資源簡介

(共44張PPT)
3.6.2 角的比較和運算
第3章 圖形的初步認識
【華東師大版·2024】數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
幻燈片 1：封面
標題：3.6.2 角的比較和運算
副標題：掌握角的大小比較，學會角的和差計算
幻燈片 2：學習目標
熟練掌握角的兩種比較方法（疊合法和度量法），能準確判斷兩個角的大小關系。
理解角的和、差概念，能進行簡單的角的和差運算。
知道角的平分線的定義，能運用角的平分線的性質解決問題，培養幾何推理能力。
幻燈片 3：復習回顧
角的概念：由兩條有公共端點的射線組成的圖形，或一條射線繞端點旋轉形成的圖形。
角的度量單位：度（°）、分（′）、秒（″），1°=60′，1′=60″。
引入：上節課我們學習了角的基本概念和度量，本節課我們將學習如何比較角的大小以及進行角的運算。
幻燈片 4：角的比較方法 —— 疊合法
操作步驟：
將兩個角的頂點重合。
使兩個角的一條邊重合。
觀察另一條邊的位置關系。
結果判斷：
若另一條邊也重合，則這兩個角相等，記作∠A = ∠B。
若∠A 的另一條邊在∠B 的內部，則∠A < ∠B。
若∠A 的另一條邊在∠B 的外部，則∠A > ∠B。
示例：用兩個不同大小的角（如 30° 和 60°）演示疊合過程，直觀展示比較結果。
幻燈片 5：角的比較方法 —— 度量法
操作步驟：
用量角器分別測量出兩個角的度數。
比較兩個角的度數大小。
結果判斷：度數大的角大，度數小的角小。
示例：測量∠1=50°，∠2=70°，則∠1 < ∠2。
注意：測量時要正確使用量角器，確保度數準確。
幻燈片 6：角的和與差
角的和：兩個角的和是指把兩個角疊合在一起，組成的一個新角，這個新角的度數等于兩個角的度數之和。
示例：∠A=30°，∠B=40°，則∠A + ∠B=70°，可以用圖形表示為一個 70° 的角是由 30° 和 40° 的角組成的。
角的差：兩個角的差是指從一個較大的角中減去一個較小的角，得到的一個新角，這個新角的度數等于兩個角的度數之差。
示例：∠C=80°，∠D=30°，則∠C - ∠D=50°，圖形表示為從 80° 的角中去掉 30° 的角，剩下的部分是 50° 的角。
表示方法：∠A + ∠B = ∠C，∠C - ∠A = ∠B 等。
幻燈片 7：角的平分線
定義：從一個角的頂點出發，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線。
幾何表示：若 OC 是∠AOB 的平分線，則∠AOC = ∠BOC = \(\frac{1}{2}\)∠AOB，或∠AOB = 2∠AOC = 2∠BOC。
圖形表示：在∠AOB 中，畫出射線 OC，使∠AOC = ∠BOC，標注 OC 為角平分線。
說明：角的平分線是一條射線，它在角的內部。
幻燈片 8：角的平分線的畫法
方法 1：用量角器：
量出已知角的度數。
計算出它的一半的度數。
從角的頂點出發，畫出一條射線，使它與角的一邊形成的角等于計算出的度數。
方法 2：用圓規和直尺（尺規作圖）：
以角的頂點為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交角的兩邊于兩點。
分別以這兩點為圓心，大于兩點間距離一半的長為半徑畫弧，兩弧在角的內部交于一點。
從角的頂點出發，過這個交點畫射線，這條射線就是角的平分線。
幻燈片 9：例題 1—— 角的比較
題目：已知∠α=55°，∠β=55°30′，比較∠α 和∠β 的大小。
解答過程：
因為 55° < 55°30′，所以∠α < ∠β。
結論：∠α < ∠β。
幻燈片 10：例題 2—— 角的和差運算
題目：已知∠AOB=120°，∠AOC=40°，且 OC 在∠AOB 內部，求∠BOC 的度數。
解答過程：
因為 OC 在∠AOB 內部，所以∠BOC = ∠AOB - ∠AOC = 120° - 40° = 80°。
結論：∠BOC=80°。
幻燈片 11：例題 3—— 角的平分線的應用
題目：已知 OC 是∠AOB 的平分線，∠AOB=80°，求∠AOC 的度數。
解答過程：
因為 OC 是∠AOB 的平分線，所以∠AOC = \(\frac{1}{2}\)∠AOB = \(\frac{1}{2}\)×80° = 40°。
結論：∠AOC=40°。
