資源簡介

(共34張PPT)
1.11.1有理數(shù)的乘方
第1章 有理數(shù)
【華東師大版·2024】數(shù)學(xué) 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
幻燈片 1：封面
標(biāo)題：1.11.1 有理數(shù)的乘方
幻燈片 2：學(xué)習(xí)目標(biāo)
理解有理數(shù)乘方的意義，掌握乘方的表示方法及各部分名稱。
能正確進行有理數(shù)的乘方運算，明確乘方與乘法的關(guān)系。
體會乘方運算的簡潔性，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象思維和運算能力。
幻燈片 3：情境引入
問題 1：邊長為 5 的正方形的面積是多少？
解答：正方形面積 = 邊長 × 邊長，即 5×5=25。
問題 2：棱長為 5 的正方體的體積是多少？
解答：正方體體積 = 棱長 × 棱長 × 棱長，即 5×5×5=125。
提問：如果有 n 個相同的因數(shù) a 相乘，即 a×a×a×…×a（n 個 a），這樣的式子書寫起來很繁瑣，有沒有更簡潔的表示方法呢？
引入：這種求 n 個相同因數(shù)的積的運算，在數(shù)學(xué)中可以用乘方來表示，本節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)有理數(shù)的乘方。
幻燈片 4：乘方的定義及相關(guān)概念
定義：求 n 個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪。
表示方法：n 個相同的因數(shù) a 相乘，記作\(a^n\)，即\(a\times a\times a\times\cdots\times a\)（n 個 a）=\(a^n\)。
各部分名稱：
在\(a^n\)中，a 叫做底數(shù)，n 叫做指數(shù)，\(a^n\)讀作 “a 的 n 次方” 或 “a 的 n 次冪”。
例如，在\(5^2\)中，底數(shù)是 5，指數(shù)是 2，\(5^2\)讀作 “5 的 2 次方” 或 “5 的平方”；在\(5^3\)中，底數(shù)是 5，指數(shù)是 3，\(5^3\)讀作 “5 的 3 次方” 或 “5 的立方”。
幻燈片 5：乘方與乘法的關(guān)系
乘方是特殊的乘法運算，即多個相同因數(shù)的乘法運算的簡寫形式。
例如：
\((-3)^2=(-3)\times(-3)\)（2 個 - 3 相乘）
\((-2)^3=(-2)\times(-2)\times(-2)\)（3 個 - 2 相乘）
\(0^4=0\times0\times0\times0\)（4 個 0 相乘）
幻燈片 6：有理數(shù)乘方的運算規(guī)則
正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)。
例如：\(2^3=8\)，\((\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}\)。
負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)。
例如：\((-2)^3=-8\)（指數(shù) 3 是奇數(shù)），\((-3)^2=9\)（指數(shù) 2 是偶數(shù)）。
0 的任何正整數(shù)次冪都是 0。
例如：\(0^5=0\)，\(0^{100}=0\)。
幻燈片 7：例題 1—— 計算有理數(shù)的乘方
題目：計算下列各題：
（1）\((-4)^2\)
（2）\(-4^2\)
（3）\((-2)^3\)
（4）\(0^7\)
解答過程：
（1）\((-4)^2\)表示 2 個 - 4 相乘，即\((-4)\times(-4)=16\)。
（2）\(-4^2\)表示 4 的 2 次方的相反數(shù)，即\(-(4\times4)=-16\)。（注意與\((-4)^2\)的區(qū)別）
（3）\((-2)^3\)表示 3 個 - 2 相乘，即\((-2)\times(-2)\times(-2)=-8\)。
（4）\(0^7\)表示 7 個 0 相乘，結(jié)果為 0。
結(jié)論：（1）16；（2）-16；（3）-8；（4）0。
幻燈片 8：例題 2—— 區(qū)分易混淆的乘方形式
題目：比較\((-3)^4\)與\(-3^4\)的異同。
解答過程：
相同點：都涉及 3 的 4 次方運算。
不同點：
\((-3)^4\)的底數(shù)是 - 3，指數(shù)是 4，表示 4 個 - 3 相乘，即\((-3)\times(-3)\times(-3)\times(-3)=81\)。
\(-3^4\)的底數(shù)是 3，指數(shù)是 4，表示 3 的 4 次方的相反數(shù)，即\(-(3\times3\times3\times3)=-81\)。
結(jié)論：兩者結(jié)果互為相反數(shù)。
幻燈片 9：例題 3—— 乘方在實際問題中的應(yīng)用
題目：某種細胞每過 30 分鐘便由 1 個分裂成 2 個。經(jīng)過 5 小時，這種細胞由 1 個能分裂成多少個？
解答過程：
5 小時包含的 30 分鐘的個數(shù)：5×2=10（個）。
1 個細胞 30 分鐘后分裂成 2 個，1 小時后分裂成\(2^2\)個，1.5 小時后分裂成\(2^3\)個…… 經(jīng)過 10 個 30 分鐘后，分裂成\(2^{10}\)個。
