資源簡介

(共52張PPT)
4.1.2 垂線
第4章 相交線和平行線
【華東師大版·2024】數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
幻燈片 1：封面
標題：4.1.2 垂線
副標題：理解垂線的概念，掌握垂線的性質與畫法
幻燈片 2：學習目標
理解垂線的概念，知道兩條直線互相垂直的含義，能正確表示兩條互相垂直的直線。
掌握垂線的性質（在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直），并能運用該性質解決問題。
學會用三角尺或量角器畫一條直線的垂線，培養動手操作能力。
理解點到直線的距離的概念，能測量點到直線的距離。
幻燈片 3：情境引入 —— 生活中的垂直現象
展示圖片：墻角的兩條相交直線（互相垂直）、黑板的相鄰兩邊（互相垂直）、十字路口的兩條道路（互相垂直）、單杠的橫杠與豎杠（互相垂直）。
提問：這些相交的直線所形成的角有什么特點？它們的位置關系有什么特殊之處？
引入：像這樣相交成直角的兩條直線，它們的位置關系就是垂直。本節課我們就來學習垂線的相關知識。
幻燈片 4：垂線的概念
定義：如果兩條直線相交成直角，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。
圖形表示：畫出直線 AB 和 CD 相交于點 O，且∠AOC=90°，標注 “AB⊥CD，垂足為 O”。
符號表示：“⊥” 是垂直符號，直線 AB 與直線 CD 互相垂直，記作 “AB⊥CD”（或 “CD⊥AB”），讀作 “AB 垂直于 CD”。如果垂足為 O，還可以記作 “AB⊥CD 于 O”。
說明：
兩條直線互相垂直是它們相交的一種特殊情況，只有當相交的角是直角（90°）時，才稱這兩條直線互相垂直。
垂直是相互的，若直線 a 是直線 b 的垂線，則直線 b 也是直線 a 的垂線。
幻燈片 5：垂線的性質
性質 1：在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。
理解：“過一點” 可以是直線上的點，也可以是直線外的點；“有且只有” 意味著存在性（有一條）和唯一性（只有一條）。
圖形展示：
過直線 l 上一點 P，畫直線 l 的垂線，只能畫出一條。
過直線 l 外一點 Q，畫直線 l 的垂線，也只能畫出一條。
生活實例：在地面上，過一點要挖一條與已知直線道路垂直的水渠，只能挖出一條。
性質 2：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。簡單說成：垂線段最短。
幻燈片 6：點到直線的距離
定義：從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做這點到這條直線的距離。
圖形展示：畫出直線 l 和直線外一點 P，過 P 作 l 的垂線，垂足為 O，線段 PO 就是垂線段，標注 “PO 的長度就是點 P 到直線 l 的距離”。
說明：
點到直線的距離是一個長度，是數量，而垂線段是一個圖形，兩者不能混淆。
測量點到直線的距離時，要先畫出垂線段，再測量其長度。
生活應用：測量跳遠成績時，從落地點向起跳線畫垂線段，垂線段的長度就是跳遠成績，這是利用了 “垂線段最短” 的性質。
幻燈片 7：垂線的畫法
方法 1：用三角尺畫垂線
過直線上一點畫已知直線的垂線：
把三角尺的一條直角邊與已知直線重合。
沿著已知直線移動三角尺，使三角尺的直角頂點與直線上的已知點重合。
沿著三角尺的另一條直角邊畫一條直線，這條直線就是已知直線的垂線（標出垂直符號）。
過直線外一點畫已知直線的垂線：
把三角尺的一條直角邊與已知直線重合。
沿著已知直線移動三角尺，使三角尺的另一條直角邊經過直線外的已知點。
