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1.7 有理數(shù)的減法
第1章 有理數(shù)
【華東師大版·2024】數(shù)學(xué) 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
幻燈片 1：封面
標(biāo)題：1.7 有理數(shù)的減法
幻燈片 2：學(xué)習(xí)目標(biāo)
理解有理數(shù)減法法則，能準(zhǔn)確表述并運用其進行有理數(shù)的減法運算。
經(jīng)歷有理數(shù)減法法則的探究過程，體會轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。
能夠運用有理數(shù)減法解決實際生活中的問題，增強數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。
幻燈片 3：情境引入
情境：某天，北京的最高氣溫是 5℃，最低氣溫是 - 3℃，你能算出這天北京的溫差是多少嗎？
提問：溫差該如何計算呢？這涉及到正數(shù)與負(fù)數(shù)的減法運算，在有理數(shù)范圍內(nèi)，怎樣進行減法計算呢？這就是我們今天要學(xué)習(xí)的內(nèi)容 —— 有理數(shù)的減法。
幻燈片 4：復(fù)習(xí)回顧
回顧有理數(shù)加法法則：
同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加。例如：(+3)+(+5)=+8，(-3)+(-5)=-8。
異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。例如：(+3)+(-5)=-2，(-3)+(+5)=+2。
互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得 0。例如：(+3)+(-3)=0。
一個數(shù)同 0 相加，仍得這個數(shù)。例如：(+5)+0=+5，(-3)+0=-3。
思考：減法與加法是互逆運算，那么有理數(shù)的減法能否轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的加法來進行呢？
幻燈片 5：有理數(shù)減法法則的探究
問題 1：計算 4 - 3。
因為加法和減法互為逆運算，所以計算 4 - 3 就是求一個數(shù) “x”，使它加上 3 等于 4。
即 x + 3 = 4，而 1 + 3 = 4，所以 4 - 3 = 1。
問題 2：計算 4 - (-3)。
同樣，計算 4 - (-3) 就是求一個數(shù) “y”，使 y 與 - 3 相加等于 4。
即 y + (-3) = 4，因為 7 + (-3) = 4，所以 4 - (-3) = 7。
又因為 4 + (+3) = 7，所以 4 - (-3) = 4 + (+3)。
觀察比較：比較 4 - (-3) = 4 + (+3) 和 4 - 3 = 4 + (-3) 這兩個式子。
發(fā)現(xiàn)：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。
幻燈片 6：有理數(shù)減法法則
內(nèi)容：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。
字母表示：a - b = a + (-b) 。
說明：這里的 a、b 可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或 0。在進行有理數(shù)減法運算時，有 “兩變一不變”。“兩變” 是指：一是運算符號由減號變?yōu)榧犹枺欢菧p數(shù)變?yōu)樗南喾磾?shù)。“一不變” 是指被減數(shù)不變。
幻燈片 7：例題 1—— 簡單有理數(shù)減法運算
題目：計算下列各題：
（1）9 - 5；（2）0 - 7；（3）(-2) - 3；（4）(-5) - (-4)。
解答過程：
（1）9 - 5 = 9 + (-5) = 4 。這里將減法 9 - 5 轉(zhuǎn)化為加法 9 + (-5)，根據(jù)有理數(shù)加法法則，同號兩數(shù)相加，取相同符號，絕對值相加，所以結(jié)果為 4。
（2）0 - 7 = 0 + (-7) = -7 。把減法轉(zhuǎn)化為加法，0 加上 - 7，根據(jù)一個數(shù)同 0 相加仍得這個數(shù)，結(jié)果為 - 7。
（3）(-2) - 3 = (-2) + (-3) = -5 。將減法運算變?yōu)榧臃ǎ?(-2) 加上 3 的相反數(shù) - 3，再依據(jù)同號兩數(shù)相加法則，得到結(jié)果 - 5。
