資源簡介

(共44張PPT)
2.3.2.多項式
第2章 整式及其加減
【華東師大版·2024】數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
幻燈片 1：封面
標題：2.3.2 多項式
幻燈片 2：學習目標
理解多項式的概念，能準確判斷一個代數式是否為多項式。
掌握多項式的項、常數項、次數等概念，能正確確定多項式的項數和次數。
區分單項式和多項式，明確它們之間的聯系與區別。
通過實例分析，加深對多項式的認識，提升數學理解能力。
幻燈片 3：情境引入
展示代數式：
2x + 3y、a - 2ab + b 、3m - 2m + 5、-x + 1
提問：這些代數式與我們上節課學習的單項式有什么不同？它們是由什么組成的呢？
引入：這些代數式都是由幾個單項式相加組成的，它們被稱為多項式。本節課我們就來學習多項式的相關知識。
幻燈片 4：多項式的定義
定義：幾個單項式的和叫做多項式。
注意事項：
多項式是由單項式通過加法連接而成的，減法可以看作是加上一個負數，因此多項式中也可以含有減法運算。例如，a - b 可以看作 a + (-b)，是多項式。
多項式中不能含有字母作分母的項，因為這樣的項不是單項式。例如，x + \(\frac{1}{y}\)不是多項式，因為\(\frac{1}{y}\)不是單項式。
示例：
是多項式的有：x + 2y、3a - 5、m + m - m + 1（都是單項式的和）。
不是多項式的有：\(\frac{x}{y}\) + 1（含有非單項式的項）、ab ÷ c（除法運算且字母在分母）。
幻燈片 5：多項式的項與常數項
項：在多項式中，每個單項式叫做多項式的項。例如，多項式 3x - 2x + 5 中的項分別是 3x 、-2x、5。
注意：多項式的項包括它前面的符號，如 3x - 2x + 5 中，-2x 的符號 “-” 是項的一部分。
常數項：多項式中不含字母的項叫做常數項。例如，多項式 a - 3a + 7 中的常數項是 7。
項數：一個多項式含有幾項，就叫做幾項式。例如，2x + y 是二項式，m - 2m + 3 是三項式。
示例：
多項式 4a - 1 的項是 4a、-1，項數是 2（二項式），常數項是 - 1。
多項式 x y + 2xy - 3x + 4 的項是 x y、2xy、-3x、4，項數是 4（四項式），常數項是 4。
幻燈片 6：多項式的次數
定義：多項式里，次數最高項的次數，叫做這個多項式的次數。
注意事項：
多項式的次數不是所有項的次數之和，而是由次數最高的項的次數決定的。
確定多項式次數時，需先找出每一項的次數，再從中找出最高次數作為多項式的次數。
示例：
多項式 2x + 3x - 5x + 1 中，各項的次數依次是 3、2、1、0，次數最高項是 2x （次數 3），所以這個多項式的次數是 3，稱為三次四項式。
多項式 a b - 3ab + 2a - b 中，各項的次數依次是 3（2 + 1）、3（1 + 2）、1、1，次數最高項是 a b 和 - 3ab （次數 3），所以這個多項式的次數是 3，稱為三次四項式。
多項式 5y + 3 的各項次數是 1、0，最高次數是 1，稱為一次二項式。
幻燈片 7：整式的概念
整式：單項式和多項式統稱為整式。
對比：
類別
定義
示例
單項式
數與字母的積，單獨的數或字母
3x、-5、a b
多項式
幾個單項式的和
2x + y、a - 3a + 1
整式
單項式和多項式的統稱
上述單項式和多項式都是整式
注意：含有字母作分母的代數式不是整式，如\(\frac{1}{x}\)、\(\frac{x + 1}{y}\)都不是整式。
幻燈片 8：例題 1—— 判斷是否為多項式及相關概念
題目：判斷下列代數式是不是多項式，若是，指出它的項、項數、常數項和次數，并說明它是幾次幾項式。
（1）3x - 2x + 1
（2）x + \(\frac{1}{x}\)
（3）-a b + 2a b - ab + 3
解答過程：