\(2^{10}=1024\)（個）。
結(jié)論：經(jīng)過 5 小時，這種細胞由 1 個能分裂成 1024 個。
幻燈片 10：課堂練習(xí) 1
題目：計算下列各題：
（1）\(3^3\)
（2）\((-1)^5\)
（3）\((-\frac{1}{2})^4\)
（4）\(-(-2)^3\)
答案：
（1）\(3^3=3\times3\times3=27\)。
（2）\((-1)^5=(-1)\times(-1)\times(-1)\times(-1)\times(-1)=-1\)。
（3）\((-\frac{1}{2})^4=(-\frac{1}{2})\times(-\frac{1}{2})\times(-\frac{1}{2})\times(-\frac{1}{2})=\frac{1}{16}\)。
（4）\(-(-2)^3=-[(-2)\times(-2)\times(-2)]=-(-8)=8\)。
幻燈片 11：課堂練習(xí) 2
題目：下列各組數(shù)中，不相等的一組是（ ）
A. \((-2)^3\)和\(-2^3\) B. \((-2)^2\)和\(2^2\) C. \((-2)^4\)和\(-2^4\) D. \(|-2|^3\)和\(|2|^3\)
答案：C（解析：\((-2)^4=16\)，\(-2^4=-16\)，兩者不相等）
幻燈片 12：課堂練習(xí) 3
題目：一個數(shù)的平方等于它本身，這個數(shù)是______；一個數(shù)的立方等于它本身，這個數(shù)是______。
答案：0 或 1；0，1 或 - 1（解析：\(0^2=0\)，\(1^2=1\)；\(0^3=0\)，\(1^3=1\)，\((-1)^3=-1\)）
幻燈片 13：易錯點分析
常見錯誤：
混淆\((-a)^n\)與\(-a^n\)的意義和計算結(jié)果。例如，誤將\((-3)^2\)計算為\(-9\)，或?qū)(-3^2\)計算為 9。
對指數(shù)的理解錯誤，認為指數(shù)是底數(shù)相乘的次數(shù)，而忽略指數(shù)表示的是相同因數(shù)的個數(shù)。
計算負數(shù)的乘方時，忘記根據(jù)指數(shù)的奇偶性確定結(jié)果的符號。比如，計算\((-2)^4\)時，錯誤地得出結(jié)果為 - 16。
規(guī)避方法：
明確\((-a)^n\)表示 n 個 - a 相乘，\(-a^n\)表示 n 個 a 相乘的相反數(shù)，注意兩者的區(qū)別。
牢記指數(shù)的意義，指數(shù) n 表示的是相同因數(shù)的個數(shù)，計算時要按照定義展開成乘法運算再計算。
計算負數(shù)的乘方時，先根據(jù)指數(shù)的奇偶性判斷結(jié)果的符號（奇負偶正），再計算絕對值的乘方。
幻燈片 14：課堂小結(jié)
乘方的定義：求 n 個相同因數(shù)的積的運算，結(jié)果叫做冪，記作\(a^n\)，其中 a 是底數(shù)，n 是指數(shù)。
運算規(guī)則：正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，偶次冪是正數(shù)；0 的任何正整數(shù)次冪都是 0。
注意事項：區(qū)分\((-a)^n\)與\(-a^n\)的不同，準(zhǔn)確理解指數(shù)的意義，計算時注意符號的確定。
幻燈片 15：布置作業(yè)
基礎(chǔ)作業(yè)：教材課后練習(xí)題第 1、2、3 題（計算有理數(shù)的乘方）。
提升作業(yè)：計算：\((-1)^{2023}+(-1)^{2024}+0^{2025}\)。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓(xùn)練
7
中考考法
8
小結(jié)梳理
學(xué)習(xí)目錄
1
復(fù)習(xí)引入
2
新知講解
3
典例講解
情境導(dǎo)入
請同學(xué)們拿出一張紙進行對折，再對折……兩人合作，一人對折，一人記錄下表：
對折 次數(shù) 1 次 2 次 3 次 4 次 5 次
紙的 層數(shù)
層數(shù)可 表示為 　
2
4
8
16
32
2×2
2×2×2
2×2×2×2
2×2×2×2×2
2
…
紙的層數(shù)與對折次數(shù)有什么關(guān)系呢？
對折 n 次就有 n 個 2 相乘，即：
像這樣的式子表示起來很復(fù)雜，那么有沒有一種簡單的記法呢？
探究新知
邊長為 a cm 的正方形的面積為______cm2．
棱長為 a cm 的正方體的體積為______cm3．
a
a
a×a
a×a×a
讀作： a 的平方（或 a 的 2 次方）
讀作： a 的立方（或 a 的 3 次方）
a·a 記作 ，讀作 a 的平方（或 a 的 2 次方）；
a·a·a 記作 ，讀作 a 的立方（或 a 的 3 次方）．
記作
一般地，n 個相同的乘數(shù) a 相乘：
記作 ，
讀作 a 的 n 次方
n個
a·a·…·a

a·a·…·a
n個
這種求幾個相同乘數(shù)的積的運算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪．
當(dāng)把 看作是 a 的 n 次方的結(jié)果時， 也可讀作 a 的 n 次冪．
（相同的因數(shù)）
（相同因數(shù)的個數(shù)）
（運算結(jié)果）
底數(shù)
指數(shù)
冪
1．在 中，底數(shù)是_____，指數(shù)是_____，表示的意義是___________.
