資源簡介

(共43張PPT)
2.4.4.整式的加減
第2章 整式及其加減
【華東師大版·2024】數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
幻燈片 1：封面
標題：2.4.4 整式的加減
副標題：—— 整式運算的綜合應用
幻燈片 2：學習目標
掌握整式加減的運算法則，能熟練進行整式的加減運算。
理解整式加減的實質是合并同類項，明確運算的一般步驟。
能運用整式的加減解決簡單的實際問題，提高運算能力和應用意識。
幻燈片 3：情境引入
問題：一個長方形的長為 (3x + 2y)，寬為 (2x - y)，這個長方形的周長是多少？
分析：長方形的周長 = 2×（長 + 寬），即 2 [(3x + 2y) + (2x - y)]。要計算這個式子，需要先去括號，再合并同類項，這就是整式的加減運算。
引入：整式的加減是整式運算的重要內容，它以去括號和合并同類項為基礎，本節課我們就來學習整式的加減。
幻燈片 4：整式加減的運算法則
法則：整式的加減實質上就是合并同類項。如果有括號，要先去括號，再合并同類項。
解讀：
整式加減的核心是合并同類項，所有運算最終都要轉化為同類項的合并。
有括號時，必須先按照去括號法則去掉括號，再進行同類項的合并，不能直接合并。
示例：計算 (2x + 3x) + (x - 2x)。
先去括號（括號外是正號，去括號后符號不變）：2x + 3x + x - 2x。
再合并同類項：(2x + x ) + (3x - 2x) = 3x + x。
幻燈片 5：整式加減的一般步驟
步驟：
去括號：如果整式中有括號，根據去括號法則先去掉括號。
找同類項：在去括號后的式子中，找出所有的同類項。
合并同類項：按照合并同類項的法則，將同類項合并成一項。
整理結果：合并同類項后，按一定的順序（如降冪排列）整理結果，使式子簡潔。
示例：計算 (5a - 3ab) - (2a + ab - b )。
去括號：5a - 3ab - 2a - ab + b 。
找同類項：5a 與 - 2a ，-3ab 與 - ab，b 。
合并同類項：(5a - 2a ) + (-3ab - ab) + b = 3a - 4ab + b 。
整理結果：3a - 4ab + b （已按 a 的降冪排列）。
幻燈片 6：例題 1—— 整式的加法運算
題目：計算 (3x - 2x + 1) + (2x + 3x - 4)。
解答過程：
去括號：3x - 2x + 1 + 2x + 3x - 4。
找同類項：3x 與 2x ，-2x 與 3x，1 與 - 4。
合并同類項：(3x + 2x ) + (-2x + 3x) + (1 - 4) = 5x + x - 3。
結論：結果為 5x + x - 3。
幻燈片 7：例題 2—— 整式的減法運算
題目：計算 (4m - 2n ) - (3m + 4n - m)。
解答過程：
去括號：4m - 2n - 3m - 4n + m。
找同類項：4m 與 - 3m ，-2n 與 - 4n ，m。
合并同類項：(4m - 3m ) + (-2n - 4n ) + m = m - 6n + m。
整理結果（按 m 的降冪排列）：m + m - 6n 。
結論：結果為 m + m - 6n 。
幻燈片 8：例題 3—— 整式的混合加減運算
題目：計算 3 (a - 2ab) - 2 (ab - b ) + 4a 。
解答過程：
去括號：3a - 6ab - 2ab + 2b + 4a 。
找同類項：3a 與 4a ，-6ab 與 - 2ab，2b 。
合并同類項：(3a + 4a ) + (-6ab - 2ab) + 2b = 7a - 8ab + 2b 。
結論：結果為 7a - 8ab + 2b 。
幻燈片 9：例題 4—— 整式加減的實際應用
題目：一個三角形的第一條邊長為 (2x + y)，第二條邊長比第一條邊長小 (x - y)，第三條邊長是第一條邊長與第二條邊長的和的一半，求這個三角形的周長。
解答過程：
第二條邊長：(2x + y) - (x - y) = 2x + y - x + y = x + 2y。
第三條邊長：\(\frac{1}{2}\)[(2x + y) + (x + 2y)] = \(\frac{1}{2}\)(3x + 3y) = \(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{3}{2}\)y。
周長 = 第一條邊長 + 第二條邊長 + 第三條邊長：
(2x + y) + (x + 2y) + (\(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{3}{2}\)y)
= 2x + y + x + 2y + \(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{3}{2}\)y