（1）3x - 2x + 1 是由單項式 3x 、-2x、1 組成的和，是多項式。
項：3x 、-2x、1；項數：3；常數項：1。
各項次數：2、1、0；最高次數是 2。
結論：是二次三項式。
（2）x + \(\frac{1}{x}\)中，\(\frac{1}{x}\)不是單項式，所以不是多項式。
（3）-a b + 2a b - ab + 3 是由單項式 - a b、2a b 、-ab、3 組成的和，是多項式。
項：-a b、2a b 、-ab、3；項數：4；常數項：3。
各項次數：4（3 + 1）、4（2 + 2）、2（1 + 1）、0；最高次數是 4。
結論：是四次四項式。
結論：（1）是多項式，二次三項式；（2）不是多項式；（3）是多項式，四次四項式。
幻燈片 9：例題 2—— 根據條件寫多項式
題目：寫出一個二次三項式，使它的項分別為 x 、-2x、3。
解答過程：二次三項式是指次數為 2、項數為 3 的多項式。已知項為 x （次數 2）、-2x（次數 1）、3（次數 0），將它們相加即可。
結論：x - 2x + 3（答案唯一，按給定項組合）。
幻燈片 10：例題 3—— 確定多項式的次數和項數
題目：已知多項式 3x - 2x + 5（m、n 為正整數）是三次二項式，求 m、n 的值。
解答過程：
因為多項式是二項式，所以原式中只能有兩項，即其中一項的系數為 0。觀察多項式，常數項 5 不能為 0，所以只能是 - 2x 的系數為 0，但系數 - 2≠0，因此只能是 3x 與 - 2x 或 5 合并后為兩項。
又因為是三次多項式，所以最高次數為 3。
情況一：若 3x 是最高次項，則 n + 1 = 3，n = 2；此時多項式為二項式，說明 - 2x 與 5 中有一項不存在，即 m 不符合正整數或與其他項合并，但 m 為正整數，所以只能是 - 2x 的次數與其他項相同并合并，或 5 被合并，但 5 是常數項，所以只能是 - 2x 不存在，不成立。實際應為項數為 2，所以有一項缺失，即 - 2x 的系數為 0 不成立，因此只能是 5 與另一項合并，不可能，故另一種情況：
情況二：-2x 是最高次項，則 m = 3；此時多項式為二項式，所以 3x 的系數為 0 不成立，只能是 3x 與 5 合并，不可能，或 3x 的次數低于 m 且項數為 2，即 3x 不存在，不成立。正確思路：二項式即有兩項，所以其中一項為 0，只能是 3x 或 - 2x 為 0，但系數非 0，所以只能是兩項中有一項與另一項為同類項合并，這里不涉及同類項，因此應為 n + 1 = 3 且 m 使得 - 2x 不存在，即 m 不是正整數，矛盾。重新分析：三次二項式，即有兩項，最高次 3。所以可能：
3x 和 - 2x 中有一項為三次，另一項與常數項合并為一項，即另一項為常數項（次數 0）。所以：
若 3x 是三次項，n + 1 = 3→n=2；則 - 2x 必須是常數項，即 m=0，但 m 為正整數，不成立。
若 - 2x 是三次項，m=3；則 3x 必須是常數項，即 n + 1=0→n=-1，不是正整數，不成立。
另一可能：常數項 5 與其中一項合并，即 3x 或 - 2x 是常數項。3x 是常數項則 n + 1=0→n=-1（舍）；-2x 是常數項則 m=0（舍）。因此，正確應為多項式只有兩項，即 3x + 5（-2x 不存在），此時最高次 n + 1=3→n=2，m 不存在，不成立。實際正確解法：題目可能為 “三次二項式”，即項數 2，次數 3。所以兩項分別為三次項和另一項（可為常數項或低于三次的項）。因此：
當 3x 是三次項，n + 1=3→n=2；此時另一項為 - 2x ，要使項數為 2，必須存在，所以 m 可為任意正整數，但次數≤3，且多項式為二項式，成立，此時 m 可以是 1、2、3（但 m=3 時也是三次項，仍為二項式）。
當 - 2x 是三次項，m=3；另一項 3x 次數≤3，n + 1≤3→n≤2（n 正整數），項數為 2，成立。
