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1.4 絕對(duì)值
第1章 有理數(shù)
【華東師大版·2024】數(shù)學(xué) 七年級(jí)上冊(cè)
授課教師：********
班 級(jí)：********
時(shí) 間：********
幻燈片 1：封面
標(biāo)題：1.4 絕對(duì)值
幻燈片 2：學(xué)習(xí)目標(biāo)
理解絕對(duì)值的概念，掌握絕對(duì)值的幾何意義和代數(shù)定義。
會(huì)用符號(hào)表示一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，能熟練求出一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值。
掌握絕對(duì)值的性質(zhì)，能運(yùn)用絕對(duì)值的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單問(wèn)題。
幻燈片 3：情境引入
問(wèn)題 1：在數(shù)軸上，表示 3 的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是多少？表示 - 3 的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是多少？
問(wèn)題 2：小明家在學(xué)校東邊 5 千米處，小紅家在學(xué)校西邊 5 千米處，若以學(xué)校為原點(diǎn)，向東為正方向，那么小明家和小紅家到學(xué)校的距離分別是多少？
提問(wèn)：這些例子中，兩個(gè)數(shù)的符號(hào)不同，但它們到原點(diǎn)（或基準(zhǔn)點(diǎn)）的距離有什么關(guān)系？
引入：在數(shù)學(xué)中，我們把一個(gè)數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，本節(jié)課就來(lái)學(xué)習(xí)絕對(duì)值的相關(guān)知識(shí)。
幻燈片 4：絕對(duì)值的幾何意義
定義：一個(gè)數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值。
示例：
在數(shù)軸上，3 所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是 3，所以 3 的絕對(duì)值是 3。
-3 所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是 3，所以 - 3 的絕對(duì)值是 3。
0 所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)就是原點(diǎn)，所以 0 的絕對(duì)值是 0。
圖示：畫(huà)出數(shù)軸，標(biāo)注出 3、-3、0 的位置，展示它們到原點(diǎn)的距離，直觀呈現(xiàn)絕對(duì)值的幾何意義。
幻燈片 5：絕對(duì)值的表示方法
一個(gè)數(shù) a 的絕對(duì)值記作 | a|。
說(shuō)明：
3 的絕對(duì)值記作 | 3|，|3|=3。
-3 的絕對(duì)值記作 |-3|，|-3|=3。
0 的絕對(duì)值記作 | 0|，|0|=0。
幻燈片 6：絕對(duì)值的代數(shù)定義
正數(shù)的絕對(duì)值是它本身。即當(dāng) a>0 時(shí)，|a|=a。
負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)。即當(dāng) a<0 時(shí)，|a|=-a。
0 的絕對(duì)值是 0。即當(dāng) a=0 時(shí)，|a|=0。
示例：
|5|=5（因?yàn)?5 是正數(shù)）。
|-7|=7（因?yàn)?- 7 是負(fù)數(shù)，它的相反數(shù)是 7）。
|0|=0。
幻燈片 7：例題 1—— 求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值
題目：求下列各數(shù)的絕對(duì)值：-4、\(\frac{1}{2}\)、0、-3.6、9。
解答過(guò)程：
|-4|=4（-4 是負(fù)數(shù)，絕對(duì)值是它的相反數(shù)）。
|\(\frac{1}{2}\)|=\(\frac{1}{2}\)（\(\frac{1}{2}\)是正數(shù)，絕對(duì)值是它本身）。
|0|=0。
|-3.6|=3.6（-3.6 是負(fù)數(shù)，絕對(duì)值是它的相反數(shù)）。
|9|=9（9 是正數(shù)，絕對(duì)值是它本身）。
結(jié)論：各數(shù)的絕對(duì)值分別為 4、\(\frac{1}{2}\)、0、3.6、9。
幻燈片 8：例題 2—— 已知絕對(duì)值求原數(shù)
題目：已知一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是 5，求這個(gè)數(shù)。