= (2x + x + \(\frac{3}{2}\)x) + (y + 2y + \(\frac{3}{2}\)y)
= \(\frac{9}{2}\)x + \(\frac{9}{2}\)y。
結論：這個三角形的周長是\(\frac{9}{2}\)x + \(\frac{9}{2}\)y。
幻燈片 10：例題 5—— 先化簡再求值
題目：先化簡，再求值：2 (x y + xy ) - 2 (x y - 1) - 2xy - 2，其中 x = -2，y = 2。
解答過程：
化簡：
2x y + 2xy - 2x y + 2 - 2xy - 2
= (2x y - 2x y) + (2xy - 2xy ) + (2 - 2)
= 0 + 0 + 0 = 0。
求值：當 x = -2，y = 2 時，原式 = 0。
結論：化簡結果為 0，值為 0。
幻燈片 11：課堂練習 1—— 整式的加減運算
題目：計算：
（1）(5a + 2a - 1) + (3a - a + 4)
（2）(2x - 3x + x) - (x - 2x + 3x)
答案：（1）5a + 2a - 1 + 3a - a + 4 = 8a + a + 3；（2）2x - 3x + x - x + 2x - 3x = x - x - 2x。
幻燈片 12：課堂練習 2—— 整式的混合加減
題目：計算：2 (3x - y) - 3 (x + 2y) + 5y。
答案：6x - 2y - 3x - 6y + 5y = 3x - 3y。
幻燈片 13：課堂練習 3—— 先化簡再求值
題目：先化簡，再求值：3a b - [2ab - 2 (ab - \(\frac{3}{2}\)a b)] + 2ab，其中 a = 3，b = -\(\frac{1}{3}\)。
答案：化簡得 3a b - (2ab - 2ab + 3a b) + 2ab = 3a b - 2ab + 2ab - 3a b + 2ab = -2ab + 4ab。當 a = 3，b = -\(\frac{1}{3}\)時，-2×3×(-\(\frac{1}{3}\)) + 4×3×(-\(\frac{1}{3}\)) = -2×3×\(\frac{1}{9}\) - 4 = -\(\frac{2}{3}\) - 4 = -\(\frac{14}{3}\)。
幻燈片 14：課堂練習 4—— 實際應用
題目：一個長方形的長為 (5x + 3)，寬比長小 (2x - 1)，求這個長方形的面積。
答案：寬為 (5x + 3) - (2x - 1) = 5x + 3 - 2x + 1 = 3x + 4。面積 = (5x + 3)(3x + 4) = 15x + 20x + 9x + 12 = 15x + 29x + 12（注：此處涉及多項式乘法，若未學可保留乘積形式，但按整式加減要求，先求寬再表示面積）。
幻燈片 15：易錯點分析
常見錯誤：
去括號時符號處理錯誤，尤其是括號外是負數的情況，導致后續合并同類項出錯。例如，計算 (3x - 2) - (x - 1) 時，錯誤地去括號為 3x - 2 - x - 1，正確應為 3x - 2 - x + 1。
合并同類項時漏項或系數計算錯誤，特別是系數為負數或分數時。例如，合并 3x - 5x 時，錯誤地得到 2x ，正確應為 - 2x 。
整式加減運算順序錯誤，未先去括號就進行合并同類項。例如，計算 3 + (2x - 1) 時，錯誤地合并為 5x - 1，正確應先去括號為 3 + 2x - 1 = 2x + 2。
化簡求值時，未先化簡直接代入，導致計算繁瑣且容易出錯。
規避方法：
去括號時嚴格遵循法則，括號外是負數，括號內各項符號都要改變，可分步進行，先確定符號再去括號。
合并同類項時，逐一找出同類項，標記清楚，系數相加時仔細計算，可先確定符號再算絕對值。
牢記整式加減的步驟：先去括號，再合并同類項，不可顛倒順序。
化簡求值時，堅持 “先化簡，再代入” 的原則，簡化計算過程，提高準確性。
幻燈片 16：課堂小結
整式加減的實質：合并同類項，有括號先去括號。
運算步驟：去括號→找同類項→合并同類項→整理結果。
應用：可解決實際問題，進行化簡求值等。
關鍵：正確去括號和準確合并同類項，這是整式加減運算的基礎。
幻燈片 17：布置作業
基礎作業：教材課后練習題第 1、2、3 題（整式的加減運算，化簡求值）。
提升作業：已知 A = x - 2x + 1，B = 2x - 3x - 1，求 A - 2B，并求當 x = -1 時 A - 2B 的值。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
學習目標
1.知道整式加減運算的法則，熟練進行整式的加減運算；
2.能用整式加減運算解決實際問題.
