資源簡介

(共38張PPT)
3.6.3 余角和補(bǔ)角
第3章 圖形的初步認(rèn)識
【華東師大版·2024】數(shù)學(xué) 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時(shí) 間：********
幻燈片 1：封面
標(biāo)題：3.6.3 余角和補(bǔ)角
副標(biāo)題：理解余角與補(bǔ)角的概念，掌握其性質(zhì)
幻燈片 2：學(xué)習(xí)目標(biāo)
理解余角和補(bǔ)角的定義，能準(zhǔn)確判斷兩個(gè)角是否互為余角或補(bǔ)角。
掌握余角和補(bǔ)角的性質(zhì)（同角或等角的余角相等，同角或等角的補(bǔ)角相等），并能運(yùn)用性質(zhì)解決問題。
能進(jìn)行余角和補(bǔ)角的計(jì)算，培養(yǎng)邏輯推理和運(yùn)算能力。
幻燈片 3：情境引入 —— 特殊的角的關(guān)系
展示圖片：一副直角三角尺（其中一個(gè)三角尺的兩個(gè)銳角分別為 30° 和 60°，另一個(gè)為 45° 和 45°）。
提問：觀察這兩個(gè)三角尺，每個(gè)三角尺的兩個(gè)銳角之和是多少度？平角是 180°，如果一個(gè)角是 120°，那么另一個(gè)角是多少度時(shí)，它們的和是 180°？
引入：在角的運(yùn)算中，有兩種特殊的角的關(guān)系非常重要，那就是余角和補(bǔ)角。本節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)余角和補(bǔ)角。
幻燈片 4：余角的定義
定義：如果兩個(gè)角的和等于 90°（直角），就說這兩個(gè)角互為余角，簡稱互余。其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角。
幾何表示：若∠1 + ∠2 = 90°，則∠1 與∠2 互為余角，即∠1 是∠2 的余角，∠2 也是∠1 的余角。
示例：∠A = 30°，∠B = 60°，因?yàn)?30° + 60° = 90°，所以∠A 與∠B 互為余角。
說明：
互為余角的兩個(gè)角只與它們的度數(shù)之和有關(guān)，與位置無關(guān)。
一個(gè)角的余角可以有多個(gè)，但它們的度數(shù)都相等（因?yàn)?90° 減去這個(gè)角的度數(shù)是固定的）。
幻燈片 5：補(bǔ)角的定義
定義：如果兩個(gè)角的和等于 180°（平角），就說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，簡稱互補(bǔ)。其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角。
幾何表示：若∠3 + ∠4 = 180°，則∠3 與∠4 互為補(bǔ)角，即∠3 是∠4 的補(bǔ)角，∠4 也是∠3 的補(bǔ)角。
示例：∠C = 110°，∠D = 70°，因?yàn)?110° + 70° = 180°，所以∠C 與∠D 互為補(bǔ)角。
說明：
互為補(bǔ)角的兩個(gè)角同樣只與度數(shù)之和有關(guān)，與位置無關(guān)。
一個(gè)角的補(bǔ)角也可以有多個(gè)，且度數(shù)相等（180° 減去這個(gè)角的度數(shù)是固定的）。
幻燈片 6：余角和補(bǔ)角的性質(zhì)
性質(zhì) 1（余角）：同角或等角的余角相等。
幾何表示：
若∠1 + ∠2 = 90°，∠1 + ∠3 = 90°，則∠2 = ∠3（同角的余角相等）。
若∠1 + ∠2 = 90°，∠3 + ∠4 = 90°，且∠1 = ∠3，則∠2 = ∠4（等角的余角相等）。
性質(zhì) 2（補(bǔ)角）：同角或等角的補(bǔ)角相等。
幾何表示：
若∠1 + ∠2 = 180°，∠1 + ∠3 = 180°，則∠2 = ∠3（同角的補(bǔ)角相等）。
若∠1 + ∠2 = 180°，∠3 + ∠4 = 180°，且∠1 = ∠3，則∠2 = ∠4（等角的補(bǔ)角相等）。
