資源簡介

(共47張PPT)
4.2.2 平行線的判定
第4章 相交線和平行線
【華東師大版·2024】數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
幻燈片 1：封面
標題：4.2.2 平行線的判定
副標題：利用角的關系判斷直線平行
幻燈片 2：學習目標
掌握平行線的三種判定方法：同位角相等，兩直線平行；內錯角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行。
能運用這些判定方法解決簡單的幾何問題，判斷兩條直線是否平行。
經歷從角的關系到直線平行的推理過程，培養邏輯推理能力和幾何直觀。
幻燈片 3：復習回顧 —— 同位角、內錯角、同旁內角
展示圖形：兩條直線被第三條直線所截形成的 “三線八角” 圖，標注∠1（同位角）、∠2（內錯角）、∠3（同旁內角）。
提問：圖中的∠1 與∠5 是同位角，它們的位置有什么特點？∠3 與∠6 是內錯角，位置有什么特點？∠3 與∠5 是同旁內角，位置有什么特點？
引入：上節課我們學行線的概念，本節課我們將學習如何根據角的關系來判定兩條直線是否平行。
幻燈片 4：平行線的判定方法 1—— 同位角相等，兩直線平行
基本事實：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。簡單說成：同位角相等，兩直線平行。
符號表示：如圖，若∠1 = ∠2，則 a∥b（a、b 被 c 所截，∠1 與∠2 是同位角）。
圖形展示：畫出 “三線八角” 圖，標注∠1 = ∠2，并用箭頭指示 a∥b。
實例：木工師傅用角尺在工件上畫平行線，就是利用了 “同位角相等，兩直線平行” 的原理，確保畫出的直線與已知直線平行。
幻燈片 5：平行線的判定方法 2—— 內錯角相等，兩直線平行
推導過程：
已知：兩條直線 a、b 被 c 所截，∠3 = ∠4（內錯角）。
因為∠3 與∠1 是對頂角，所以∠3 = ∠1（對頂角相等）。
又因為∠3 = ∠4，所以∠1 = ∠4（等量代換）。
根據 “同位角相等，兩直線平行”，可得 a∥b。
結論：兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行。簡單說成：內錯角相等，兩直線平行。
符號表示：若∠3 = ∠4，則 a∥b。
圖形展示：在 “三線八角” 圖中，標注∠3 = ∠4，指示 a∥b。
幻燈片 6：平行線的判定方法 3—— 同旁內角互補，兩直線平行
推導過程：
已知：兩條直線 a、b 被 c 所截，∠5 + ∠6 = 180°（同旁內角互補）。
因為∠5 與∠1 是鄰補角，所以∠5 + ∠1 = 180°（鄰補角互補）。
又因為∠5 + ∠6 = 180°，所以∠1 = ∠6（同角的補角相等）。
根據 “同位角相等，兩直線平行”，可得 a∥b。
結論：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行。簡單說成：同旁內角互補，兩直線平行。
符號表示：若∠5 + ∠6 = 180°，則 a∥b。
圖形展示：在 “三線八角” 圖中，標注∠5 + ∠6 = 180°，指示 a∥b。
幻燈片 7：三種判定方法的對比
判定方法
角的類型
角的關系
結論
方法 1
同位角
相等
兩直線平行
方法 2
內錯角
相等
兩直線平行
方法 3
同旁內角
互補（和為 180°）
兩直線平行
說明：三種方法都是通過角的關系來判定直線平行，核心是將角的數量關系轉化為直線的位置關系。
幻燈片 8：例題 1—— 用同位角判定平行
題目：如圖，直線 AB、CD 被直線 EF 所截，∠1 = 50°，∠2 = 50°，AB 與 CD 平行嗎？為什么？
圖形：EF 截 AB、CD，∠1 與∠2 是同位角。
解答過程：
因為∠1 = 50°，∠2 = 50°，所以∠1 = ∠2。
根據 “同位角相等，兩直線平行”，可得 AB∥CD。
結論：AB∥CD。
幻燈片 9：例題 2—— 用內錯角判定平行
題目：如圖，直線 a、b 被直線 c 所截，∠3 = ∠4，求證 a∥b。
圖形：c 截 a、b，∠3 與∠4 是內錯角。
解答過程：
已知∠3 = ∠4，∠3 與∠1 是對頂角，所以∠3 = ∠1（對頂角相等）。
因此∠1 = ∠4（等量代換）。
根據 “同位角相等，兩直線平行”，可得 a∥b（也可直接用 “內錯角相等，兩直線平行”）。