綜上，n=2，m 為任意正整數（次數≤3）或 m=3，n 為正整數（次數≤3）。結合題意，最可能 n=2，m=0（舍），正確應為 n=2，m=1 或 2；或 m=3，n=1 或 2。簡化：n + 1=3→n=2，m=1（二項式：3x - 2x + 5 是三項式，錯誤）。哦，原多項式是 3x - 2x + 5，是三項式，要成為二項式，必須有兩項合并為一項，即同類項。所以 3x 與 - 2x 是同類項，即 n + 1 = m，合并后為一項，此時多項式為二項式。最高次為 3，所以 m = n + 1 = 3→m=3，n=2。
結論：m=3，n=2。
幻燈片 11：課堂練習 1
題目：下列代數式中，哪些是多項式？
（1）a + b
（2）\(\frac{1}{x}\) + y
（3）3x - 2x
（4）-5m + 1
（5）\(\frac{a + b}{3}\)（可看作\(\frac{1}{3}a + \frac{1}{3}b\)）
答案：（1）、（3）、（4）、（5）是多項式；（2）不是多項式。
幻燈片 12：課堂練習 2
題目：指出下列多項式的項、項數、常數項和次數，并說明是幾次幾項式。
（1）x - 2x + 5x - 1
（2）2a b + ab - 3ab + 4
（3）3y + 1
答案：
（1）項：x 、-2x 、5x、-1；項數 4；常數項 - 1；次數 3；三次四項式。
（2）項：2a b、ab 、-3ab、4；項數 4；常數項 4；次數 3；三次四項式。
（3）項：3y、1；項數 2；常數項 1；次數 1；一次二項式。
幻燈片 13：課堂練習 3
題目：寫出一個四次三項式，含有字母 x 和 y，且常數項為 - 5。
答案：答案不唯一，如 x + 2xy - 5、x y - 3y - 5 等。
幻燈片 14：單項式與多項式的對比
區別與聯系
單項式
多項式
定義
數與字母的積，單獨的數或字母
幾個單項式的和
項數
1 項
2 項及以上
次數
所有字母指數的和（單獨的數為 0）
次數最高項的次數
系數
有系數（數字因數）
無整體系數，各項有各自系數
聯系
多項式由單項式組成，單項式和多項式統稱為整式
幻燈片 15：易錯點分析
常見錯誤：
對多項式的定義理解不清，把含有字母作分母的代數式當作多項式。例如，認為 x + \(\frac{1}{x}\)是多項式，實際上\(\frac{1}{x}\)不是單項式，所以它不是多項式。
確定多項式的項時，忽略項前面的符號。例如，多項式 3x - 2y 中的項錯誤地認為是 3x、2y，正確應為 3x、-2y。
計算多項式的次數時，誤將所有項的次數相加，或者把常數項的次數算入。例如，認為多項式 x + 2x + 3 的次數是 2 + 1 + 0 = 3，正確應為最高次項 x 的次數 2。
混淆多項式的項數和次數，例如，把 “三次四項式” 說成 “四項三次式”。
對整式的概念理解錯誤，認為所有代數式都是整式，忽略了含有字母作分母的代數式不是整式。
規避方法：
牢記多項式是 “幾個單項式的和”，確保每個組成部分都是單項式。
確定多項式的項時，嚴格包含項前面的符號。
計算多項式次數時，只關注各項的次數，找出最高次數作為多項式的次數，與項數無關。
明確 “幾次幾項式” 的表述順序：先次數后項數。
區分整式與非整式，整式只包括單項式和多項式，排除含有字母作分母的代數式。
幻燈片 16：課堂小結
多項式的定義：幾個單項式的和，可含減法（看作加負數）。
相關概念：
項（含符號）、常數項（不含字母的項）、項數（含幾項）。
次數：次數最高項的次數，稱為幾次幾項式。
與單項式的關系：統稱為整式，多項式由單項式組成。
判斷與確定：能準確判斷多項式，正確指出其項、項數、常數項和次數。
幻燈片 17：布置作業
基礎作業：教材課后練習題第 1、2 題（判斷多項式，指出項、次數等）。
提升作業：已知一個多項式是二次三項式，它的各項系數之和為 0，且含有兩項 x 和 - 2x，寫出這個多項式。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
學習目標
1.理解多項式、整式的概念，能準確識別多項式、整式.
2.理解多項式的項、常數項和次數.