（4）(-5) - (-4) = (-5) + (+4) = -1 。減法變加法，減數(shù) - 4 變?yōu)樗南喾磾?shù) + 4，然后異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的 - 5 的符號，并用較大絕對值減去較小絕對值，得到結(jié)果 - 1。
結(jié)論：（1）4；（2）-7；（3）-5；（4）-1。
幻燈片 8：例題 2—— 有理數(shù)減法在實際中的應(yīng)用
題目：世界上最高的山峰是珠穆朗瑪峰，其海拔高度大約是 8848 米，吐魯番盆地的海拔高度大約是 - 155 米。珠穆朗瑪峰比吐魯番盆地高多少米？
分析：求珠穆朗瑪峰比吐魯番盆地高多少米，就是用珠穆朗瑪峰的海拔高度減去吐魯番盆地的海拔高度，即 8848 - (-155)。
解答過程：
8848 - (-155) = 8848 + 155 （根據(jù)有理數(shù)減法法則，減去 - 155 等于加上 155 的相反數(shù) 155）
= 9003（米）。
結(jié)論：珠穆朗瑪峰比吐魯番盆地高 9003 米。
幻燈片 9：例題 3—— 有理數(shù)減法與加法的混合運算
題目：計算：(-3) - (-5) + (-4) - 6。
解答過程：
先將減法都轉(zhuǎn)化為加法：
(-3) - (-5) + (-4) - 6 = (-3) + 5 + (-4) + (-6) 。
然后運用加法交換律和結(jié)合律進行簡便計算：
= [(-3) + (-4) + (-6)] + 5 （將負(fù)數(shù)結(jié)合在一起先算）
= (-13) + 5
= -8 。
結(jié)論：-8。
幻燈片 10：課堂練習(xí) 1
題目：計算下列各題：
（1）6 - (-9)；（2）(-4) - 7；（3）(-5) - (-8)；（4）0 - (-6)。
答案：（1）6 - (-9) = 6 + 9 = 15；（2）(-4) - 7 = (-4) + (-7) = -11；（3）(-5) - (-8) = (-5) + 8 = 3；（4）0 - (-6) = 0 + 6 = 6。
幻燈片 11：課堂練習(xí) 2
題目：某潛水員先潛入水下 61 米，然后又上升 32 米，此時潛水員處在什么位置？
答案：將水下記為負(fù)，水上記為正。潛水員先在 - 61 米位置，上升 32 米后的位置為 - 61 + 32 = -29（米），即此時潛水員處在水下 29 米處。
幻燈片 12：課堂練習(xí) 3
題目：計算：(-7) - (-8) + (-9) - 10。
答案：(-7) - (-8) + (-9) - 10 = (-7) + 8 + (-9) + (-10) = [(-7) + (-9) + (-10)] + 8 = (-26) + 8 = -18。
幻燈片 13：易錯點分析
常見錯誤：
只改變運算符號，忘記把減數(shù)變?yōu)樗南喾磾?shù)。例如計算 5 - (-3)，錯誤地寫成 5 + (-3)，導(dǎo)致結(jié)果錯誤。
在減法轉(zhuǎn)化為加法后，加法運算出錯。比如 (-4) - 2 轉(zhuǎn)化為 (-4) + (-2) 后，加法計算時符號或絕對值計算錯誤。
在有多個有理數(shù)加減混合運算時，運算順序混亂。例如 3 - 5 + 2，錯誤地先算 3 + 2，再減 5。
規(guī)避方法：
牢記有理數(shù)減法法則中的 “兩變一不變”，在進行減法到加法的轉(zhuǎn)化時，仔細(xì)檢查運算符號和減數(shù)的變化。
強化有理數(shù)加法運算的練習(xí)，提高加法運算的準(zhǔn)確性。在轉(zhuǎn)化為加法后，嚴(yán)格按照加法法則進行計算。
在進行有理數(shù)加減混合運算時，先統(tǒng)一為加法運算，再根據(jù)加法交換律和結(jié)合律合理調(diào)整運算順序，通常將同號的數(shù)結(jié)合在一起先算。
幻燈片 14：課堂小結(jié)
有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)，用字母表示為 a - b = a + (-b) 。
運算步驟：先將減法運算根據(jù)法則轉(zhuǎn)化為加法運算，再按照有理數(shù)加法法則進行計算。
數(shù)學(xué)思想：通過將有理數(shù)減法轉(zhuǎn)化為加法，體會轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要作用，它可以將未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題來解決。
幻燈片 15：布置作業(yè)
