資源簡介

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章末復習
第3章 圖形的初步認識
【華東師大版·2024】數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
幻燈片 1：封面
標題：第 3 章 圖形的初步認識 —— 章末復習
副標題：梳理知識脈絡，強化應用能力
幻燈片 2：本章知識框架
圖形的初步認識
├── 立體圖形與平面圖形
│ ├── 立體圖形（柱體、錐體、球等）
│ ├── 平面圖形（三角形、四邊形、圓等）
│ └── 立體圖形與平面圖形的轉化（視圖、展開圖）
├── 點、線、角
│ ├── 點和線（概念、表示、線段長短比較）
│ ├── 角（概念、表示、度量、比較、運算）
│ └── 余角和補角（定義、性質、計算）
└── 基本性質與應用
├── 直線的性質（兩點確定一條直線）
├── 線段的性質（兩點之間線段最短）
└── 角的平分線、線段中點的性質
幻燈片 3：核心知識點 1—— 立體圖形與平面圖形
立體圖形：
分類：柱體（圓柱、棱柱）、錐體（圓錐、棱錐）、球。
特征：各部分不都在同一平面內，有立體感。
平面圖形：
分類：多邊形（三角形、四邊形等）、圓、扇形等。
特征：各部分都在同一平面內。
轉化關系：
立體圖形→視圖：主視圖、俯視圖、左視圖（從不同方向看立體圖形得到平面圖形）。
立體圖形→表面展開圖：沿著棱剪開立體圖形得到平面圖形（如正方體展開圖有 11 種）。
幻燈片 4：核心知識點 2—— 視圖與表面展開圖
三視圖：
繪制原則：長對正、高平齊、寬相等。
應用：根據三視圖還原立體圖形，判斷立體圖形的形狀和尺寸。
表面展開圖：
常見立體圖形的展開圖：
圓柱：2 個圓 + 1 個長方形（長方形的長 = 底面圓周長）。
圓錐：1 個圓 + 1 個扇形（扇形弧長 = 底面圓周長）。
棱柱：2 個多邊形 + 若干長方形。
棱錐：1 個多邊形 + 若干三角形（三角形有公共頂點）。
幻燈片 5：核心知識點 3—— 點、線、角的概念
點：表示位置，無大小，用大寫字母表示（如點 A）。
線：
線段：有 2 個端點，可測量長度，用端點字母或小寫字母表示（如線段 AB、線段 a）。
射線：有 1 個端點，向一端無限延伸，用端點和射線上一點表示（如射線 OA）。
直線：無端點，向兩端無限延伸，用直線上兩點或小寫字母表示（如直線 AB、直線 l）。
角：
定義：由兩條有公共端點的射線組成（靜態）；一條射線繞端點旋轉形成（動態）。
表示：三個大寫字母、一個大寫字母（頂點唯一）、數字、希臘字母（如∠AOB、∠1、∠α）。
度量：單位為度（°）、分（′）、秒（″），1°=60′，1′=60″。
幻燈片 6：核心知識點 4—— 線段與角的比較和運算
線段：
比較方法：疊合法（重合端點，看另一端位置）、度量法（測量長度比較）。
運算：線段的和、差（如 AC=AB+BC 或 AC=AB-BC）。
中點性質：若 M 是 AB 中點，則 AM=MB=1/2AB。
角：
比較方法：疊合法（重合頂點和一邊，看另一邊位置）、度量法（測量度數比較）。
運算：角的和、差（如∠AOC=∠AOB+∠BOC）。
平分線性質：若 OC 平分∠AOB，則∠AOC=∠BOC=1/2∠AOB。
幻燈片 7：核心知識點 5—— 基本性質與應用
直線性質：兩點確定一條直線（應用：固定物體至少需 2 個點）。
線段性質：兩點之間線段最短（應用：求最短路徑）。
余角和補角：
定義：互余（和為 90°）、互補（和為 180°）。
性質：同角或等角的余角相等；同角或等角的補角相等。
計算：余角 = 90°-∠α（∠α<90°）；補角 = 180°-∠α（∠α<180°）。
幻燈片 8：典型例題 1—— 立體圖形的視圖與展開圖
題目：如圖是一個立體圖形的三視圖，則這個立體圖形是（ ），它的表面展開圖由（ ）組成。
（三視圖：主視圖和左視圖是等腰三角形，俯視圖是帶點的圓）
解答：
由三視圖特征可知，該立體圖形是圓錐。