結論：a∥b。
幻燈片 10：例題 3—— 用同旁內角判定平行
題目：如圖，直線 AD、BC 被直線 AB 所截，∠DAB + ∠ABC = 180°，判斷 AD 與 BC 是否平行，并說明理由。
圖形：AB 截 AD、BC，∠DAB 與∠ABC 是同旁內角。
解答過程：
因為∠DAB + ∠ABC = 180°，且它們是 AD、BC 被 AB 所截形成的同旁內角。
根據 “同旁內角互補，兩直線平行”，可得 AD∥BC。
結論：AD∥BC。
幻燈片 11：課堂練習 1—— 基礎判定
題目：如圖，∠1 = ∠2，能判定哪兩條直線平行？為什么？
圖形：∠1 與∠2 是直線 a、b 被 c 所截的同位角。
答案：a∥b，因為同位角相等，兩直線平行。
幻燈片 12：課堂練習 2—— 綜合判定
題目：如圖，∠A + ∠D = 180°，AB 與 CD 平行嗎？為什么？
圖形：AD 截 AB、CD，∠A 與∠D 是同旁內角。
答案：AB∥CD，因為同旁內角互補，兩直線平行。
幻燈片 13：課堂練習 3—— 多種方法判定
題目：如圖，∠5 = ∠6，∠7 = ∠8，判斷直線 l1 與 l2 是否平行。
圖形：l3 截 l1、l2，∠5 與∠6 是內錯角，∠7 與∠8 是同位角。
答案：平行，可用 “內錯角相等” 或 “同位角相等” 判定。
幻燈片 14：易錯點分析
常見錯誤：
判定時混淆角的類型，如將內錯角當作同位角使用，導致推理錯誤。
忽略 “兩條直線被第三條直線所截” 的前提，對非截線形成的角應用判定方法。
同旁內角的關系記成 “相等”，而非 “互補”，導致判斷錯誤。
規避方法：
判定前先明確哪兩條直線被哪條直線所截，確定角的類型（同位角、內錯角、同旁內角）。
牢記三種判定方法中角的關系：同位角和內錯角是 “相等”，同旁內角是 “互補”，可通過畫圖對比記憶。
推理過程中，每一步都要依據相應的判定方法或性質，確保邏輯嚴謹。
幻燈片 15：課堂小結
判定方法：
同位角相等，兩直線平行。
內錯角相等，兩直線平行。
同旁內角互補，兩直線平行。
核心思路：通過角的數量關系（相等或互補）判定直線的位置關系（平行）。
幻燈片 16：布置作業
基礎作業：
教材課后練習題第 1、2 題（用不同方法判定平行）。
如圖，∠1 = 70°，∠2 = 70°，判斷 a 與 b 是否平行，說明理由。
提升作業：
如圖，∠B + ∠C = 180°，∠A = ∠C，求證 AB∥CD。
結合生活實例，說明如何利用平行線的判定方法解決實際問題。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
學習目標
掌握平行線的三種判定方法，會運用判定方法來判
斷兩條直線是否平行；
能夠根據平行線的判定方法進行簡單的推理.
重點
難點
復習引入
問題1 兩條不重合的直線的位置關系有哪幾種？
問題2 怎樣的兩條直線平行？
問題3 上節課我們學了平行線的哪些內容？
相交（包括垂直）和平行兩種.
在同一平面內，不相交的兩條直線平行.
2.如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行.
1.經過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行.
根據平行線的定義，如果同一平面內的兩條直線不相交，就可以判斷這兩條直線平行.
思考一下
由于直線無限延伸，檢驗它們是否相交有困難，所以難以直接根據兩條直線是否相交來判定是否平行，那么有沒有其他判定方法呢？
●
一、落
二、靠
三、推
四、畫
我們已經學習過用三角尺和直尺畫平行線的方法.
利用同位角判定兩條直線平行
b
a
（1）我們在畫圖過程中，什么角始終保持相等？
（2）直線a，b位置關系如何？
思考
●
1
2
1
2
a
b
A
B
由上面的操作過程，你能發現判定兩直線
平行的方法嗎？
兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.
簡寫成：同位角相等，兩直線平行.
書寫格式：
因為∠1=∠2(已知)，
所以l1∥ l2（同位角相等，兩直線平行）.
1
2
l2
l1
A
B
判定方法1
(1) 圖中若∠1=55°，∠2=55°直線AB與CD平行嗎？為什么
所以AB//CD.（同位角相等，兩直線平行）
A
C
E
F
B
D
1
2
練一練
解：AB與CD平行.