沿著三角尺的另一條直角邊畫一條直線，這條直線就是已知直線的垂線（標出垂直符號）。
方法 2：用量角器畫垂線
在已知直線上取一點（或過直線外一點）作為垂足的大致位置。
把量角器的中心與該點重合，0° 刻度線與已知直線重合。
在量角器 90° 刻度線的位置處點一個點。
過該點和已知點畫一條直線，這條直線就是已知直線的垂線（標出垂直符號）。
幻燈片 8：例題 1—— 判斷垂直關系
題目：如圖，直線 AB、CD、EF 相交于點 O，∠AOC=90°，請找出圖中所有互相垂直的直線，并說明理由。
圖形：三條直線相交于點 O，∠AOC=90°。
解答過程：
因為∠AOC=90°，且∠AOC 與∠BOD 是對頂角，所以∠BOD=90°（對頂角相等）。
又因為∠AOC 與∠BOC 互補，所以∠BOC=180°-90°=90°，同理∠AOD=90°。
因此，AB⊥CD（因為它們相交成直角）。
若∠AOE=90°，則 AB⊥EF，以此類推（根據圖形中其他直角情況判斷）。
結論：AB⊥CD。
幻燈片 9：例題 2—— 應用垂線性質畫圖
題目：如圖，過點 P 畫直線 l 的垂線，過點 Q 畫直線 m 的垂線。
圖形：直線 l 和直線 m，點 P 在直線 l 外，點 Q 在直線 m 上。
解答過程：
過點 P 畫直線 l 的垂線：按照三角尺畫法，畫出直線 l 的垂線，垂足為 A，標注 “PA⊥l”。
過點 Q 畫直線 m 的垂線：按照三角尺畫法，畫出直線 m 的垂線，垂足為 Q，標注 “DQ⊥m（D 為垂線上一點）”。
結論：如圖所示（畫出相應垂線）。
幻燈片 10：例題 3—— 點到直線的距離計算
題目：如圖，在直線 l 上有 A、B、C 三點，點 P 在直線 l 外，且 PO⊥l，垂足為 O，PA=5cm，PB=3cm，PC=4cm，PO=2cm，求點 P 到直線 l 的距離。
圖形：直線 l 上有 A、B、C、O 四點，PO⊥l，PO=2cm，PA、PB、PC 為連接 P 與 A、B、C 的線段。
解答過程：
因為 PO⊥l，垂足為 O，所以 PO 是點 P 到直線 l 的垂線段。
根據點到直線的距離的定義，點 P 到直線 l 的距離就是 PO 的長度。
已知 PO=2cm，所以點 P 到直線 l 的距離是 2cm。
結論：點 P 到直線 l 的距離是 2cm。
幻燈片 11：課堂練習 1—— 表示垂直關系
題目：如圖，直線 a 與直線 b 相交于點 O，且∠1=90°，則直線 a 與直線 b 的位置關系是（ ），記作（ ），讀作（ ），垂足是（ ）。
答案：互相垂直；a⊥b（或 b⊥a）；a 垂直于 b（或 b 垂直于 a）；點 O
幻燈片 12：課堂練習 2—— 應用垂線性質
題目：在同一平面內，過直線 l 外一點 P，可以畫（ ）條直線與直線 l 垂直；過直線 l 上一點 Q，可以畫（ ）條直線與直線 l 垂直。
答案：1；1
幻燈片 13：課堂練習 3—— 點到直線的距離
題目：如圖，要從 A 地向河流 l 修一條水渠，應怎樣修才能使水渠最短？請畫出示意圖，并說明理由。
圖形：點 A 在河流 l 的一側。
解答過程：
過點 A 畫河流 l 的垂線，垂足為 B，沿著 AB 修水渠最短。
理由是：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。
答案：過點 A 作 l 的垂線，沿垂線段修水渠，理由是垂線段最短。
幻燈片 14：易錯點分析
常見錯誤：
對垂線的概念理解不透徹，認為只要兩條直線相交就互相垂直，忽略 “相交成直角” 這個關鍵條件。
混淆 “垂線段” 和 “點到直線的距離”，把垂線段本身當成距離，實際上距離是垂線段的長度。
畫垂線時，未使三角尺的直角邊與已知直線完全重合，導致畫出的直線與已知直線不垂直。
忽略垂線性質中 “在同一平面內” 的前提，錯誤認為在空間中過一點也只有一條直線與已知直線垂直（實際上在空間中可以有無數條）。
