資源簡介

(共30張PPT)
2.3.1.單項式
第2章 整式及其加減
【華東師大版·2024】數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
幻燈片 1：封面
標題：2.3.1 單項式
幻燈片 2：學習目標
理解單項式的概念，能準確判斷一個代數式是否為單項式。
掌握單項式的系數和次數的定義，能正確確定一個單項式的系數和次數。
通過實例分析，加深對單項式的認識，培養抽象思維能力。
幻燈片 3：情境引入
展示代數式：
6a 、-3xy、πr 、-2、\(\frac{4}{5}\)x y
提問：這些代數式有什么共同特點呢？它們與我們之前學過的代數式有什么不同？
引入：這些代數式都是由數與字母的積組成的，它們有一個專門的名稱 —— 單項式，本節課我們就來學習單項式的相關知識。
幻燈片 4：單項式的定義
定義：由數與字母的積組成的代數式叫做單項式。
特殊說明：單獨的一個數或者一個字母也叫做單項式。例如，-5、a、b 等都是單項式。
判斷依據：代數式中只含有乘法（包括乘方）運算和數字作分母的除法運算，不含有加法、減法運算，也不含有字母作分母的除法運算。
示例：
是單項式的有：3x、-4y 、5、m、\(\frac{2}{3}\)ab（因為是數與字母的積）。
不是單項式的有：x + y（含有加法）、a - 1（含有減法）、\(\frac{x}{y}\)（字母作分母）。
幻燈片 5：單項式的系數
定義：單項式中的數字因數叫做這個單項式的系數。
注意事項：
系數包括前面的符號，例如，-3x 的系數是 - 3，而不是 3。
當單項式的系數是 1 或 - 1 時，“1” 通常省略不寫。例如，x 的系數是 1，-a 的系數是 - 1。
單獨的一個數作為單項式時，它的系數就是這個數本身。例如，5 的系數是 5，-7 的系數是 - 7。
用 π 表示的數，π 是常數，不是字母，所以包含 π 的單項式中，π 是系數的一部分。例如，πr 的系數是 π，2πab 的系數是 2π。
示例：
3a 的系數是 3。
-5xy 的系數是 - 5。
\(\frac{1}{2}\)m 的系數是\(\frac{1}{2}\)。
-n 的系數是 - 1。
8 的系數是 8。
幻燈片 6：單項式的次數
定義：一個單項式中，所有字母的指數的和叫做這個單項式的次數。
注意事項：
計算次數時，只看字母的指數，不看數字的指數。例如，3 x y 中，3 的指數 2 不參與次數計算，該單項式的次數是 2 + 1 = 3。
單獨一個非零數的次數是 0。例如，5 的次數是 0（因為可以看作 5x ，x =1）。
字母的指數是 1 時，通常省略不寫，但計算次數時要加上。例如，x 的次數是 1，xy 的次數是 1 + 1 = 2。
示例：
4x 的次數是 1（x 的指數是 1）。
-2y 的次數是 3（y 的指數是 3）。
3a b 的次數是 2 + 1 = 3（a 的指數是 2，b 的指數是 1）。
\(\frac{1}{5}\)x y z 的次數是 3 + 2 + 1 = 6。
7 的次數是 0。
幻燈片 7：例題 1—— 判斷是否為單項式
題目：判斷下列代數式是不是單項式：
（1）5x
（2）x + y
（3）-7
（4）\(\frac{x}{2}\)
（5）\(\frac{2}{x}\)
解答過程：
（1）5x 是數 5 與字母 x 的積，是單項式。
（2）x + y 含有加法運算，不是單項式。
（3）-7 是單獨的一個數，是單項式。
（4）\(\frac{x}{2}\)可以看作\(\frac{1}{2}\)與 x 的積，是單項式。
（5）\(\frac{2}{x}\)是字母作分母的除法運算，不是單項式。
結論：（1）、（3）、（4）是單項式；（2）、（5）不是單項式。
幻燈片 8：例題 2—— 確定單項式的系數和次數
題目：指出下列單項式的系數和次數：
（1）-3a b
（2）\(\frac{2}{3}\)xy
（3）-m
（4）5πr
（5）-6
解答過程：
（1）-3a b 的數字因數是 - 3，所以系數是 - 3；所有字母的指數和是 2 + 1 = 3，所以次數是 3。
（2）\(\frac{2}{3}\)xy 的數字因數是\(\frac{2}{3}\)，所以系數是\(\frac{2}{3}\)；所有字母的指數和是 1 + 3 = 4，所以次數是 4。
（3）-m 的數字因數是 - 1，所以系數是 - 1；字母 m 的指數是 1，所以次數是 1。
（4）5πr 的數字因數是 5π（π 是常數），所以系數是 5π；字母 r 的指數是 2，所以次數是 2。
（5）-6 是單獨的一個數，系數是 - 6；次數是 0。
結論：
（1）系數 - 3，次數 3；
（2）系數\(\frac{2}{3}\)，次數 4；