因為∠1=∠2=55°（已知）
(2)如圖，∠1=55°，∠2=125°，直線AB與CD平行嗎 為什么
所以AB與CD （同位角相等，兩直線平行）
A
C
E
F
B
D
1
2
M
N
解：AB與CD平行.
因為∠2=125°（已知）
又因為∠1=55°
所以∠ANF=180°-∠2=55°
所以∠ ANF = ∠1
除了同位角，我們能否依據內錯角或同旁內角判定兩直線平行呢？
如圖，由∠3=∠2，可推出a//b嗎？如何推出？
所以 a//b（同位角相等，兩直線平行）.
2
b
a
1
3
利用內錯角、同旁內角判定兩條直線平行
解： 因為 ∠ 3= ∠ 2（已知），
∠ 1= ∠ 3（對頂角相等），
所以 ∠ 1= ∠ 2（等量代換）
兩條直線被第三條直線所截 ，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行.
簡寫成：內錯角相等，兩直線平行.
2
b
a
1
3
因為 ∠3=∠2(已知)，
所以 a∥ b（內錯角相等，兩直線平行）.
書寫格式：
判定方法2
如圖，由∠1+∠2=180°，你能判定a//b嗎？
2
b
a
1
c
3
因為 ∠1+∠2=180°（已知）
∠1+∠3=180°（鄰補角定義）
解：能
所以 ∠2=∠3（同角的補角相等）
所以 a∥ b（同位角相等，兩直線平行）
兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行.
簡寫：同旁內角互補，兩直線平行.
2
b
a
1
3
書寫格式：
因為 ∠1+∠2=180°（已知），
所以 a∥ b（同旁內角互補，兩直線平行）.
判定方法3
平行線的判定方法:
1.同位角相等，兩直線平行；
2.內錯角相等，兩直線平行
3.同旁內角互補，兩直線平行。
總結
我們已經知道利用尺規作圖可以作一條線段等于已知線段，以及作一個角等于已知角的方法．那么，如何過已知直線外一點作該直線的平行線呢
由平行線的判定方法，你自然會想到在直線AB和直線外一點P處，設法如圖那樣構造一對相等的同位角∠1和∠ 2，那樣就可以作出所需要的平行線了.
由此，你能發現利用尺規作圖過已知直線外一點作該直線的平行線的方法嗎
思考
A
B
P
2
1
如圖，已知直線AB，以及直線AB外一點P, 試利用尺規作圖按下列作法準確地過點Р作直線AB的平行線:
(1)在直線AB上取一點Q，經過點Р和點Q，作直線MN;
(2)作∠MPD = ∠PQB，并使得∠MPD與∠PQB是一對同位角;
(3)反向延長射線PD，得到直線CD .
直線CD就是過點Р所要求作的直線AB的平行線.
試一試
B
A
C
D
M
Q
P
N
例題講解
例1 如圖，直線a、b被直線l所截，已知∠1=115°, ∠2=115° ，直線a、b平行嗎？為什么
1
2
a
l
b
∵ ∠1=115°（已知）
∠2=115°（已知）
∴ ∠1=∠2（等量代換）
∴ a∥ b（內錯角相等，兩直線平行）
解：直線a、b平行
我們用符號“∵”“∴”分別表示“因為”“所以”
演繹推理是一種從一般到特殊的推理，借助于一些公認的基本事實及由此推導得出結論，通過判斷，說明最后結論的正確.
例2 如圖，在四邊形ABCD中，已知∠B=60°，∠C=120°, AB與CD平行嗎？AD與BC平行嗎？
A
B
C
D
解：AB與CD平行
∵ ∠B=60°（已知） ∠C=120°（已知）
∴ ∠B+∠C=180°（已知）
∴ AB∥ CD（同旁內角互補，兩直線平行）
根據已知條件，無法判定AD與BC是否平行.
例3 如圖，在同一平面內，直線CD、EF均與直線AB垂直，點D、F為垂足，試判斷CD與EF是否平行.
解：
∵CD⊥AB（已知） ，EF⊥AB（已知），
∴∠ADC=∠AFE=90°.
∴CD∥ EF（同位角相等，兩直線平行）
同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行.