規避方法：
牢記垂線的定義，判斷兩條直線是否垂直時，必須看它們相交是否成直角（90°）。
明確垂線段是圖形，點到直線的距離是該圖形的長度（數值），區分兩者的概念。
畫垂線時，嚴格按照操作步驟進行，確保三角尺的直角邊與已知直線緊密重合，畫圖后可用量角器檢查是否成 90°。
應用垂線性質時，注意其適用范圍是 “在同一平面內”，這是小學和初中階段主要研究的范圍。
幻燈片 15：課堂小結
垂線的概念：兩條直線相交成直角時互相垂直，其中一條是另一條的垂線，交點是垂足，用 “⊥” 表示。
垂線的性質：在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；垂線段最短。
點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度。
垂線的畫法：用三角尺或量角器，過一點畫已知直線的垂線。
幻燈片 16：布置作業
基礎作業：
教材課后練習題第 1、2、3 題（判斷垂直關系、畫垂線、計算點到直線的距離）。
畫一條直線 l，在直線 l 外任取一點 P，過點 P 畫直線 l 的垂線，并量出點 P 到直線 l 的距離。
提升作業：
如圖，直線 AB⊥CD，垂足為 O，OE 平分∠AOD，求∠COE 的度數。
已知點 P 到直線 l 的距離是 3cm，畫出滿足條件的點 P 的軌跡。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
觀察以上圖片中直線，它們有什么特殊的位置關系？
情景引入
取兩根木條a、b,將他們釘在一起固定木條a,轉動木條b
a
b
）
α
垂線的概念
問題：
（1）在木條b轉動的過程中，什么也隨著改變
a與b所成的角也隨之發生改變
取兩根木條a、b,將他們釘在一起固定木條a,轉動木條b
問題：
（2）在木條b與a成90°的位置有幾個？木條b與a所在的直線有什么位置關系？
a
b
）
α
a與b垂直
定義：兩條直線相交所構成的四個角中有一個為直角時，其他三個角也都成為直角，此時，這兩條直線互相垂直.
記作：AB⊥CD或m⊥l
注意：兩條線段互相垂直是指這兩條線段所在的直線互相垂直.（如圖2）
垂直的定義及表示方法
A
B
C
D
O
（2）
B
C
D
O
（1）
A
l
m
兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.
記作：AB⊥CD于點O
A
B
C
D
O
符號語言：
如圖，當直線AB與CD相交于O點，∠AOD=90°時，
那么AB⊥CD.
因為∠AOD=90°（已知） ,
所以AB⊥CD（垂直的定義）
垂線的判定
符號語言：
若直線AB與CD垂直,垂足為O，
則∠AOD=90°
因為 AB⊥CD （已知） ,
所以 ∠AOD=90°（垂直的定義）
(或∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°)
A
B
C
D
O
垂線的性質
如圖1，若直線m、n相交于點O,∠1＝90°,則_______.
若直線AB、CD相交于點O，且AB⊥CD，則∠BOD =______.
如圖2，BO⊥AO，∠BOC與∠BOA的度數之比為1∶5，那么∠COA＝____, ∠BOC的補角為______.
O
m
n
1
B
C
A
O
m⊥n
90°
72°
162°
圖1
圖2
牛刀小試
4.日常生活中，我們經常可以看到線線互相垂直的圖形，你能再舉出一些例子么？
經過直線AB外一點P，按圖中所示的兩種方法，畫出垂直于直線AB的直線，這樣的垂線能畫多少條呢？
垂線的畫法及基本事實
試一試
P
B
A
(1)
(2)
P
A
B
B
問題 這樣畫AB的垂線我們可以畫幾條？
O
如圖，已知直線 AB,作AB的垂線.
