資源簡介

(共30張PPT)
1.5.2有理數的加法運算律
第一章 有理數
【2024新教材】2025-2026學年冀教版數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
第一頁：標題頁
1.5.2 有理數的加法運算律
—— 靈活運用運算律簡化加法運算
（右下角添加授課教師姓名及日期：2025 年 7 月 30 日）
第二頁：復習回顧
上節課我們學習了有理數的加法法則，以及加法的兩個重要運算律：
加法交換律：兩個數相加，交換加數的位置，和不變，即\(a + b = b + a\)。
加法結合律：三個數相加，先把前兩個數相加，或者先把后兩個數相加，和不變，即\((a + b)+c = a+(b + c)\)。
這節課我們將重點學習如何運用這些運算律簡化有理數的加法運算。
第三頁：運用運算律簡化計算的意義
在進行多個有理數相加時，直接按照從左到右的順序計算可能會比較繁瑣，而且容易出錯。靈活運用加法交換律和結合律，可以：
簡化計算步驟：將容易計算的數先結合相加，減少運算量。
提高計算準確性：通過合理分組，讓計算過程更清晰，降低出錯概率。
培養簡便運算意識：學會觀察數的特點，選擇最優的計算策略。
第四頁：運用運算律的常見技巧（一）
技巧 1：同號結合法
把所有的正數結合在一起相加，所有的負數結合在一起相加，再把結果相加。
原理：同號兩數相加的法則相對簡單，先分別計算同號數的和，再進行異號相加，可減少符號判斷的次數。
例題 1：計算\(13+( - 12)+17+( - 18)\)
解：利用加法交換律和結合律，將正數與正數結合，負數與負數結合：\(\begin{align*}
&13+( - 12)+17+( - 18)\\
=&(13 + 17)+[( - 12)+( - 18)]\\
=&30+( - 30)\\
=&0
\end{align*}\)
第五頁：運用運算律的常見技巧（二）
技巧 2：相反數結合法
把互為相反數的兩個數先結合相加，因為它們的和為 0，可簡化計算。
原理：互為相反數的兩個數相加得 0，能快速消去部分數，減少計算量。
例題 2：計算\(( - 2.5)+3.1+( - 2.5)+( - 3.1)\)
解：觀察到\(3.1\)與\(-3.1\)互為相反數，\(-2.5\)與\(-2.5\)是相同的數，結合如下：\(\begin{align*}
&( - 2.5)+3.1+( - 2.5)+( - 3.1)\\
=&[( - 2.5)+( - 2.5)]+[3.1+( - 3.1)]\\
=&( - 5)+0\\
=&-5
\end{align*}\)
第六頁：運用運算律的常見技巧（三）
技巧 3：同分母或易通分結合法
對于分數相加，把分母相同或容易通分的分數先結合相加。
原理：同分母分數相加，分母不變，分子直接相加，可避免復雜的通分過程。
例題 3：計算\(\frac{1}{2}+( - \frac{2}{3})+\frac{4}{5}+( - \frac{1}{2})+( - \frac{1}{3})\)
解：\(\frac{1}{2}\)與\(-\frac{1}{2}\)互為相反數，\(-\frac{2}{3}\)與\(-\frac{1}{3}\)分母相同，結合如下：\(\begin{align*}
&\frac{1}{2}+( - \frac{2}{3})+\frac{4}{5}+( - \frac{1}{2})+( - \frac{1}{3})\\
=&[\frac{1}{2}+( - \frac{1}{2})]+[( - \frac{2}{3})+( - \frac{1}{3})]+\frac{4}{5}\\
=&0+( - 1)+\frac{4}{5}\\
=&-1+\frac{4}{5}\\
=&-\frac{1}{5}
\end{align*}\)
第七頁：運用運算律的常見技巧（四）
技巧 4：湊整結合法
把能湊成整數（整十、整百等）的數先結合相加。
原理：整數相加計算簡便，通過湊整可將復雜的小數或分數運算轉化為簡單的整數運算。
例題 4：計算\(0.7+( - 0.9)+( - 1.8)+1.3+( - 0.2)\)
解：觀察到\(0.7\)與\(1.3\)能湊成 2，\(-0.9\)、\(-1.8\)與\(-0.2\)能湊成\(-2.9\)，結合如下：\(\begin{align*}
&0.7+( - 0.9)+( - 1.8)+1.3+( - 0.2)\\
=&(0.7 + 1.3)+[( - 0.9)+( - 1.8)+( - 0.2)]\\
=&2+( - 2.9)\\
=&-0.9
\end{align*}\)
第八頁：綜合例題解析
例題 5：計算\(( - 1)+2+( - 3)+4+( - 5)+\cdots+( - 99)+100\)
分析：觀察這組數據，從左到右每兩個數為一組，都是\((- °)+ °\)，且每組的和為 1。