復習回顧
1.合并同類項的法則是什么
把同類項的系數相加，所得的結果作為和的系數，字母和字母的指數保持不變.
一相加，兩不變.
2.去括號的法則是什么
括號前面是“+”號，括號里各項都不改變正負號；
括號前面是“﹣”號，括號里各項都改變正負號.
探索新知
做一做：某中學合唱團出場時第1排站了n位同學，從第2排起每排都比前一排多1位同學，一共站了4排，則該合唱團一共有_____位同學參加演唱.
要解決以上問題，我們可以先解決以下問題：
（1）第二排，第三排，第四排各站了多少名學生
n+1，n+2，n+3.
（2）一排到四排總共站了多少名學生
n+(n+1)+(n+2)+(n+3)
這個整式怎么化簡？
n+(n+1)+(n+2)+(n+3)
解：n+(n+1)+(n+2)+(n+3)
=n+n+1+n+2+n+3
去括號
=(n+n+n+n)+(1+2+3)
交換、結合
=4n+6
合并同類項
思考：從這個整式的化簡過程中，你發現了什么？
結合已有的知識和經驗，你能總結出整式加減運算的一般步驟嗎？
整式加減的一般步驟：
（1）如果有括號，那么先去括號；
（2）觀察有無同類項；
（3）利用加法的交換律和結合律，分組同類項；
（4）合并同類項.
概括：先去括號，再合并同類項.
注意：整式加減運算的結果仍然是整式.
求整式x2-7x-2與-2x2+4x-1的差.
解：(x2-7x-2)-(-2x2+4x-1)
例9
=x2-7x-2+2x2-4x+1
=3x2-11x-1
先去括號
再合并同類項
為什么先用括號括起來？
注意：整式加減的結果應是最簡形式.
既不含同類項，也不含括號.
計算：-2y3+(3xy2-x2y)-2(xy2-y3)
例10
解：-2y3+(3xy2-x2y)-2(xy2-y3)
=-2y3+3xy2-x2y-2xy2+2y3
=xy2-x2y
例11
先化簡，再求值：2x2y-3xy2+4x2y-5xy2，
其中x=1，y=-1.
解：2x2y-3xy2+4x2y-5xy2
=(2x2y+4x2y)-(3xy2+5xy2)
=6x2y-8xy2
當x=1，y=-1時，
原式=6×12×(-1)-8×1×(-1)2=-14.
（1）化：利用整式加減的運算步驟將整式化簡；
（2）代：把已知字母或某個整式的值代入化簡后的式子；
（3）算：根據有理數的運算法則進行計算.
整式化簡求值的步驟：
例12
設abcd是一個四位數，如果a+b+c+d可以被3整除，那么這個數可以被3整除.為什么？
解：abcd=1000a+100b+10c+d
=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d )
顯然 999a+99b+9c能被3整除.
因此，如果a+b+c+d能被3整除，那么abcd就能被3整除.
用字母表示數，通過數與式的運算，還可以進行簡單的代數推理，說明一些數學結論的道理.
