資源簡介

(共37張PPT)
1.3 絕對值與相反數(shù)
第一章 有理數(shù)
【2024新教材】2025-2026學年冀教版數(shù)學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
第一頁：標題頁
1.3 絕對值與相反數(shù)
—— 理解絕對值和相反數(shù)的概念及性質(zhì)
（右下角添加授課教師姓名及日期：2025 年 7 月 30 日）
第二頁：引入
上節(jié)課我們學習了數(shù)軸，知道任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示。那么，數(shù)軸上的點到原點的距離有什么意義呢？還有，像 3 和 - 3 這樣的數(shù)，它們在數(shù)軸上的位置有什么關系？這節(jié)課我們就來學習絕對值與相反數(shù)，解決這些問題。
第三頁：絕對值的定義
定義：在數(shù)軸上，表示一個數(shù)的點與原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值。
絕對值的符號：數(shù)\(a\)的絕對值記作\(\vert a \vert\)，讀作 “\(a\)的絕對值”。
實例：
在數(shù)軸上，表示\(5\)的點到原點的距離是\(5\)，所以\(\vert 5 \vert=5\)。
表示\(-3\)的點到原點的距離是\(3\)，所以\(\vert -3 \vert=3\)。
表示\(0\)的點到原點的距離是\(0\)，所以\(\vert 0 \vert=0\)。
第四頁：絕對值的性質(zhì)
正數(shù)的絕對值是它本身。
例如：\(\vert 2 \vert=2\)，\(\vert 3.5 \vert=3.5\)。
負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)。
例如：\(\vert -2 \vert=2\)，\(\vert -3.5 \vert=3.5\)。
\(0\)的絕對值是\(0\)。
即\(\vert 0 \vert=0\)。
符號表示：
當\(a > 0\)時，\(\vert a \vert=a\)；
當\(a = 0\)時，\(\vert a \vert=0\)；
當\(a < 0\)時，\(\vert a \vert=-a\)。
第五頁：例題解析（絕對值）
例題 1：求下列各數(shù)的絕對值：
（1）\(7\)；（2）\(-4.5\)；（3）\(0\)；（4）\(-\frac{3}{2}\)。
解：（1）因為\(7\)是正數(shù)，所以\(\vert 7 \vert=7\)。
（2）因為\(-4.5\)是負數(shù)，所以\(\vert -4.5 \vert=4.5\)。
（3）\(\vert 0 \vert=0\)。
（4）因為\(-\frac{3}{2}\)是負數(shù)，所以\(\vert -\frac{3}{2} \vert=\frac{3}{2}\)。
例題 2：已知\(\vert x \vert=5\)，求\(x\)的值。
解：因為絕對值是\(5\)的數(shù)到原點的距離是\(5\)，而數(shù)軸上到原點距離是\(5\)的點表示的數(shù)是\(5\)和\(-5\)，所以\(x = 5\)或\(x=-5\)。
第六頁：相反數(shù)的定義
定義：像\(3\)和\(-3\)，\(5\)和\(-5\)這樣，只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)。
特別地，\(0\)的相反數(shù)是\(0\)。
幾何意義：在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個點分別在原點的兩側，且到原點的距離相等。
實例：
\(6\)的相反數(shù)是\(-6\)；\(-8\)的相反數(shù)是\(8\)；\(\frac{1}{2}\)的相反數(shù)是\(-\frac{1}{2}\)。
第七頁：相反數(shù)的表示
數(shù)\(a\)的相反數(shù)可以表示為\(-a\)。
例如：\(5\)的相反數(shù)是\(-5\)，即\(-(5)=-5\)；\(-3\)的相反數(shù)是\(3\)，即\(-(-3)=3\)。
注意：
相反數(shù)是成對出現(xiàn)的，不能單獨說某個數(shù)是相反數(shù)。
“只有符號不同” 意味著兩個數(shù)除了符號外，數(shù)字部分完全相同。
第八頁：例題解析（相反數(shù)）
例題 3：寫出下列各數(shù)的相反數(shù)：
（1）\(10\)；（2）\(-12\)；（3）\(0\)；（4）\(-\frac{5}{3}\)；（5）\(m\)。
解：（1）\(10\)的相反數(shù)是\(-10\)。
（2）\(-12\)的相反數(shù)是\(12\)。
（3）\(0\)的相反數(shù)是\(0\)。
（4）\(-\frac{5}{3}\)的相反數(shù)是\(\frac{5}{3}\)。
（5）\(m\)的相反數(shù)是\(-m\)。
例題 4：化簡下列各數(shù)：