解：利用加法結合律分組計算：\(\begin{align*}
&( - 1)+2+( - 3)+4+( - 5)+\cdots+( - 99)+100\\
=&[( - 1)+2]+[( - 3)+4]+[( - 5)+6]+\cdots+[( - 99)+100]\\
=&1 + 1+1+\cdots+1\\
=&50
\end{align*}\)
（共 50 組，每組和為 1，所以總和為 50）
第九頁：注意事項
運用運算律時，要連同數前面的符號一起移動，避免符號錯誤。
例如：\(3+( - 5)\)交換位置后是\(( - 5)+3\)，不能寫成\(-5 + 3\)（雖然結果相同，但要規范書寫）。
分組時要根據數的特點靈活選擇方法，有時可以多種技巧結合使用。
計算過程中要仔細核對每一步的結果，確保準確性。
對于多個數相加的情況，不要急于計算，先觀察數的特征，再選擇合適的運算律。
第十頁：課堂練習
計算下列各題：
（1）\(( - 7)+( + 10)+( - 11)+( + 2)\)
（2）\(2.4+( - 3.7)+( - 4.6)+5.7\)
（3）\(\frac{3}{4}+( - \frac{1}{6})+( - \frac{1}{4})+( - \frac{5}{6})\)
（4）\(( - 1.5)+3+( - 2.5)+( - 3)+4\)
（5）\(1+( - 2)+3+( - 4)+\cdots+( - 100)\)
某超市一周內的收入和支出情況如下（收入為正，支出為負）：\(+5200\)元、\(-2300\)元、\(+1800\)元、\(-2700\)元、\(+3500\)元、\(-1400\)元、\(-1600\)元。該超市這一周的總收入（總收入 = 各項收入總和）是多少元？總支出是多少元？最終結余多少元？
第十一頁：課堂小結
有理數加法運算律包括加法交換律和結合律，運用它們可以簡化多個有理數相加的計算。
常見的運用技巧有：同號結合法、相反數結合法、同分母或易通分結合法、湊整結合法。
運用運算律時要注意連同符號一起移動，分組要靈活，以簡化計算為目的。
計算后要檢查結果是否正確，養成嚴謹的計算習慣。
第十二頁：作業布置
教材第 XX 頁習題 1.5 第 4、5、6 題。
計算下列各題：
（1）\(15+( - 20)+( - 15)+7+5\)
（2）\(( - 0.5)+3.25+( - 5.5)+( - 2.25)\)
（3）\(\frac{1}{3}+( - \frac{1}{5})+( - \frac{2}{3})+\frac{3}{5}\)
（4）\(1+( - 2)+( - 3)+4+5+( - 6)+( - 7)+8+\cdots+97+( - 98)+( - 99)+100\)
某檢修小組乘汽車沿公路檢修線路，約定前進為正，后退為負，某天自 A 地出發到收工時所走的路程（單位：km）為：\(+10\)、\(-3\)、\(+4\)、\(+2\)、\(-8\)、\(+13\)、\(-2\)、\(+12\)、\(+8\)、\(+5\)。
（1）收工時檢修小組在 A 地的哪邊？距 A 地多遠？
（2）若每千米耗油 0.2 升，從 A 地出發到收工時共耗油多少升？
思考：如何用加法運算律快速計算從 1 到 100 的所有整數的和？
互逆命題、互逆定理教案
一、教學目標
知識與技能目標
理解互逆命題、互逆定理的概念，能準確說出一個命題的逆命題。
會判斷一個命題及它的逆命題的真假性，掌握證明命題真假的方法。
過程與方法目標
通過對命題、逆命題的分析，培養學生的邏輯思維能力和語言表達能力。
經歷探究互逆定理的過程，體會從特殊到一般的數學思想。
情感態度與價值觀目標
培養學生積極參與數學活動，敢于質疑、勇于探索的精神。
讓學生感受數學知識的嚴謹性和邏輯性，體會數學的應用價值。
二、教學重難點
重點
互逆命題、互逆定理的概念及命題真假的判斷。
能正確寫出一個命題的逆命題。
難點
判斷一個命題的逆命題的真假性，理解原命題為真，其逆命題不一定為真。
用邏輯推理的方法證明命題的真假。
三、教學方法
講授法、討論法、練習法相結合
四、教學過程
（一）導入新課（5 分鐘）
展示一些簡單的命題，如 “如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引導學生分析這些命題的題設和結論。
提問：能否交換這些命題的題設和結論，得到新的命題？新命題是否成立？從而引出本節課的課題 —— 互逆命題、互逆定理。
（二）講授新課（25 分鐘）
互逆命題
給出互逆命題的定義：在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題。
舉例說明：如原命題 “如果兩個角是直角，那么這兩個角相等”，它的逆命題是 “如果兩個角相等，那么這兩個角是直角” 。讓學生進一步理解互逆命題的概念。
組織學生進行小組討論，每個小組寫出 3 - 5 個命題，并交換寫出它們的逆命題。