示例：若∠α = 50°，則∠α 的余角是 40°；若∠β = 50°，則∠β 的余角也是 40°，體現(xiàn)等角的余角相等。
幻燈片 7：余角和補(bǔ)角的計(jì)算
求一個(gè)角的余角：若已知角為 x°，則它的余角為（90 - x）°（x° < 90°）。
求一個(gè)角的補(bǔ)角：若已知角為 x°，則它的補(bǔ)角為（180 - x）°（x° < 180°）。
示例：
60° 的余角是 90° - 60° = 30°。
120° 的補(bǔ)角是 180° - 120° = 60°。
幻燈片 8：例題 1—— 判斷互余或互補(bǔ)
題目：判斷下列各組角是否互為余角或補(bǔ)角：
（1）∠1 = 30°，∠2 = 60°
（2）∠3 = 100°，∠4 = 80°
（3）∠5 = 75°，∠6 = 25°
解答過程：
（1）∠1 + ∠2 = 30° + 60° = 90°，所以∠1 與∠2 互為余角。
（2）∠3 + ∠4 = 100° + 80° = 180°，所以∠3 與∠4 互為補(bǔ)角。
（3）∠5 + ∠6 = 75° + 25° = 100°，既不互余也不互補(bǔ)。
結(jié)論：（1）互為余角；（2）互為補(bǔ)角；（3）都不是。
幻燈片 9：例題 2—— 求角的余角或補(bǔ)角
題目：
（1）求 58° 角的余角和補(bǔ)角。
（2）一個(gè)角的補(bǔ)角是它的 3 倍，求這個(gè)角的度數(shù)。
解答過程：
（1）余角：90° - 58° = 32°；補(bǔ)角：180° - 58° = 122°。
（2）設(shè)這個(gè)角的度數(shù)為 x°，則它的補(bǔ)角為（180 - x）°，根據(jù)題意得 180 - x = 3x，解得 x = 45。
結(jié)論：（1）余角 32°，補(bǔ)角 122°；（2）這個(gè)角是 45°。
幻燈片 10：例題 3—— 余角和補(bǔ)角性質(zhì)的應(yīng)用
題目：已知∠A 與∠B 互為余角，∠A 與∠C 互為補(bǔ)角，且∠B = 25°，求∠C 的度數(shù)。
解答過程：
因?yàn)椤螦 與∠B 互為余角，所以∠A = 90° - ∠B = 90° - 25° = 65°。
因?yàn)椤螦 與∠C 互為補(bǔ)角，所以∠C = 180° - ∠A = 180° - 65° = 115°。
結(jié)論：∠C = 115°。
幻燈片 11：課堂練習(xí) 1—— 基本計(jì)算
題目：
（1）70° 的余角是（ ）°，補(bǔ)角是（ ）°。
（2）一個(gè)角的余角是 35°，這個(gè)角是（ ）°，它的補(bǔ)角是（ ）°。
答案：（1）20，110；（2）55，125。
幻燈片 12：課堂練習(xí) 2—— 性質(zhì)應(yīng)用
題目：已知∠1 與∠2 互為余角，∠3 與∠4 互為余角，且∠1 = ∠3，求證∠2 = ∠4。
證明過程：
因?yàn)椤? 與∠2 互為余角，所以∠1 + ∠2 = 90°，即∠2 = 90° - ∠1。
因?yàn)椤? 與∠4 互為余角，所以∠3 + ∠4 = 90°，即∠4 = 90° - ∠3。
又因?yàn)椤? = ∠3，所以∠2 = ∠4。
幻燈片 13：課堂練習(xí) 3—— 綜合應(yīng)用
題目：一個(gè)角的補(bǔ)角比它的余角的 3 倍多 10°，求這個(gè)角的度數(shù)。
解答過程：
設(shè)這個(gè)角的度數(shù)為 x°，則它的補(bǔ)角為（180 - x）°，余角為（90 - x）°。
根據(jù)題意得：180 - x = 3（90 - x） + 10。
解方程：180 - x = 270 - 3x + 10，2x = 100，x = 50。
答案：這個(gè)角是 50°。
幻燈片 14：易錯(cuò)點(diǎn)分析
常見錯(cuò)誤：
對余角和補(bǔ)角的定義理解不透徹，認(rèn)為只有兩個(gè)銳角才能互余，實(shí)際上只要兩角之和為 90° 就互余，與角的類型無關(guān)（但鈍角沒有余角）。
混淆余角和補(bǔ)角的性質(zhì)，在應(yīng)用時(shí)出現(xiàn)邏輯錯(cuò)誤，如錯(cuò)誤認(rèn)為 “同角的余角與補(bǔ)角相等”。
