資源簡介

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章末復習
第4章 相交線和平行線
【華東師大版·2024】數(shù)學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
幻燈片 1：封面
標題：第 4 章 相交線和平行線
副標題：章末復習 —— 整合知識，提升能力
幻燈片 2：本章知識框架
相交線和平行線
├── 相交線
│ ├── 對頂角（定義、性質：對頂角相等）
│ ├── 鄰補角（定義、性質：和為180°）
│ └── 垂線（定義、性質：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；垂線段最短）
├── 平行線
│ ├── 概念（同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線）
│ ├── 判定方法（同位角相等；內(nèi)錯角相等；同旁內(nèi)角互補）
│ └── 性質（兩直線平行，則同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補）
└── 三線八角（同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的識別）
幻燈片 3：核心知識點 1—— 相交線
對頂角與鄰補角：
對頂角：兩條直線相交形成的四個角中，相對的兩個角（有公共頂點，兩邊互為反向延長線），性質是對頂角相等。
鄰補角：兩條直線相交形成的四個角中，相鄰的兩個角（有公共頂點和一條公共邊，另一邊互為反向延長線），性質是和為 180°。
區(qū)別：對頂角無公共邊，鄰補角有公共邊；對頂角相等，鄰補角互補。
垂線：
定義：兩條直線相交成直角時，互相垂直，其中一條是另一條的垂線。
性質：在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；垂線段最短（點到直線的距離是垂線段的長度）。
幻燈片 4：核心知識點 2—— 三線八角的識別
同位角：位置特征為 “截線同旁，被截線同側”，形象如 “F” 形。
內(nèi)錯角：位置特征為 “截線兩側，被截線之間”，形象如 “Z” 形。
同旁內(nèi)角：位置特征為 “截線同旁，被截線之間”，形象如 “U” 形。
識別技巧：先確定截線（與兩條直線都相交的直線），再根據(jù)位置特征判斷角的類型，避免混淆不同截線形成的角。
幻燈片 5：核心知識點 3—— 平行線的判定與性質
類別
條件
結論
應用場景
判定
同位角相等
兩直線平行
由角的關系判斷直線平行
內(nèi)錯角相等
兩直線平行
同旁內(nèi)角互補
兩直線平行
性質
兩直線平行
同位角相等
由直線平行求角的度數(shù)或關系
兩直線平行
內(nèi)錯角相等
兩直線平行
同旁內(nèi)角互補
聯(lián)系與區(qū)別：判定是 “由角定平行”，性質是 “由平行定角”，兩者互為逆過程，均依賴 “三線八角” 的位置關系。
幻燈片 6：典型例題 1—— 相交線相關計算
題目：如圖，直線 AB、CD 相交于點 O，OE⊥AB，∠EOD=30°，求∠AOC 的度數(shù)。
圖形：AB 與 CD 相交于 O，OE 垂直 AB 于 O，∠EOD=30°。
解答：
∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°（垂直定義）。
∵∠AOC 與∠BOD 是對頂角，∠BOD=∠AOE-∠EOD=90°-30°=60°，∴∠AOC=60°。
答案：60°
幻燈片 7：典型例題 2—— 平行線的判定
題目：如圖，∠1=∠2，∠3=∠4，求證 AB∥CD。
圖形：直線 EF 截 AB 于 E，截 CD 于 F，∠1=∠AEF，∠2=∠EFD，∠3=∠BEF，∠4=∠EFC。
解答：
∵∠1=∠2，∴AB∥EF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）。
∵∠3=∠4，∴CD∥EF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）。
∴AB∥CD（平行于同一直線的兩直線平行）。
結論：AB∥CD
幻燈片 8：典型例題 3—— 平行線的性質應用
題目：如圖，AB∥CD，∠B=70°，∠D=30°，求∠E 的度數(shù)。
圖形：AB∥CD，BE 交 CD 于 F，∠B=70°，∠D=30°，∠E 是∠BEF。
解答：
∵AB∥CD，∴∠B=∠EFD=70°（兩直線平行，同位角相等）。
∵∠EFD 是△EFD 的外角，∴∠EFD=∠E+∠D（外角性質）。
∴∠E=∠EFD-∠D=70°-30°=40°。
答案：40°
幻燈片 9：典型例題 4—— 判定與性質綜合應用
題目：如圖，AD∥BC，∠A=∠C，求證 AB∥CD。