命題真假的判斷
引導學生思考如何判斷一個命題的真假。對于真命題，需要通過推理證明；對于假命題，只需舉一個反例即可。
以剛才的命題為例，分析原命題和逆命題的真假性。如 “如果兩個角是直角，那么這兩個角相等” 是真命題，而它的逆命題 “如果兩個角相等，那么這兩個角是直角” 是假命題，因為兩個相等的角不一定是直角，還可能是銳角或鈍角等。
讓學生自己判斷之前小組討論中寫出的命題及其逆命題的真假性，并在小組內交流。
互逆定理
給出互逆定理的定義：如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫做互逆定理，其中一個定理叫做另一個定理的逆定理。
舉例說明：如 “兩直線平行，同位角相等” 和 “同位角相等，兩直線平行” 是互逆定理。
強調：并不是所有的定理都有逆定理，只有當定理的逆命題為真命題時，才有逆定理。
（三）例題講解（15 分鐘）
例 1：寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的對應角相等。
（3）等腰三角形的兩個底角相等。
分析：
（1）逆命題為 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，這是假命題，因為當 b = 0 時，ab = 0，a 不一定為 0。
（2）逆命題為 “對應角相等的三角形是全等三角形”，這是假命題，因為對應角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命題為 “有兩個角相等的三角形是等腰三角形”，這是真命題，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：證明命題 “如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等” 是真命題。
分析：引導學生畫出圖形，寫出已知、求證，然后進行證明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求證：AB = AC。
證明：作∠BAC 的平分線 AD，交 BC 于點 D。
因為 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共邊），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）課堂練習（10 分鐘）
寫出下列命題的逆命題，并判斷真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的兩個銳角互余。
（3）對頂角相等。
判斷下列說法是否正確：
（1）每個命題都有逆命題。
（2）每個定理都有逆定理。
（3）真命題的逆命題一定是真命題。
（4）假命題的逆命題一定是假命題。
（五）課堂小結（5 分鐘）
與學生一起回顧互逆命題、互逆定理的概念，以及如何判斷命題的真假。
強調：原命題為真，逆命題不一定為真；原命題為假，逆命題也不一定為假。
（六）布置作業（5 分鐘）
課本課后習題，要求學生認真書寫解題過程，判斷命題真假時要說明理由。
拓展作業：收集生活中或數學學習中至少兩個互逆命題，并分析它們的真假性。
五、教學反思
在教學過程中，要注重引導學生積極思考、主動參與，通過實際例子幫助學生理解抽象的概念。對于學生在判斷命題真假和寫逆命題時容易出現的錯誤，要及時給予糾正和指導。在今后的教學中，可以進一步加強練習，提高學生的邏輯思維能力和解決問題的能力。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1.掌握有理數的加法運算律.
2.能運用有理數的加法運算律簡化運算，提高運算能力.
3.能運用有理數的加法解決實際問題，形成應用意識.
學習目標
回顧 小學學過哪些加法運算律？
兩個數相加，交換加數的位置，和不變。
加法交換律
三個數相加，先把前兩個數相加再和第三個數相加,或先把后兩個數相加再和第一個數相加，和不變。
加法結合律
課堂導入
根據所學知識，解決下列問題.
為了給災區群眾籌集善款，支持災后重建，某中學七年級一班捐款786元，七年級一班捐款957元，七年級三班捐款1214元，七年級四班捐款1543元.這四個班級一共給災區捐款多少元？
786+957+1214+1543
運用加法的交換律和結合律可以使運算簡便
= 4500
課堂導入
問題1 計算下列算式，它們的計算結果是否相同？你能從中獲得什么結論？
30+(-20)
( - 20 ) + 30
3.02 + ( - 2.07 )
( - 2.07 ) + 3.02
0+ ( - 20)
( - 20 ) + 0
= 10
= 10
= 0.95
= 0.95
= - 20
= - 20
總結 在有理數的加法中，兩個數相加，交換加數的位置，和不變.