幻燈片 12：課堂練習 1—— 角的比較
題目：比較下列各組角的大小：
（1）30°15′和 30.15°
（2）90° 和 89°59′
答案：（1）30°15′ > 30.15°（因為 30.15°=30°9′）；（2）90° > 89°59′。
幻燈片 13：課堂練習 2—— 角的和差運算
題目：已知∠1=35°，∠2=55°，求∠1 + ∠2 的度數，它是什么角？
答案：∠1 + ∠2=35° + 55°=90°，是直角。
幻燈片 14：課堂練習 3—— 角的平分線的應用
題目：已知 OD 是∠AOB 的平分線，∠AOD=35°，求∠AOB 的度數。
答案：因為 OD 是∠AOB 的平分線，所以∠AOB=2∠AOD=2×35°=70°。
幻燈片 15：易錯點分析
常見錯誤：
進行角的比較時，忽略度、分、秒的進制，直接比較數值，如認為 30.5°=30°5′，導致比較錯誤。
角的和差運算中，單位不統一就進行計算，如將 30° 和 20′直接相加得到 50°。
對角的平分線概念理解錯誤，認為角的平分線是線段或直線，實際上角的平分線是射線。
規避方法：
比較角的大小時，先統一單位，將度、分、秒按 60 進制進行轉換后再比較。
進行角的和差運算時，要保證度與度、分與分、秒與秒分別相加或相減，滿 60 進 1，借 1 當 60。
牢記角的平分線的定義，明確它是一條射線，在角的內部，將角分成兩個相等的角。
幻燈片 16：課堂小結
角的比較方法：疊合法和度量法。
角的運算：包括角的和與差，運算時要注意單位統一和進制轉換。
角的平分線：把一個角分成兩個相等角的射線，具有∠AOC=∠BOC=\(\frac{1}{2}\)∠AOB 的性質。
幻燈片 17：布置作業
基礎作業：
教材課后練習題第 1、2、3 題（角的比較、和差運算、角的平分線應用）。
已知∠A=70°，∠B=50°，求∠A + ∠B 和∠A - ∠B 的度數。
提升作業：
已知∠AOB=150°，OC 是∠AOB 的平分線，OD 是∠AOC 的平分線，求∠BOD 的度數。
一個角的補角是它的 3 倍，求這個角的度數（補角：和為 180° 的兩個角）。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
情境導入
下面兩個鐘面上，時針與分針間的夾角誰大誰小呢？
探索新知
O
A
B
D
E
F
C
G
H
觀察如圖所示的三個角，哪一個最大？
∠AOB與∠CGH的大小關系不太明顯. 那么如何比較，才能得到準確的結果呢？
疊合法
O
A
B
C
G
H
G(O)
H(B)
如圖所示,把一個角放到另一個角上,使它們的頂點重合,其中的一邊也重合,并使兩個角的另一邊都在重合的這一條邊的同側.
∠CGH＞∠AOB 或 ∠AOB＜∠CGH
度量法
O
A
B
C
G
H
D
E
F
讀數為60°
讀數為36°
讀數為65°
∠CGH＞∠AOB＞∠DEF
45°
45°
30°
60°
一副三角尺上的角是一些常用的角，除了可以用它們直接畫出30°、45°、60°和90°的角之外，還可以畫出其他一些特殊的角.
75°
15°
角的大小與它的開口大小有關.
如下圖，∠2＞∠1，以兩個角的頂點為圓心，相同長為半徑作弧
2
1
開口越大，角越大，圓弧與角兩邊的交點之間的線段也越長.
做一做
如圖，∠AOB為已知角，試用直尺和圓規按下列步驟準確地作一個角等于∠AOB.
A
O
B
A
O
B
O′
A′
（1）作射線O′A′；
作法：
（2）以點O為圓心，適當長為半徑作弧，交射線OA于點C，交射線OB于點D；
C
D
A
O
B
O′
A′
C
D
（3）以點O′為圓心、線段OC長為半徑作弧，交射線O′A′于點C′ ；
（4）以點C′為圓心、線段CD長為半徑作弧，交前一條弧于點D′ ；
C′
D′
（5）經過點D′作射線O′B′，則∠A′O′B′就是所要求作的角.
B′
作法：
人們將利用沒有刻度的直尺和圓規這兩種工具作幾何圖形的方法稱為“尺規作圖”.
A
A
B
O
過點A作直線
過點A、B作直線
以點O為圓心作圓
角的運算：
我們可以對角進行簡單的加減運算，兩個角相加或相減得到的和或差也是角.
設有兩個角∠1和∠2（∠1＞∠2），如圖：
當∠2的另一邊在∠1 的外部時，
它們的另兩邊所成的角就是∠1與∠2的和.
當∠2的另一邊在∠1 的內部時，
它們的另兩邊所成的角就是它們的差.
