資源簡介

(共29張PPT)
1.2　數　軸
第一章 有理數
【2024新教材】2025-2026學年冀教版數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
第一頁：標題頁
1.2 數軸
—— 認識數軸及其應用
（右下角添加授課教師姓名及日期：2025 年 7 月 30 日）
第二頁：引入
在日常生活中，我們常常需要用直線上的點來表示位置，比如溫度計上的刻度表示溫度，直尺上的刻度表示長度。那么，能不能用一條直線上的點來表示有理數呢？如果可以，這樣的直線需要滿足哪些條件呢？這節課我們就來學習數軸。
第三頁：數軸的定義
定義：規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸。
數軸的三要素：
原點：在直線上取一點表示數\(0\)，這個點叫做原點。
正方向：通常規定直線上從原點向右（或向上）為正方向，用箭頭表示。
單位長度：選取適當的長度作為單位長度，直線上從原點向右，每隔一個單位長度取一個點，依次表示\(1\)，\(2\)，\(3\)，…；從原點向左，用類似方法依次表示\(-1\)，\(-2\)，\(-3\)，…。
第四頁：數軸的畫法
畫數軸的步驟：
畫直線：畫一條水平的直線（也可以是豎直的直線）。
定原點：在直線上選取一點作為原點，用點\(O\)表示，并在原點處標上\(0\)。
規定正方向：通常向右為正方向，在直線的右端畫上箭頭表示。
選單位長度：根據實際需要，選取適當的長度作為單位長度，從原點向右每隔一個單位長度取一點，依次標上\(1\)，\(2\)，\(3\)，…；從原點向左每隔一個單位長度取一點，依次標上\(-1\)，\(-2\)，\(-3\)，…。
注意：單位長度一旦確定，就不能隨意改變。
第五頁：有理數在數軸上的表示
正數：在原點的右邊，距離原點幾個單位長度，就表示正幾。
例如：表示\(3\)的點在原點右邊，距離原點\(3\)個單位長度。
負數：在原點的左邊，距離原點幾個單位長度，就表示負幾。
例如：表示\(-2\)的點在原點左邊，距離原點\(2\)個單位長度。
0：用原點表示。
實例：
在數軸上表示出\(4\)，\(-1.5\)，\(0\)，\(\frac{1}{2}\)，\(-3\)。
步驟：先畫出數軸，找到原點，然后根據各數的特點在數軸上找到對應的點并標注。
第六頁：數軸上的點與有理數的關系
任何一個有理數都可以用數軸上的一個點來表示。
數軸上的點并不都表示有理數，還可以表示無理數（如\(\pi\)），但我們目前只研究有理數在數軸上的表示。
數軸上表示正數的點都在原點的右邊，，表示負數的點都在原點的左邊，原點表示\(0\)。
第七頁：利用數軸比較有理數的大小
規則：在數軸上，右邊的數總比左邊的數大。
具體表現：
正數都大于\(0\)，負數都小于\(0\)，正數大于一切負數。
兩個正數比較大小，在數軸上位置靠右的數更大。
兩個負數比較大小，在數軸上位置靠左的數更?。唇^對值大的負數反而?。?br/>實例：
在數軸上表示出\(-3\)，\(2\)，\(-1\)，\(0\)，并比較它們的大小。
數軸上從左到右的順序為：\(-3\)，\(-1\)，\(0\)，\(2\)。
所以，\(-3 < -1 < 0 < 2\)。
第八頁：例題解析（一）
例題 1：畫出數軸，并在數軸上表示下列各數：\(5\)，\(-3\)，\(0\)，\(2.5\)，\(-4.5\)，\(\frac{3}{2}\)。
解：（1）畫出一條水平直線，確定原點\(O\)，標上\(0\)。
（2）規定向右為正方向，畫上箭頭。
（3）選取適當的單位長度（如\(1\)個單位長度表示\(1\)）。
（4）在數軸上找到對應的點：
\(5\)在原點右邊\(5\)個單位長度處。
\(-3\)在原點左邊\(3\)個單位長度處。
\(0\)在原點處。
\(2.5\)在原點右邊\(2.5\)個單位長度處。
\(-4.5\)在原點左邊\(4.5\)個單位長度處。
\(\frac{3}{2}=1.5\)在原點右邊\(1.5\)個單位長度處。
第九頁：例題解析（二）
例題 2：利用數軸比較下列各組數的大?。?br/>（1）\(-2\)和\(3\)；（2）\(-1.5\)和\(-4\)；（3）\(0\)和\(-1\)。
解：（1）在數軸上，\(-2\)在原點左邊，\(3\)在原點右邊，右邊的數比左邊的數大，所以\(-2 < 3\)。
（2）在數軸上，\(-1.5\)在\(-4\)的右邊，右邊的數比左邊的數大，所以\(-1.5 > -4\)。
（3）在數軸上，\(0\)在\(-1\)的右邊，所以\(0 > -1\)。
第十頁：課堂練習
填空題：
數軸的三要素是______、、。
在數軸上，表示\(-5\)的點在原點的______邊，距離原點______個單位長度；表示\(7\)的點在原點的______邊，距離原點______個單位長度。