無數條
1.落
2.靠
3.畫
A
B
P
如圖，已知直線 AB 和AB上的一點P ,過點P作AB的垂線.
問題 這樣畫l的垂線可以畫幾條？
一條
1.落
2.靠
3.移
4.畫
A
B
P
如圖，已知直線 AB 和AB外的一點P ,過點P作AB的垂線.
根據以上幾種情況的操作，你能得出什么結論？
問題 這樣畫l的垂線可以畫幾條？
一條
1.落
2.靠
3.移
4.畫
A
注意：
1.“過一點”中的點，可以在已知直線上，也可以在已知直線外；
2.“有且只有”中,“有”指存在性,“只有”指唯一性.
同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.
垂線的性質
特殊的直線
如圖，如果直線CD經過線段AB的中點O，并且CD⊥AB，我們可以得到AO=BO, CD⊥AB.
A
B
C
D
O
//
//
此時，我們將垂直并且平分一條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線（圖中直線CD即為線段AB的垂直平分線）
垂直平分線又可稱為中垂線
如圖①所示，已知鈍角∠AOB，點 D 在射線 OB 上．
（1）畫直線 DE⊥OB;
（2）畫直線 DF⊥OA，垂足為 F．
解： （1）如圖②所示，直線DE為所求作的直線.
（2）如圖②所示，直線DF為所求作的直線.
牛刀小試
探究：在如圖所示的方格圖中，點A是直線l外一點，從A點向已知直線 l 畫一條垂直的線段和幾條不垂直的線段.
1.線段AB， AC， AD ，AE誰最短？
2.你能用一句話表示這個結論嗎？
說一說：
連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,垂線段最短
簡述：垂線段最短.
線段AB的長度叫做點A到直線l的距離.
規定：
作圖過程中我們可以發現其中最短的應該是線段AB，線段AB叫做點A到直線l的垂線段
從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.
垂線段
思考：體育課上是怎樣測量跳遠成績的？你知道其中的原因嗎？
1.在灌溉時，要把河中的水引到農田P處，如何挖掘能使渠道最短？請畫出圖來，并說明理由.
m
垂線段最短
牛刀小試
如圖，小海龜位于圖中點 A 處，按下述口令移動：前進 3 格；向右轉 90°，前進 5 格；向左轉 90°，前進3 格；向左轉 90°，前進 6 格；向右轉 90°，后退 6 格；最后向右轉 90°，前進 1 格. 用粗線將小海龜經過的路線描出來，看一看是什么圖形．
做一做
1.如圖，∠ABD = 90°，在下列各語句中填入適當的文字或數字： 【教材P175 練習 第1題】
（1）點 B 在直線______________上，點 D 在直線______外；
（2）直線_____與直線_____相交于點 A，點 D 是直線_____與直線_____的交點，也是直線_____與直線______的交點，又是直線_____與直線_____的交點；
（3）直線_____垂直于直線______，垂足為點_____；
（4）過點 D 有且只有_____條直線與直線 AC 垂直.
AC (或BD)
AC
AD
AC
AD
BD
AD
CD
BD
CD
BD
AC
B
一
隨堂練習
如圖所示的各個三角形中，分別過點 C 畫出直線 AB 的垂線，并量出三角形頂點 C 到直線 AB 的距離.（精確到 1mm） 【教材P176 練習 第2題】
14 mm
23 mm
17 mm
(D)
3.在如圖所示的方格圖中，按下述要求畫圖并回答問題【教材P176 練習 第3題】
（1）過點C畫線段AB的垂線，垂足為點D；
（2）量出點C到線段AB所在直線的距離（精確到1mm）
（3）畫出線段AB的垂直平分線
C
A
B
D
4.如圖, AC⊥BC,∠C=90°線段AC、BC、CD中最短的是( )
A. AC B. BC
C. CD D. 不能確定
D
A
B
C
C
知識點1 垂直的定義
1.如圖所示，，且 ，則 的度數是( )
D
（第1題）
A. B. C. D.
返回
2.如圖，直線，相交于點，下列條件能說明 的是( )
B
（第2題）
； ；
； .