圖形：AD、BC 為截線，AB、CD 為被截線，AD∥BC，∠A=∠C。
解答：
∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）。
∵∠A=∠C，∴∠C+∠B=180°。
∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）。
結論：AB∥CD
幻燈片 10：易錯點分析
對頂角識別錯誤：將鄰補角當作對頂角，忽略 “兩邊互為反向延長線” 的特征。
規(guī)避：畫圖標注角的兩邊，判斷是否符合對頂角定義。
垂線性質混淆：忘記 “在同一平面內(nèi)” 的前提，或誤將 “垂線段” 當作 “距離”。
規(guī)避：強調平面內(nèi)的限制，明確距離是垂線段的長度（數(shù)量）。
三線八角判斷失誤：未明確截線，導致角的類型判斷錯誤（如將不同截線的角歸為同位角）。
規(guī)避：先確定截線，再按 “截線位置 + 被截線位置” 的標準判斷。
判定與性質混用：如用 “兩直線平行，同位角相等” 證明平行，或用 “同位角相等，兩直線平行” 求角。
規(guī)避：標注條件類型（“角的關系” 或 “平行”），區(qū)分 “由角定平行”（判定）和 “由平行定角”（性質）。
幻燈片 11：章末測試題（精選）
選擇題：
下列說法正確的是（ ）
A. 對頂角互補 B. 垂線段比斜線段短 C. 內(nèi)錯角相等 D. 不相交的兩條直線是平行線
如圖，AB∥CD，∠1=50°，則∠2=（ ）
A. 50° B. 130° C. 40° D. 100°
填空題：
點 P 到直線 l 的距離是 5cm，過點 P 畫直線 l 的平行線，這樣的直線有（ ）條。
∠α 的對頂角是 55°，則∠α 的鄰補角是（ ）°。
解答題：
如圖，∠1+∠2=180°，∠A=∠D，求證∠B=∠C。
幻燈片 12：測試題答案與解析
選擇題：
B（解析：對頂角相等，A 錯；內(nèi)錯角相等需前提平行，C 錯；平行線需同一平面內(nèi)，D 錯）。
B（解析：∠1 的同位角與∠2 互補，∠2=180°-50°=130°）。
填空題：
1（解析：過直線外一點有且只有一條平行線）。
125（解析：∠α=55°，鄰補角 = 180°-55°=125°）。
解答題：
∵∠1+∠2=180°，∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行），∠A=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）。
∵∠A=∠D，∴∠D=∠C，∴AE∥FD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），∴∠B=∠C（兩直線平行，同位角相等）。
幻燈片 13：復習建議
梳理體系：結合知識框架，默寫相交線、平行線的核心概念、性質和判定，確保每個知識點清晰。
專項突破：針對易錯點（如三線八角識別、判定與性質混淆）進行集中練習，總結解題技巧。
綜合應用：多做判定與性質結合的證明題，規(guī)范推理步驟（“∵條件，∴結論”），培養(yǎng)邏輯鏈。
畫圖輔助：復雜題目中，用不同顏色標注角和直線，明確截線與被截線，通過圖形直觀分析關系。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
相交線和平行線
相交線
對頂角相等
同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
平行線
過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行
平行線的判定
同位角相等，兩直線平行
內(nèi)錯角相等，兩直線平行
同旁內(nèi)角互補，兩直線平行
平行線的性質
兩直線平行，同位角相等
兩直線平行，內(nèi)錯角相等
兩直線平行，同旁內(nèi)角互補
本章回顧
1.對頂角：有一個公共頂點，且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向
延長線，這樣的兩個角互為對頂角.（如圖中∠1和∠2）
對頂角的性質：對頂角相等.
注意：
（1）對頂角是成對出現(xiàn)的，對頂角是具有特殊位置關系的兩個角；
（2）如果∠α與∠β是對頂角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α與∠β不一定是對頂角.
2.鄰補角：兩條直線相交所形成的4個角中，有公共點且有一條公共邊的兩個角是鄰補角（如圖中∠1和∠2）
鄰補角的性質：同角的補角相等.
1
2
4
3
∠1和∠2互補， ∠1和∠4互補
所以∠2= ∠4（同角的補角相等）
3.垂線性質：
①過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；②垂線段最短.
