資源簡介

(共27張PPT)
1.1.2有理數的分類
第一章 有理數
【2024新教材】2025-2026學年冀教版數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
第一頁：標題頁
1.1.2 有理數
—— 認識有理數的概念與分類
（右下角添加授課教師姓名及日期：2025 年 7 月 30 日）
第二頁：引入
上節課我們學習了具有相反意義的量，知道可以用正數和負數來表示它們。在我們學過的數中，除了正數和負數，還有 0。那么這些數之間有什么關系呢？它們可以歸為哪些類別呢？這節課我們就來學習有理數的相關知識。
第三頁：有理數的定義
定義：整數和分數統稱為有理數。
整數包括正整數、0 和負整數。例如：1、2、0、-1、-3 等都是整數。
分數包括正分數和負分數。例如：\(\frac{1}{2}\)、\(3.5\)（即\(\frac{7}{2}\)）、\(-\frac{3}{4}\)、\(-0.2\)（即\(-\frac{1}{5}\)）等都是分數。
說明：
所有整數都可以看作是分母為 1 的分數，如 5 可以看作\(\frac{5}{1}\)，-3 可以看作\(-\frac{3}{1}\)，所以從本質上看，有理數都可以表示為分數的形式（\(\frac{m}{n}\)，其中 m、n 是整數，且 n≠0）。
第四頁：有理數的分類（一）
按有理數的定義分類：
有理數
├── 整數
│ ├── 正整數（如：1，2，3，…）
│ ├── 0
│ └── 負整數（如：-1，-2，-3，…）
└── 分數
├── 正分數（如：\(\frac{1}{2}\)，\(3.5\)，\(\frac{5}{3}\)，…）
└── 負分數（如：\(-\frac{1}{3}\)，\(-0.6\)，\(-\frac{7}{4}\)，…）
第五頁：有理數的分類（二）
按有理數的性質（正數、0、負數）分類：
有理數
├── 正有理數
│ ├── 正整數（如：1，2，3，…）
│ └── 正分數（如：\(\frac{1}{2}\)，\(3.5\)，\(\frac{5}{3}\)，…）
├── 0
└── 負有理數
├── 負整數（如：-1，-2，-3，…）
└── 負分數（如：\(-\frac{1}{3}\)，\(-0.6\)，\(-\frac{7}{4}\)，…）
第六頁：實例分析（一）
將下列各數填入相應的集合內：
-5，3.7，0，\(\frac{3}{4}\)，-3.14，100，\(-\frac{2}{3}\)，-9
整數集合：{-5，0，100，-9，…}
分數集合：{ 3.7，\(\frac{3}{4}\)，-3.14，\(-\frac{2}{3}\)，… }
正有理數集合：{ 3.7，\(\frac{3}{4}\)，100，… }
負有理數集合：{ -5，-3.14，\(-\frac{2}{3}\)，-9，… }
分析：
整數包括正整數、0 和負整數，所以 - 5、0、100、-9 屬于整數。
分數包括正分數和負分數，3.7 是正分數，\(\frac{3}{4}\)是正分數，-3.14 是負分數，\(-\frac{2}{3}\)是負分數。
正有理數包括正整數和正分數，所以 3.7、\(\frac{3}{4}\)、100 屬于正有理數。
負有理數包括負整數和負分數，所以 - 5、-3.14、\(-\frac{2}{3}\)、-9 屬于負有理數。
第七頁：實例分析（二）
判斷下列說法是否正確，并說明理由：
有理數包括正數、0 和負數。
分析：不正確。因為正數中的無限不循環小數（如 π）不是有理數，所以有理數不能簡單地說成包括正數、0 和負數，而應是整數和分數的統稱。
整數都是有理數。
分析：正確。因為有理數包括整數和分數，所以整數屬于有理數。
分數都是有理數。
分析：正確。分數是有理數的一部分，所以分數都是有理數。
0 是最小的有理數。
分析：不正確。有理數包括負有理數，負有理數都小于 0，所以 0 不是最小的有理數。
第八頁：注意事項
有理數的分類標準要統一，不能同時按兩種不同的標準進行分類。
0 是有理數，它既不是正數也不是負數，是正數和負數的分界點。
所有的整數和分數都是有理數，無限不循環小數（如 π）不是有理數。
正整數和 0 統稱為非負整數；負整數和 0 統稱為非正整數。
第九頁：課堂練習
填空題：
有理數包括______和______。
整數包括______、和。
分數包括______和______。
在數\(-3\)，\(0\)，\(\frac{1}{5}\)，\(3.14\)，\(-\frac{2}{7}\)，\(5\)中，屬于正整數的是______，屬于負分數的是______。
選擇題：
下列說法正確的是（ ）