比較大小：\(-3\)\(-1\)；\(0\)\(-2\)；\(4\)______\(6\)。
選擇題：
下列說法正確的是（ ）
A. 數軸上的原點表示\(0\)，原點左邊的數表示正數，右邊的數表示負數 B. 數軸上的點只能表示整數 C. 數軸上表示\(-2\)的點與表示\(2\)的點距離是\(2\)個單位長度 D. 所有的有理數都可以用數軸上的點表示
在數軸上，到原點的距離等于\(3\)個單位長度的點表示的數是（ ）
A. \(3\) B. \(-3\) C. \(3\)或\(-3\) D. 無法確定
第十一頁：課堂小結
數軸的定義：規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸，三要素缺一不可。
數軸的畫法：按畫直線、定原點、規定正方向、選單位長度的步驟進行。
有理數與數軸的關系：任何一個有理數都可以用數軸上的一個點來表示。
利用數軸比較有理數大?。簲递S上右邊的數總比左邊的數大；正數大于\(0\)，負數小于\(0\)，正數大于負數。
第十二頁：作業布置
教材第 XX 頁習題 1.2 第 1、2、3 題。
畫出數軸，并在數軸上表示下列各數：\(-4\)，\(1.5\)，\(0\)，\(-2.5\)，\(3\)，\(-\frac{1}{2}\)。
利用數軸比較下列各組數的大小：
（1）\(-5\)和\(-1\)；（2）\(2\)和\(-3\)；（3）\(0\)和\(5\)。
數軸上點\(A\)表示的數是\(-3\)，點\(B\)表示的數是\(5\)，則點\(A\)和點\(B\)之間的距離是多少個單位長度？
互逆命題、互逆定理教案
一、教學目標
知識與技能目標
理解互逆命題、互逆定理的概念，能準確說出一個命題的逆命題。
會判斷一個命題及它的逆命題的真假性，掌握證明命題真假的方法。
過程與方法目標
通過對命題、逆命題的分析，培養學生的邏輯思維能力和語言表達能力。
經歷探究互逆定理的過程，體會從特殊到一般的數學思想。
情感態度與價值觀目標
培養學生積極參與數學活動，敢于質疑、勇于探索的精神。
讓學生感受數學知識的嚴謹性和邏輯性，體會數學的應用價值。
二、教學重難點
重點
互逆命題、互逆定理的概念及命題真假的判斷。
能正確寫出一個命題的逆命題。
難點
判斷一個命題的逆命題的真假性，理解原命題為真，其逆命題不一定為真。
用邏輯推理的方法證明命題的真假。
三、教學方法
講授法、討論法、練習法相結合
四、教學過程
（一）導入新課（5 分鐘）
展示一些簡單的命題，如 “如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引導學生分析這些命題的題設和結論。
提問：能否交換這些命題的題設和結論，得到新的命題？新命題是否成立？從而引出本節課的課題 —— 互逆命題、互逆定理。
（二）講授新課（25 分鐘）
互逆命題
給出互逆命題的定義：在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題。
舉例說明：如原命題 “如果兩個角是直角，那么這兩個角相等”，它的逆命題是 “如果兩個角相等，那么這兩個角是直角” 。讓學生進一步理解互逆命題的概念。
組織學生進行小組討論，每個小組寫出 3 - 5 個命題，并交換寫出它們的逆命題。
命題真假的判斷
引導學生思考如何判斷一個命題的真假。對于真命題，需要通過推理證明；對于假命題，只需舉一個反例即可。
以剛才的命題為例，分析原命題和逆命題的真假性。如 “如果兩個角是直角，那么這兩個角相等” 是真命題，而它的逆命題 “如果兩個角相等，那么這兩個角是直角” 是假命題，因為兩個相等的角不一定是直角，還可能是銳角或鈍角等。
讓學生自己判斷之前小組討論中寫出的命題及其逆命題的真假性，并在小組內交流。
互逆定理
給出互逆定理的定義：如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫做互逆定理，其中一個定理叫做另一個定理的逆定理。
舉例說明：如 “兩直線平行，同位角相等” 和 “同位角相等，兩直線平行” 是互逆定理。
強調：并不是所有的定理都有逆定理，只有當定理的逆命題為真命題時，才有逆定理。
（三）例題講解（15 分鐘）
例 1：寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的對應角相等。
（3）等腰三角形的兩個底角相等。
分析：
（1）逆命題為 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，這是假命題，因為當 b = 0 時，ab = 0，a 不一定為 0。
