資源簡介

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3.3 立體圖形的表面展開圖
第3章 圖形的初步認識
【華東師大版·2024】數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
幻燈片 1：封面
標題：3.3 立體圖形的**：從立體到平面的 “展開” 之旅
幻燈片 2：學習目標
理解立體圖形表面展開圖的概念，知道將立體圖形展開成平面圖形的過程。
掌握正方體、圓柱、圓錐等常見立體圖形表面展開圖的特征。
能識別給定的平面圖形是否是某個立體圖形的表面展開圖，能畫出簡單立體圖形的表面展開圖，培養空間想象能力。
幻燈片 3：情境引入 —— 包裝中的數學
展示圖片：未展開的牙膏盒（長方體）、展開后的牙膏盒包裝紙、未展開的罐頭盒（圓柱）、展開后的罐頭盒包裝紙。
問題：在包裝這些物品時，包裝紙的形狀與物品的表面有什么關系？如何將立體的包裝盒轉化為平面的包裝紙？
引入：像這樣將立體圖形的表面沿著棱剪開，展開成一個平面圖形，這個平面圖形就是該立體圖形的表面展開圖。本節課我們就來探索立體圖形的表面展開圖。
幻燈片 4：表面展開圖的概念
定義：將立體圖形沿著它的一些棱剪開后，所得到的平面圖形叫做這個立體圖形的表面展開圖。
說明：
展開圖是平面圖形，由立體圖形的各個面組成。
同一個立體圖形，剪開的棱不同，得到的表面展開圖可能不同（但形狀特征一致）。
展開圖經過折疊后，能還原成原來的立體圖形。
示例：一個正方體沿著不同的棱剪開，可得到不同形狀的表面展開圖，但都由 6 個正方形組成。
幻燈片 5：正方體的表面展開圖
特征：由 6 個大小完全相同的正方形組成，這 6 個正方形通過邊相連。
常見類型：
“一四一” 型：中間一行 4 個正方形，上下各 1 個正方形（共 6 種）。
“一三二” 型：中間一行 3 個正方形，上行 1 個，下行 2 個（共 3 種）。
“二二二” 型：每行 2 個正方形，共 3 行，呈階梯狀（1 種）。
“三三” 型：每行 3 個正方形，共 2 行（1 種）。
注意：不是所有由 6 個正方形組成的平面圖形都是正方體的表面展開圖，如 “田” 字形、“凹” 字形的圖形不能折疊成正方體。
示意圖：展示上述 4 種類型的展開圖，并標注類型名稱。
動手操作：用 6 個相同的正方形紙片拼接成不同的平面圖形，嘗試折疊成正方體，驗證是否為正方體的表面展開圖。
幻燈片 6：圓柱的表面展開圖
特征：由兩個大小相同的圓和一個長方形組成。
各部分對應關系：
兩個圓分別是圓柱的上底面和下底面。
長方形的一邊長等于圓柱的高，另一邊長等于底面圓的周長（即長方形的長 = 底面圓周長，寬 = 圓柱的高）。
展開與折疊：
展開：沿著圓柱的一條高剪開側面，得到一個長方形和兩個圓。
折疊：將長方形的一邊與一個圓的圓周重合，圍成圓柱的側面，另一個圓作為底面，還原成圓柱。
示意圖：左側兩個等大的○，右側一個 （ 的長 =○的周長），標注各部分名稱。
幻燈片 7：圓錐的表面展開圖
特征：由一個圓和一個扇形組成。
各部分對應關系：
圓是圓錐的底面。
扇形的半徑等于圓錐的母線長（從圓錐頂點到底面圓周上任意一點的線段），扇形的弧長等于底面圓的周長。
展開與折疊：
展開：沿著圓錐的一條母線剪開側面，得到一個扇形和一個圓。
折疊：將扇形的弧與圓的圓周重合，圍成圓錐的側面，還原成圓錐。
示意圖：一個○和一個扇形（扇形的弧長 =○的周長），標注各部分名稱。
幻燈片 8：棱柱的表面展開圖（以三棱柱為例）