（1）\(-(+5)\)；（2）\(-(-7)\)；（3）\(-[-(+3)]\)。
解：（1）\(-(+5)\)表示\(+5\)的相反數(shù)，所以\(-(+5)=-5\)。
（2）\(-(-7)\)表示\(-7\)的相反數(shù)，所以\(-(-7)=7\)。
（3）先看內(nèi)層，\(-(+3)=-3\)，所以\(-[-(+3)]=-(-3)=3\)。
第九頁：絕對值與相反數(shù)的關系
互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等。
例如：\(\vert 4 \vert=4\)，\(\vert -4 \vert=4\)，即\(\vert 4 \vert=\vert -4 \vert\)。
絕對值相等的兩個數(shù)要么相等，要么互為相反數(shù)。
例如：若\(\vert a \vert=\vert b \vert\)，則\(a = b\)或\(a=-b\)。
第十頁：課堂練習
填空題：
\(\vert -9 \vert=\)；\(\vert 0.6 \vert=\)；\(\vert -\frac{2}{5} \vert=\)______。
\(7\)的相反數(shù)是______；\(-3.2\)的相反數(shù)是______；______的相反數(shù)是它本身。
若\(\vert x \vert=7\)，則\(x=\)；若\(\vert -y \vert=4\)，則\(y=\)。
選擇題：
下列說法正確的是（ ）
A. 絕對值等于它本身的數(shù)是正數(shù) B. 相反數(shù)等于它本身的數(shù)是負數(shù) C. 絕對值相等的兩個數(shù)一定互為相反數(shù) D. 互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等
若\(a\)與\(b\)互為相反數(shù)，則下列式子成立的是（ ）
A. \(a + b=0\) B. \(a + b=1\) C. \(a - b=0\) D. \(a - b=1\)
第十一頁：課堂小結
絕對值：數(shù)軸上表示數(shù)\(a\)的點到原點的距離，記作\(\vert a \vert\)。正數(shù)的絕對值是它本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，\(0\)的絕對值是\(0\)。
相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，\(0\)的相反數(shù)是\(0\)。互為相反數(shù)的兩個數(shù)在數(shù)軸上關于原點對稱，到原點的距離相等。
絕對值與相反數(shù)的關系：互為相反數(shù)的兩個數(shù)絕對值相等；絕對值相等的兩個數(shù)要么相等，要么互為相反數(shù)。
第十二頁：作業(yè)布置
教材第 XX 頁習題 1.3 第 1、2、3、4 題。
求下列各數(shù)的絕對值和相反數(shù)：
\(15\)；\(-8\)；\(0\)；\(-\frac{3}{4}\)；\(2.8\)。
化簡：
\(-(+12)\)；\(-(-9)\)；\(-[-( -6)]\)；\(-\vert -5 \vert\)。
已知\(\vert a \vert=3\)，\(\vert b \vert=5\)，且\(a\)、\(b\)互為相反數(shù)，求\(a\)、\(b\)的值。
思考：若\(\vert x - 2 \vert + \vert y + 3 \vert=0\)，求\(x\)和\(y\)的值（提示：絕對值具有非負性）。
互逆命題、互逆定理教案
一、教學目標
知識與技能目標
理解互逆命題、互逆定理的概念，能準確說出一個命題的逆命題。
會判斷一個命題及它的逆命題的真假性，掌握證明命題真假的方法。
過程與方法目標
通過對命題、逆命題的分析，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力和語言表達能力。
經(jīng)歷探究互逆定理的過程，體會從特殊到一般的數(shù)學思想。
情感態(tài)度與價值觀目標
培養(yǎng)學生積極參與數(shù)學活動，敢于質(zhì)疑、勇于探索的精神。
讓學生感受數(shù)學知識的嚴謹性和邏輯性，體會數(shù)學的應用價值。
二、教學重難點
重點
互逆命題、互逆定理的概念及命題真假的判斷。
能正確寫出一個命題的逆命題。
難點
判斷一個命題的逆命題的真假性，理解原命題為真，其逆命題不一定為真。
用邏輯推理的方法證明命題的真假。
三、教學方法
講授法、討論法、練習法相結合
四、教學過程
（一）導入新課（5 分鐘）
展示一些簡單的命題，如 “如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引導學生分析這些命題的題設和結論。
提問：能否交換這些命題的題設和結論，得到新的命題？新命題是否成立？從而引出本節(jié)課的課題 —— 互逆命題、互逆定理。
（二）講授新課（25 分鐘）
互逆命題
給出互逆命題的定義：在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題。