（2）逆命題為 “對應角相等的三角形是全等三角形”，這是假命題，因為對應角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命題為 “有兩個角相等的三角形是等腰三角形”，這是真命題，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：證明命題 “如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等” 是真命題。
分析：引導學生畫出圖形，寫出已知、求證，然后進行證明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求證：AB = AC。
證明：作∠BAC 的平分線 AD，交 BC 于點 D。
因為 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共邊），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）課堂練習（10 分鐘）
寫出下列命題的逆命題，并判斷真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的兩個銳角互余。
（3）對頂角相等。
判斷下列說法是否正確：
（1）每個命題都有逆命題。
（2）每個定理都有逆定理。
（3）真命題的逆命題一定是真命題。
（4）假命題的逆命題一定是假命題。
（五）課堂小結（5 分鐘）
與學生一起回顧互逆命題、互逆定理的概念，以及如何判斷命題的真假。
強調：原命題為真，逆命題不一定為真；原命題為假，逆命題也不一定為假。
（六）布置作業（5 分鐘）
課本課后習題，要求學生認真書寫解題過程，判斷命題真假時要說明理由。
拓展作業：收集生活中或數學學習中至少兩個互逆命題，并分析它們的真假性。
五、教學反思
在教學過程中，要注重引導學生積極思考、主動參與，通過實際例子幫助學生理解抽象的概念。對于學生在判斷命題真假和寫逆命題時容易出現的錯誤，要及時給予糾正和指導。在今后的教學中，可以進一步加強練習，提高學生的邏輯思維能力和解決問題的能力。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1.理解數軸的概念，知道數軸的三要素,掌握數軸的畫法.
2.能用數軸上的點表示有理數,以及已知有理數在數軸上描點，初步體會數形結合思想,培養幾何直觀.
學習目標
我們在現實生活中，這種用刻度表示數量的方式隨處可見。
課堂導入
想一想 某市公交公司在一條東西方向的馬路旁設置的站點如圖所示，相鄰兩站點之間的距離均為2 km.如果你在實驗學校站點處，怎樣說明其他站點的位置呢？
新知探究
知識點1 數軸的概念與畫法
一起探究
活動1
(1）實驗學校以東和以西有什么站點？
人民公園、新華書店在實驗學校以西，
科技館、花園小區在實驗學校以東.
（2）假如不看圖，怎樣說明才能讓人明確其他站點的位置和遠近？
人民公園、新華書店分別在實驗學校以西4km和2km處，科技館、花園小區分別在實驗學校以東2km和4km處.
小提示：要注意參照點的選擇、距離和方向
新知探究
知識點1 數軸的概念與畫法
西
東
人民公園
新華書店
實驗學校
科技館
花園小區
活動2
以學校為參照點，并用0表示該點，規定學校以東的位置用正數表示，學校以西的位置用負數表示，以1千米為單位長度，請你在圖中用有理數標出所有站點的位置。
0
2
4
-2
-4
新知探究
知識點1 數軸的概念與畫法
西
東
人民公園
新華書店
實驗學校
科技館
花園小區
活動3
在學校東3千米處是華龍超市，學校西1千米處是東方商場，請你在圖中標出他們的位置及其對應的有理數。
0
2
4
-2
-4
3
1
-1
-3
新知探究
知識點1 數軸的概念與畫法
B
觀察如圖所示的溫度計，回答下列問題：
（1）點A表示多少攝氏度？點B呢？點C呢？
（2）溫度計刻度的正負是怎樣規定的 以什么為基準
（3）每攝氏度兩條刻度線之間的距離有什么特點
A
C
新知探究
知識點1 數軸的概念與畫法
0
活動 把溫度計平放，我們能從中發現什么？
零下
零上
分刻度
思考 你能借鑒溫度計,用一條直線上的點表示有理數嗎
數軸的概念
新知探究
知識點1 數軸的概念與畫法
畫一條水平的直線，在這條直線上任取一點作為原點，用這個點表示0，規定這條直線上的一個方向（一般取從左到右的方向）為正方向，用箭頭表示，相反的方向為負方向，選取某一長度作為單位長度，就得到下面的數軸.
原點
正方向
單位長度
數軸的三要素
規定了原點、正方向和單位長度的直線叫數軸.
數軸的概念
新知探究
知識點1 數軸的概念與畫法
數軸的畫法
1.畫一條水平直線，定原點(如圖)，原點表示0.
0
2.規定從原點向右為正方向，那么相反的方向(從原點向左)則為負方向.
