資源簡介

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1.9.2 有理數乘法的運算律
第1章 有理數
【華東師大版·2024】數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
幻燈片 1：封面
標題：1.9.2 有理數乘法的運算律
幻燈片 2：學習目標
掌握有理數乘法的交換律、結合律和分配律，能用字母表示這些運算律。
能運用乘法運算律簡化有理數的乘法運算，提高計算效率。
體會運算律在數學運算中的作用，培養簡便運算的意識。
幻燈片 3：復習引入
回顧有理數乘法法則：
兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。
任何數與 0 相乘，都得 0。
多個有理數相乘，負因數的個數為奇數時積為負，偶數時積為正；有一個因數為 0 則積為 0。
計算下列各題：
（1）5×(-6) 與 (-6)×5
（2）[3×(-4)]×(-5) 與 3×[(-4)×(-5)]
（3）5×[3 + (-7)] 與 5×3 + 5×(-7)
觀察：每組題的結果有什么關系？這說明有理數乘法是否也存在與小學乘法類似的運算律？
引入：本節課我們就來學習有理數乘法的運算律。
幻燈片 4：乘法交換律
內容：兩個數相乘，交換因數的位置，積相等。
字母表示：a×b = b×a（可簡寫為 ab = ba）。
示例：
(-3)×5 = -15，5×(-3) = -15，所以 (-3)×5 = 5×(-3)。
\(\frac{1}{2}\)×(-4) = -2，(-4)×\(\frac{1}{2}\) = -2，所以\(\frac{1}{2}\)×(-4) = (-4)×\(\frac{1}{2}\)。
說明：交換因數位置時，要連同因數的符號一起交換，積的大小不變。
幻燈片 5：乘法結合律
內容：三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把后兩個數相乘，積相等。
字母表示：(a×b)×c = a×(b×c)（可簡寫為 (ab) c = a (bc)）。
示例：
[(-2)×(-3)]×4 = 6×4 = 24，(-2)×[(-3)×4] = (-2)×(-12) = 24，所以 [(-2)×(-3)]×4 = (-2)×[(-3)×4]。
(0.5×(-4))×(-3) = (-2)×(-3) = 6，0.5×[(-4)×(-3)] = 0.5×12 = 6，所以 (0.5×(-4))×(-3) = 0.5×[(-4)×(-3)]。
說明：運用結合律時，改變相乘的順序，積的大小不變，可根據數字特點調整順序簡化計算。
幻燈片 6：乘法分配律
內容：一個數同兩個數的和相乘，等于把這個數分別同這兩個數相乘，再把積相加。
字母表示：a×(b + c) = a×b + a×c（可簡寫為 a (b + c) = ab + ac）。
示例：
(-5)×[2 + (-3)] = (-5)×(-1) = 5，(-5)×2 + (-5)×(-3) = -10 + 15 = 5，所以 (-5)×[2 + (-3)] = (-5)×2 + (-5)×(-3)。
4×(\(\frac{1}{2}\) - \(\frac{1}{4}\)) = 4×\(\frac{1}{4}\) = 1，4×\(\frac{1}{2}\) - 4×\(\frac{1}{4}\) = 2 - 1 = 1，所以 4×(\(\frac{1}{2}\) - \(\frac{1}{4}\)) = 4×\(\frac{1}{2}\) - 4×\(\frac{1}{4}\)。
說明：分配律可以正向使用，也可以逆向使用（即提取公因式），是簡化計算的重要工具。
幻燈片 7：例題 1—— 運用交換律和結合律簡化計算
題目：計算下列各題：
（1）(-8)×(-5)×(-0.125)
（2）(\(\frac{1}{4}\) - \(\frac{1}{6}\))×(-12)
解答過程：
（1）觀察到 - 8 與 - 0.125 相乘可湊整，運用交換律：
(-8)×(-5)×(-0.125) = (-8)×(-0.125)×(-5)
= 1×(-5) = -5
（2）運用結合律先計算前兩個數或后兩個數，這里直接計算更簡便，也可看作分配律的應用：
(\(\frac{1}{4}\) - \(\frac{1}{6}\))×(-12) = \(\frac{1}{4}\)×(-12) - \(\frac{1}{6}\)×(-12)
= -3 + 2 = -1
結論：（1）-5；（2）-1。
幻燈片 8：例題 2—— 運用分配律簡化計算
題目：計算：(-24)×(\(\frac{3}{8}\) - \(\frac{5}{12}\) + \(\frac{1}{4}\))