A.①② B.①③ C.②④ D.①③④
返回
3.［2025南陽期末］如圖，，直線經過點.若 ，
則 _____.
（第3題）
返回
知識點2 垂線的畫法
4.下列選項中，過點畫的垂線 ，三角板放法正確的是( )
C
A. B. C. D.
返回
5.（8分）利用三角板和直尺作圖.
（1）如圖①，過點分別畫 ，
的垂線；
解：如圖①所示，直線，，， 即為所求.
（2）如圖②，過點畫 的垂線.
解：如圖②所示，直線 即為所求.
返回
知識點3 垂線的基本事實及線段的垂直平分線
6.在平面內作已知直線的垂線，可作( )
D
A.0條 B.1條 C.2條 D.無數條
返回
7.如圖，若，，則與 ______，其理由是_______
_____________________________________________.
共線
同一
平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
（第7題）
返回
8.在如圖所示的方格圖中，線段 的垂直平分線是四條直線中的直線___.
（第8題）
返回
知識點4 垂線段
（第9題）
9.如圖，在同一平面內有直線及直線外一點 ，作
，垂足為，則點到直線 的距離是( )
A
A.線段的長度 B.線段 的長度
C.線段的長度 D.線段 的長度
返回
10. 運動會上，跳遠運動員跳落到沙坑時的痕跡和測量跳
遠成績的方法如圖所示，應選擇其中的____（填序號）號線的長度作為
跳遠成績，這樣測量的依據是____________.
③
垂線段最短
（第10題）
返回
11.（12分）如圖，在直角三角形中， ， ，
， .
（1）點到的距離是___ ；
（2）點到點的距離是____ ；
8
10
（3）畫出表示點到的距離的線段，則____ .
4.8
解：如圖所示
返回
12. 為直線外一點，,,為直線上三點， ,
，,則點到直線 的距離( )
D
A.是 B.是 C.小于 D.不大于
返回
13. 如圖是光的反射規律示意圖，是入射光線，
是反射光線，法線，是入射角， 是反射角，
.若，則 的度數為_____.
（第13題）
返回
14.［2025信陽期末］如圖，已知直線和相交于點， ，
平分， ，則的度數為____ .
22
（第14題）
返回
15.（12分）［教材P練習T ］在如圖所示
的方格紙中，按下列要求畫圖并回答問題：
（1）過點畫線段的垂線，垂足為 ；
解：如圖所示，即為 的垂線.
（2）量出點到線段所在直線的距離精確到 ；
解： .
（3）連結，畫出一條直線，使該直線垂直并且平分線段 .
解：如圖，直線 即為所求.
返回
16.（8分）如圖，直線，相交于點， .
（1）若 ， ，求 的度數.
解：因為，所以 .
因為 ，所以 .
因為 ，所以 .
（2）如果，那么與 互相垂直嗎？請說明理由.
解： .理由如下：
因為 ， ，
所以 ，即 ，所以 .
返回
17.（16分） 已知一個
角的兩邊與另一個角的兩邊分別垂直，
試探索這兩個角之間的數量關系.
（1）如圖①，，，
與 的數量關系是_________；
（2）如圖②，，，與 的數量關系是__________
_______；
（3）由 得出結論：若一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別垂直，
則這兩個角____________；
相等或互補
（4）若兩個角的兩邊互相垂直，且一個角比另一個角的3倍少 ，則
求這兩個角的度數.
解：設另一個角的度數為 ，則這個角的度數為 ，
根據題意可得 或 ，解得
或 ，
當 時， ，
當 時， ，
所以這兩個角的度數為 ， 或 ， .
返回
課堂小結
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