解答過(guò)程：
絕對(duì)值是 5 的數(shù)，在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是 5，這樣的點(diǎn)有兩個(gè)，分別在原點(diǎn)的左邊和右邊。
所以這個(gè)數(shù)是 5 或 - 5。
結(jié)論：這個(gè)數(shù)是 ±5。
幻燈片 9：例題 3—— 利用絕對(duì)值比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小
題目：比較 - 3 和 - 5 的大小。
解答過(guò)程：
先求出它們的絕對(duì)值，|-3|=3，|-5|=5。
因?yàn)?3<5，根據(jù) “兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小”，所以 - 3>-5。
結(jié)論：-3>-5。
幻燈片 10：絕對(duì)值的性質(zhì)
任何數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，即 | a|≥0。
互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，即 | a|=|-a|。
若 | a|=|b|，則 a=b 或 a=-b。
若 | a|=0，則 a=0。
幻燈片 11：課堂練習(xí) 1
題目：求下列各數(shù)的絕對(duì)值：-1、\(\frac{3}{4}\)、-0.8、0、6。
答案：1、\(\frac{3}{4}\)、0.8、0、6
幻燈片 12：課堂練習(xí) 2
題目：絕對(duì)值等于它本身的數(shù)是______，絕對(duì)值等于它的相反數(shù)的數(shù)是______。
答案：非負(fù)數(shù)（正數(shù)和 0）；非正數(shù)（負(fù)數(shù)和 0）
幻燈片 13：課堂練習(xí) 3
題目：比較下列各組數(shù)的大小：
（1）-\(\frac{1}{2}\)和 -\(\frac{1}{3}\)；（2）-4 和 - 1。
解答：（1）|-\(\frac{1}{2}\)|=\(\frac{1}{2}\)，|-\(\frac{1}{3}\)|=\(\frac{1}{3}\)，因?yàn)閈(\frac{1}{2}\)>\(\frac{1}{3}\)，所以 -\(\frac{1}{2}\)<-\(\frac{1}{3}\)；（2）|-4|=4，|-1|=1，因?yàn)?4>1，所以 - 4<-1。
幻燈片 14：易錯(cuò)點(diǎn)分析
常見(jiàn)錯(cuò)誤：
認(rèn)為絕對(duì)值一定是正數(shù)，忽略 0 的絕對(duì)值是 0。
求負(fù)數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，錯(cuò)誤地得出負(fù)數(shù)，如 |-5|=-5。
利用絕對(duì)值比較兩個(gè)負(fù)數(shù)大小時(shí)，忘記 “絕對(duì)值大的反而小”，得出錯(cuò)誤結(jié)論。
規(guī)避方法：
牢記絕對(duì)值的非負(fù)性，任何數(shù)的絕對(duì)值都大于或等于 0。
求負(fù)數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，要明確是它的相反數(shù)，結(jié)果為正數(shù)。
比較兩個(gè)負(fù)數(shù)大小時(shí)，先求絕對(duì)值，再比較絕對(duì)值的大小，最后根據(jù)法則判斷原數(shù)的大小。
幻燈片 15：課堂小結(jié)
絕對(duì)值的概念：一個(gè)數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。
表示方法：記作 | a|。
代數(shù)定義：正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0 的絕對(duì)值是 0。
性質(zhì)：非負(fù)性；互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)絕對(duì)值相等；若 | a|=|b|，則 a=±b 等。
幻燈片 16：布置作業(yè)
基礎(chǔ)作業(yè)：教材課后練習(xí)題第 1、2、3 題（求數(shù)的絕對(duì)值、已知絕對(duì)值求原數(shù)、比較數(shù)的大?。?br/>提升作業(yè)：已知 | x|=3，|y|=5，且 x5
課堂檢測(cè)
4
新知講解
6
變式訓(xùn)練
7
中考考法
8
小結(jié)梳理
學(xué)習(xí)目錄
1
復(fù)習(xí)引入
2
新知講解
3
典例講解
情境導(dǎo)入
問(wèn)題：正式足球比賽對(duì)所用足球的質(zhì)量有嚴(yán)格的規(guī)定，下面是六個(gè)足球的質(zhì)量檢測(cè)結(jié)果（用正數(shù)記超過(guò)規(guī)定質(zhì)量的克數(shù)，用負(fù)數(shù)記不足規(guī)定質(zhì)量的克數(shù)）:
-25，+10，-20，+30，+15，-40.