舉例說明：如原命題 “如果兩個角是直角，那么這兩個角相等”，它的逆命題是 “如果兩個角相等，那么這兩個角是直角” 。讓學生進一步理解互逆命題的概念。
組織學生進行小組討論，每個小組寫出 3 - 5 個命題，并交換寫出它們的逆命題。
命題真假的判斷
引導學生思考如何判斷一個命題的真假。對于真命題，需要通過推理證明；對于假命題，只需舉一個反例即可。
以剛才的命題為例，分析原命題和逆命題的真假性。如 “如果兩個角是直角，那么這兩個角相等” 是真命題，而它的逆命題 “如果兩個角相等，那么這兩個角是直角” 是假命題，因為兩個相等的角不一定是直角，還可能是銳角或鈍角等。
讓學生自己判斷之前小組討論中寫出的命題及其逆命題的真假性，并在小組內(nèi)交流。
互逆定理
給出互逆定理的定義：如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫做互逆定理，其中一個定理叫做另一個定理的逆定理。
舉例說明：如 “兩直線平行，同位角相等” 和 “同位角相等，兩直線平行” 是互逆定理。
強調(diào)：并不是所有的定理都有逆定理，只有當定理的逆命題為真命題時，才有逆定理。
（三）例題講解（15 分鐘）
例 1：寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的對應角相等。
（3）等腰三角形的兩個底角相等。
分析：
（1）逆命題為 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，這是假命題，因為當 b = 0 時，ab = 0，a 不一定為 0。
（2）逆命題為 “對應角相等的三角形是全等三角形”，這是假命題，因為對應角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命題為 “有兩個角相等的三角形是等腰三角形”，這是真命題，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：證明命題 “如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等” 是真命題。
分析：引導學生畫出圖形，寫出已知、求證，然后進行證明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求證：AB = AC。
證明：作∠BAC 的平分線 AD，交 BC 于點 D。
因為 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共邊），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）課堂練習（10 分鐘）
寫出下列命題的逆命題，并判斷真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的兩個銳角互余。
（3）對頂角相等。
判斷下列說法是否正確：
（1）每個命題都有逆命題。
（2）每個定理都有逆定理。
（3）真命題的逆命題一定是真命題。
（4）假命題的逆命題一定是假命題。
（五）課堂小結（5 分鐘）
與學生一起回顧互逆命題、互逆定理的概念，以及如何判斷命題的真假。
強調(diào)：原命題為真，逆命題不一定為真；原命題為假，逆命題也不一定為假。
（六）布置作業(yè)（5 分鐘）
課本課后習題，要求學生認真書寫解題過程，判斷命題真假時要說明理由。
拓展作業(yè)：收集生活中或數(shù)學學習中至少兩個互逆命題，并分析它們的真假性。
五、教學反思
在教學過程中，要注重引導學生積極思考、主動參與，通過實際例子幫助學生理解抽象的概念。對于學生在判斷命題真假和寫逆命題時容易出現(xiàn)的錯誤，要及時給予糾正和指導。在今后的教學中，可以進一步加強練習，提高學生的邏輯思維能力和解決問題的能力。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1.借助數(shù)軸理解絕對值和相反數(shù)的意義，體會數(shù)形結合思想.
2.掌握求有理數(shù)的絕對值和相反數(shù)的方法,會對含多重符號的有理數(shù)進行化簡,形成應用意識.
3.掌握絕對值的性質(zhì),會用絕對值的非負性解決相關問題.
學習目標
西
東
3米
3米
活動 觀察下圖兩只狗狗追尋食物的情景，請試著在數(shù)軸上表示出這一情景，并回答問題.
課堂導入
問題：
1.它們所跑的路線相同嗎？
2.它們所跑的路程(線段OA、OB的長度)一樣嗎？
西
東
3米
3米
3
3
A
O
B
0
3
-3
1
2
-2
-1
路線不同，正負性
路程一樣，到原點的距離相等(不管方向)
課堂導入
0
6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
3
4
5
│－５│＝５
│４│＝４
4到原點的距離是4,所以4的絕對值是4,記做|4|=4
-5到原點的距離是5,所以-5的絕對值是5,記做|-5|=5
在數(shù)軸上，表示一個數(shù)的點到原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值，用“| |”表示.