1.填空：
課堂練習
（1）3x-(-2x)=_____________；
（2）-2x2-3x2=_____________；
（3）-4xy-(-2xy)=_____________；
5x
-5x2
-2xy
【選自教材P111 練習 第1題】
2.計算：
（1）2x2y3+(-4x2y3)-(-3x2y3)；
（2）(3x2+x-5)-(4-x+7x2)；
解：原式=2x2y3-4x2y3+3x2y3
=(2-4+3)x2y3
=x2y3
解：原式=3x2+x-5-4+x-7x2
=3x2-7x2+x+x-5-4
=-4x2+2x-9
【選自教材P111 練習 第2題】
（3）(8xy-3y2)-5xy-2(3xy-2x2).
解：原式=8xy-3y2-5xy-6xy+4x2
=4x2+8xy-5xy-6xy-3y2
=4x2-3xy-3y2
3.先化簡，再求值：
（1）2a2-b2+(2b2-a2)-(a2+2b2)，其中a= ，b=3；
解：2a2-b2+(2b2-a2)-(a2+2b2)
=2a2-b2+2b2-a2-a2-2b2
=2a2-a2-a2+2b2-b2-2b2
=-b2
當a= ，b=3時，原式=-32=-9.
【選自教材P112 練習 第3題】
（2）5(3x2y-xy2)-(xy2+3x2y)，其中x= ，y=-1.
解：5(3x2y-xy2)-(xy2+3x2y)
=15x2y-5xy2-xy2-3x2y
=15x2y-3x2y-(5xy2+xy2)
=12x2y-6xy2
當x= ，y=-1時，原式=12× ×(-1)-6× ×(-1)2=-6.
【選自教材P112 練習 第3題】
4.為建設美麗鄉村，某村規劃修建一個“凹形”小廣場（平面圖形如圖所示）.
（1）求小廣場的周長（用含m、n的代數式表示）；
（2）當m=8m，n=5m時，求小廣場的面積.
解:（1）2(2m+2n)+2n=4m+6n，所以小廣場的周長為4m+6n.
4.為建設美麗鄉村，某村規劃修建一個“凹形”小廣場（平面圖形如圖所示）.
（1）求小廣場的周長（用含m、n的代數式表示）；
（2）當m=8m，n=5m時，求小廣場的面積.
解:（2）2m·2n-n(2m-m-0.5m)=3.5mn，所以小廣場的面積為3.5mn.
當m=8m，n=5m時，3.5mn=3.5×8×5=140（m2）.
因此，小廣場的面積為140m2.
閱讀材料
用分離系數法進行整式的加減運算
合并同類項
整式的加減
“合并”各同類項的系數
把各同類項的系數進行加減
關鍵
+）
計算 (x3-2x2-5) +(x-2x2-1)及(x3-2x2-5) - (x-2x2-1).
x3 -2x2 -5
-2x2 +x -1
+）
x3 -4x2 +x -6
x3 -2x2 -5
-2x2 +x -1
-）
x3 -x -4
簡化
1 -2 +0 -5
-2 +1 -1
1 -4 +1 -6
1 -2 +0 -5
-2 +1 -1
-）
1 +0 -1 -4
所以，(x3-2x2-5)+(x-2x2-1)=x3-4x2+x-6；
(x3-2x2-5) - (x-2x2-1)=x3-x-4.
分離系數法
將參與運算的整式按同
一個字母進行降冪排列
使兩個整式的
各同類項對齊
現在讓我們一起嘗試用上面的方法解決下列計算問題：
(1) (2x2-x-3) +(5-4x+x2)；
(2) (3y3-5y2-6) - (y-2+3y2).
3x2 -5x +2
+）
2 -1 -3
1 -4 +5
3 -5 +2
(1) 解
3y3 -8y2-y -4
-）
3 -5 +0 -6
3 +1 -2
3 -8 -1 -4
(2) 解
所以，(2x2-x-3) +(5-4x+x2)=3x2-5x+2；
(3y3-5y2-6)-(y-2+3y2)=3y3-8y2-y-4.