解答過程：
運用分配律，將 - 24 分別與括號內的每一項相乘：
(-24)×\(\frac{3}{8}\) - (-24)×\(\frac{5}{12}\) + (-24)×\(\frac{1}{4}\)
= -9 + 10 - 6
= (-9 - 6) + 10 = -15 + 10 = -5
結論：-5。
幻燈片 9：例題 3—— 多個有理數相乘的簡便運算
題目：計算：(-10)×\(\frac{1}{3}\)×(-0.1)×6
解答過程：
運用交換律和結合律，將能湊整的數結合：
[(-10)×(-0.1)]×(\(\frac{1}{3}\)×6)
= 1×2 = 2
結論：2。
幻燈片 10：課堂練習 1
題目：用簡便方法計算下列各題：
（1）(-5)×8×(-7)×(-0.25)
（2）\(\frac{4}{5}\)×(-\(\frac{5}{13}\)) - (-\(\frac{3}{5}\))×(-\(\frac{5}{13}\)) - \(\frac{5}{13}\)×(-1\(\frac{3}{5}\))
答案：
（1）[(-5)×(-7)]×[8×(-0.25)] = 35×(-2) = -70
（2）\(\frac{4}{5}\)×(-\(\frac{5}{13}\)) - \(\frac{3}{5}\)×\(\frac{5}{13}\) + \(\frac{5}{13}\)×\(\frac{8}{5}\) = (-\(\frac{5}{13}\))×(\(\frac{4}{5}\) + \(\frac{3}{5}\) - \(\frac{8}{5}\)) = (-\(\frac{5}{13}\))×(-\(\frac{1}{5}\)) = \(\frac{1}{13}\)
幻燈片 11：課堂練習 2
題目：計算：(-36)×(\(\frac{1}{2}\) - \(\frac{1}{3}\) + \(\frac{5}{6}\))
答案：(-36)×\(\frac{1}{2}\) + (-36)×(-\(\frac{1}{3}\)) + (-36)×\(\frac{5}{6}\) = -18 + 12 - 30 = -36
幻燈片 12：課堂練習 3
題目：某車間有 20 名工人，每人每天可加工甲種零件 5 個或乙種零件 4 個。在這 20 名工人中，派 x 人加工甲種零件，其余的加工乙種零件。已知每加工一個甲種零件可獲利 16 元，每加工一個乙種零件可獲利 24 元。
（1）用含 x 的式子表示該車間每天所獲利潤。
（2）若 x = 8，求該車間每天所獲利潤。
答案：
（1）16×5x + 24×4×(20 - x) = 80x + 96×(20 - x) = 80x + 1920 - 96x = -16x + 1920
（2）當 x = 8 時，-16×8 + 1920 = -128 + 1920 = 1792（元）
幻燈片 13：易錯點分析
常見錯誤：
運用分配律時，漏乘括號內的某一項或符號錯誤。例如計算 - 2×(3 - 5) 時，錯誤地算成 - 2×3 - 5 = -6 - 5 = -11，忽略了 - 2 與 - 5 相乘。
交換因數位置時，忘記連同符號一起交換。如計算 (-3)×4×(-2) 時，錯誤地交換為 3×4×(-2)，改變了因數的符號。
多個數相乘運用結合律時，分組不當導致計算復雜。比如計算 12×(-\(\frac{1}{3}\))×(-\(\frac{1}{4}\)) 時，沒有將 12 與 -\(\frac{1}{3}\)、-\(\frac{1}{4}\)結合，而是按順序計算。
規避方法：
運用分配律時，確保括號內的每一項都與括號外的數相乘，注意符號變化，正數乘負數得負，負數乘負數得正。
交換因數位置時，務必帶著符號移動，保證每個因數的符號與原數一致。
結合多個數相乘時，觀察數的特點，優先將乘積為整數或便于計算的數結合，減少運算步驟。
幻燈片 14：課堂小結
乘法交換律：ab = ba，交換因數位置，積不變。
乘法結合律：(ab) c = a (bc)，改變相乘順序，積不變。
乘法分配律：a (b + c) = ab + ac，可正向或逆向使用，簡化計算。
運用技巧：根據數字特點，靈活選擇運算律，優先湊整、提取公因式，注意符號變化。
幻燈片 15：布置作業
基礎作業：教材課后練習題第 4、5、6 題（運用乘法運算律簡化計算）。
提升作業：計算：49\(\frac{12}{13}\)×(-13)。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
復習導入
有理數的乘法法則：
兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；
任何數與 0 相乘，都得 0 .