A. 有理數就是正數和負數 B. 有理數是指整數、分數、正數、負數和 0 C. 分數包括正分數、負分數和 0 D. 整數包括正整數、負整數和 0
下列各數中，不屬于有理數的是（ ）
A. \(-3.14\) B. 0 C. π D. \(\frac{2}{3}\)
第十頁：課堂小結
有理數的定義：整數和分數統稱為有理數。
有理數的兩種分類方式：
按定義分為整數和分數，其中整數包括正整數、0、負整數；分數包括正分數、負分數。
按性質分為正有理數、0、負有理數，其中正有理數包括正整數、正分數；負有理數包括負整數、負分數。
0 是有理數，既不是正數也不是負數；所有整數和分數都是有理數，無限不循環小數不是有理數。
分類時要注意標準統一，不重復、不遺漏。
第十一頁：作業布置
教材第 XX 頁習題 1.1 第 3、4、5 題。
把下列各數分別填入相應的大括號內：
-12，\(\frac{3}{5}\)，-0.4，0，\(6.7\)，\(-\frac{5}{6}\)，18，-100
正整數集合：{…}
負整數集合：{ … }
正分數集合：{ … }
負分數集合：{ … }
有理數集合：{ … }
寫出 3 個既是整數又是負數的數；寫出 3 個既是分數又是正數的數。
思考：有沒有最大的有理數？有沒有最小的有理數？為什么？
互逆命題、互逆定理教案
一、教學目標
知識與技能目標
理解互逆命題、互逆定理的概念，能準確說出一個命題的逆命題。
會判斷一個命題及它的逆命題的真假性，掌握證明命題真假的方法。
過程與方法目標
通過對命題、逆命題的分析，培養學生的邏輯思維能力和語言表達能力。
經歷探究互逆定理的過程，體會從特殊到一般的數學思想。
情感態度與價值觀目標
培養學生積極參與數學活動，敢于質疑、勇于探索的精神。
讓學生感受數學知識的嚴謹性和邏輯性，體會數學的應用價值。
二、教學重難點
重點
互逆命題、互逆定理的概念及命題真假的判斷。
能正確寫出一個命題的逆命題。
難點
判斷一個命題的逆命題的真假性，理解原命題為真，其逆命題不一定為真。
用邏輯推理的方法證明命題的真假。
三、教學方法
講授法、討論法、練習法相結合
四、教學過程
（一）導入新課（5 分鐘）
展示一些簡單的命題，如 “如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引導學生分析這些命題的題設和結論。
提問：能否交換這些命題的題設和結論，得到新的命題？新命題是否成立？從而引出本節課的課題 —— 互逆命題、互逆定理。
（二）講授新課（25 分鐘）
互逆命題
給出互逆命題的定義：在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題。
舉例說明：如原命題 “如果兩個角是直角，那么這兩個角相等”，它的逆命題是 “如果兩個角相等，那么這兩個角是直角” 。讓學生進一步理解互逆命題的概念。
組織學生進行小組討論，每個小組寫出 3 - 5 個命題，并交換寫出它們的逆命題。
命題真假的判斷
引導學生思考如何判斷一個命題的真假。對于真命題，需要通過推理證明；對于假命題，只需舉一個反例即可。
以剛才的命題為例，分析原命題和逆命題的真假性。如 “如果兩個角是直角，那么這兩個角相等” 是真命題，而它的逆命題 “如果兩個角相等，那么這兩個角是直角” 是假命題，因為兩個相等的角不一定是直角，還可能是銳角或鈍角等。
讓學生自己判斷之前小組討論中寫出的命題及其逆命題的真假性，并在小組內交流。
互逆定理
給出互逆定理的定義：如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫做互逆定理，其中一個定理叫做另一個定理的逆定理。
舉例說明：如 “兩直線平行，同位角相等” 和 “同位角相等，兩直線平行” 是互逆定理。
強調：并不是所有的定理都有逆定理，只有當定理的逆命題為真命題時，才有逆定理。
（三）例題講解（15 分鐘）
例 1：寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的對應角相等。
（3）等腰三角形的兩個底角相等。
分析：
（1）逆命題為 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，這是假命題，因為當 b = 0 時，ab = 0，a 不一定為 0。
（2）逆命題為 “對應角相等的三角形是全等三角形”，這是假命題，因為對應角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命題為 “有兩個角相等的三角形是等腰三角形”，這是真命題，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：證明命題 “如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等” 是真命題。
