資源簡介

(共28張PPT)
2.3.3.升冪排列和降冪排列
第2章 整式及其加減
【華東師大版·2024】數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
幻燈片 1：封面
標題：2.3.3 升冪排列和降冪排列
副標題：—— 多項式的有序排列
幻燈片 2：學習目標
理解多項式按某個字母升冪排列和降冪排列的概念。
能熟練地把一個多項式按指定字母進行升冪排列或降冪排列。
體會多項式有序排列在數學運算中的便利性，培養有條理地處理問題的習慣。
幻燈片 3：情境引入
問題：觀察多項式\(3x^2 + 5x - 2x^3 + 1\)，它的各項次數不同，順序較為雜亂。如果我們想快速找到次數最高的項或次數最低的項，是不是不太方便？
引入：為了使多項式的結構更清晰，便于我們研究和計算，通常需要把多項式的各項按照一定的順序排列起來，這就是我們本節課要學習的升冪排列和降冪排列。
幻燈片 4：相關概念
升冪排列：把一個多項式按某一個字母的指數從小到大的順序排列起來，叫做把多項式按這個字母升冪排列。
降冪排列：把一個多項式按某一個字母的指數從大到小的順序排列起來，叫做把多項式按這個字母降冪排列。
示例：對于多項式\(2x^3y - 3xy^2 + x^2y^3 - 5\)，
按字母\(x\)的指數升冪排列：\(-5 - 3xy^2 + x^2y^3 + 2x^3y\)（\(x\)的指數依次為 0、1、2、3）。
按字母\(y\)的指數降冪排列：\(x^2y^3 - 3xy^2 + 2x^3y - 5\)（\(y\)的指數依次為 3、2、1、0）。
幻燈片 5：排列的依據與注意事項
排列依據：多項式的各項在排列前后，其值不變，因為加法具有交換律。但排列時必須連同項的符號一起移動，不能只移動項的數字部分而遺漏符號。
注意事項：
排列時，要先確定按哪個字母進行排列，因為一個多項式中可能含有多個字母，不同字母的排列結果可能不同。
常數項的次數規定為 0，在按字母升冪排列時，常數項通常放在最前面；按字母降冪排列時，常數項通常放在最后面。
如果多項式中含有同類項，應先合并同類項，再進行排列（若題目未要求合并，則可直接排列）。
幻燈片 6：例題 1—— 按指定字母降冪排列
題目：把多項式\(3x^2 - 5x^3 + x - 1\)按字母\(x\)的降冪排列。
解答過程：
先確定多項式各項中字母\(x\)的指數：\(-5x^3\)中\(x\)的指數是 3，\(3x^2\)中\(x\)的指數是 2，\(x\)中\(x\)的指數是 1，\(-1\)（常數項）中\(x\)的指數是 0。
按\(x\)的指數從大到小的順序排列各項，連同項的符號一起移動：\(-5x^3 + 3x^2 + x - 1\)。
結論：按字母\(x\)的降冪排列為\(-5x^3 + 3x^2 + x - 1\)。
幻燈片 7：例題 2—— 按指定字母升冪排列
題目：把多項式\(xy^2 - x^2y + 2x^3 - 3y^3\)按字母\(y\)的升冪排列。
解答過程：
確定各項中字母\(y\)的指數：\(2x^3\)中\(y\)的指數是 0，\(-x^2y\)中\(y\)的指數是 1，\(xy^2\)中\(y\)的指數是 2，\(-3y^3\)中\(y\)的指數是 3。
按\(y\)的指數從小到大的順序排列各項：\(2x^3 - x^2y + xy^2 - 3y^3\)。
結論：按字母\(y\)的升冪排列為\(2x^3 - x^2y + xy^2 - 3y^3\)。
幻燈片 8：例題 3—— 根據排列要求填空
題目：多項式\(a^3b - 5a^2b^2 + 3ab^3 - b^4 + 2a^4\)按字母\(a\)的升冪排列后為________________。
解答過程：
分析各項中字母\(a\)的指數：\(-b^4\)中\(a\)的指數是 0，\(3ab^3\)中\(a\)的指數是 1，\(-5a^2b^2\)中\(a\)的指數是 2，\(a^3b\)中\(a\)的指數是 3，\(2a^4\)中\(a\)的指數是 4。
按\(a\)的指數從小到大排列：\(-b^4 + 3ab^3 - 5a^2b^2 + a^3b + 2a^4\)。
結論：\(-b^4 + 3ab^3 - 5a^2b^2 + a^3b + 2a^4\)。
幻燈片 9：例題 4—— 含多個字母的排列
題目：把多項式\(x^2y - 3xy^2 + y^3 - 2x^3\)分別按字母\(x\)的降冪排列和按字母\(y\)的升冪排列。
解答過程：
按字母\(x\)的降冪排列：