基礎(chǔ)作業(yè)：教材課后練習(xí)題第 1、2、3 題（有理數(shù)減法運算及簡單應(yīng)用）。
提升作業(yè)：已知 | a| = 5，|b| = 3，且 a > b，求 a - b 的值。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓(xùn)練
7
中考考法
8
小結(jié)梳理
學(xué)習(xí)目錄
1
復(fù)習(xí)引入
2
新知講解
3
典例講解
情境導(dǎo)入
列式：
8848.86﹣(﹣154.31 )
珠穆朗瑪峰和吐魯番盆地的海拔高度分別是 8848.86m 和﹣154.31m，你知道珠穆朗瑪峰比吐魯番盆地高多少嗎？
怎樣進行有理數(shù)的減法呢？
探究新知
計算：(﹣8 )﹣(﹣3 )
根據(jù)減法的意義
( ？)﹢(﹣3 ) =﹣8
根據(jù)有理數(shù)的加法運算
(﹣5 )﹢(﹣3 ) =﹣8
(﹣8 )﹣(﹣3 ) =﹣5
能不能總結(jié)出一個法則直接進行計算？
(﹣8 )﹢( ) =﹣5
②
﹢3
比較①②兩式，我們發(fā)現(xiàn)：
(﹣8 )﹣(﹣3 )
(﹣8 )﹢(﹢3)
＝
①
(﹣8 )﹣(﹣3 ) =﹣5
試試將有理數(shù)的減法轉(zhuǎn)化為我們學(xué)過的有理數(shù)的加法？
根據(jù)減法的意義
a﹣b =
﹢b = a
先得把 b 消掉
中含﹣b
中需要加上 a
左邊有b，
右邊沒有b
根據(jù)加法法則3，
(﹣b )﹢b = 0
消掉b后，
要得到a
=﹣b﹢a = a﹢(﹣b )
推理過程
a﹣b = a﹢(﹣b )
將 = a﹢(﹣b ) 代入，驗證 ﹢b = a 是否成立
= [ a﹢(﹣b ) ]﹢b
= a﹢[ (﹣b )﹢b ]
= a﹢0
= a
﹢b
成立
（加法結(jié)合律）
（加法法則 3）
（加法法則 4）
減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)．
有理數(shù)的減法法則：
a﹣b = a﹢(﹣b )
你能利用本節(jié)開頭的問題，來解釋這個法則嗎？
﹣154.31
0
列式：
＝9003.17 (m)
＝8848.86﹢154.31
珠穆朗瑪峰和吐魯番盆地的海拔高度分別是 8848.86m 和﹣154.31m，你知道珠穆朗瑪峰比吐魯番盆地高多少嗎？
8848.86
8848.86﹣(﹣154.31)
|8848.86|
|-154.31|
＝|8848.86|﹢|-154.31|
計算：
（1）(﹣32 )﹣(﹢5 )；
（2）7.3﹣(﹣6.8 )；
（3）(﹣2 )﹣(﹣25 )；
（4）12﹣21.
例
（1）（﹣32）－（﹢5）
＝（﹣32）＋（﹣5）
減號變加號
減數(shù)變相反數(shù)
＝﹣37
（2）7.3 －（﹣6.8）
＝ 7.3 ＋ 6.8
減號變加號
減數(shù)變相反數(shù)
＝ 14.1
解
（3）（﹣2）－（﹣25）＝（﹣2）＋ 25 ＝ 23
（4） 12 － 21 ＝ 12 ＋（﹣21）＝﹣9
（1）(﹣2 )﹣(﹣3 ) = (﹣2 )﹢( ) ;
（2）0﹣(﹣4 ) = 0﹢( ) ;
（3）(﹣6 )﹣3 = (﹣6 )﹢( ) ;
（4）1﹣(﹢39 ) = 1﹢( ).
鞏固練習(xí)
3
4
﹣3
﹣39
1．在下列括號內(nèi)填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：
【教材P32 練習(xí) 第1題】
（1）(﹢3 )﹣(﹣2 ) （2）(﹣1 )﹣(﹢2 )
（3）0﹣(﹣3 ) （4）1﹣5
（5）(﹣23.6 )﹣(﹣12.4 ) （6）
＝5
＝﹣3
＝3
＝﹣4
＝﹣11.2
【教材P32 練習(xí) 第2題】
2．計算：
3．填空：
（1）溫度 3℃ 比﹣8℃ 高 ℃；
（2）溫度﹣9℃ 比﹣1℃ 低 ℃；
（3）海拔﹣20 m 比﹣30 m 高 m；
（4）從海拔 22 m 到﹣10 m，下降了 m.
11
8
10
32
【教材P33 練習(xí) 第3題】
知識點1 有理數(shù)的減法法則
1. 填空：
0
12
12
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2.［2024天津中考］計算 的結(jié)果為( )
D
A. B.0 C.3 D.6
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3.［2025福州月考］與 相等的是( )
B
A. B. C. D.
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4.若，則 處的數(shù)是____.