新知探究
知識點 有理數的加法運算律
問題2 計算下列算式，它們的計算結果是否相同？你能從中獲得什么結論？
[ 8 + ( - 5 ) ] + ( - 4)
8+ [ ( - 5 ) + ( - 4 ) ]
= - 1
= - 1
[ 7 + ( - 3 ) ] + ( - 4)
7 + [ ( - 3 ) + ( - 4 ) ]
= 0
= 0
總結：
在有理數的加法中，三個數相加，先把前兩個數相加再和第三個數相加,或先把后兩個數相加再和第一個數相加，和不變.
新知探究
知識點 有理數的加法運算律
有理數加法的運算律：
（1）加法交換律：兩個數相加，交換加數的位置，和不變
a+b=b+a
（2）加法結合律：三個數相加，先把前兩個數相加再和第三個數相加,或先把后兩個數相加再和第一個數相加，和不變
(a+b)+c=a+(b+c)
新知探究
知識點 有理數的加法運算律
問題3 計算：
（1）（-2.4）+（-3.7）+（-4.6）+5.7；
（2）
解：
（1）
（2）
新知探究
知識點 有理數的加法運算律
歸納
應用加法運算律運算時常用的三個規律：
1.一般地，總是先把正數或負數分別結合在一起相加.
2.有相反數的可先把相反數相加，能湊整的可先湊整.
3.有分母相同的，可先把分母相同的數結合相加.
根據算式的特征，恰當的運用運算律，可以使運算簡便.
新知探究
知識點 有理數的加法運算律
問題4 某水庫在星期一的水位是110.3m,星期二下降了0.2m,星期三上升了0.7m,星期四下降了0.8m.
(1) 如果規定水位上升為正，下降為負，請你將每天水位變化情況用正數或負數表示出來.
（2）星期四的水位是多少米？
新知探究
知識點 有理數的加法運算律
解：（1）每天水位的變化量分別是：星期二為-0.2m，星期三為+0.7m，星期四為-0.8m.
(2) 根據題意，得
110.3+（-0.2）+（+0.7）+（-0.8）
=[110.3+(+0.7)]+[(-0.2)+(-0.8)]
=111+(-1)
=110(m).
答：每天水位的變化量分別是：星期二為-0.2m，星期三為+0.7m，星期四為-0.8m.星期四的水位是110m.
新知探究
知識點 有理數的加法運算律
1.在下面的括號里填上運用的運算律.
計算：( - 1 ) + ( + 2 ) + ( - 3 ) + ( + 4 ).
解：原式= ( - 1) + ( - 3 ) + ( + 2 ) + ( + 4 ) ( )
=［( - 1 ) + ( - 3 )］+［( + 2 ) + ( + 4 )］ ( )
= ( - 4 ) + ( + 6 )
= 2.
加法交換律
加法結合律
隨堂練習
2.某儲蓄所先后辦理了7筆業務：取出9.5萬元，存入5萬元，取出8萬元，存入12萬元，存入25萬元，取出10.25萬元，取出2萬元，這時的存款比最初( )
A.增加12.25萬元 B.減少12.25萬元
C.增加12萬元 D.減少12萬元
A
隨堂練習
3.用簡便方法計算：
（1）（+23）+（- 27）+（+ 9）+（- 5）；
（2）（+0.7）+（- 0.9）+（- 1.8）+ 1.3 +（- 0.2）.
解：（1）原式 =［( + 23 ) + ( + 9 )］+［( - 27 ) + ( - 5 )］
= ( + 32 ) + ( - 32 )
= 0.
（2）原式 =［( + 0.7 ) + 1.3］+［( - 1.8 ) + ( - 0.2 )］+ ( - 0.9 )
= 2 + ( - 2 ) + ( - 0.9 )
= - 0.9.
隨堂練習
4.上周五股民新民買進某公司股票1 000股，每股35元，下表為本周內每日股票(單位：元)的漲跌情況：
星期 一 二 三 四 五
每股漲跌 + 4 + 4.5 - 1 - 2.5 - 6
則在星期五收盤時，每股的價格是多少？
解 :根據題意，得
35 + ( + 4 ) + ( + 4.5 ) + ( - 1 ) + ( - 2.5 ) + ( - 6 ) = 34 ( 元 ).