你認(rèn)為哪個(gè)球的質(zhì)量好一些？為什么？
應(yīng)該是與規(guī)定質(zhì)量相差最少的球質(zhì)量好一些．
在一些量的計(jì)算中，有時(shí)并不注重其方向．
計(jì)算汽車行駛所耗的汽油量時(shí)，需要關(guān)注的是汽車行駛的路程，而無(wú)須關(guān)注其行駛的方向．
在討論數(shù)軸上的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離時(shí)，只需要觀察它與原點(diǎn)之間相隔多少個(gè)單位長(zhǎng)度，而與它位于原點(diǎn)哪一邊無(wú)關(guān)．
0
1
2
3
﹣1
﹣2
﹣3
﹣4
4
A
0
1
2
3
4
-1
-2
-3
5
大象距原點(diǎn)多遠(yuǎn)？
兩只小狗分別
距原點(diǎn)多遠(yuǎn)
探究新知
0
1
2
3
4
-1
-2
-3
5
例如：大象在數(shù)軸上+5點(diǎn)，距離原點(diǎn)5個(gè)單位長(zhǎng)度，
即+5的絕對(duì)值是5，記作 │+5│＝5
那么，兩只小狗呢？
│+3│=3， │-3│=3
我們把在數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值，記作|a|.
0到原點(diǎn)的距離是0，所以0的絕對(duì)值是0，記做|0|=0.
（1）|+2|＝_____，| |＝_____，|+8.2|＝_____;
（2）|0|＝_____；
（3）|﹣3|＝_____，|﹣0.2|＝_____， |﹣8.2|＝_____.
怎樣求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值？
2
8.2
0
3
0.2
8.2
從這些結(jié)果中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？
互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等.
（1）|+2|＝_____，| |＝_____，|+8.2|＝_____;
（2）|0|＝_____；
（3）|﹣3|＝_____，|﹣0.2|＝_____， |﹣8.2|＝_____.
2
8.2
0
3
0.2
8.2
一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值與這個(gè)數(shù)有什么關(guān)系？
a>0
a=0
a<0
你發(fā)現(xiàn)了什么？
一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；
0 的絕對(duì)值是 0；
一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)．
|a|=
a（a>0）,
0（a=0）,
﹣a（a<0）．
記作：
由絕對(duì)值的意義，我們可以知道：
由此可以看出，任何一個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值總是正數(shù)或0（通常也稱非負(fù)數(shù)）．即對(duì)任意有理數(shù)a，總有
|a|>0
|a|=0
|a|>0
思考：絕對(duì)值等于它本身的數(shù)有哪些？
正數(shù)和 0
求下列各數(shù)的絕對(duì)值：
﹣4.75，10.5．
|﹣4.75|＝4.75，
|10.5|＝10.5．
例1
解
化簡(jiǎn):
例2
解
鞏固練習(xí)
1．求下列各數(shù)的絕對(duì)值：
﹣5，4.5，﹣0.5，﹢1，0．
解：|﹣5|＝5，
|4.5|＝4.5，
|﹣0.5|＝0.5，
|﹢1|＝1，
|0|＝0．
【教材P18 練習(xí) 第1題】
2．填空：
（1）-3 的正負(fù)號(hào)是 ，絕對(duì)值是 ；
（2）10.5 的正負(fù)號(hào)是 ，絕對(duì)值是 ；
（3）絕對(duì)值是 7 的正數(shù)是 ；
（4）絕對(duì)值是 5.1 的負(fù)數(shù)是 .
﹣
3
﹢
10.5
7
﹣5.1
【教材P18 練習(xí) 第2題】
解：（1）2個(gè)，分別是12和﹣12；
（2）1個(gè)，是0；
（3）沒(méi)有，任何一個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值總是非負(fù)數(shù)．
3．回答下列問(wèn)題：
（1）絕對(duì)值是 12 的數(shù)有幾個(gè)？是什么？
（2）絕對(duì)值是 0 的數(shù)有幾個(gè)？是什么？
（3）有沒(méi)有絕對(duì)值是 -3 的數(shù)？為什么？
【教材P18 練習(xí) 第3題】
知識(shí)點(diǎn)1 絕對(duì)值的意義
1.（1）數(shù)軸上表示2.4的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是____，所以 ____；
2.4
2.4
（2）數(shù)軸上表示的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是___，所以 ___；
（3）數(shù)軸上表示0的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是___，所以 ___.
3
3
0
0
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2. 的幾何意義是數(shù)軸上表示________的點(diǎn)到______的距離.