知識點1 整式的加減
1.若，，則 ( )
A
A. B. C. D.
返回
2.化簡 的結果為( )
B
A. B. C. D.
返回
3.若一個多項式加上，結果是 ，則這個多項
式為_______.
返回
4.三個連續奇數，如果中間的數是為正整數 ，那么這三個數
的和是________.
返回
5.［2025吉林期末］
是小芳
做的一道多項式的加減運算題，但她不小心把一滴墨水滴在了上面
（陰影部分），那么被墨水遮住的一項應是_____.
返回
6.（8分）［教材習題 變式］計算：
（1） ；
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
返回
7.（4分）［教材P練習T 變式］化簡求值：
.其中， .
解：原式 ，
當， 時.
原式 .
返回
知識點2 整式的加減的實際應用
8.［2025晉城月考］某校圖書館周三下午有 位同學，七年
級組織位同學來圖書館閱讀，后來有 位同學因上課
要離開，那么圖書館內還剩下的同學數為______.
返回
9.某校七年級三個班的學生在植樹節這天共義務植樹 棵，七
（1）班植樹棵，七（2）班植樹的棵數比七（1）班的兩倍少 棵，則
七（3）班植樹的棵數為_________棵.（用含， 的最簡式子表示）
返回
10.（12分）某中學要建一長方形停車場，其中一面靠墻，其他三面用
護欄圍起來，已知長方形停車場的長（靠墻一邊的長）為 米，
寬比長少 米.
（1）求護欄的總長度；
解：寬為 米，
護欄的總長度為 米.
（2）若， ，每米護欄造價70元，求建此停車場所需護欄
的總價.
解：當，時， ，
則建此停車場所需護欄的總價為 （元）.
返回
11.已知是五次多項式，是四次多項式，則 的次數是( )
B
A.1 B.5 C.4 D.無法確定
返回
12.設，，那么與 的大小關系是
( )
C
A. B. C. D.無法確定
返回
13. 一個兩位數的十位數字為，個位數字為 ，若把它
的個位數字與十位數字對調，將得到一個新的兩位數，則一定能整除新
數與原數的和的數為( )
C
A.7 B.9 C.11 D.13
返回
14.某商店在甲批發市場以每包 元的價格進了60包茶葉，又在乙批發市
場以每包元的價格進了同樣的40包茶葉，如果商家以每包
元的價格賣出這種茶葉，賣完后，這家商店的盈虧情況為( )
A
A.盈利元 B.虧損 元
C.盈利 元 D.沒盈利也沒虧損
返回
15.［2025重慶期末］若多項式
化簡后不含項，則 的值是__.
返回
16.（4分）已知， ，求代數式
的值
解：原式，當 ，
時，原式 .
返回
17.（4分）一位同學做一道題:已知兩個多項式，,計算 .他誤將
“”寫成“”，求得的結果是 .已知
，求正確答案.
解：由題意知
，
則 .
返回
18.（12分） 如果，那么我們稱與 是關于
10的“圓滿數”.
（1）7與___是關于10的“圓滿數”， 與______是關于10的“圓滿數”
（用含 的代數式表示）；
3
（2）若，，判斷與 是否是
關于10的“圓滿數”，并說明理由；
解：與是關于10的“圓滿數”.理由：因為 ，
，所以
，
所以與 是關于10的“圓滿數”.
（3）若，，且與是關于10的“圓滿數”，與
都是正整數，求 的值.
解：因為，，且與 是關于10的“圓滿數”，
所以，所以，即 ，因為
，都為正整數，所以，或，或， 或
， .
綜上， 的值為3或4或5或8.
返回
課堂小結
1.整式加減運算的一般步驟是：先去括號，再合并同類項.
2.整式加減的最后結果中：
（1）不能含有同類項，即要合并到不能再合并為止；
（2）一般按照某一字母的降冪或升冪排列；
（3）不能出現帶分數，帶分數要化成假分數.
3.整式求值的一般步驟：
（1）整式化簡；
（2）代入數值計算；
（3）對于某些特殊的代數式，可采用“整體代入”進行計算.
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