計(jì)算一個(gè)角的余角或補(bǔ)角時(shí)，忽略角的度數(shù)范圍，如求 100° 的余角，而 100° 大于 90°，沒有余角。
規(guī)避方法：
牢記余角和補(bǔ)角的定義，重點(diǎn)關(guān)注兩角之和是否為 90° 或 180°，而非角的具體類型。
區(qū)分余角和補(bǔ)角的性質(zhì)，通過幾何表示和實(shí)例理解 “同角或等角的余角相等” 與 “同角或等角的補(bǔ)角相等” 的不同適用場景。
計(jì)算前先判斷角是否有對應(yīng)的余角或補(bǔ)角：銳角（小于 90°）才有余角，銳角、直角、鈍角（小于 180°）才有補(bǔ)角。
幻燈片 15：課堂小結(jié)
余角和補(bǔ)角的定義：
互余：兩角之和為 90°。
互補(bǔ)：兩角之和為 180°。
性質(zhì)：
同角或等角的余角相等。
同角或等角的補(bǔ)角相等。
計(jì)算：
余角 = 90° - 已知角（已知角 < 90°）。
補(bǔ)角 = 180° - 已知角（已知角 < 180°）。
幻燈片 16：布置作業(yè)
基礎(chǔ)作業(yè)：
教材課后練習(xí)題第 1、2 題（判斷互余互補(bǔ)、計(jì)算余角補(bǔ)角）。
一個(gè)角的度數(shù)是 36°，求它的余角和補(bǔ)角的度數(shù)。
提升作業(yè)：
已知∠α 和∠β 互為補(bǔ)角，且∠α 比∠β 大 30°，求∠α 和∠β 的度數(shù)。
如圖，點(diǎn) O 在直線 AB 上，OC 是∠AOD 的平分線，∠DOB = 90°，求證∠COD 與∠BOD 互余。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓(xùn)練
7
中考考法
8
小結(jié)梳理
學(xué)習(xí)目錄
1
復(fù)習(xí)引入
2
新知講解
3
典例講解
情境導(dǎo)入
45°
45°
30°
60°
90°
90°
和都是90°
探索新知
1
2
α
β
用量角器量一量兩組圖中各角的大小，看看你發(fā)現(xiàn)了什么？
20°
70°
40°
50°
∠1＋∠2＝90°
∠α＋∠β＝90°
1
2
α
β
兩個(gè)角的和等于90°（直角），就說這兩個(gè)角互為余角.
簡稱互余.
1
2
α
β
如果∠1＋∠2＝90°，那么∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角.
兩個(gè)角的和等于90°（直角），就說這兩個(gè)角互為余角.
1
2
反過來，如果兩個(gè)角互余，
1
那么把這兩個(gè)角像這樣拼一起，就構(gòu)成一個(gè)直角.
α
β
3
4
同樣，如果兩個(gè)角的和等于180°（平角），
就說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，簡稱互補(bǔ).
∠3＋∠4＝180°，所以∠3、∠4的互為補(bǔ)角.
1
2
3
4
想想看，如果∠1與∠2互余，∠3與∠4互余，∠2 =∠4，那么∠1和∠3有什么關(guān)系？相等角的補(bǔ)角又有什么關(guān)系？
∠1＝∠3
歸納總結(jié)
同角或等角的余角相等；同角或等角的補(bǔ)角相等.
例3 已知∠α＝50°17′，求∠α的余角和補(bǔ)角.
∠α的余角＝90°－50°17′＝39°43′
∠α的補(bǔ)角＝180°－50°17′＝129°43′
隨堂練習(xí)
1. 說出圖中互余和互補(bǔ)的角.
E
A
B
F
D
∠AED和∠DEB、
∠BEF和∠AEF
互補(bǔ)的角：
∠DEF和∠FEB
互余的角：
【教材P162 練習(xí) 第1題】
2．如圖，有兩堵圍墻，有人想測量地面上所形成的∠AOB的度數(shù)，但人又不能進(jìn)入圍墻，只能站在墻外，請問該如何測量？
延長AO，測量∠AOB的補(bǔ)角即可.
提示：也可延長BO.
【教材P162 練習(xí) 第2題】
3 如圖，已知∠AOB，利用尺規(guī)作圖作一個(gè)角等于該角
補(bǔ)角.