0到原點的距離是0,所以0的絕對值是0,記做|0|=0
新知探究
知識點1 絕對值
問題1 利用數(shù)軸上點到原點的距離回答：
|5|=
|3.5|=
|-3|=
|-4.5|=
|0|=
0
1
0
0
0
0
5
3.5
-3
-4.5
5
3.5
3
4.5
0
新知探究
知識點1 絕對值
問題2 （1）用數(shù)軸上的點表示下列各組數(shù)：
3，-3； 5，-5； - .
（2) 觀察表示上述各組數(shù)的點在數(shù)軸上的位置，寫出這些 數(shù)的絕對值.
－5 －4 －3 －2 －1 　 0 1 2 3 4 5
解：（1）如下圖.
（2）觀察各點在數(shù)軸上的位置，得到
|3|=3，|-3|=3； |5|=5，|-5|=5；
新知探究
知識點1 絕對值
觀察與思考 觀察例1中的三組數(shù)在數(shù)軸上的位置和絕對值的大小，說說這三組數(shù)的共同特點是什么，并與同學進行交流.
像3和-3,5和-5， 和 - 等這樣符號不同、絕對值相等的兩個數(shù)，我們稱其中一個數(shù)是另一個數(shù)的相反數(shù)，也稱這兩個數(shù)互為相反數(shù).0的相反數(shù)規(guī)定為0.
新知探究
知識點2 相反數(shù)
思考 設a是一個正數(shù)，數(shù)軸上與原點距離等于a的點有幾個？這些點表示的數(shù)有什么關系？
0
-3 -2 -1 1 2 3
與原點距離是a
與原點距離是a
在數(shù)軸上，與原點距離是a的點有_____個,分別表示_________.
2
-a和a
新知探究
知識點2 相反數(shù)
總結
互為相反數(shù)的兩個數(shù)分別位于原點的兩側（0除外）；互為相反數(shù)的兩個數(shù)到原點的距離相等.
一般地，設a是一個正數(shù)，數(shù)軸上與原點的距離是a的點有兩個，它們分別在原點的兩側，表示a和-a，這兩點 關于原點對稱.
2
5
2
5
新知探究
知識點2 相反數(shù)
結合數(shù)軸思考:
0的相反數(shù)是_____.
一個正數(shù)的相反數(shù)是一個　　　.
一個負數(shù)的相反數(shù)是一個　　　.
負數(shù)
正數(shù)
一個數(shù)的相反數(shù)是它本身的數(shù)是______.　　
0
0
新知探究
知識點2 相反數(shù)
問題3 a的相反數(shù)是什么？
在這個數(shù)前加一個“－”號.
問題4 如何求一個數(shù)的相反數(shù)？
a 的相反數(shù)是－a ，a可表示任意有理數(shù).
新知探究
知識點2 相反數(shù)
問題5 若把 a分別換成＋5，－7，0時，這些數(shù)的相反數(shù)怎樣表示？
a = +5， - a = -（+5）
a = -7， - a = -（-7）
a = 0， - a = 0
化簡多重符號時，只需數(shù)一下數(shù)字前面有多少個負號，若有偶數(shù)個，則結果為正；若有奇數(shù)個，則結果為負.
－5
7
0
新知探究
知識點2 相反數(shù)
問題6 化簡下列各數(shù)：
-（-11），-（+2），-（-3.75）， .
解: 因為-11的相反數(shù)是11，所以-（-11）=11.
因為+2的相反數(shù)是-2，所以-（+2）= -2.
同理，-（-3.75）=3.75，
新知探究
知識點2 相反數(shù)
|5|=5 |-10|=10
|3.5|= 3.5 |100|=100
|-3|=3 |50|=50
|-4.5|=4.5 |-5000|=5000
|0|=0 …..
思考 一個正數(shù)的絕對值是什么？
一個負數(shù)的絕對值是什么？
0的絕對值是什么？
問題 觀察這些表示絕對值的數(shù)，它們有什么共同點？
新知探究
知識點3 絕對值的性質(zhì)
結論1：一個正數(shù)的絕對值是正數(shù)；
一個負數(shù)的絕對值是正數(shù)；
0的絕對值是0.
結論2：一個正數(shù)的絕對值是它本身；
一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù).
絕對值的性質(zhì)
新知探究
知識點3 絕對值的性質(zhì)
正數(shù)的絕對值是它本身
(1)當a是正數(shù)時，｜a｜＝____；
(2)當a是負數(shù)時，｜a｜＝＿＿；
(3)當a=0時，｜a｜＝＿＿＿。
a
-a
0
0的絕對值是0
負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)
思考
字母a表示一個有理數(shù),你知道a的絕對值等于什么嗎
由此，我們可以看出，一個數(shù)的絕對值是一個非負數(shù)（不小于0的數(shù)）.
