資源簡介

(共38張PPT)
4.1.1 對頂角
第4章 相交線和平行線
【華東師大版·2024】數(shù)學(xué) 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
幻燈片 1：封面
標(biāo)題：4.1.1 對頂角
副標(biāo)題：認(rèn)識對頂角的特征，掌握對頂角的性質(zhì)
幻燈片 2：學(xué)習(xí)目標(biāo)
理解對頂角的概念，能準(zhǔn)確識別圖形中的對頂角。
掌握對頂角的性質(zhì)（對頂角相等），并能運用該性質(zhì)解決簡單的角度計算問題。
通過觀察、操作和推理，培養(yǎng)空間觀念和邏輯思維能力。
幻燈片 3：情境引入 —— 相交線中的角
展示圖片：兩條相交的直線（如十字路口的兩條道路、剪刀張開時的兩片刀刃）。
提問：兩條直線相交會形成幾個角？這些角之間有什么關(guān)系？
引入：兩條直線相交時，會形成具有特殊位置關(guān)系的角，其中對頂角是非常重要的一種。本節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)對頂角。
幻燈片 4：對頂角的概念
相交線：如果兩條直線有一個公共點，就說這兩條直線相交，這個公共點叫做它們的交點。
對頂角的定義：兩條直線相交時，有公共頂點，且兩邊互為反向延長線的兩個角叫做對頂角。
圖形展示：畫出直線 AB 和 CD 相交于點 O，形成∠AOC、∠BOD、∠AOD、∠BOC，標(biāo)注∠AOC 與∠BOD 是對頂角，∠AOD 與∠BOC 是對頂角。
特征分析：
有公共頂點（如∠AOC 和∠BOD 的頂點都是 O）。
兩邊互為反向延長線（∠AOC 的兩邊是 OA 和 OC，∠BOD 的兩邊是 OB 和 OD，其中 OA 和 OB 互為反向延長線，OC 和 OD 互為反向延長線）。
幻燈片 5：對頂角的識別
步驟：
確定兩條相交直線，找到它們的交點（公共頂點）。
觀察角的兩邊，看是否互為反向延長線。
符合 “有公共頂點且兩邊互為反向延長線” 的兩個角就是對頂角。
示例：
圖中直線 EF 和 GH 相交于點 P，形成∠EPG、∠EPF、∠FPH、∠GPH。其中∠EPG 和∠FPH 是對頂角（有公共頂點 P，PE 與 PF 互為反向延長線，PG 與 PH 互為反向延長線）；∠EPF 和∠GPH 是對頂角。
易錯點：不要把有公共頂點但兩邊不是反向延長線的角誤認(rèn)為對頂角，如上述圖中的∠EPG 和∠EPF，雖然有公共頂點 P，但兩邊不是反向延長線，不是對頂角。
幻燈片 6：對頂角的性質(zhì)
性質(zhì)內(nèi)容：對頂角相等。
推理過程：
如圖，直線 AB 和 CD 相交于點 O。
因為∠AOC 和∠AOD 組成平角，所以∠AOC + ∠AOD = 180°（平角的定義）。
因為∠AOD 和∠BOD 組成平角，所以∠AOD + ∠BOD = 180°（平角的定義）。
因此，∠AOC + ∠AOD = ∠AOD + ∠BOD（等量代換），兩邊同時減去∠AOD，可得∠AOC = ∠BOD（對頂角相等）。
結(jié)論：對頂角的度數(shù)相等，這是對頂角的重要性質(zhì)，在角度計算中經(jīng)常用到。
幻燈片 7：例題 1—— 識別對頂角
題目：如圖，直線 AB、CD、EF 相交于點 O，指出圖中的所有對頂角。
圖形：三條直線相交于一點 O，形成多個角。
解答過程：
直線 AB 和 CD 相交于 O，對頂角為∠AOC 與∠BOD，∠AOD 與∠BOC。
直線 AB 和 EF 相交于 O，對頂角為∠AOE 與∠BOF，∠AOF 與∠BOE。
直線 CD 和 EF 相交于 O，對頂角為∠COE 與∠DOF，∠COF 與∠DOE。
結(jié)論：圖中的對頂角有∠AOC 與∠BOD、∠AOD 與∠BOC、∠AOE 與∠BOF、∠AOF 與∠BOE、∠COE 與∠DOF、∠COF 與∠DOE。
幻燈片 8：例題 2—— 利用對頂角性質(zhì)計算角度
題目：如圖，直線 a、b 相交于點 O，∠1 = 50°，求∠2、∠3、∠4 的度數(shù)。
圖形：直線 a、b 相交于 O，∠1 與∠3 是對頂角，∠2 與∠4 是對頂角，∠1 與∠2 互為鄰補角。
解答過程：
因為∠1 與∠3 是對頂角，所以∠3 = ∠1 = 50°（對頂角相等）。
因為∠1 與∠2 組成平角，所以∠2 = 180° - ∠1 = 180° - 50° = 130°。
因為∠2 與∠4 是對頂角，所以∠4 = ∠2 = 130°（對頂角相等）。
結(jié)論：∠2 = 130°，∠3 = 50°，∠4 = 130°。
幻燈片 9：例題 3—— 對頂角性質(zhì)的綜合應(yīng)用
題目：如圖，直線 AB 和 CD 相交于點 O，OE 平分∠AOC，∠AOE = 35°，求∠BOD 的度數(shù)。