表面展開圖由 1 個圓（底面）和 1 個扇形（側面）組成。
答案：圓錐；1 個圓和 1 個扇形。
幻燈片 9：典型例題 2—— 線段的計算
題目：已知線段 AB=10cm，點 C 是 AB 上一點，BC=4cm，點 M 是 AC 的中點，求線段 AM 的長度。
解答：
AC=AB-BC=10-4=6cm。
因為 M 是 AC 中點，所以 AM=1/2AC=3cm。
答案：3cm。
幻燈片 10：典型例題 3—— 角的運算與余補角
題目：已知∠A=50°，∠B 是∠A 的補角，∠C 是∠B 的余角，求∠C 的度數。
解答：
∠B=180°-∠A=180°-50°=130°。
∠C=90°-∠B？（錯誤，∠B=130°>90°，無余角，修正思路：題目應為∠B 是∠A 的余角）
修正后：∠B=90°-50°=40°，∠C=90°-∠B=50°。
答案：50°（按修正后邏輯）。
幻燈片 11：綜合應用題 —— 圖形的轉化與計算
題目：一個正方體的表面展開圖如圖所示，其中一個面標有 “數” 字，與 “數” 字所在面相對的面上的字是什么？（展開圖：“數” 在中間一行左數第 2 個，周圍分別是 “學”“好”“玩”“樂”“趣”，呈 “一四一” 型）
解答：
正方體展開圖中，相對的面不相鄰?！耙凰囊弧?型中，中間一行與上下行的面分別相對。
“數” 在中間一行，與之相對的是 “趣”（假設上下行分別是 “學” 和 “趣”）。
答案：趣。
幻燈片 12：易錯點總結
視圖還原錯誤：僅憑單個視圖判斷立體圖形（如主視圖是長方形，可能是圓柱或棱柱）。
規避：結合三個視圖綜合判斷，注意不同立體圖形的視圖特征差異。
線段中點位置錯誤：認為中點可以在線段延長線上（實際中點必在線段上）。
規避：牢記中點定義，畫圖時明確中點在原線段上。
余補角計算錯誤：忽略角的范圍（如求鈍角的余角）。
規避：計算前判斷：銳角才有余角，小于 180° 的角才有補角。
單位換算錯誤：度分秒換算時用十進制（正確應為六十進制）。
規避：1°=60′，1′=60″，換算時按 “滿 60 進 1，借 1 當 60” 操作。
幻燈片 13：章末測試題（精選）
選擇題：
下列圖形中，是正方體表面展開圖的是（ ）
A. 田字形 B. 一四一型 C. 凹字形
點 P 是線段 AB 的中點，則下列說法錯誤的是（ ）
A. AP=PB B. AB=2AP C. AP=2AB
填空題：
30.2°=（ ）°（ ）′；75°30′的余角是（ ）°。
兩點之間的所有連線中，（ ）最短，它的長度叫做兩點間的（ ）。
解答題：
一個角的余角比它的補角的 1/3 還小 10°，求這個角的度數。
幻燈片 14：測試題答案與解析
選擇題：
B（解析：田字形和凹字形無法折疊成正方體）。
C（解析：P 是中點，則 AP=PB=1/2AB，AB=2AP）。
填空題：
30°12′；14.5°（解析：30.2°=30°+0.2×60′=30°12′；75°30′=75.5°，余角 = 90-75.5=14.5°）。
線段；距離。
解答題：
設這個角為 x°，則 90-x=1/3 (180-x)-10，解得 x=60。答案：60°。
幻燈片 15：復習建議
梳理知識：結合知識框架，回顧每個知識點的定義、性質和應用，形成體系。
強化練習：針對易錯點（如視圖還原、單位換算）進行專項練習，熟練掌握解題方法。
動手操作：通過折疊正方體展開圖、用三角尺拼角等實踐活動，提升空間想象能力。
總結方法：歸納線段和角的計算技巧（如利用中點、平分線轉化關系）、余補角的解題步驟，提高解題效率。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
知識結構
圖形的初步認識
立體圖形
平面圖形
投影
中心投影
平行投影
表面展開圖
兩點之間線段最短
兩點確定一條直線
視圖
點和線
角
同角或等角的余角相等
同角或等角的補角相等
整合歸納
從不同方向看立體圖形與立體圖形的展開圖都體現了立體圖形與平面圖形的相互轉化，這需要一定的空間想象能力和動手操作能力，并熟悉立體圖形與平面圖形相互轉化時的對應關系.