先確定積的正負號，
然后把絕對值相乘．
進行有理數的乘法運算的步驟：
復習導入
小學里我們學習了哪些乘法的運算律？
乘法的交換律：
乘法的結合律：
乘法的分配律：
a×b＝b×a
（a×b）×c＝a×（b×c）
（a＋b）×c＝ac＋bc
在小學里我們知道，數的乘法滿足交換律和結合律，例如：
3×5 = 5×3
（3 ×5） × 2 = 3 × （5×2）
引進了負數以后，這些運算律是否還成立呢？也就是說，上面兩個等式中，將 3、5、2 換成任意的有理數，是否仍然成立？
探究新知
知識點 1
乘法交換律和乘法結合律
（1）任意選擇兩個有理數（至少有一個是負數），分別填入下列□和○內，并比較兩個運算結果：
×
×
和
7 ×(﹣5 ) = (﹣5 )× 7 =
(﹣8 )× (﹣4 ) = (﹣4 )×(﹣8 ) =
﹣35
32
32
﹣35
乘法交換律：兩個數相乘，交換乘數的位置，積不變．
ab = ba
有理數的乘法仍滿足交換律．
你發現了什么？
（2）任意選擇三個有理數（至少有一個是負數），分別填入下列□ 、○和◇內，并比較兩個運算結果：
（ ）
（ ）
×
×
和
×
×
乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把后兩個數相乘，積不變．
[(﹣2)× 4 ]× (﹣3) = (﹣2)×[ 4 × (﹣3) ] =
[(﹣4)× (﹣6)] × (﹣2) = (﹣4)×[ (﹣6) × (﹣2)] =
﹣48
﹣48
24
24
( ab ) c = a ( bc )
有理數的乘法仍滿足結合律．
你發現了什么？
根據乘法交換律和乘法結合律，三個或三個以上的有理數相乘，可以任意交換乘數的位置，也可以先把其中的幾個數相乘．
思考：計算 (﹣2 )×5×(﹣3 ) 有哪些不同的算法？哪種算法比較簡便？
(﹣2 )×5×(﹣3 )
= (﹣10 )×(﹣3 )
= 30
(﹣2 )×5×(﹣3 )
= (﹣2 )×(﹣3 )×5
= 6×5
= 30
(﹣2 )×5×(﹣3 )
= (﹣2 )×[5×(﹣3 )]
= (﹣2 )×(﹣15 )
= 30
計算：
例2
解
湊整
2
﹣2
2
積的正負號與乘數的正負號有什么關系？
積的絕對值與乘數的絕對值有什么關系？
你能根據 直接寫出下列各式的結果嗎？
知識點 2
積的正負號與乘數的關系
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
﹢
﹢
一般地，我們有：
幾個不等于 0 的數相乘，積的正負號由負乘數的個數決定，
當負乘數的個數為奇數時，積為負；
當負乘數的個數為偶數時，積為正．
1．先確定積的正負號；
2．然后把絕對值相乘．
計算幾個不等于 0 的數相乘的步驟：
0
幾個數相乘，有一個乘數為 0，積就為 0．
試一試
直接寫出下列各式的結果：
﹣
30
計算：
例3
解
想一想：三個數相乘，如果積為負，其中可能有幾個乘數為負數？四個數相乘，如果積為正，其中可能有幾個乘數為負數？
1, 3
0, 2, 4
奇
偶
引進了負數以后，分配律是否還成立呢？
知識點 3
分配律
小學里我們還學過乘法對加法的分配律，例如
任意選擇三個有理數（至少有一個是負數），分別填入下列□ 、○和◇內，并比較兩個運算結果：
5×[(-3)+(-2)]=
5×(-3)+5×(-2)=
(-7)×(10+3)=
(-7)×10+(-7)×3=
4×[25+(-2)]=
4×25+4×(-2)=
1.