各項\(x\)的指數：\(-2x^3\)（3）、\(x^2y\)（2）、\(-3xy^2\)（1）、\(y^3\)（0）。
排列結果：\(-2x^3 + x^2y - 3xy^2 + y^3\)。
按字母\(y\)的升冪排列：
各項\(y\)的指數：\(-2x^3\)（0）、\(x^2y\)（1）、\(-3xy^2\)（2）、\(y^3\)（3）。
排列結果：\(-2x^3 + x^2y - 3xy^2 + y^3\)（與按\(x\)降冪排列結果相同，屬巧合）。
結論：按\(x\)降冪排列為\(-2x^3 + x^2y - 3xy^2 + y^3\)；按\(y\)升冪排列為\(-2x^3 + x^2y - 3xy^2 + y^3\)。
幻燈片 10：課堂練習 1
題目：把多項式\(5 - 3x + 2x^2 - x^3\)按字母\(x\)的降冪排列。
答案：\(-x^3 + 2x^2 - 3x + 5\)。
幻燈片 11：課堂練習 2
題目：把多項式\(3a^2b - b^3 + 2ab^2 - a^3\)按字母\(b\)的升冪排列。
答案：\(-a^3 + 3a^2b + 2ab^2 - b^3\)。
幻燈片 12：課堂練習 3
題目：已知多項式\(x^3y + 2x^2y^2 - 5xy^3 + y^4\)，分別按字母\(x\)的升冪排列和按字母\(y\)的降冪排列。
答案：按\(x\)升冪排列為\(y^4 - 5xy^3 + 2x^2y^2 + x^3y\)；按\(y\)降冪排列為\(y^4 - 5xy^3 + 2x^2y^2 + x^3y\)。
幻燈片 13：易錯點分析
常見錯誤：
排列時遺漏項的符號，如把多項式\(2x - 3x^2 + 1\)按\(x\)降冪排列時，錯誤地寫成\(-3x^2 + 2x + 1\)是正確的，但寫成\(3x^2 + 2x + 1\)就是遺漏了符號。
未明確按哪個字母排列，導致排列錯誤。例如，對多項式\(a^2b + ab^2\)，若不指定字母，既可能按\(a\)排列，也可能按\(b\)排列，結果不同。
常數項的位置錯誤，如按字母升冪排列時，把常數項放在后面；按降冪排列時，把常數項放在前面。
合并同類項后再排列時，合并過程出錯，影響后續排列結果。
規避方法：
移動多項式的項時，務必連同項的符號一起移動，將符號視為項的一部分。
排列前先明確指定的字母，根據該字母的指數進行排序。
牢記常數項的次數為 0，按升冪排列放前，降冪排列放后。
若需要合并同類項，先仔細合并，再進行排列，確保每一步都準確無誤。
幻燈片 14：課堂小結
升冪排列與降冪排列的定義：按指定字母的指數從小到大（升冪）或從大到小（降冪）排列多項式的各項。
排列要點：連同項的符號一起移動，明確排列的字母，常數項按 0 次處理。
作用：使多項式的結構更清晰，便于觀察和計算，為后續的整式運算奠定基礎。
幻燈片 15：布置作業
基礎作業：教材課后練習題第 1、2 題（按要求對多項式進行升冪或降冪排列）。
提升作業：把多項式\(x^4 - y^4 + 2x^3y - 2xy^3 + 3x^2y^2\)分別按字母\(x\)的降冪排列和按字母\(y\)的升冪排列，并比較兩種排列結果的異同。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
學習目標
1.理解并能描述什么是升冪排列和降冪排列.
2.能夠將一個多項式按某一字母升冪或降冪排列.
復習導入
什么是單項式？
由數和字母的乘積組成的代數式叫做單項式.
什么是多項式？
幾個單項式的和叫做多項式.
例：單項式a2b2c的系數是_____，次數是_____.
多項式3x3y-5y2z+x2-y-1的四次項系數是_____，三次項系數是_____，常數項是_____ ，它是____________.
1
5
3
-5
-1
四次五項式
探究新知
思考：多項式x2+x+l的項分別是__________.
x2、x、1
問題1：運用加法交換律，將多項式x2+x+1中各項的位置任意交換，可以得到哪些不同的排列方式？
x2+x+1
x2+1+x
x+x2+1
x+1+x2
1+x2+x
1+x+x2
問題2：眾多的排列方式中，你認為哪幾種比較整齊？
x2+x+1
1+x+x2
這兩種排列方式有什么特點？
按字母x的指數從大到小的順序排列的.
把一個多項式的各項按某一個字母的指數從大到小的順序排列，叫做把這個多項式按這個字母的降冪排列．
按字母x的指數從小到大的順序排列的.
把一個多項式的各項按某一個字母的指數從小到大的順序排列，叫做把這個多項式按這個字母的升冪排列．
例4
把多項式 按r的升冪排列.