2．在 中，底數(shù)是_____，指數(shù)是_____，表示的意義是___________.
3．在 中，底數(shù)是_____，指數(shù)是_____，表示的意義是___________.
3個 相乘
4個﹣3相乘
5
2
2個5相乘
﹣3
4
3
在 8 中，底數(shù)是_____，指數(shù)是_____．
8
1
一個數(shù)可以看作這個數(shù)本身的 1 次方， 就是 a，指數(shù) 1 通常省略不寫．
計算：
(1) ;
(2) ;
(3) .
（1）(-2)3=(-2)(-2)(-2)
（2）(-2)4=(-2)(-2)(-2)(-2)
（3）(-2)5=(-2)(-2)(-2)(-2)(-2)
例1
解
=-8.
=16.
=-32.
(-2)3
(-2)4
(-2)5
乘方運算的步驟：
轉(zhuǎn)化
乘方運算
乘法運算
① 確定冪的符號
② 計算冪的絕對值
不相同，括號不能省！
=-8.
=16.
=-32.
(-2)3
(-2)4
(-2)5
觀察上述結(jié)果的正負號，你發(fā)現(xiàn)了什么？
8
16
32
根據(jù)有理數(shù)的乘法法則，我們有：
正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；
負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)．
0 的任何正整數(shù)次冪都是 0 .
根據(jù)任何數(shù)與 0 相乘，都得 0 ，可以得出：
1 的任何次冪都是 .
﹣1 的偶次冪是 ，奇次冪是 .
1
﹣1
1
任何數(shù)的
偶次冪都
是非負數(shù)
你能迅速判斷下列各冪的正負嗎？
＋
＋
－
＋
－
＋
＋
＋
0
＋
＋
兩個重要的非負數(shù)：
鞏固練習(xí)
1． 讀作什么？其中底數(shù)是什么？指數(shù)
是什么？ 是正數(shù)還是負數(shù)？
讀作負 4 的 5 次方，底數(shù)是﹣4，指數(shù)是 5，它是負數(shù)．
【教材P55 練習(xí) 第1題】
=1000
=100000
=﹣1
=1
=﹣0.001
=﹣32
2．計算：
【教材P55 練習(xí) 第2題】
3．3 的平方是什么？﹣3 的平方是什么？平方得 9 的
數(shù)有幾個？有沒有平方得﹣9 的有理數(shù)？
【教材P55 練習(xí) 第3題】
是 9， 是 9，平方得 9 的數(shù)有兩個，沒有平方得﹣9 的有理數(shù)．
知識點1 乘方的意義
1.（1）把 寫成乘方的形式是_______；
（2）把 寫成幾個相同乘數(shù)的積的形式是__________________.
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2.［2025新鄉(xiāng)月考］ 表示的意義是( )
B
A.乘以6的積 B.6個 相乘的積
C.5個相乘的積 D.6個 相加的和
返回
3.對于 ，下列敘述正確的是( )
C
A.讀作的4次冪 B.底數(shù)是 ，指數(shù)是4
C.表示4個2相乘的積的相反數(shù) D.表示4個 相乘的積
返回
知識點2 乘方的運算
4.計算：
（1） __；
（2） ____.
返回
5.下列各數(shù)中，結(jié)果是正數(shù)的是( )
B
A. B. C. D.
返回
6.一個數(shù)的平方是16，則這個數(shù)是_______.
4或
返回
7.（16分）［教材P練習(xí)T 變式］計算：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） ；
解：原式 .
（4） .
解：原式 .
返回
8.下列各組數(shù)中，數(shù)值相等的是( )
D
A.與 B.與
C.與 D.與
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9.若，則 ( )
D
A.6 B.8 C. D.
返回
10. 《孫子算經(jīng)》中載有“今有出門望見九堤，堤有九木，
木有九枝，枝有九巢…”大意為：今天出門看見9座堤壩，每座堤壩上有
9棵樹，每棵樹上有9根樹枝，每根樹枝上有9個鳥巢….文中的鳥巢共有
_______個.
6 561
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11.［2025成都期末］觀察算式，，， ，
，，，， 根據(jù)上述算式中的規(guī)律，
你認為 的末位數(shù)字是___.
4
返回
12.（16分）［教材習(xí)題 變式］計算：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） ;
解：原式 .
（4） .
解：原式 .
返回
13. 我國古代《易經(jīng)》一書中記載，
遠古時期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，
即“結(jié)繩計數(shù)”.如圖，一位漁夫從右往左打結(jié)，滿
五進一，用來記錄捕到的魚的數(shù)量.由圖可知，他
一共捕到的魚的數(shù)量為_____.
194
[解析] 點撥： .
返回
課堂小結(jié)
正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；
負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)．
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