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5.比小的數(shù)是____， 比3小___.
6
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6.（24分）［教材P練習(xí)T 變式］計算：
（1） ；
解： .
（2） ；
解： .
（3） ；
解： .
（4） ;
解： .
（5） ；
解： .
（6） .
解： .
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知識點2 有理數(shù)減法法則的應(yīng)用
7.［2024長沙中考改編］“玉兔號”是我國首輛月球車，它和著陸器共同
組成“嫦娥三號”探測器.“玉兔號”月球車能夠耐受月球表面的最低溫度
是、最高溫度是，則它能夠耐受的溫差是_____ .
330
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8.［2025成都期末］吐魯番盆地海拔為 ，亞洲西部的死海海拔
為，則吐魯番盆地比死海海拔高_(dá)____ .
260
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9.［教材習(xí)題變式］數(shù)軸上從 開始數(shù)到95停止，共有_____個
整數(shù)點.
124
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10.（8分）某廠從生產(chǎn)的小龍蝦中隨機抽取4盒不同口味的進行檢測，
超過或不足標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的部分分別記作正數(shù)和負(fù)數(shù)，檢測結(jié)果記錄如表：
口味 麻辣 香辣 蒜蓉 十三香
（1）最重的一盒比最輕的一盒重多少克？
解： .
答：最重的一盒比最輕的一盒重 .
（2）最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的一盒比蒜蓉味的一盒重多少克？
解：易知最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的一盒是香辣味的，則
.
答：最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的一盒比蒜蓉味的一盒重 .
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11.下列說法正確的是( )
B
A.兩個數(shù)之差一定小于被減數(shù)
B.減去一個負(fù)數(shù)，差一定大于被減數(shù)
C.0減去任何數(shù)，差都是負(fù)數(shù)
D.減去一個正數(shù)，差一定大于被減數(shù)
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12.數(shù)軸上表示，， 的點如圖所示，下列式子中錯誤的是( )
D
A. B. C. D.
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13. 規(guī)定一種運算“”： ，則
_____.
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14.小亮計算時，誤將“”看成“-”，結(jié)果是，則 的
正確結(jié)果是_____.
返回
15. 若數(shù)，滿足，，則 _______.
或4
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16.若，，且，則 _________.
或
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17.（8分）
（1）求與 的差的相反數(shù)；
解：根據(jù)題意，
得 .
（2）三個加數(shù)中，其中兩個加數(shù)分別是和12，和是 ，則另一個
加數(shù)是多少？
解：根據(jù)題意,得 .
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18.（8分） 如圖， 為泳池的水面，跳臺起
跳點距離水面10米.一名運動員（看作一個點）從 處起跳，
以水面為基準(zhǔn)，在水面上方記為正，在水面下方記為負(fù).
（1）第1次跳水落入水下2.3米處的 點，第2次跳水落入水
中的位置點在點下方1.2米處，則點 可表示為多少米？
解：根據(jù)題意，點可表示為 米，
則點可表示為 （米）.
（2）第3次跳水落入水中的位置點與點的高度差是11.3米，求點 比
點 高多少米？
解：根據(jù)題意，點可表示為米，因為點與點 的高度差是11.3米，
所以點可表示為 （米），因為
（米），所以點比點 高1米.
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19.（16分）點，在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為， .
（1）對照數(shù)軸完成下表：
5
2 0 3
___ 3 ___ ___
3
7
2
（2）若，兩點間的距離記為，試問與， 有何等量關(guān)系？并用
文字描述出來.
解： .
數(shù)軸上兩點間的距離，等于這兩點表示的數(shù)之差的絕對值.
（3）若，兩點在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為和，則， 兩點間的距
離可表示為________；如果，求 的值.
[解析] 當(dāng)時， ，
所以有或 ，
所以或 .
（4）若數(shù)軸上表示數(shù)的點位于表示數(shù) 和3的點之間，求
的值.
解：可以理解為數(shù)軸上表示數(shù)的點到表示數(shù) 和3的
兩個點的距離之和，因為表示的點位于表示 和3的點之間，所以
為數(shù)軸上表示數(shù) 和3的兩點之間的距離，
，所以 .
返回
a﹣b = a﹢(﹣b )
課堂小結(jié)
用字母表示為：
減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)．
有理數(shù)的減法法則：
減號變加號
減數(shù)變相反數(shù)
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