圖形：直線 AB、CD 相交于 O，OE 是∠AOC 的平分線。
解答過程：
因為 OE 平分∠AOC，所以∠AOC = 2∠AOE = 2×35° = 70°（角平分線的定義）。
因為∠AOC 與∠BOD 是對頂角，所以∠BOD = ∠AOC = 70°（對頂角相等）。
結(jié)論：∠BOD = 70°。
幻燈片 10：課堂練習(xí) 1—— 識別對頂角
題目：如圖，下列各組角中，是對頂角的是（ ）
A. ∠1 與∠2 B. ∠1 與∠3 C. ∠2 與∠3 D. ∠2 與∠4
圖形：兩條直線相交形成四個角，標(biāo)注為∠1、∠2、∠3、∠4（∠1 與∠3 是對頂角，∠2 與∠4 是對頂角）。
答案：B、D
幻燈片 11：課堂練習(xí) 2—— 角度計算
題目：直線 AB 和 CD 相交于點 O，若∠AOD = 120°，則∠BOC = （ ）°，∠AOC = （ ）°。
答案：120；60
幻燈片 12：課堂練習(xí) 3—— 綜合應(yīng)用
題目：如圖，直線 AB、CD 相交于點 O，∠AOC = 30°，OE⊥AB（OE 垂直于 AB），求∠EOD 的度數(shù)。
圖形：直線 AB、CD 相交于 O，OE 垂直 AB 于 O，形成直角∠AOE 和∠BOE。
解答過程：
因為 OE⊥AB，所以∠AOE = 90°（垂直的定義）。
因為∠AOC = 30°，所以∠COE = ∠AOE - ∠AOC = 90° - 30° = 60°。
因為∠COE 與∠DOE 組成平角，所以∠EOD = 180° - ∠COE = 180° - 60° = 120°。
答案：120°
幻燈片 13：易錯點分析
常見錯誤：
對頂角識別錯誤，把不是兩邊互為反向延長線的角當(dāng)成對頂角，如認(rèn)為相鄰的兩個角是對頂角。
忽略對頂角的性質(zhì)成立的前提是 “兩條直線相交”，在非相交直線形成的角中錯誤應(yīng)用對頂角相等的性質(zhì)。
在計算角度時，忘記結(jié)合平角的定義（180°），僅依賴對頂角性質(zhì)，導(dǎo)致無法求出相關(guān)角的度數(shù)。
規(guī)避方法：
識別對頂角時，嚴(yán)格按照定義判斷：必須有公共頂點，且兩邊互為反向延長線，兩者缺一不可，可通過畫圖標(biāo)注角的兩邊來輔助判斷。
應(yīng)用對頂角性質(zhì)時，先確認(rèn)兩個角是由兩條相交直線形成的對頂角，再使用 “對頂角相等” 進行計算。
解決角度計算問題時，靈活結(jié)合對頂角性質(zhì)和平角、直角的定義，理清角之間的和差關(guān)系。
幻燈片 14：課堂小結(jié)
對頂角的概念：兩條直線相交時，有公共頂點且兩邊互為反向延長線的兩個角。
對頂角的性質(zhì)：對頂角相等。
核心應(yīng)用：識別對頂角，利用對頂角相等進行角度計算。
幻燈片 15：布置作業(yè)
基礎(chǔ)作業(yè)：
教材課后練習(xí)題第 1、2 題（識別對頂角、利用性質(zhì)計算角度）。
直線 AB 和 CD 相交于點 O，∠AOB 的對頂角是哪個角？若∠AOC = 55°，求∠BOD 的度數(shù)。
提升作業(yè)：
如圖，直線 AB、CD、EF 相交于點 O，∠AOF = 3∠FOB，且∠AOC = 90°，求∠EOC 的度數(shù)。
證明：對頂角的平分線在同一條直線上。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓(xùn)練
7
中考考法
8
小結(jié)梳理
學(xué)習(xí)目錄
1
復(fù)習(xí)引入
2
新知講解
3
典例講解
觀察下圖剪刀剪開紙片過程中有關(guān)角的變化. 你能說出其中的原理么
此時如果把剪刀抽象成一個幾何圖形，會是什么樣的圖形？
試一試在筆記本中畫出來
新課導(dǎo)入
相交線：如圖，兩條直線AB、CD都經(jīng)過同一個點O，我們就說這兩條直線相交于點O，點O是他們的交點。
角 ∠1與∠2 ∠1與∠3
位置關(guān)系
數(shù)量關(guān)系
相鄰
互補
相鄰
互補
B
1
2
3
A
C
D
O
4
新知探究
思考：大家仔細(xì)觀察所畫的圖形，兩條直線相交時形成四個角，這幾個角都有什么樣的位置關(guān)系呢？
想一想：
圖中∠1的鄰補角為_______
圖中∠4的鄰補角為________
如果兩個角既相鄰又互補，那么這兩個角互為鄰補角.如∠1和∠2
C
1
2
3
A
B
D
O
4
∠2，∠3
∠2，∠3
鄰補角的概念
從位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系上看，圖中還有哪些角之間存在著某種關(guān)系呢？
1
2
3
A
B
C
D
O
4
∠1和∠4
∠2和∠3
問：圖中∠1的對頂角是______. 圖中∠2的對頂角是______.