（3）系數 - 1，次數 1；
（4）系數 5π，次數 2；
（5）系數 - 6，次數 0。
幻燈片 9：例題 3—— 根據條件寫單項式
題目：寫出一個系數是 - 2，次數是 3 的單項式。
解答過程：單項式的系數是 - 2，說明數字因數是 - 2；次數是 3，說明所有字母的指數和是 3。可以選擇不同的字母組合，例如：
-2x （x 的指數是 3）；
-2x y（x 的指數 2 + y 的指數 1 = 3）；
-2xy （x 的指數 1 + y 的指數 2 = 3）；
-2xyz（x 的指數 1 + y 的指數 1 + z 的指數 1 = 3）。
結論：答案不唯一，如 - 2x 、-2x y 等。
幻燈片 10：課堂練習 1
題目：下列代數式中，哪些是單項式？
（1）ab
（2）x + 1
（3）\(\frac{1}{2}\)x
（4）-\(\frac{y}{3}\)
（5）\(\frac{3}{x + y}\)
答案：（1）、（3）、（4）是單項式；（2）、（5）不是單項式。
幻燈片 11：課堂練習 2
題目：指出下列單項式的系數和次數：
（1）4x
（2）-\(\frac{1}{5}\)a b
（3）πh
（4）-m n
（5）10
答案：
（1）系數 4，次數 3；
（2）系數 -\(\frac{1}{5}\)，次數 4；
（3）系數 π，次數 1；
（4）系數 - 1，次數 3；
（5）系數 10，次數 0。
幻燈片 12：課堂練習 3
題目：寫出一個系數是\(\frac{3}{4}\)，次數是 4 的單項式。
答案：答案不唯一，如\(\frac{3}{4}\)x 、\(\frac{3}{4}\)x y 、\(\frac{3}{4}\)xy 等。
幻燈片 13：易錯點分析
常見錯誤：
對單項式的定義理解不清，把含有加法、減法運算或字母作分母的代數式當作單項式。例如，認為 x + 2 是單項式，實際上它含有加法，不是單項式。
確定系數時，忽略前面的符號，或者漏掉系數 1 或 - 1。例如，把 - xy 的系數看作 x，正確應為 - 1；把 a 的系數看作 0，正確應為 1。
計算次數時，誤將數字的指數算入，或者忽略字母指數為 1 的情況。例如，認為 3 x 的次數是 2 + 1 = 3，正確應為 1（3 是數字因數，次數只看 x 的指數 1）；認為 xy 的次數是 1，正確應為 2（x 和 y 的指數都是 1，和為 2）。
處理含 π 的單項式時，把 π 當作字母，錯誤計算系數和次數。例如，認為 πr 的系數是 1，正確應為 π。
規避方法：
牢記單項式的定義，嚴格按照 “數與字母的積、單獨的數或字母” 來判斷。
確定系數時，注意包含符號，明確 1 和 - 1 的省略情況。
計算次數時，只關注字母的指數，且每個字母的指數都要算入，指數為 1 時不能忽略。
明確 π 是常數，不是字母，在含 π 的單項式中，π 是系數的一部分。
幻燈片 14：課堂小結
單項式的定義：由數與字母的積組成的代數式，單獨的數或字母也是單項式。
系數：單項式中的數字因數（包括符號，1 和 - 1 可省略）。
次數：所有字母的指數的和（單獨的數次數為 0，π 是常數）。
判斷與確定：能準確判斷單項式，正確找出其系數和次數。
幻燈片 15：布置作業
基礎作業：教材課后練習題第 1、2 題（判斷單項式，指出系數和次數）。
提升作業：已知一個單項式的系數是 - 5，次數是 4，且含有字母 x 和 y，寫出這個單項式。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
學習目標
1.理解單項式、單項式的系數和次數的概念.
2.能判斷一個式子是否是單項式.
3.能確定一個單項式的系數和次數.
復習回顧
列代數式：
(1)若正方形的邊長為a，則這個正方形的面積為________；
(2)若三角形的一邊長為a，這邊上的高為h，則這個三角形的面積為_______；
(3)若m表示一個有理數，則它的相反數是__________；
(4)小馨每月從零花錢中拿出x元錢捐給希望工程，一年下來小馨共捐款___________元.
a2
-m
12x
探索新知
列出的這些代數式有什么共同特點
a2
-m
12x
式子的特點
組成元素
元素之間的運算關系
數
字母
乘積
由數與字母的乘積組成的代數式叫做單項式.
單獨一個數或一個字母也是單項式.
判斷下列代數式是不是單項式.
（1） a+b；（2）abc；（3）πa2；（4）53ab2；（5）y；
（6） ；（7） .
√
×
√
√
√
×
√
注意：
1.數字和字母、字母和字母是相乘關系.
2.單獨一個數或一個字母也是單項式.
3.π是數字.
單項式的分母中不能含有字母!
思考：單項式中的數字和字母各有何意義呢
﹣4x2y3
單項式中的數因數叫做這個單項式的系數.