特征：由兩個全等的三角形和三個長方形組成。
各部分對應關系：
兩個三角形是三棱柱的上底面和下底面。
三個長方形是三棱柱的側面，長方形的長等于三棱柱的高，寬分別等于三角形的三條邊長。
展開與折疊：
展開：沿著三棱柱的側棱剪開，得到兩個三角形和三個長方形。
折疊：將三個長方形分別與三角形的三條邊重合，圍成三棱柱的側面，還原成三棱柱。
示意圖：兩個全等的△和三個 （ 的長 = 三棱柱的高，寬 =△的邊長），標注各部分名稱。
幻燈片 9：棱錐的表面展開圖（以四棱錐為例）
特征：由一個四邊形和四個三角形組成。
各部分對應關系：
四邊形是四棱錐的底面。
四個三角形是四棱錐的側面，每個三角形的一條邊與四邊形的一條邊重合，四個三角形有一個公共頂點（四棱錐的頂點）。
展開與折疊：
展開：沿著四棱錐的側棱剪開，得到一個四邊形和四個三角形。
折疊：將四個三角形的底邊分別與四邊形的四條邊重合，使四個三角形的公共頂點重合，還原成四棱錐。
示意圖：一個□和四個△（△的底邊 =□的邊長，△有公共頂點），標注各部分名稱。
幻燈片 10：判斷平面圖形是否為立體圖形的表面展開圖
方法：
觀察平面圖形的組成部分，是否與立體圖形的面的數量和形狀一致（如正方體的展開圖必須有 6 個正方形，圓柱的必須有 2 個圓和 1 個長方形）。
想象將平面圖形折疊，看是否能還原成相應的立體圖形。
示例 1：判斷下列平面圖形是否是正方體的表面展開圖：
圖 1：由 6 個正方形組成，呈 “一四一” 型→是。
圖 2：由 5 個正方形組成→不是（正方體有 6 個面）。
圖 3：由 6 個正方形組成，但呈 “田” 字形→不是（無法折疊成正方體）。
示例 2：判斷下列平面圖形是否是圓柱的表面展開圖：
圖 1：有 2 個圓和 1 個長方形，長方形的長等于圓的周長→是。
圖 2：有 1 個圓和 1 個長方形→不是（圓柱有 2 個底面圓）。
幻燈片 11：例題 1—— 識別正方體的表面展開圖
題目：下列平面圖形中，是正方體表面展開圖的是（ ）
A. （“凹” 字形，6 個正方形） B. （“一四一” 型，6 個正方形） C. （5 個正方形）
解答過程：
A 選項是 “凹” 字形，無法折疊成正方體，不是。
B 選項是 “一四一” 型，由 6 個正方形組成，能折疊成正方體，是。
C 選項只有 5 個正方形，正方體有 6 個面，不是。
結論：選 B。
幻燈片 12：例題 2—— 根據展開圖判斷立體圖形
題目：一個平面圖形由一個圓和一個扇形組成，這個平面圖形可能是哪個立體圖形的表面展開圖？
解答過程：
圓錐的表面展開圖由一個圓（底面）和一個扇形（側面）組成，符合該平面圖形的特征。
結論：這個平面圖形可能是圓錐的表面展開圖。
幻燈片 13：例題 3—— 畫出圓柱的表面展開圖
題目：已知一個圓柱的底面半徑是 2cm，高是 5cm，畫出它的表面展開圖，并標注相關尺寸。
解答過程：
圓柱的表面展開圖由 2 個圓（底面）和 1 個長方形（側面）組成。
圓的半徑是 2cm，直徑是 4cm。
長方形的寬等于圓柱的高 5cm，長等于底面圓的周長（2πr = 2×π×2 = 4π cm）。
示意圖：兩個半徑 2cm 的○，一個長 4π cm、寬 5cm 的 ，標注尺寸。
幻燈片 14：課堂練習 1—— 識別表面展開圖
題目：
（1）下列平面圖形中，是圓錐表面展開圖的是（ ）（選項：A. 1 個圓和 1 個三角形 B. 1 個圓和 1 個扇形 C. 2 個圓和 1 個長方形）
（2）下列平面圖形中，不能折成正方體的是（ ）（選項：A. “三三” 型 B. “田” 字形 C. “一四一” 型）