解：按r的升冪排列為：
按r的降冪排列應該怎樣排呢？
按r的降冪排列為：
1
0
3
2
注意：
1.找準字母，分清是“升”還是“降”；
2.在字母上標記好指數；
3.重新排列多項式時，每一項一定要連同它的正負號一起移動；
4.常數項一般是最先或最后排.
例5
把多項式 重新排列：
a3+b2-3a2b-3ab3
（1）按a的升冪排列；
（2）按a的降冪排列.
解 （1）按a的升冪排列為：
3
0
2
1
b2-3ab3-3a2b+a3
（2）按a的降冪排列為：
a3-3a2b-3ab3+b2
試試看，你能將這個多項式按b的升冪（或降冪）排列嗎
例5
把多項式 重新排列：
（1）按b的升冪排列；
（2）按b的降冪排列.
a3+b2-3a2b-3ab3
0
2
1
3
解 （1）按b的升冪排列為：
a3-3a2b+b2-3ab3
-3ab3+b2-3a2b+a3
（2）按b的降冪排列為：
注意：含有兩個或兩個以上字母的多項式，通常按其中某一個字母的升冪或降冪排列.
補充例題
把多項式 重新排列：
3mn2-2m2n3+5-8m3n
（1）按m的降冪排列；
（2）按n的升冪排列.
-8m3n-2m2n3+3mn2+5
5-8m3n+3mn2-2m2n3
反過來應該怎樣排呢？
補充例題
把多項式 重新排列：
3mn2-2m2n3+5-8m3n
（1）按m的升冪排列；
（2）按n的降冪排列.
-2m2n3+3mn2-8m3n+5
5+3mn2-2m2n3-8m3n
隨堂練習
1.把多項式 重新排列：
（1）按x的升冪排列；
（2）按x的降冪排列.
2
3
1
4
0
【選自教材P100 練習 第1題】
2.把多項式 重新排列：
x4-y4+3x3y-2xy2-5x2y3
（1）按x的降冪排列；
（2）按x的升冪排列.
x4+3x3y-5x2y3-2xy2-y4
4
0
3
1
2
-y4-2xy2-5x2y3+3x3y+x4
按y的升冪和降冪排列應該怎樣排呢？
【選自教材P100 練習 第2題】
2.把多項式 重新排列：
（3）按y的降冪排列；
（4）按y的升冪排列.
x4-y4+3x3y-2xy2-5x2y3
0
4
1
2
3
x4+3x3y-2xy2-5x2y3-y4
-y4-5x2y3-2xy2+3x3y+x4
3.已知多項式-2+xm-1y+x2-nx2y3是關于x、y的四次三項式.
（1）求m和n的值；
（2）把這個多項式按x的升冪排列.
（2）根據（1）得該多項式為-2+x3y+x2，把這個多項式按x的升冪排列為-2+x2+x3y.
解：（1）由多項式-2+xm-1y+x2-nx2y3是關于x、y的四次三項式，得n=0，m-1+1=4，所以m=4，n=0.
知識點1 升冪排列
1.［教材習題變式］把多項式按 的升冪排列，下列
結果正確的是( )
D
A. B. C. D.
返回
2.將多項式按字母 的升冪排列為___________
______________.
返回
3.（4分）把多項式按 的升冪排列，并求出當
， 時的值.
解：把多項式按的升冪排列為 .當
， 時，
.
返回
知識點2 降冪排列
4.［教材P練習T變式］將多項式按字母 的降冪排
列正確的是( )
A
A. B.
C. D.
返回
5.把多項式按字母 的降冪排列，排在第三項
的是________.
返回
6.把多項式 重新排列.
（1）按 的降冪排列為__________________________；
（2）按 的降冪排列為________________________.
返回
7.（8分）已知多項式 .
（1）按 的降冪排列為______________________；
（2）當， 時，求該多項式的值.
解：當，時， .
返回
8.多項式 是按( )
A
A.的升冪排列的 B. 的降冪排列的
C.的升冪排列的 D. 的降冪排列的
返回
9.［2025許昌期中］將多項式 按某一個字母的
升冪排列，正確的是( )
B
A. B.
C. D.
返回
10.把多項式 為大于3的正整
數按 的降冪排列為_ ______________________________________.
返回
返回
11.（8分）已知多項式 是六次四項式.
（1）求 的值；
解：因為多項式 是六次四項式，所以
，解得 .
（2）把這個多項式分別按和 的降冪排列.
解：因為,所以這個多項式為,所以按
的降冪排列為,按 的降冪排列為
.
返回
課堂小結
把一個多項式的各項按某一個字母的指數從大到小的順序排列，叫做把這個多項式按這個字母的降冪排列．
把一個多項式的各項按某一個字母的指數從小到大的順序排列，叫做把這個多項式按這個字母的升冪排列．
注意：
1.重新排列多項式時，每一項一定要連同它的正負號一起移動.
2.含有兩個或兩個以上字母的單項式，常常按照其中某一字母的指數進行升冪或降冪排列.
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