如圖，用量角器和直尺在紙上畫∠AOB=84°，然后沿點О對折，使邊OA和OB重合，那么折痕把角分成了大小相等的兩部分.
做一做
A
O
B
C
角平分線
42°
42°
角的平分線：
A
O
B
C
從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線.
隨堂練習
1. 先觀察下列各組角，其中哪一個角較大？然后用量角器量一量每個角，看看你的觀察結果是否正確.
（1）
（2）
120°
130°
65°
70°
【教材P160 練習 第1題】
2．請利用三角尺中的角估計下列角的度數，并按大小順序用“>”號連接這四個角.
∠3＞∠2＞∠1＞∠4
【教材P160 練習 第2題】
3. 如圖，點O是直線AB上的一點，∠AOC = 55°．畫出∠BOC的平分線OD，并計算∠AOD的度數.
∠BOC＝180°－55°＝125°
∠BOD＝∠COD＝62.5°
D
∠AOD＝55°＋62.5°＝117.5°
【教材P161 練習 第3題】
4.已知∠AOB，利用尺規作圖作一個角，使它等于
已知角的2倍.
A
O
B
【教材P161 練習 第4題】
知識點1 角的比較
1. 用“疊合法”比較與 的大小，正確的是( )
D
A. B. C. D.
返回
2.如圖，在正方形網格中有 和 ，則 和 的大小關系是
( )
A
（第2題）
A. B.
C. D.無法確定
返回
3.［2025寧德期末］如圖①②所示，把一副三角板先后放在 上，
則 的度數可能是( )
C
（第3題）
A. B. C. D.
返回
知識點2 用尺規作角
4.如圖，用直尺和圓規作 的過程中，弧③是( )
D
（第4題）
A.以為圓心， 長為半徑畫弧
B.以為圓心， 長為半徑畫弧
C.以為圓心， 長為半徑畫弧
D.以為圓心， 長為半徑畫弧
返回
5.如圖，尺規作圖保留了作圖痕跡 ，我們
得到的 ，那么 _____.
（第5題）
返回
知識點3 角的度量與換算
6.［2025長春期末］如圖，把兩塊三角板拼在一起，則 等于
( )
B
（第6題）
A. B. C. D.
返回
（第7題）
7.如圖， ， ，
則 的大小為( )
C
A. B. C. D.
返回
8.［教材習題 變式］計算：
（1） ________；
（2） ___________;
（3） ___________.
返回
知識點4 角平分線
9.下列條件能說明是 的平分線的是( )
D
A.
B.
C.
D.在內部
返回
（第10題）
10.如圖，是的平分線，若 ，
，則 的度數是( )
C
A. B. C. D.
返回
11.［2025重慶期末］如圖，已知點是直線上一點， ，
平分，則 的度數為_____.
（第11題）
返回
12.（4分）如圖，，分別是和 的平分線，
， ，求 的度數.
解：因為平分， ，
所以 .
又因為 ，
所以 .
又因為平分 ，
所以 .
返回
（第13題）
13.如圖是一副特制的三角板，用它們可以畫出一些
特殊角.在下列選項中，不能畫出的角度是( )
D
A. B. C. D.
返回
（第14題）
14.如圖，的方向是北偏東 ， 的方向是北偏
西 ，平分，則 的方向是( )
D
A.北偏東 B.東偏北
C.東偏北 D.北偏東
返回
15. 以的頂點為端點引射線，使 ，
若 ，則 的度數為___________.
或
返回
16.（4分）如圖，已知 和 ，利用尺規作 ，使
.
解：如圖， 即為所求作的角.
返回
17.（8分）如圖，已知 ， ，
平分，平分 .
（1）求 的度數；
解：因為 ， ，
所以 .
因為平分，平分，所以 ，
，所以 .
（2）若 ，其他條件不變，求 的度數.
解：因為 ， ，所以
.
因為平分，平分 ，所以
， ，
所以 .
返回
18.（12分） 如圖①，老師拿一張長方形紙片折疊一
角，得到折痕 ，同學們發現折痕有角平分線的作用.
（1）若 ，則 ______；
（2）希望小組將長方形紙片按圖②方式折疊，,為折痕，點 ，
，恰好在同一條直線上，求 的度數；
解：依題意，得 ，
，
所以 .
（3）智慧小組將長方形紙片按圖③方式折疊，， 為折痕，若
，請直接寫出 的度數.
解：的度數為 .
[解析] 點撥：由折疊得, .因為
，所以
.所以
.所以
.
返回
課堂小結
角的比較和運算
角的比較
度量法
疊合法
角的運算
代數型的角的加減運算（兩個角的度數進行加減運算）
幾何型的角的加減運算（根據圖形之間的關系，進行角的加減運算）
角的平分線
謝謝觀看！

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