立體圖形與平面圖形的相互轉化
類型1 從不同方向看立體圖形
1. 如圖是某幾何體從正面看，從左面看和從上面看得到的圖形，則其側面積為（ ）
A. 6 B. 4π
C. 6π D. 12π
直徑為2
高為3
2π×3＝6π
C
類型2 幾何圖形的展開與折疊
2. 過正方體中有公共頂點的三條棱的中點切出一個平面，形成如圖幾何體，其展開圖正確的為（ ）
B
線段、角的有關計算
在線段或角的計算問題中，要注意中點，等分點，角的平分線，等分線及和、差、倍、分關系，將要求的線段或角轉化為已知線段或角的關系式，從而求解.
類型1 線段的和、差、倍、分
3. 已知線段AB＝4.8cm，點C是線段AB的中點，點D是線段CB的中點，點E在AB上，且CE＝ AC，請畫出并計算線段DE的長.
解：因為AB＝4.8cm，C是AB的中點，
所以AC＝BC＝ AB＝2.4cm，
CE＝ AC＝0.8cm.
因為D是CB的中點，
所以CD＝ BC＝1.2cm.
類型1 線段的和、差、倍、分
3. 已知線段AB＝4.8cm，點C是線段AB的中點，點D是線段CB的中點，點E在AB上，且CE＝ AC，請畫出并計算線段DE的長.
當點E在點C左側時，如圖①，則 DE＝CE＋CD＝2 cm.
當點E在點C右側時，如圖②，則 DE＝CD－CE＝0.4 cm.
類型2 角的和、差、倍、分
4. 如圖，∠AOC和∠BOD都是直角，且∠AOB∶∠AOC＝2∶9，OE是∠AOD的平分線，求∠BOE的度數.
解：因為∠AOC和∠BOD都是直角，
所以∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC .
所以∠AOB＝∠COD.
類型2 角的和、差、倍、分
4. 如圖，∠AOC和∠BOD都是直角，且∠AOB∶∠AOC＝2∶9，OE是∠AOD的平分線，求∠BOE的度數.
因為∠AOB∶∠AOC＝2∶9，
所以∠AOB＝ ∠AOC ＝ .
所以∠COD＝20°.
所以∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝90°＋20°＝110°.
類型2 角的和、差、倍、分
4. 如圖，∠AOC和∠BOD都是直角，且∠AOB∶∠AOC＝2∶9，OE是∠AOD的平分線，求∠BOE的度數.
因為OE是∠AOD的平分線，
所以∠AOE＝ ∠AOD ＝ .
所以∠BOE＝∠AOE－∠AOB＝55°－20°＝35°.
類型3 余角和補角的有關計算
5. （1）若互余兩角的差為20°，求這兩個角中較小的角的補角的度數；
解：（1）設這兩個角中較小的角的度數為x°，則較大的角的度數（90－x）°.
由題意，得（90－x）－x＝20.
解得x＝35，
所以補角為180°－35°＝145°.
即這兩個角中較小的角的補角是145°.
（2）若一個角的余角比這個角的補角的一半還少4°，求這個角的余角的度數.
類型3 余角和補角的有關計算
解：（2）設這個角的度數為x°，則這個角的余角是（90－x）°，補角是（180－x）°.
由題意，得
90－x＝ （180－x）－4
解得x＝8，
所以余角為90°－8°＝82°.
即這個角的余角度數為82°.
核心知識鞏固
一、基礎考點演練
考點1 立體圖形與平面圖形
1.［2025信陽期末］下列幾何體中，是棱柱的是( )
D
A. B. C. D.
返回
2.［2025長春期末］如圖所示的圖形中，屬于多邊形的有___個.