分析：引導學生畫出圖形，寫出已知、求證，然后進行證明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求證：AB = AC。
證明：作∠BAC 的平分線 AD，交 BC 于點 D。
因為 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共邊），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）課堂練習（10 分鐘）
寫出下列命題的逆命題，并判斷真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的兩個銳角互余。
（3）對頂角相等。
判斷下列說法是否正確：
（1）每個命題都有逆命題。
（2）每個定理都有逆定理。
（3）真命題的逆命題一定是真命題。
（4）假命題的逆命題一定是假命題。
（五）課堂小結（5 分鐘）
與學生一起回顧互逆命題、互逆定理的概念，以及如何判斷命題的真假。
強調：原命題為真，逆命題不一定為真；原命題為假，逆命題也不一定為假。
（六）布置作業（5 分鐘）
課本課后習題，要求學生認真書寫解題過程，判斷命題真假時要說明理由。
拓展作業：收集生活中或數學學習中至少兩個互逆命題，并分析它們的真假性。
五、教學反思
在教學過程中，要注重引導學生積極思考、主動參與，通過實際例子幫助學生理解抽象的概念。對于學生在判斷命題真假和寫逆命題時容易出現的錯誤，要及時給予糾正和指導。在今后的教學中，可以進一步加強練習，提高學生的邏輯思維能力和解決問題的能力。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1.理解正數與負數的實際意義.
2.會判斷一個數是正數還是負數.
3.理解有理數的概念,能按一定的標準對有理數進行分類.
學習目標
1.零上13 ℃記作＋13 ℃，零下2 ℃可記作(　　)
A．2 B．－2 C．2 ℃ D．－2 ℃
2．如果用＋0.02克表示一只乒乓球質量超出標準質量0.02克，那么一只乒乓球質量低于標準質量0.02克記作(　　)
A．＋0.02克 B．－0.02克 C．0克 D．＋0.04克
3．如果水位升高5 m時水位變化記作＋5 m，那么水位下降3 m時水位變化記作________m，水位不升不降時水位變化記作________m.
D
B
-3
0
課堂導入
回顧
根據實際生活的需要，人們引進了一種數，你知道是什么數嗎？結合你在實際生活中接觸到的數，試舉例.
電梯樓層按鈕
新聞報道：某年，我國花生產量比上年增長1.8%，油菜籽產量比上年增長-2.7%.
課堂導入
（1）天氣預報中的1，2，3，66，24，電梯按鈕中的1-10，新聞報道中的1.8%；
（2）天氣預報中的-5，電梯按鈕中的-1，-2，新聞報道中的-2.7%.
問題1 說一說上面用到的各數的含義.
問題2 上面這兩類數，分別屬于什么數？
新知探究
知識點1 正數和負數
+8 848.86, + 126 800, +200等這樣形式的數,都是在已學過的數(0除外)的前面加上“+”得到的，這樣的數叫作正數.
-90, -154.31, - 300等這樣形式的數,它們都是在已學過的數(0除外)的前面加上“-”得到的,這樣的數叫作負數.
0既不是正數，也不是負數.
有時，我們為了明確表達意義，在正數前面也加上“+”（正）號，如+3，+1.8％，+0.5，….不過一般情況下我們省略“+”不寫.
注意
新知探究
知識點1 正數和負數
－11， ，＋73，0，－2.7， ，4.8，
問題3 讀出下列各數，并把它們填在相應的圈里：
正數
負數
，＋73，4.8，
-11，-2.7，
新知探究
知識點1 正數和負數
海平面
珠穆朗瑪峰
吐魯番盆地
8848.86米
154.31米
高度看作0米
問題4 下圖是吐魯番盆地的示意圖，你能用語言表述它與海平面的高度關系嗎？它的含義是什么？
記為+8848.86米
記為－154.31米
新知探究
知識點1 正數和負數
0只表示沒有嗎
1.空罐中的金幣數量;
2.溫度中的0℃;
3.海平面的高度;
4.標準水位;
5.身高比較的基準;
……
思考
0是正負數的分界點.它不再簡簡單單的只表示沒有，它具有豐富的意義，如：
0可以用來表示基準，一般地，高于基準的量用正數表示，低于基準的量用負數表示
新知探究
知識點1 正數和負數
問題5 里約奧運會勇奪冠軍的中國女排的平均身高為187 cm，如果以平均身高為標準，超過部分記為正數，不足部分記為負數，有5名隊員分別記為+10，-5，0，+7，-2，則她們的實際身高（單位：cm）應是________________________.