3.選擇適當的長度為單位長度.(單位長度要保持一致)

0
0
1
2
3
-1
-2
-3


新知探究
知識點1 數軸的概念與畫法
(1)原點、單位長度和正方向三要素缺一不可；
(2)直線一般畫水平的；
(3)正方向用箭頭表示，一般取從左到右；
(4)取單位長度應結合實際需要，但要做到刻度均勻.
畫數軸注意事項
新知探究
知識點1 數軸的概念與畫法
問題1 觀察下列圖形，指出哪條數軸畫得正確，其余錯在哪里？
1
2
3
A
0
1
-1
2
B
0
E
-1
0
D
-2
1
-2
0
2
-4
-6
4
C
6
×
×
×
×
√
無原點
無正方向
單位長度不統一
沒有單位長度
新知探究
知識點1 數軸的概念與畫法
問題2 觀察下面數軸，哪些數在原點的左邊，哪些數在原點的右邊，由此你有什么發現？
0
-1
-2
-3
1
2
3
_______在原點左邊，_______在原點右邊
負數
正數
任何一個有理數都可以用數軸上的一個點來表示.
新知探究
知識點2 數軸上的點與有理數的關系
1
-3
0
2
4
-2
-4
-1
3
-3.5
2.5
所有的有理數都可以用數軸上的一個點來表示
表示正有理數的點都在原點右側
表示負有理數的點都在原點左側
表示0的點在原點
（每個有理數都對應數軸上的一個點）
正有理數
負有理數
原點
新知探究
知識點2 數軸上的點與有理數的關系
－5 －4 －3 －2 －1 　 0 1 2 3 4 5
解:
1
－5
4
●
●
●
●
●
－2.5
0
注意 ：①把點標在線上；②把數標在點的上方， 以便觀看.
問題3 在所給數軸上畫出表示下列各數的點.
1，－5，－2.5， ，0
－5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5
4
新知探究
知識點2 數軸上的點與有理數的關系
0
1 2
-2 -1
問題4 在下面數軸上，A，B，C，D各點分別表示什么數？
D C B A
(4)D點表示-1.5.
(1)A點表示2；
(2)B點表示0.25；
(3)C點表示-0.75；
解:
.
.
.
.
新知探究
知識點2 數軸上的點與有理數的關系
問題5 從數軸上表示-1的點出發，向左移動兩個單位長度到點B，則點B表示的數是 ，再向右移動5個單位長度到達點C，則點C表示的數是 .
0
-3 -2 -1 1 2 3
C
.
.
解析:如圖.
左移2個
右移5個
.
B
-3
2
新知探究
知識點2 數軸上的點與有理數的關系
知識點1 數軸
1. 認識數軸需明確兩點：
(1)0是 和 的分界點；
(2)數軸的“三要素”為 、 、
.
正數　
負數　
原點　
正方向　
單位
長度　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2. 下列數軸畫法正確的是(　D　)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
A. 正數應在原點右邊，負數應在原點左邊，且按從
小到大的順序從左往右排，故A錯誤；B. 負數的大小順
序標反，應從原點向左依次標－1，－2，－3，…，故B
錯誤；C. 缺少原點，故C錯誤.
【點撥】
D
【答案】
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3. [新考法·定義辨析法]關于數軸，下列說法最準確的是
(　D　)
A. 是一條直線
B. 是規定了原點、正方向的一條直線
C. 是有單位長度的一條直線
D. 是規定了原點、正方向、單位長度的一條直線
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
知識點2 數軸上的點與數的對應關系
4. [母題教材P10例]如圖，數軸上點 E 表示的數是(　A　)
A. －2 B. －1
C. 1 D. 2
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
5. [2023·自貢]如圖，數軸上點 A 表示的數是2 023， OA ＝
OB ，則點 B 表示的數是(　B　)
A. 2 023 B. －2 023
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
因為 OA ＝ OB ，點 A 表示的數是2 023，所以 OB ＝
OA ＝2 023.
因為點 B 在 O 點左側，所以點 B 表示的數為－2 023.
故選B.
【點撥】
【答案】
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
6. 如圖，數軸的單位長度為1，如果點 A 表示的數是－2，那
么點 B 表示的數是(　D　)
A. －1 B. 0
C. 1 D. 2
【點撥】
根據點 A 表示的數是－2，畫出數軸的原點 O ，如
圖，則點 B 表示的數為2.故選D.
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
數軸
應用
用數軸上的點表示給定的有理數
根據數軸上的點讀出有理數
數形結合解決問題
畫法
一畫：
二定：
三選：
四統一：
畫直線；
定原點；
選正方向；
統一單位長度；
定義
規定了 、 和 的直線，叫做數軸.
單位長度
原點
正方向
課堂小結
謝謝觀看！

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