復習回顧
判斷下列各代數式是不是單項式，如果不是，請說明理由；如果是，請指出它們的系數和次數：
（1）3a2；（2）x﹣7；（3）-a2b3；（4）﹣πx2y；
（5）2a+3b；（6） ；（7） .
列代數式：
（1）若三角形的三條邊長分別為a 、b、c，則這個三角形的周長為_________；
（2）某班有男生x人，女生21人，這個班的學生一共有________人；
（3）圖中陰影部分的面積為_________.
a+b+c
x+21
2ar-πr2
探索新知
你發現這些式子和上節課所學的單項式有什么不同
a +b +c
列出的這些代數式有什么共同特點？
x +21
2ar﹣πr2
單項式+單項式
式子的特點
組成部分
單項式
各部分間的運算關系
和
幾個單項式的和叫做多項式.
判斷：下列代數式哪些是多項式？
xy，-6， ， ， ， ，m2-2m+1，-p2q
注意：（1）一個式子是多項式需具備兩個條件：
①式子中含有運算符號“+”或“﹣”；
②分母中不含字母.
（2）多項式是由單項式組成的，但不能說多項式包含單項式，它們是兩個不同的概念.
定義：幾個單項式的和叫做多項式.
3x2﹣2x +5
每個單項式叫做多項式的項.
不含字母的項叫做常數項.
注意：多項式的每一項都是單項式，且每一項都包括它的正負號.
多項式的項數
3x2﹣2x +5
2次
1次
0次
多項式的次數
多項式中，次數最高項的次數，就是這個多項式的次數.
最高次數項的次數是2，
二次三項式
注意：多項式的次數不是所有項的次數之和.
指出下列多項式的項和次數：
（1）a3-a2b+ab2-b3；
（2）3n4-2n2+1.
例2
解：（1）多項式a3-a2b+ab2-b3的項有a3、-a2b、ab2 、-b3，次數是3.
（2）多項式3n4-2n2+1的項有3n4、-2n2 、1，次數是4.
多項式的每一項都包括它的正負號.
指出下列多項式是幾次幾項式：
（1）x3-x+1；
（2）x3-2x2y2+3y2.
例3
解：（1）x3-x+1是三次三項式.
（2）x3-2x2y2+3y2是四次三項式.
補充例題
指出下列多項式的項和次數，并說出它是幾次幾項式.
（1）x5-2+2x2-5x；
（2） .
解：（1）多項式x5-2+2x2-5x的項有x5、-2、2x2 、-5x，次數是5.它是五次四項式.
（2）多項式 的項有 、 、-xy、1，次數是7.它是七次四項式.
整式
定義：單項式與多項式統稱為整式.
思考：你能說出單項式、多項式、整式三者之間的關系嗎？
單項式
多項式
注意：所有單項式和多項式都是整式；
反之，一個整式，它要么是單項式，要么是多項式.
1.指出下列多項式是幾次幾項式：
1. 2x+1+3x2
2. 4x4+1
3. 2x2-3xy+y2
4. 4x3+2x-3y2
二次三項式
四次二項式
二次三項式
三次三項式
課堂練習
【選自教材P98 練習】
2.指出下列多項式的項和次數，并說明其是幾次幾項式.
（1） ；
（2）-4x4-x2+x-4.
解：（1）多項式 的項有 、-2xy、-3，次數是3.它是三次三項式.
（2）多項式-4x4-x2+x-4的項有-4x4、-x2、x、-4，次數是4.它是四次四項式.
3.在代數式 ，3a，a-y+ ， ，xyz， ，
中有（ ）
A.5個整式
B.4個單項式，3個多項式
C.6個整式，4個單項式
D.6個整式，單項式與多項式個數相同
D
4.指出下列各式中哪些是單項式？哪些是多項式？哪些是整式？
x2+y2，-x， ，10，6xy+1， ， ，2x2-x-5， ，a7
單項式：
多項式：
整式：
x2+y2
-x
10
6xy+1
2x2-x-5
a7
-x
10
a7
x2+y2
6xy+1
2x2-x-5
5.若關于x的多項式-5x3+(m-1)x2+(2+n)x-1不含二次項和一次項，求m、n的值.