2.
3.
-25
-25
-91
-91
92
92
你能發現什么？
×（
＋
）和
×
＋
×
分配律：一個數與兩個數的和相乘，等于把這個數分別與這兩個數相乘，再把積相加．
a（b+c）＝ab+ac
有理數的運算仍滿足分配律．
計算：
例4
解
變形以運用分配律簡化計算
計算：
例5
解
（1）
你還有其他的解法嗎？
（2）
反向運用分配律
變形
（2）
變形
反向運用分配律
（1）(﹣4 )×(﹣7 )×(﹣25 )
（2）
（3）
鞏固練習
【教材P45 練習 第1題】
1．計算：
＝﹣( 4×25 )×7
＝﹣700
（1）
（2）
（3）(﹣3 )×(﹣7 )﹣3×(﹣6 )
（4）1﹣(﹣1 )×(﹣1 )﹣(﹣1 )×0×(﹣1 )
【教材P45 練習 第2題】
2．計算：
【教材P47 練習 第1題】
3．計算：
（1）
（2）
（3）(﹣1002 )×17
【教材P48 練習 第2題】
4．計算：
知識點1 乘法交換律與乘法結合律
1.把下列等式所用的運算律填在題后的括號內：
（1） ;（____________）
（2） ;（____________）
（3） .（____________）
乘法交換律
乘法交換律
乘法結合律
返回
2.計算： ________.
[解析] 點撥： .
返回
3.（8分）［教材P45練習T1變式］計算：
（1） ；
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
返回
知識點2 多個有理數相乘
4.計算下列式子，結果為正數的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
5.已知三個有理數的積為負數，和為正數，則這三個數( )
D
A.都是正數 B.都是負數 C.一正兩負 D.一負兩正
返回
6.［2025開封月考］已知，，，， ，
則 ___.
0
返回
7.（4分）計算： .
解： .
返回
知識點3 分配律
8.下面利用分配律計算 正確的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
9.在算式每一步的后面填上該步運用的運算律：
____________
____________
.________
乘法交換律
乘法結合律
分配律
返回
10.（8分）［教材P48練習T2變式］用簡便方法計算：
（1） ；
解：原式
.
（2） .
解：原式
返回
11.下列各式中，運用運算律不正確的是( )
D
A.
B.
C.
D.
返回
12.已知， .若
為負數，則 的值( )
A
A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.無法確定
返回
13.若的值記為，則 的值可表示為
( )
C
A. B. C. D.
返回
14.已知，那么 的得數比395.28多
_______.
164.7
返回
15.如圖所示，小明有5張寫著數字的卡片，從中取出3張卡片，把這3張
卡片上的數字相乘，最大的積是_____.
125
返回
16.［2025周口期中］四個互不相等的整數的積為4，則這四個數的和是
___.
0
返回
17.（12分）簡便計算：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） .
解：原式
.
返回
18.（5分） 閱讀理解：
計算
時，若把與 分別看成一個整體，再利用分配律進行
運算，可以大大降低難度.過程如下：
解：設， ，則原式
.
請仿照上述方法計算：
.
解：設 ，
，則原式
.
返回
課堂小結
運算律
有理數乘法的運算律
交換律：
結合律：
分配律：
利用有理數乘法的運算律簡便計算
幾個有理數相乘，有一個乘數為0，積就為0
幾個不等于 0 的數相乘
負乘數的個數為奇數時，積為負
負乘數的個數為偶數時，積為正
ab＝ba
a（b+c）＝ab+ac
（ab）c＝a（bc）
積的正負號與乘數的關系
謝謝觀看！

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