3
返回
考點2 投影與視圖
3.下列選項中各投影是平行投影的是( )
C
A. B. C. D.
返回
4.如圖，該幾何體的左視圖是( )
C
A. B. C. D.
返回
5.某幾何體是由完全相同的小正方體組合而成，下圖是這個幾何體的三
視圖，那么構成這個幾何體的小正方體的個數是___.
5
返回
考點3 立體圖形的表面展開圖
6.如圖為一個幾何體的表面展開圖，則該幾何體是( )
B
（第6題）
A.三棱錐 B.四棱錐 C.四棱柱 D.圓錐
返回
7.下列平面圖形能圍成正方體的是( )
D
A. B. C. D.
返回
（第8題）
8.［2024濟寧中考］如圖是一個正方體的展開圖，把展開
圖折疊成正方體后，有“建”字一面的相對面上的字是
( )
D
A.人 B.才 C.強 D.國
返回
考點4 點與線
9.下列幾何圖形與相應語言描述相符的是( )
D
A.圖①，延長線段到點
B.圖②，點在射線 上
C.圖③，直線與的延長線相交于點
D.圖④，射線和線段 沒有交點
返回
10.（12分）［2025濮陽期末］如圖，已知， ，
， 四點，請按下列要求畫圖（尺規作圖，保留
作圖痕跡）.
（1）畫直線，畫射線 ；
解：如圖所示.
（2）連結并延長到點，使 ；
解：如圖所示.
（3）在線段上取點，使 的值最小.
解：如圖所示.
返回
考點5 線段的計算
11.如圖，點為線段上一點，，為的中點， ，
則 的長為( )
A
A.4 B.4.5 C.5 D.5.5
返回
12.在線段的延長線上取一點，使，再在 的延長線
上截取，則線段的長是線段 的長的( )
B
A. B. C. D.
返回
13.（12分）如圖，為線段上一點，，，,
分別是, 的中點.
（1）的長為___ ；
6
（2）求 的長；
解：因為， ，所以
，
又因為是 的中點，
所以 .
所以 .
（3）若點在直線上，且，求 的長.
解：當點在點的右側時， ；
當點在點的左側時， .
綜上所述，的長為或 .
返回
考點6 角
14.如圖，在燈塔處測得輪船位于北偏西 的方
向上，輪船位于南偏東 的方向上，輪船 在
的平分線上，則在燈塔處觀測輪船 的方向
為( )
C
A.南偏東 B.南偏東 C.北偏東 D.北偏東
返回
15.一個角和它的補角的度數比為 ，則這個角的余角的度數為_____.
返回
16.將一副三角板如圖所示疊放在一起，若 ，則
______.
返回
17.（8分）
（1）如圖，已知，請你借助尺規，以 為一
邊，在的左側作，使
（不寫作法，保留作圖痕跡）；
解：如圖所示.
（2）在（1）的基礎上，若 ,為 的平分線，求
的度數.
解：因為 ，，所以 ，
所以 ，
因為平分，所以 ，所以
.
返回
18.（8分）如圖，是平角，， 分別
是， 的平分線．
（1）當 時，求 的度數；
解：因為，分別是， 的平分線，
所以， .
因為 ，
所以，
所以 .
（2）當 時，求 的度數.
解：因為，分別是， 的平分線，
所以, ,所以
.
所以當 時， .
返回
二、思想方法演練
思想1 數形結合思想
19.（8分）如圖，已知點、在數軸上對應的數分別為和14，點 、
在線段上，且，點、分別是、 的中點.
（1）若，則線段 的長為____.
10
（2）當線段在線段上運動時，試判斷 的長度是否發生變化.如
果不變，請求出 的長；如果變化，請說明理由.
解：不發生變化，理由：因為， ，所以
，
因為、分別是、的中點，所以， ，
所以，所以 .
返回
思想2 分類討論思想
20.（8分）如圖，已知 ， 是
內的一條射線，且 .
（1） 的度數為_____；
（2）過點作射線，若，求 的度數.
解：因為，所以 .當在 內時，
；當在 外時，
.故的度數為 或 .
返回
思想3 方程思想
21.（4分）如圖所示，點在線段上，是的中點，是 的中點，
若，且，求 的長.
解：因為是的中點，是 的中點，
所以, .
所以 .
又因為 ，
所以 .
由，可設,則 ,
所以,解得.所以 ,所以
.
返回
課堂小結
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