解：因為多項式-5x3+(m-1)x2+(2+n)x-1不含二次項和一次項，所以m-1=0，2+n=0，所以m=1，n=-2.
知識點1 多項式的概念
1.下列式子是多項式的是( )
D
A. B. C. D.
返回
2.在式子，，，， 中，多項式有___個.
2
返回
知識點2 多項式的項和次數
3.多項式 的各項分別是( )
D
A.，，1 B.， ，1
C.，， D.，，
返回
4.［2025新鄉期末］多項式 的次數是( )
C
A.2 B.1 C.6 D.3
返回
5.下列關于多項式 的說法，正確的是( )
C
A.次數是3 B.次數最高的項是
C.二次項系數是 D.常數項是5
返回
6.如圖，某同學筆記本上的多項式未記錄完整，若要補充完整這個多項
式，橫線上不能填寫的是( )
C
A. B. C. D.
返回
7.［教材習題變式］［2025太原月考］請寫出一個含有字母, 且
常數項為 的五次三項式：__________________________.
（答案不唯一）
返回
8.當___時，是關于 的一次多項式.
1
返回
9.（8分）［2025吉林期中］已知 是六次四
項式，且 的次數與它相同.
（1）求， 的值；
解：因為 是六次四項式，
所以，解得 ，
因為 的次數也是6，
所以，所以 .
（2）請寫出多項式的各項，并求出各項的系數和.
解：該多項式為 ，
所以多項式的各項為，，， ，各項的系數和為
.
返回
知識點3 整式
10.［2025信陽期末］在代數式，，，，， 中，是整
式的有( )
B
A.5個 B.4個 C.3個 D.2個
返回
11.把下列代數式的序號分別填入下表適當的位置：， ，
，，，，， .
整式 單項式 __________
多項式 ______
非整式 ______
①④⑤⑦
③⑥
②⑧
返回
12.如果一個多項式是七次多項式，那么它任何一項的次數( )
D
A.都小于7 B.都等于7 C.都不小于7 D.都不大于7
返回
13. 多項式是關于,的九次二項式，則 的值
為____.
返回
14.已知多項式是關于 的三次三項式，則
___.
8
返回
15.已知關于的多項式 不
含項和項，則 ____.
返回
16.（8分） 已知是關于 ，
的六次多項式，求 的值，并寫出該多項式.下面是小亮給出的解法：
解：因為多項式的最高次項為，
所以，
解得
則原多項式為
（1）小亮的解法在第____步出錯；
①
（2）請你給出正確的解法.
解：易知該多項式的最高次項為，所以，解得 .
所以原多項式為 .
返回
17.（8分）列多項式，并指出它們的項和次數.
（1）目前，在地球上生存的動物約有150萬種，其
中無脊椎動物約有 萬種，則脊椎動物約有多少萬
種？
解：脊椎動物約有萬種，的項分別是150， ，次
數是1.
（2）如圖所示的是某古城墻及門洞的示意圖，其中門洞的下部是長方
形，上部是半圓，則它的面積是多少？
解：它的面積是，的項分別是， ，次
數是2.
返回
18.（4分） 游戲規則：（1）抽卡片，每人每次抽取4
張卡片，如果抽到白色卡片，那么加上卡片上整式最高次項的系數；如
果抽到灰色卡片，那么減去卡片上整式的常數項；（2）比較兩人所抽
取4張卡片的計算結果，結果大的為勝者.
小玉抽到了如圖①的4張卡片：
小明抽到了如圖②的4張卡片：
他們兩人誰獲勝了？
解：由題意，得小玉所抽取4張卡片的計算結果是
，小明所抽取4張卡片的計算結果是
.
因為 ，所以小明獲勝.
返回
19.（8分）已知關于的整式 .
（1）若此整式是二次多項式，求 的值；
解：因為關于的整式是二次多項式，所以， ，
，解得，所以的值是 .
（2）若此整式是二項式，求 的值.
解：因為關于的整式是二項式，所以有以下3種情況： ，
，，解得；， ,且
，此情況無解；，,，解得 .
所以的值是 或0.
返回
課堂小結
整式
單項式
數與字母的乘積組成的代數式叫做單項式
單項式的系數
單項式的次數
多項式
幾個單項式的和叫做多項式
單項式的系數
單項式的次數
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