如果兩個角有一個公共頂點，并且其中一個角的兩邊是另一個角的兩邊的 ，那么這兩個角互為對頂角.
1
2
3
A
B
C
D
O
4
反向延長線
∠4
∠3
對頂角的概念
下列各圖中，∠1與∠2是對頂角的是（ ）
1
2
C
1
2
D
D
1
2
A
1
2
B
方法總結(jié)：
對頂角是由兩條相交直線構(gòu)成的；
只有兩條直線相交時，才能構(gòu)成對頂角．
牛刀小試
C
O
A
B
D
4
3
2
1
請你猜一猜，剪刀剪東西的過程中∠1與∠3這兩個角的大小保持怎樣的關(guān)系
對頂角的性質(zhì)
猜想： ∠1=∠3
A
B
O
C
D
4
3
2
1
例1：直線AB與CD相交于O點(如圖)，∠1=30°,那么∠2，∠3和∠4各等于多少度？圖中存在哪些相等關(guān)系？
解：因為直線AB與CD相交于O點,
由此我們得到
∠1=∠3，∠2=∠4.
結(jié)論：兩條直線相交對頂角相等
∠4=180°-∠1=180°-30°=150°
∠3=180°-∠2=180°-150°=30°
∠2=180°-∠1=180°-30°=150°
例2 如圖4.1.3，直線AB、CD相交于點E，∠AEC=50°，求∠BED的度數(shù).
A
B
C
D
E
圖4.1.3
解：因為直線AB、CD相交于點E，所以∠AEC與∠BED是對頂角。
根據(jù)對頂角相等，得∠BED= ∠AEC=50°
(3) 若 1: 2 = 2:7，則∠1，∠2，∠3，∠4的度數(shù)
分別為________________________.
(2) 若∠2是∠1的 3倍，則∠1，∠2，∠3，∠4的度
數(shù)分別為________________________.
(1) 若∠1+∠3= 60 ，則∠1，∠2，∠3，∠4的度數(shù)
分別為________________________ .
30 、150 、30 、150
45 、 135 、 45 、 135
40 、140 、40 、140
1.根據(jù)圖形回答下列問題：
隨堂練習(xí)
2.如圖，直線 AB，CD，EF 相交于點 O.
(1)寫出∠AOC， ∠BOE的鄰補角；
(2)寫出∠DOA， ∠EOC的對頂角；
(3)如果∠AOC =50°，求∠BOD，∠COB的度數(shù).
A
E
D
B
F
C
O
解:(1)∠AOC的鄰補角是∠AOD和∠COB;
∠BOE的鄰補角是∠EOA和∠BOF.
(2)∠DOA的對頂角是∠COB；
∠EOC的對頂角是∠DOF.
(3)∠BOD=∠AOC= 50°,
∠COB=180°-∠AOC=130°.