原點(diǎn)
返回
3.［2025鄭州月考］已知點(diǎn)，，， 在數(shù)軸上的位置如圖，則其中
表示的數(shù)的絕對(duì)值最大的點(diǎn)是( )
D
A. B. C. D.
返回
知識(shí)點(diǎn)2 絕對(duì)值的求法
4.［2024哈爾濱中考］ 的絕對(duì)值是( )
A
A. B.10 C. D.
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5.如圖，點(diǎn) 所表示的數(shù)的絕對(duì)值為( )
A
A.1 B. C. D.0
返回
6.如果，那么 的值是( )
D
A. B. C. D.
返回
7.（4分）［教材例1變式］求出下列各數(shù)的絕對(duì)值：， ，
， ，0.
解：， ，
，， .
返回
知識(shí)點(diǎn)3 絕對(duì)值的性質(zhì)
8. （1）①正數(shù)：___， ____；
②負(fù)數(shù)：___， ____；
③零： ___；
4
11
9
13
0
（2）根據(jù)（1）中的規(guī)律發(fā)現(xiàn)：不論正數(shù)、負(fù)數(shù)和零，它們的絕對(duì)值
一定是______數(shù).
非負(fù)
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9.若，則 不可能是( )
D
A. B. C.0 D.8
返回
10.下列各式正確的是( )
A
A. B. C. D.
返回
11.（16分）［教材習(xí)題 變式］化簡(jiǎn)：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） ；
解：原式 .
（4） .
解：原式 .
返回
12. 如圖是某古箏調(diào)音器的界面，
指針指向40表示音調(diào)偏高，需放松琴弦.下列指
針指向的數(shù)中表示需擰緊琴弦，且最接近標(biāo)準(zhǔn)
音（指針指在0處）的是( )
C
A.10 B.8 C. D.
返回
13.［2025臨汾期中］如圖，若數(shù)軸上點(diǎn)， 表示的有理數(shù)互為相反數(shù)，
則圖中所表示的數(shù)的絕對(duì)值最大的點(diǎn)是___.
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14.下列判斷：①負(fù)數(shù)沒(méi)有絕對(duì)值；②絕對(duì)值最小的有理數(shù)是0；③絕對(duì)
值等于它本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)；④互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等.其
中正確的是________.（填序號(hào)）
②③④
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15. 寫(xiě)出絕對(duì)值大于2且小于4.5的所有整數(shù)：_________.
，
返回
16.若表示一個(gè)有理數(shù)，則 一定是非負(fù)數(shù)，即它的值為正數(shù)或0，所
以有最小值，為0；而 一定是非正數(shù)，即它的值為負(fù)數(shù)或0，所
以 有最大值，為0.根據(jù)這個(gè)結(jié)論解決下列問(wèn)題：
（1） 有最____值，為_(kāi)__；
（2） 有最____值，為_(kāi)__；
（3）當(dāng)?shù)闹禐開(kāi)__時(shí)， 取得最____值，為_(kāi)__.
小
1
大
5
1
小
2
返回
17.（8分）［教材習(xí)題 變式］計(jì)算：
（1） ;
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
返回
18.（4分）［教材習(xí)題 變式］在一次抗洪救災(zāi)中，解放軍駕駛沖
鋒舟在一條東西方向的河流中搶救災(zāi)民，早晨從地出發(fā)，晚上到達(dá)
地，規(guī)定向東為正，當(dāng)天航行路程單位：如下：14，，18， ，
13，，，.若沖鋒舟每千米耗油 ，開(kāi)始出發(fā)時(shí)，油箱中
有油 ，問(wèn)中途是否需要加油？若需要,至少需加多少升 若不需要，
請(qǐng)說(shuō)明理由.
解：需要. ，
，
．
所以中途需要加油，至少需加 .
返回
19. 的幾何意義是數(shù)軸上表示的點(diǎn)與表示 的
點(diǎn)之間的距離.
（1） 的幾何意義是數(shù)軸上表示___的點(diǎn)與表示___的點(diǎn)之間的距
離，___（填“ ”“ ”或“ ”）；
（2） 的幾何意義是數(shù)軸上表示___的點(diǎn)與表示___的點(diǎn)之間的距
離，若，則 ______；
（3）若整數(shù)滿足，則 _________________
_________.
0
3
4或2
,,,,，
0，1，2
返回
課堂小結(jié)
任何一個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值總是正數(shù)或0（通常也稱非負(fù)數(shù)）．即對(duì)任意有理數(shù)a，總有
我們把在數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值，記作|a|.
一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；
0 的絕對(duì)值是 0.
一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)．
|a|=
a（a>0）,
0（a=0）,
﹣a（a<0）．
記作：
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