197、182、187、194、185
新知探究
知識點1 正數和負數
問題6 回想一下，我們認識了哪些數？
正整數：
正分數：
負整數：
負分數：
1，2，3，…
-1，-2，-3，…
0：
既不是正數，也不是負數
新知探究
知識點2 有理數及其分類
定義：整數和分數統稱為有理數.
正整數、零和負整數統稱整數.
正整數：
1，2，3，…
負整數：
-1，-2，-3，…
0
正分數：
負分數：
正分數和負分數統稱分數.
新知探究
知識點2 有理數及其分類
整 數
…
…
分 數
有理數的概念及分類
問題7 你能根據有理數的定義對有理數分類嗎？
有理數
整數
分數
正整數
0
負整數
正分數
負分數
自然數
新知探究
知識點2 有理數及其分類
問題8 你還能用其他方法給有理數分類嗎？
有理數
正數
負數
正整數
0
負整數
正分數
負分數
注意：
①分類的標準不同，結果也不同；
②分類的結果應無遺漏、無重復；
③零是整數，但零既不是正數，也不是負數.
新知探究
知識點2 有理數及其分類
歸 納
有限小數和無限循環小數都是分數，所以也是有理數。
無限不循環小數（如 π ）不是分數，就不是有理數。
新知探究
知識點2 有理數及其分類
問題8 把下列各數填在相應的集合中：
正數集合：{ }；
負數集合：{ }；
分數集合：{ }；
整數集合：{ }；
非負有理數集合：{ }；
有理數集合：{ }.
易錯警示 ：1.像 這種可以先化簡成整數的數是整數不是分數；
2.π大于0是正數不是正有理數。
新知探究
知識點2 有理數及其分類
知識點1 正數和負數
1. [新考向·傳承數學文化]在世界數學史上首次正式引入負數
的中國古代數學著作是(　B　)
A. 《孫子算經》 B. 《九章算術》
C. 《算法統宗》 D. 《周髀算經》
【點撥】
負數最早記載于《九章算術》(成書于公元一世紀)，
比國外早一千多年.
B
1
2
3
4
5
6
7
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13
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15
2. [2024·涼山州]下列各數中：5，－ ，－3，0，－25.8，
＋2，負數有(　C　)
A. 1個 B. 2個
C. 3個 D. 4個
C
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3
4
5
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15
3. 在－3，－5，－1，0這四個數中，與其余三個數不同的是
(　D　)
A. －3 B. －5
C. －1 D. 0
D
1
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7
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9
10
11
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13
14
15
4. 有下列數：10，－6，＋2 ，0，－400，－2.03.其中，
正數有 個，負數有 個， 既不是正數，也
不是負數.
2　
3　
0　
1
2
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4
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6
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5. 有下列各數：－3.14，24，＋17，－7 ， ，π，－
0.101，－0.2，0，－2 025，20％.其中哪些是正數？哪
些是負數？
【解】正數有24，＋17， ，π，20％，
負數有－3.14，－7 ，－0.101，－0.2，－2 025.
1
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15
知識點2 有理數及相關概念
6. [2024·衡水四中月考]下列數中既是分數又是負數的是
(　D　)
A. 5.2 B. 0
C. －2 D. －2.5
D
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15
7. [2023·江西]下列各數中，正整數是(　A　)
A. 3 B. 2.1
C. 0 D. －2
A
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8. 下列關于0的說法錯誤的是(　A　)
A. 任何情況下，0的實際意義都是什么都沒有
B. 0是偶數不是奇數
C. 0不是正數也不是負數
D. 0是整數也是有理數
A
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有理數
有理數的概念
整數和分數統稱為有理數.
有理數的分類
整數
分數
正整數
0
負整數
正分數
負分數
正、負數
0既不是正數，也不是負數
課堂小結
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