新知探究
知識點3 絕對值的性質(zhì)
任何一個有理數(shù)的絕對值都是非負數(shù)!
|a|≥0
總結
即：對于不任何一個有理數(shù)a，有
新知探究
知識點3 絕對值的性質(zhì)
|-5|=5
|+5|=5
相反數(shù)、絕對值的聯(lián)系是什么？
互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等。
絕對值相等，符號相反的兩個數(shù)互為相反數(shù).
思考
新知探究
知識點3 絕對值的性質(zhì)
[思路引導] 判斷該數(shù)的符號，再根據(jù)正數(shù)的絕對值是它本身；負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0，即可求解．
問題7 求下列各數(shù)的絕對值：
-2.5，+2.5
解：
互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等.
新知探究
知識點3 絕對值的性質(zhì)
問題8 求下列各數(shù)的絕對值.
12， -7.5， 0。
解：
|12|=12；
| |= ；
|-7.5|=7.5；
|0|=0。
正數(shù)的絕對值等于它本身
負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)
0的絕對值是0
新知探究
知識點3 絕對值的性質(zhì)
問題9 若|a|+|b|=0，求a,b的值.
[思路引導]由絕對值的性質(zhì)可得|a|≥0，|b|≥0.
解：由題意得|a|≥0，|b|≥0，
又因為|a|+|b|=0，所以|a|=0，|b|=0，
所以a=0,b=0.
方法歸納
如果幾個非負數(shù)的和為0，那么這幾個非負數(shù)都等于0.
新知探究
知識點3 絕對值的性質(zhì)
知識點1 絕對值的定義
1. [2024·成都]－5的絕對值是(　A　)
A. 5 B. －5
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2. 如圖，點 A 所表示的數(shù)的絕對值是(　A　)
A. 3 B. －3
【點撥】
因為點 A 表示的數(shù)是－3，所以點 A 所表示的數(shù)的絕
對值是3.
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3. [2023·長春]數(shù) a ， b ， c ， d 在數(shù)軸上對應點的位置如圖
所示，這四個數(shù)中絕對值最小的是(　B　)
A. a B. b C. c D. d
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
知識點2 相反數(shù)的定義
4. [2024·達州]有理數(shù)2 024的相反數(shù)是(　B　)
A. 2 024 B. －2 024
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5. [新考法·數(shù)形結合法] A ， B 是數(shù)軸上兩點， A ， B 之間的
點表示的數(shù)中，存在互為相反數(shù)的是(　B　)
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6. 一個數(shù)的相反數(shù)等于它本身，這樣的數(shù)有(　B　)
A. 0個 B. 1個
C. 2個 D. 無數(shù)個
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7. 如圖，數(shù)軸上點 A 所表示的數(shù)的相反數(shù)是(　D　)
A. 9
D. －9
D
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8. [母題·2023·赤峰·教材P13例2] 化簡－(－20)的結果是
(　B　)
B. 20
D. －20
B
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知識點3 絕對值的性質(zhì)
9. (榮德原創(chuàng)題)完成下列各題.
(1)｜15｜＝ ， ＝ 　 　；
(2)｜－15｜＝ ， ＝ 　 　；
(3)｜0｜＝ ；
(4)由以上可以看出：
當 a 為任意有理數(shù)時，｜ a ｜ 0.
15　
　
15　
　
0　
≥　
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10. [2023·淄博]－｜－3｜的運算結果等于(　B　)
A. 3 B. －3
B
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11. 如果｜ x ｜＝2，那么 x ＝(　C　)
A. 2 B. －2
C. 2或－2
C
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易錯點 未考慮 a 為0的情況，誤認為若｜ a ｜＝ a ，則 a ＞
0；若｜ a ｜＝－ a ，則 a ＜0
12. [2024·衡水五中月考]如果｜ x －2｜＝2－ x ，那么 x 的取
值范圍是(　A　)
A. x ≤2 B. x ＜2
C. x ≥2 D. x ＞2
A
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絕對值與相反數(shù)
絕對值
相反數(shù)
幾何意義
代數(shù)意義
在數(shù)軸上，表示數(shù)a的點到原點的距離.
a, (a>0)
|a|=
0, (a=0)
|a|≥0
幾何意義
代數(shù)意義
符號不同，絕對值相等的兩個數(shù)，互為相反數(shù).
兩個互為相反數(shù)的數(shù)在數(shù)軸上所表示的點在原點的兩旁，且與原點的距離相等.
-a, (a<0)
課堂小結
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