答案：（1）B；（2）B。
幻燈片 15：課堂練習 2—— 根據展開圖求尺寸
題目：一個正方體的表面展開圖是由 6 個邊長為 3cm 的正方形組成，這個正方體的棱長是多少？表面積是多少？
答案：正方體的棱長等于正方形的邊長，即 3cm；表面積是 6 個正方形的面積之和，6×3×3 = 54cm 。
幻燈片 16：課堂練習 3—— 動手操作
題目：用硬紙板制作一個正方體的表面展開圖（“一四一” 型），并將其折疊成正方體。
要求：測量正方形的邊長，計算正方體的棱長和表面積。
幻燈片 17：易錯點分析
常見錯誤：
認為所有由 6 個正方形組成的平面圖形都是正方體的表面展開圖，忽略 “田” 字形、“凹” 字形等特殊情況（這些圖形無法折疊成正方體）。
繪制圓柱的表面展開圖時，長方形的長與底面圓的周長不匹配，導致展開圖無法還原成圓柱。
識別棱錐的展開圖時，忽略側面三角形必須有公共頂點這一特征，將多個三角形和一個多邊形隨意組合視為棱錐的展開圖。
規避方法：
記憶正方體表面展開圖的常見類型和不能構成展開圖的圖形（如 “田”“凹” 字形），通過實際折疊操作加深印象，驗證哪些圖形能折成正方體。
繪制圓柱展開圖時，明確長方形的長等于底面圓的周長（C = 2πr 或 C = πd），確保尺寸對應，可先計算周長再標注長度。
識別棱錐展開圖時，重點關注側面三角形是否有公共頂點，這是棱錐展開圖的重要特征，沒有公共頂點的多個三角形和多邊形組合不是棱錐的展開圖。
幻燈片 18：課堂小結
表面展開圖的概念：立體圖形沿著棱剪開后得到的平面圖形，能還原成原立體圖形。
常見立體圖形的表面展開圖：
正方體：6 個全等的正方形，有 “一四一”“一三二”“二二二”“三三” 等類型。
圓柱：2 個全等的圓和 1 個長方形（長方形的長 = 底面圓周長）。
圓錐：1 個圓和 1 個扇形（扇形的弧長 = 底面圓周長）。
三棱柱：2 個全等的三角形和 3 個長方形。
四棱錐：1 個四邊形和 4 個有公共頂點的三角形。
核心能力：通過觀察和想象，判斷平面圖形與立體圖形的對應關系，理解立體與平面之間的轉化，提升空間觀念。
幻燈片 19：布置作業
基礎作業：
教材課后練習題第 1、2、3 題（識別表面展開圖，判斷立體圖形，畫出簡單展開圖）。
寫出正方體、圓柱、圓錐表面展開圖的組成部分。
提升作業：
一個圓錐的底面直徑是 6cm，母線長是 5cm，畫出它的表面展開圖，并計算扇形的半徑和弧長。
用硬紙板制作一個圓柱的表面展開圖（底面半徑 1cm，高 3cm），并折疊成圓柱，測量其高和底面直徑是否與設計一致。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
情境導入
情境導入
要包裝一個長方體形狀的物體，需要根據它的表面展開圖來裁剪紙張.
情境導入
你知道長方體的表面展開圖是怎樣的嗎？
試一試
下圖是一些多面體的表面展開圖，你能說出這些多面體的名稱嗎
探索新知
正方體
長方體
三棱柱
將一個長方體的表面沿某些棱剪開，能展成一個平面圖形嗎？你能得到哪些平面圖形？與同伴進行交流.
案例 1：
案例 2：
案例 3：
將一個正方體的表面沿某些棱剪開，能展成一個平面圖形嗎？你能得到哪些平面圖形？與同伴進行交流.
中間四個一連串，兩邊各一隨便放.
二三緊連錯一個，三一相連一隨便.
兩兩相連各錯一，
三個兩排一對齊.
要找兩個面對面，切記相隔一個面.
下圖中都是正方體的表面展開圖嗎？
隨堂練習
1. 下列圖形是某些多面體的表面展開圖，請說出這些多面體的名稱.
