銀子多少兩？”根據(jù)以上譯文，解答以
下兩個(gè)問題：
(1)求每頭牛、每只羊各值多少兩銀子；
解：設(shè)每頭牛值兩銀子，每只羊值 兩銀子，根據(jù)題意，得
解得
答：每頭牛值3兩銀子，每只羊值2兩銀子.
(2)若某商人準(zhǔn)備用19兩銀子買牛和羊(要求：既有牛也有羊，
且銀兩須全部用完)，請(qǐng)問商人有幾種購(gòu)買方法？列出所有
的購(gòu)買方法.
設(shè)購(gòu)買頭牛，只羊，依題意有 ，所以
，因?yàn)椋际钦麛?shù)，所以或 或
所以有三種購(gòu)買方法：①購(gòu)買1頭牛，8只羊；②購(gòu)買
3頭牛，5只羊；③購(gòu)買5頭牛，2只羊.
整合4 兩種數(shù)學(xué)思想
8.整體思想 已知關(guān)于，的二元一次方程組
的解互為相反數(shù)，則 的值為___.
1
9.分類討論思想 甲、乙兩人分別從、 兩地同時(shí)出發(fā)，相
向而行，甲的速度是，乙的速度是甲的速度的 ，
出發(fā)后兩人之間的距離為、兩地之間距離的，則 、
兩地之間的距離為____________ .
168或
由題意得：乙的速度為，設(shè)、
兩地之間的距離為，①當(dāng)甲、乙未相遇，出發(fā) 后兩
人之間的距離為、兩地之間距離的 時(shí)，則有：
，解得 .②當(dāng)甲、乙已經(jīng)相遇，
出發(fā)后兩人之間的距離為、兩地之間距離的 時(shí)，則
有：，解得 .
綜上所述，、兩地之間的距離為或 .
10.(8分)［2023·安徽中考］根據(jù)經(jīng)營(yíng)情況，公司對(duì)某商品在
甲、乙兩地的銷售單價(jià)進(jìn)行了如下調(diào)整：甲地上漲 ，乙
地降價(jià)5元.已知銷售單價(jià)調(diào)整前甲地比乙地少10元，調(diào)整后
甲地比乙地少1元，求調(diào)整前甲、乙兩地該商品的銷售單價(jià).
解：設(shè)調(diào)整前甲、乙兩地該商品的銷售單價(jià)分別為元、 元，
根據(jù)題意得，
解得
答：調(diào)整前甲、乙兩地該商品的銷售單價(jià)分別為40元、50元.
11.(8分)［2024·安徽中考］鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略實(shí)施以來，很多外
出人員返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè).某村有部分返鄉(xiāng)青年承包了一些田地，采用
新技術(shù)種植， 兩種農(nóng)作物.種植這兩種農(nóng)作物每公頃所需
人數(shù)和投入資金如表：
農(nóng)作物品種 每公頃所需人數(shù) 每公頃所需投入資金(萬元)
4 8
3 9
已知農(nóng)作物種植人員共24位，且每人只參與一種農(nóng)作物種植，
投入資金共60萬元.問， 這兩種農(nóng)作物的種植面積各多少
公頃？
解：設(shè)農(nóng)作物的種植面積為公頃， 農(nóng)作物的種植面積為
公頃，
由題意可得，解得
答：農(nóng)作物的種植面積為3公頃， 農(nóng)作物的種植面積為4
公頃.
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