3.下列各圖中的∠1與∠2是不是對頂角？【教材P172 練習(xí) 第1題】
1
2
1
2
1
2
不是
不是
不是
4.如圖，∠1與∠2是對頂角，∠1=180°-∠A，∠2=35°，則∠A=____° 【教材P172 練習(xí) 第3題】
1
2
145
5.如圖，直線AB、CB分別與直線DE相交于點F、G，直線IJ、KL分別與直線MN相交于點O、P，說出各圖中的對頂角. 【教材P172 練習(xí) 第2題】
A
B
C
E
F
D
G
(1)
K
P
L
N
O
J
M
I
(2)
解:(1)∠AFE與∠DFB， ∠AFD與∠EFB， ∠CGE與∠DGB， ∠CGD與∠BGE
解:(2) ∠MOI與∠JON， ∠MOJ與∠IOP， ∠MPL與∠KPN， ∠MPK與∠LPN
知識點1 鄰補角的定義與性質(zhì)
1.［2024開封期末］下列各圖中，與 互為鄰補角的是( )
D
A. B. C. D.
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2.［教材例1變式］如圖，直線與相交于點， 的鄰補
角是_______________；若 ，則 的度數(shù)為______.
和
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知識點2 對頂角的定義
3.［2025商丘期末］下面四幅圖中，與 是對頂角的是( )
A
A. B. C. D.
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4. 如圖，當(dāng)光線從空氣射入水中時，光線的傳播方向
發(fā)生了改變，這就是折射現(xiàn)象.圖中與 ______（填“是”或“不是”）
對頂角.
不是
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5.如圖，直線、、相交于點， 的對頂角是_______，
的對頂角是_______.
返回
知識點3 對頂角的性質(zhì)
6.如圖，直線、相交于點，則推導(dǎo)出“ ”的依據(jù)是
( )
C
（第6題）
A.同角的余角相等 B.等角的余角相等
C.同角的補角相等 D.等角的補角相等
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（第7題）
7.［2025太原期中］如圖，我們把剪刀的兩邊抽象成
兩條相交的直線，若 ，則 ( )
A
A. B. C. D.
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8. 如圖，為了測量古塔外墻底角 的度數(shù)，王明設(shè)
計了如下方案：作，的延長線，，量出 的度數(shù)，就
得到了 的度數(shù)，王明這樣做的依據(jù)是____________.
對頂角相等
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9.［教材P練習(xí)T變式］如圖，兩條直線交于點 ，若
，則 的度數(shù)為______.
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10.（4分）如圖，直線，相交于點，平分 .若
，求 的度數(shù).
解：因為平分， ，所以
.
因為，所以 .
返回
11.如圖，取兩根木條，，將它們釘在一起，轉(zhuǎn)動木條，當(dāng) 增大
時，下列說法正確的是( )
C
（第11題）
A.增大 B.減少
C.減少 D.減少
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12.［2025長春期末］如圖，直線，，相交于點 ，
______.
（第12題）
返回
13.如圖，直線，相交于點，將量角器的中心與點 重合，發(fā)現(xiàn)直線
在 刻度線上，直線在 刻度線上，則 _____.
（第13題）
返回
14. 已知直線，相交于點， ，過點 作射線
，使 ，則 ___________.
或
返回
15.如圖，直線，，兩兩相交，與互余，，則
_____， ______.
（第15題）
返回
16.（8分）如圖，直線和相交于點， 把
分成兩部分，且， 平分
.
（1）若 ，求 ；
解：由對頂角相等，得 ，
因為 ，
所以 ，
所以 .
（2）若 ，求 .
解：由平分 ，
得 ，
因為 ，
所以 ，解得 ，
所以 , ，
所以 .
返回
17. 觀察下列圖形，回答各題.
（1）圖①中，共有___對對頂角，可以看成等于___×___；
2
2
1
（2）圖②中，共有___對對頂角，可以看成等于___×___；
6
3
2
[解析] 點撥：單個角是對頂角的有3對，兩個角組成復(fù)合角的對頂角有3
對，共有6對， .
（3）圖③中，共有____對對頂角，可以看成等于___×___；
12
4
3
[解析] 點撥：單個角是對頂角的有4對，兩個角組成復(fù)合角的對頂角有4
對，三個角組成復(fù)合角的對頂角有4對，共有12對， .
（4）探究（1） 各題中直線條數(shù)與對頂角對數(shù)之間的關(guān)系，若有
,為整數(shù) 條直線相交于一點，則可形成_________對對頂角.
返回
課堂小結(jié)
B
A
C
D
O
1
2
3
4
1.有公共頂點
歸類
∠1和∠2、∠2和∠3、∠3和∠4、∠4和∠1
∠1和∠3、
∠2和∠4、
1.有公共頂點
位置關(guān)系
鄰補角
對頂角
2.有一條公共邊
3.另一邊互為反向延長線
2.沒有公共邊
兩直線相交
3.兩邊互為反向延長線
名稱
數(shù)量關(guān)系
對
頂
角
相
等
鄰
補
角
互
補
提示：考慮角的位置關(guān)系可從角的頂點和角的邊入手!
課堂小結(jié)
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