B
O
A
C
∠COB是∠AOB是的補(bǔ)角
【教材P162 練習(xí) 第3題】
知識點(diǎn)1 余角和補(bǔ)角的定義
1.若 ，則 的補(bǔ)角為( )
D
A. B. C. D.
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2.若，則 的余角為( )
A
A. B. C. D.
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3.［2025成都期末］若兩個(gè)角互補(bǔ)，則( )
D
A.這兩個(gè)角都是銳角
B.這兩個(gè)角都是鈍角
C.這兩個(gè)角一定一個(gè)是銳角，一個(gè)是鈍角
D.以上答案都不對
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4.［教材P162練習(xí)T1變式］如圖，，， 三點(diǎn)在同一條直線上，
.
（1） 的余角是_______，補(bǔ)角是_______；
（2）若 ，則 ______.
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5.若一個(gè)角的余角的3倍比這個(gè)角的補(bǔ)角多 ，則這個(gè)角的度數(shù)為_____.
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6.（8分）［教材P162練習(xí)T3變式］如圖， ， 平分
， .
（1）與互余嗎？與 互補(bǔ)嗎？試說明理由.
解：與互余.與 互補(bǔ).理由如下:
因?yàn)?，平分 ，
所以 .
又因?yàn)?所以 ，
所以 ,即與 互余.
因?yàn)? ，
所以與 互補(bǔ).
（2）利用尺規(guī)作圖，作一個(gè)角等于 的補(bǔ)角.（不寫作法，保留作圖痕跡）
解：如圖， 即為所求.
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知識點(diǎn)2 余角和補(bǔ)角的性質(zhì)
7. 若 , ，則與 的大小關(guān)系
是_________，理由是________________；若 ，且
， ，則與 的大小關(guān)系是______
___，理由是________________.
同角的余角相等
等角的補(bǔ)角相等
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（第8題）
8.［2025周口期末］如圖，將一副三角板的直角
頂點(diǎn)重合擺放在桌面上，若 ，則
等于( )
B
A. B. C. D.
（第9題）
9.如圖，直線,相交于點(diǎn)， ，那么
______.
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10.（8分）如圖， ， .
（1）的余角為______________； 的補(bǔ)角為______________.
，
，
（2）與有怎樣的數(shù)量關(guān)系，為什么？與 有怎
樣的數(shù)量關(guān)系，為什么？
解：因?yàn)椋?， ，
所以 .
因?yàn)? .
所以 ，
.
又因?yàn)?，
所以 .
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11.［2025莆田期末］如圖，將一副三角板按不同位置擺放，其中 和
不一定相等的是( )
D
A. B. C. D.
返回
（第12題）
12.如圖，射線的方向?yàn)槟掀珫| ，且 平分
，則射線 的方向?yàn)? )
B
A.南偏西 B.南偏西 C.南偏西 D.西偏南
返回
13.已知兩個(gè)角的度數(shù)比是，差是 ，則這兩個(gè)角的關(guān)系是( )
B
A.互余 B.互補(bǔ)
C.既不互余也不互補(bǔ) D.不能確定
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14.［2025長春期末］如果 和 互補(bǔ)，且 ，下列表示
的余角的式子中不正確的是( )
C
A. B. C. D.
返回
（第15題）
15.如圖，點(diǎn)在直線上， ，
下列說法錯(cuò)誤的是( )
D
A.與相等 B.與 互余
C.與互補(bǔ) D.與 互補(bǔ)
返回
16.（8分）［2025駐馬店期末］如圖，是直線上一點(diǎn)， 為任意一
條射線，平分，平分 .
（1）圖中的補(bǔ)角是_______________； 的余角是_________
______.
，
，
（2）與 具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？說明理由.
解： .理由：
因?yàn)槠椒?，平分，所?，
，所以
，
即與的數(shù)量關(guān)系是 .
返回
17.（8分）如圖，，， 三點(diǎn)在同一直線
上，與 互補(bǔ).
（1）若 ，求 的度數(shù)；
解：因?yàn)椋c(diǎn)在同一直線上，所以 ，
所以與 互補(bǔ).
又因?yàn)榕c 互補(bǔ)，
所以 .
（2）已知平分，若射線在的內(nèi)部，且滿足 與
互余，試探究與 之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.
解： .理由：
設(shè) ，
因?yàn)槠椒?，
所以 .
因?yàn)榕c 互余，
所以 ，
所以 .
由（1）易得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
返回
課堂小結(jié)
互 余 互 補(bǔ)
數(shù)量 關(guān)系
對 應(yīng) 圖 形
性 質(zhì)
∠1＋∠2＝90°
∠3＋∠4＝180°
同角或等角的余角相等
同角或等角的補(bǔ)角相等
謝謝觀看！

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