（1）
（2）
【教材P137 練習 第1題】
長方體
三棱柱
2. 下列圖形都是正方體的表面展開圖嗎？
(1)
(2)
(3)
(4)
【教材P137 練習 第2題】
3. 一個多面體的每個面上都標注了字母，如圖是該多面體的表面展開圖，請根據要求回答問題：
（1）如果面A在多面體的底部，那么哪一面會在上面？
面F
【教材P137 練習 第3題】
（2）如果面F在前面，從左面看是面B，那么哪一面會在上面？
面C
3. 一個多面體的每個面上都標注了字母，如圖是該多面體的表面展開圖，請根據要求回答問題：
【教材P137 練習 第3題】
（3）如果從右面看是面C，面D在后面，那么哪一面會在上面？
面A
3. 一個多面體的每個面上都標注了字母，如圖是該多面體的表面展開圖，請根據要求回答問題：
【教材P137 練習 第3題】
知識點1 簡單幾何體的表面展開圖
1.［2024常州中考］下列圖形中，為四棱錐的側面展開圖的是( )
B
A. B. C. D.
返回
（第2題）
2.如圖，沿線段 將該圓錐的側面剪開并展平，得到的圓
錐的側面展開圖是( )
C
A.三角形 B.正方形 C.扇形 D.圓
返回
3.［2025長春期中］下列圖形中，是長方體表面展開圖的是( )
C
A. B. C. D.
返回
4.［2025西安模擬］如圖是某立體圖形的展開圖，該立體圖形是( )
D
（第4題）
A.三棱柱 B.四棱柱 C.圓錐 D.圓柱
返回
5.某立體圖形的表面展開圖如圖所示，這個立體圖形是( )
A
（第5題）
A. B. C. D.
返回
6.［教材習題 變式］如圖是幾個立體圖形的表面展開圖，請寫出
它們的名字.
三棱柱
五棱錐
五棱柱
圓錐
返回
知識點2 正方體的表面展開圖
7.［教材P練習T 變式］將一個正方體的表面沿某些棱剪開，表面展
開圖不可能是( )
D
A. B. C. D.
返回
8.［2024江西中考］如圖是 的正方形網格，選擇一空白小正方形，
能與陰影部分組成正方體展開圖的方法有( )
B
A.1種 B.2種 C.3種 D.4種
返回
知識點3 根據展開圖找正方體的相對面
（第9題）
9.［2024廣安中考］將“共建平安校園”六個漢字分別寫
在某正方體的表面上，下圖是它的一種展開圖，則在
原正方體上，與“共”字所在面相對的面上的漢字是
( )
A
A.校 B.安 C.平 D.園
返回
（第10題）
10.［2025新鄉期末］一個正方體的相對面上所標的數
互為相反數，如圖是正方體的表面展開圖，那么
的值是( )
C
A. B. C.5 D.4
返回
11.如圖，正方體的展開圖中相對面上的數字之和相等，則 ___.
9
（第11題）
返回
12.如圖，一個幾何體的上半部分為正四棱錐，下半部分為正方體，且
有一個面涂有顏色（陰影部分）.下列圖形中，是該幾何體的表面展開
圖的是( )
C
（第12題）
A. B. C. D.
返回
（第13題）
13.［2025信陽期末］如圖是一個正方體的表面展開
圖，則該正方體可能是( )
D
A. B. C. D.
返回
14.［2025太原期中］如圖，用高為、底面直徑為的圓柱 的
側面展開圖，圍成不同于圓柱的另一個圓柱，則圓柱 的體積為____
.
36
返回
15.［2025西安期末］如圖是正方體的平面展開圖，若 ，則在該
正方體上， 兩點間的距離為___.
4
（第15題）
返回
16.如圖①是一個正方體的表面展開圖，該正方體從圖②的位置依次翻
到第1格、第2格、第3格，這時正方體朝上的一面上的漢字是____.
（不考慮漢字的方向）
真
（第16題）
返回
17.（8分）廢品回收能夠節能環保，某食品包裝盒回
收時需將其展開再處理，如圖是一個食品包裝盒的
表面展開圖.
（1）包裝盒的幾何體名稱是________；
長方體
（2）用，表示這個幾何體的表面積 （側面積與上、下底面面積之
和），并計算當，時， 的值.
解：.當， 時，
.
返回
18.（4分） 把正方體的六個面分別涂上不同的顏色，
并畫上朵數不等的花，各面上的顏色與花的朵數情況如下表：
顏色 紅 黃 藍 白 紫 綠
花的朵數 1 2 3 4 5 6
現將上述大小相同，顏色、花朵分布完全
一樣的四個正方體拼成一個水平放置的長
方體（如圖），問：長方體的下底面共有
多少朵花？
解：由題意可得，從右數第一個正方體的下底面為白色，第二個正方體
的下底面為綠色，第三個正方體的下底面為黃色，第四個正方體的下底
面為紫色，所以長方體的下底面共有 （朵）花.
返回
課堂小結
謝謝觀看！

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