系數
指數的和稱為次數
例如， 的系數是 . 特別地，因為a2=1·a2，﹣m=(﹣1)·m，所以a2的系數是1，﹣m的系數是﹣1.
一個單項式中，所有字母的指數的和叫做這個單項式的次數.
例如， 的次數是2， 的次數是4，﹣m的次數是1.
(2)單項式的系數是帶分數時，通常寫成假分數的形式，例如 不要寫成 .
注意
(1)當一個單項式的系數是1或-1時，“1”通常省略不寫，例如a2和﹣m；
判斷下列說法是否正確：
1.﹣7xy2的系數是7； （ ）
2.﹣x2y3與x3沒有系數； （ ）
3.﹣ab3c2的次數是0+3+2； （ ）
4.﹣a3的系數是﹣1； （ ）
5.﹣32x2y3的次數是7； （ ）
6. 2πr2h的系數是4； （ ）
7. 7的系數是7，次數是0. （ ）
×
×
×
√
×
×
√
拓展：（1）單獨一個非零數的次數為0；
（2）單項式的次數是幾，就稱這個單項式是幾次單項式.
判斷下列各代數式是不是單項式，如果不是，請說明理由；如果是，請指出它們的系數和次數：
（1）x+1；
（2） .
例1
解：（1）x+1不是單項式，因為代數式中出現了加法運算.
（2） 是單項式，它的系數是 ，次數是3.
×
√
指出下列各單項式的系數和次數.
補充例題
（1）3x3
（2） xyz
（3）0.12s
（4）
系數：3
次數：3
次數：3
系數：
系數：0.12
次數：1
次數：3
系數：
課堂練習
1.判斷下列代數式是不是單項式：
（1）a；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5）xy .
×
√
√
√
√
【選自教材P97 練習 第1題】
2.說出下列單項式的系數和次數：
（1）5a2；
（2）mn；
（3） ；
（4） .
系數：5
次數：2
系數：1
次數：2
次數：4
系數：
次數：3
系數：
【選自教材P97 練習 第2題】
3.判斷下列說法是否正確，如果不正確，請說明理由：
（1）單項式m既沒有系數，也沒有次數；
（2）單項式5×105t的系數是5.
×
單項式m的系數是1，次數也是1.
單項式5×105t的系數是5×105.
×
【選自教材P97 練習 第3題】
4. 單項式-5ab的系數是（ ）
A.5
B.-5
C.2
D.-2
5. 是_________次單項式.
B
3
6. 一列單項式：-x2，3x3，-5x4，7x5，…，按此規律排列，則第7個單項式為_______________.
-13x8
知識點1 單項式的概念
1.［2025重慶期末］下列各代數式中，是單項式的是( )
B
A. B. C. D.
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2.［2025鄭州月考］下列代數式：，，，6， ，
，單項式有( )
B
A.3個 B.4個 C.5個 D.6個
返回
知識點2 單項式的系數與次數
3.單項式 的系數是( )
B
A.1 B.2 C.3 D.5
返回
4.單項式 的系數是_____，次數是___.
4
返回
5.［2025周口期末］請你寫出一個系數是2，次數是3的關于和 的單項
式：____________________.
（答案不唯一）
返回
6.（4分）［教材習題 變式］填表：
單項式
系數 ____ ___ __ ___ _ ___ ___
次數 ___ ___ __ ___ ___ ___
30
-1
1
1
1
3
1
6
4
2
返回
7.下列各代數式中是五次單項式的是( )
D
A. B. C. D.
返回
8. 已知單項式的系數為，次數為，則 的值為
_______.
返回
9.［2025南充期末］已知 ，那么單項式
的系數是___，次數是___.
5
2
返回
10.（8分）
（1）如果是關于，的六次單項式，求 的值；
解：由題意得,,解得 .
（2）若是關于,的單項式且系數為8,次數為4，求, 的值.
解：由題意得， ，
解得,或 .
返回
11.（8分）列出單項式，并指出它們的系數和次數.
（1）底面是邊長為的正方形，高為 的長方體的體積是多少？
解：長方體的體積是 的系數是1，次數是3.
（2）某品牌新能源汽車為了提高市場占有率，將原價為 萬元/輛的汽
車按九折出售.如果一周內這種汽車銷售了 輛，那么這周的銷售額為多
少萬元？
解：這周的銷售額為萬元.的系數是 ，次數是2.
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12. 請觀察下面按照某種規律排列的一組單項式：
，,____,,,, .
（1）第3個單項式是______；
（2）按此規律排列，次數是7的單項式的系數是_______；
（3）第 個單項式是_________.
返回
課堂小結
單項式
定義
由數與字母的乘積組成的代數式叫做單項式.
單獨一個數或一個字母也是單項式.
系數
單項式中的數因數叫做這個單項式的系數.
次數
一個單項式中所有字母的指數的和叫做這個單項式的次數.
注意事項
當單項式的系數是1或-1時，1通常省略不寫
字母指數不寫時，表示這個字母指數是1，不是沒有
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