（1）垂線與垂線段
區(qū)別：垂線是一條直線，不可度量長度；垂線段是一條線段，可以度量長度.
聯(lián)系：具有垂直于已知直線的共同特征 (垂直的性質).
（2）兩點間距離與點到直線的距離
區(qū)別：兩點間的距離是點與點之間，點到直線的距離是點與直線之間.
聯(lián)系：都是線段的長度；點到直線的距離是特殊的兩點(即已知點與垂足)間距離.
4.平行線的概念
在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，直線 a 與直線 b 互相平行，記作 a∥ b.
在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線的位置關系有兩種：
①相交；②平行.
（2）判斷同一平面內(nèi)兩直線的位置關系時，可以根據(jù)它們的公共點的個數(shù)來確定：
①有且只有一個公共點，兩直線相交；
②無公共點，則兩直線平行；
③兩個或兩個以上公共點，則兩直線重合（因為兩點確定一條直線）.
5.平行公理的推論
如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.
注意：
（1）平行公理中的“有且只有”包含兩層意思：一是存在性；二是唯一性.
（2）平行具有傳遞性，即如果 a∥ b，b∥ c，則 a∥ c.
6.如何判別同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角
方法：判別同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角的關鍵是找到構成這兩個角的“三線”，有時需要將有關的部分“抽出”或把無關的線略去不看，有時又需要把圖形補全.
如圖，判斷下列各對角的位置關系：
(1)∠1與∠2；
(2)∠1與∠7；
(3)∠1與∠BAD；
(4)∠2與∠6；
(5)∠5與∠8.
∠5與∠8對頂角.
∠1與∠2是同旁內(nèi)角；
∠1與∠7是同位角；
∠1與∠BAD是同旁內(nèi)角；
∠2與∠6是內(nèi)錯角；
（1）同位角相等，兩直線平行（在同一平面內(nèi)）；
（2）內(nèi)錯角相等，兩直線平行（在同一平面內(nèi)）；
（3）同旁內(nèi)角互補，兩直線平行（在同一平面內(nèi)）；
（4）如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.
補充：
（5）在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線平行.
7.平行線的判定
（1）兩直線平行，同位角相等（在同一平面內(nèi)）；
（2）兩直線平行，內(nèi)錯角相等（在同一平面內(nèi)）；
（3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補（在同一平面內(nèi)）.
8.平行線的性質
如圖，點A 、B、C在同一條直線上，∠1 = 53°，∠2 = 37°，則 CD 與 CE 垂直嗎？
CD與CE垂直
如圖，直線 AB、CD 相交于點 E，∠BEF = 40°，∠CEF = 85°，則 ∠AED =_______°.
125
第1題圖
第2題圖
A 組
如圖，直線 AB、CD 相交于點 E，EF 平分 ∠AED，∠DEF = 55°，則 ∠BEC =________°
如圖，某地為了加快鄉(xiāng)村振興，要從村莊 Р 修一條村道，使村民自村莊 Р 出發(fā)到公路的距離最短，試畫出這條村道，并說明理由.
垂線段最短
110
第3題圖
第4題圖
如圖，經(jīng)過直線 a 外一點 P 的 4 條直線中，與直線 a 平行的直線是________.
PB
如圖，如果 AB // CD，那么 ∠A 與∠C________.
互補
第5題圖
第6題圖
如圖，如果∠1 =∠3，那么直線 a 與 b 平行嗎？當∠2與∠3 滿足什么關系時，直線 a 與 b 平行？
直線 a 與 b平行
滿足互補關系時直線 a 與 b 平行
8.如圖，a、b、c、d均為直線. 如果希望a∥b，那么需要∠1至∠5中哪兩個角相等？如果希望c∥d，那么需要∠1至∠5中哪兩個角互補？
b
a
c
d
5
4
1
2
3
如果a∥ b則∠3=∠4
如果c∥ d則∠1與∠4互補
B 組
9.如圖，已知平行直線 a、b 被直線 l 所截. 如果∠1 = 75°，那么∠2=_____°，∠3 =_____°，∠4 =_____°，∠5 =______°，∠6=______°，∠7=____°，∠8=____°.