A
B
E
F
C
D
隨堂練習
1.根據題圖，在下列解答中，填上適當的理由：【教材P188 練習 第1題】
A
D
C
B
1
∴AB∥CD（ ）
（1）∵∠B=∠1（已知）
（2）∵∠D =∠1（已知）
∴ AD∥ BC（ ）
同位角相等，兩直線平行
內錯角相等，兩直線平行
2.根據題圖，在下列解答中，填空： 【教材P188 練習 第2題】
（1）∵∠BAD+∠ABC=180°（已知）
∴（ ）∥（ ）（同旁內角互補，兩直線平行）
（2）∵∠BCD+∠ABC=180°（已知）
∴（ ）∥（ ）（同旁內角互補，兩直線平行）
A
B
C
D
AD
BC
AB
DC
3.根據圖中給出的條件，指出互相平行的直線和互相垂直的直線 【教材P188 練習 第3題】
50°
40°
40°
40°
a
b
c
d
e
解：
a∥ b，c∥ d，
a⊥e，b⊥e
4.如圖，已知∠1=∠3， AC平分∠DAB，你能判斷哪兩條直線平行？請說明理由？
2
3
A
B
C
D
）
）
1
（
∴ CD∥AB(內錯角相等，兩直線平行).
解： CD∥ AB
證明過程如下：
∵ AC平分∠DAB（已知），
∴ ∠1=∠2（角平分線定義）.
又∵ ∠1= ∠3（已知），
∴ ∠2=∠3（等量代換），
知識點1 同位角相等，兩直線平行
（第1題）
1.如圖，, 是利用三角板和直尺所畫的平行線，下列
選項能說明 的條件是( )
C
A. B.
C. D.
返回
2.如圖，由 ，可以推出___//___.
（第2題）
返回
知識點2 內錯角相等，兩直線平行
3.如圖， ，要使，則 的度數是( )
D
（第3題）
A. B. C. D.
返回
4.如圖,已知 ，則_________.
（第4題）
返回
5.［2024蘭州中考改編］如圖，小明在地圖上量得 ，由此判斷
幸福大街與平安大街互相平行，他判斷的依據是____________________
_____.
內錯角相等，兩直線
平行
（第5題）
返回
知識點3 同旁內角互補，兩直線平行
6.如圖，一個彎形管道的拐角 ， ，管
道， 的關系是_________，依據是__________________________.
同旁內角互補，兩直線平行
（第6題）
返回
7.如圖，要使 ，只需添加一個條件，這個條件是________________.
（第7題）
返回
（第8題）
8.［教材P練習T變式］如圖，已知 ，
，試說明： .
解： （已知），
_____（____________）.
（已知），
_________ ______，
（__________________________）.
對頂角相等
同旁內角互補，兩直線平行
返回
知識點4 過直線外一點作已知直線的平行線的尺規作法
9.（4分）如圖，是邊上的一點，用尺規作出直線 ，使
（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）.
解：如圖所示， 即為所求.
返回
知識點5 同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行
10.在同一平面內，過直線外一點作的垂線，再過作的垂線 ，
則直線與 的位置關系是______.
平行
返回
11.如圖，木工師傅用角尺畫平行線和 的依據是___________________
_________________________.
同一平面內，垂直于
同一條直線的兩條直線平行
返回
12.如圖，下列推理不正確的是( )
B
A.，
B.，
C.，
D.，
返回
13.［2025成都期末］如圖，大頭針把3根平放在桌上的細直木條分別固
定在、處，并使木條可以繞點、轉動，若 ，
，只轉動木條使其與平行，則木條 轉動的度數至少是
( )
B
A. B. C. D.
返回
14. 在如圖所示的四種
沿 進行折疊的方法中，不一定能判斷
紙帶兩條邊， 互相平行的是( )
C
A.如圖①，展開后測得
B.如圖②，展開后測得且
C.如圖③，測得
D.在圖④，展開后測得
返回
15.（8分）如圖，在中，
（尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）
（1）在上截取一點，使，連結 ；
解：如圖所示.
（2）過點作的平行線交于點 .
解：如圖所示.
返回
16.（4分）如圖，已知于點，于點， .試
說明： .
解：， ，
同理， ， ，即
.
，， .
返回
17.（4分）如圖,已知平分, 平分
,且與互余.試說明： .
解：與互余, .
平分,平分 ,
, ，
， .
返回
18. 如圖，一副三角板疊放在一起，其中點、 重合，
若固定三角板，改變三角板的位置（其中 點位置始終不變）.
（1）當_________ 時， ；
30或150
[解析] 點撥：如圖①，當
時，；如圖②，當
時， .
（2）當__________________ 時，三角板 有一條邊與直角
邊 平行.
15或45或135或165
返回
文字敘述 符號語言 圖形
相等， 兩直線平行 ∵ (已知), ∴a∥b
相等, 兩直線平行 ∵ (已知), ∴a∥b 互補, 兩直線平行 ∵ (已知) ∴a∥b
a
b
c
1
2
4
3
課堂小結
判定兩條直線平行的方法
同位角
內錯角
同旁內角
∠1=∠2
∠3=∠2
∠2+∠4=180°
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