105
75
105
75
105
75
105
l
10.如圖，直線 a // b，∠3 = 85°，求 ∠1、∠2 的度數(shù)，閱讀下面的解答過程，并填空 (理由或數(shù)學式).
解 : ∵a // b （ ），
∴∠1 = ∠4（ ）.
∴∠4 = ∠3（ ），
∠3 = 85°（ ）
∴ ∠1=（ ）（等量代換）.
又∵∠2 +∠3 = 180°，
∴∠2 =（ ）（等式的性質）.
已知
兩直線平行，同位角相等
對頂角相等
已知
85°
95°
11.如圖，已知 AC⊥AE，BD⊥BF，∠1 = 35°，∠2 = 35°，則 AC 與BD 平行嗎？AE 與 BF 平行嗎？閱讀下面的解答過程，并填空(理由或數(shù)學式).
解 ∵∠1 = 35°（ ），∠2 = 35°（ ） ，
∴ ∠1 = ∠2（ ），
∴（ ）//（ ）（ ）.
又∵ AC⊥ AE（ ），
∴∠EAC = 90°，
∴∠EAB = ∠EAC+∠1 =（ ）（等式的性質）.
同理可得 ∠FBG = ∠FBD +∠2 =（ ）.
∴∠EAB =（ ）（等量代換），
∴（ ）//（ ）（ ）.
已知
等量代換
AC
BD
同位角相等，兩直線平行
已知
125°
125°
∠FBG
AE
BF
同位角相等，兩直線平行
已知
12.如圖，如果 AB // CD，∠B = 37°，∠D = 37°，那么 BC 與 DE 平行嗎？閱讀下面的解答過程，并填空(理由或數(shù)學式).
解: ∵AB // CD（ ） ，
∴∠B = （ ）（ ）.
∵∠B =∠D = 37°（ ），
∴（ ） = ∠D（ ） ，
∴BC // DE（ ）.
已知
∠C
兩直線平行，內(nèi)錯角相等
已知
∠C
等量代換
內(nèi)錯角相等，兩直線平行
13.如圖，我們知道，2 條直線相交只有 1 個交點，3 條直線兩兩相交最多能有 3 個交點，4 條直線兩兩相交最多能有 6 個交點，5 條直線兩兩相交最多能有 10 個交點，6 條直線兩兩相交最多能有 15 個交點……n 條直線兩兩相交呢？
n(n-1)個交點
C 組
14.潛望鏡中，兩面鏡子互相平行放置. 你知道為什么進入潛望鏡的光線和離開潛望鏡的光線平行嗎？
1
2
3
4
5
6
所以兩條光線平行（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）
解： ∵∠2=∠3（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）
∵∠1=∠2，∠3=∠4
∴∠1=∠2=∠3=∠4
∵∠5=180°-∠1-∠2
∠6=180°-∠3-∠4
∴∠5=∠6
15.如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊互相平行，那么這兩個角的大小有什么關系呢
此時，小紅首先想到如圖所示的圖形．她發(fā)現(xiàn)這兩個角應該相等.
你知道其中的原因嗎 你是否還能發(fā)現(xiàn)其他圖形呢 畫出所有可能的情況，探究歸納你所得到的結論.
A
B
C
D
E
F
G
(1)
∴ ∠B=∠E
A
B
C
P
M
N
O
(2)
∴ ∠B + ∠PMN=180°
（1）
∵ AB∥ DE
∴ ∠B = ∠DGC
∵ BC∥ EF
∴ ∠DGC = ∠E
（2）
∵ AB∥ PM
∴ ∠B + ∠BOP=180°
∵ BC∥ MN
∴∠PMN = ∠BOP
相等
互補
（3）相等
結論:如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊互相平行,那么這兩個角相等或互補.
（4）互補
（3）
（4）
核心知識鞏固
一、基礎考點演練
考點1 對頂角的概念及性質
1.如圖，對頂角共有( )
A
（第1題）
A.4對 B.5對 C.6對 D.7對
返回
2.如圖，直線，相交于點，已知 ，把 分
成兩部分，且，則 _____.
（第2題）
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考點2 垂線的概念及性質
3.如圖，直線，相交于點，于 ，
， 的度數(shù)是( )
D
A. B. C. D.
返回
4.下列選項中，過點作直線 的垂線，三角板放置正確的是( )
B
A. B. C. D.
返回
5.如圖，在一張透明的紙上畫一條直線，在外任取一點 ，并折出過點
且與 垂直的直線，能折出這樣的直線的條數(shù)為___.
1
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6.（4分）如圖，直線、交于點，平分， ，
，求 的度數(shù).
解：平分， ，
.
， ，
.
返回
考點3 垂線段及點與直線的距離
7.如圖，某村莊要在河岸上建一個水泵房引水到 處.他們的做法是：過
點作于點，將水泵房建在了 處，這樣做最節(jié)省水管長度，其
依據(jù)是____________.
垂線段最短
（第7題）
返回
8.如圖，于，于，， ，
，， .
（第8題）
（1）點到直線的距離為_____ ；
（2）點到直線的距離為____ ；
（3）點到直線的距離為___ .
4.8
6
返回
考點4 同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角
9.［2025南陽期末］下列判斷錯誤的是( )
C
A.與是同旁內(nèi)角 B.與 是內(nèi)錯角
C.與是同旁內(nèi)角 D.與 是同位角
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考點5 平行線的概念、性質與畫法
10.如圖，在方格紙中，找出互相平行的線段，并用符號表示出來：
__________________.
,
返回
11.如圖，當風車的一片葉子旋轉到與地面平行時，葉子 所在
的直線與地面 ______，理由是_________________________________
_____________.
相交
過直線外一點有且只有一條直線與
這條直線平行
返回
12.已知同一平面內(nèi)的三條直線，， ，下列錯誤的是( )
D
A.，， B.，，
C.，， D.，，
返回
13.（4分）［2025太原月考］如圖，直線與相交于點 ，直線外
有一點，過點畫，過點畫，垂足為 .
解：如圖所示.
返回
考點6 平行線的判定與性質
（第14題）
14.［2024重慶中考B卷］如圖， ，若
，則 的度數(shù)為( )
C
A. B. C. D.
返回
15.如圖，下列推理中，不正確的是( )
D
（第15題）
A.如果，那么
B.如果，那么
C.如果 ，那么
D.如果 ，那么
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16.如圖①，直線， 所成的角在畫板外，小明想量出這個角的度數(shù)，
他的做法是：如圖②，畫，量出直線與 的夾角度數(shù)，即直線
， 所成角的度數(shù).其依據(jù)是( )
D
A.同位角相等，兩直線平行
B.同旁內(nèi)角互補，兩直線平行
C.內(nèi)錯角相等，兩直線平行
D.兩直線平行，同位角相等
返回
17.小明周末在家收取完晾干的衣物后，觀察發(fā)現(xiàn)晾衣架中存在多組平
行關系，對此小明將晾衣架的側面圖抽象成如圖所示的數(shù)學圖形.已知
，若 ， ，則 的度數(shù)為______.
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18.［2025吉林期末］如圖，將一條對邊互相平行的紙帶進行兩次折疊，
折痕分別為、，若，且 ，則 的度數(shù)是_____.
（第18題）
返回
（第19題）
19.把下面解答過程中的理由或數(shù)學式補充完整.如
圖，,,.試說明： .
解： （已知），
______（________________________），
又 （已知），
______（__________），
（同位角相等，兩直線平行），
_____（________________________），
又 （已知），
_____（等量代換），
（________________________）.
兩直線平行，內(nèi)錯角相等
等量代換
兩直線平行，同位角相等
同位角相等，兩直線平行
返回
考點7 平移
20.（4分）如圖，在方格紙中平移所給圖形，使點移動到點 ，畫出
平移后的新圖形.
解：如圖所示.
返回
二、思想方法演練
思想1 方程思想
21.（8分）如圖，是銳角，動點在邊上且沿射線 方向運動，
點在邊上， .
（1）當點運動到時，與 的位置關系是__________；
（2）當時，試判斷是否平分 ，并說明理由.
解：平分 .理由：
，
， .
，
設，則， ，
，解得 ，
， ，
，
，
平分 .
返回
思想2 分類討論思想
22.（4分）［2025鶴壁期末］如圖，點 在直線
上， ，射線在 內(nèi)部，
當 時，，垂足為點 ，求
的度數(shù).
解：如圖①，當在 上方時，
， .
，
.
如圖②，當在 下方時，
，
.
，
綜上所述， 或 .
.
返回
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