答：每股的價格 34 元.
隨堂練習
5.10筐蘋果，以每筐30千克為基準，超過的千克數記作正數，不足的千克數記作負數，記錄如下：
2， -4， 2.5， 3， -0.5, 1.5, 3， -1, 0， -2.5.
問這10筐蘋果總共重多少千克？
=8+(-4)
解:根據題意得：
2+(-4)+2.5+3+(-0.5)+1.5+3+(-1)+0+(-2.5)
=(2+3+3)+(-4)+[2.5+(-2.5)]+[(-0.5)+(-1)+1.5]
=4
所以這10筐蘋果總重量為：30×10+4=304（千克）
隨堂練習
知識點1 加法的運算律
1. 在下面的橫線上填上適當的運算律.
(1) (－21)＋15＋(＋21)
＝15＋(－21)＋(＋21)
＝15＋[(－21)＋(＋21)]
加法交換律　
加法結合律　
1
2
3
4
5
6
(2) (－10.3)＋6.2＋(－2.7)＋(＋2.8)
＝(－10.3)＋(－2.7)＋6.2＋(＋2.8)
＝[(－10.3)＋(－2.7)]＋[6.2＋(＋2.8)]　
加法交換律　
加法結合律　
1
2
3
4
5
6
2. (－8)＋11＋(－2)＋(－11)＝(－8)＋(－2)＋11＋(－11)＝
[(－8)＋(－2)]＋[11＋(－11)]＝－10＋0＝－10，上面的計
算所運用的運算律是(　D　)
A. 加法交換律
B. 加法結合律
C. 先用加法結合律，再用加法交換律
D. 先用加法交換律，再用加法結合律
D
1
2
3
4
5
6
知識點2 加法運算律的應用
3. 某村共有8塊小麥試驗田，每塊試驗田今年的收成與去年
的相比，情況如下(增產為正，減產為負，單位：kg)：
55，－40，10，－16， 27，－5，－23， 38.那么今年的
小麥總產量與去年的差是 kg.
46　
1
2
3
4
5
6
55＋(－40)＋10＋(－16)＋27＋(－5)＋(－23)＋38＝
(55＋10＋27＋38)＋[(－40)＋(－16)＋(－5)＋(－23)]＝130
＋(－84)＝46(kg)，所以今年的小麥總產量與去年的差是
46 kg.
【點撥】
1
2
3
4
5
6
知識點3 生活中的加法運算律
4. 王先生到市行政中心大樓辦事，假定乘電梯向上一樓記
作：＋1，向下一樓記作：－1，王先生從1樓出發，電梯
上下樓層依次記錄如下(單位：層)：＋6，－3，＋10，－
8，＋4，－7，－2.請問王先生最后 (填“是”或
“不是”)回到出發點1樓.
是　
1
2
3
4
5
6
利用加法運算律進行計算
5. [母題 教材P19例2]計算：
(1)(－2.6)＋(－3.4)＋(＋2.3)＋1.5＋(－2.3)；
【解】原式＝[(－2.6)＋(－3.4)]＋1.5＋[(＋2.3)＋
(－2.3)]＝－6＋1.5＋0＝－4.5.
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6
(2)(－2.125)＋ ＋ ＋(－3.2).
【解】原式＝［(－2.125)＋ ］＋［ ＋
(－3.2)］＝3＋0＝3.
1
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6
利用拆數法求數列和
6. [新考法·閱讀類比法]【閱讀材料】對于 ＋
＋17 ＋ 可以如下計算：
原式＝［(－5)＋(－ )］＋［(－9)＋(－ )］＋(17＋ )＋
1
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6
＝[(－5)＋(－9)＋17＋(－3)]＋［(－ )＋(－ )＋ ＋(－
)］
＝0＋
＝－1 .
1
2
3
4
5
6
上面這種方法叫作拆數法，依照上面的方法，請你計算：
＋ ＋4 048＋ .
【解】原式＝［(－2 023)＋ ］＋［(－2 024)＋
］＋4 048＋ ＝[(－2 023)＋(－2 024)＋4 048]＋
［ ＋ ＋ ］＝1＋(－1)＝0.
1
2
3
4
5
6
有理數加法的運算律
有理數加法的運算律
有理數加法運算律的實際應用
加法交換律：在有理數加法中，兩個數相加，交換加數的位置，和不變．
加法結合律：在有理數的加法中，三個數相加，先把前兩個數相加，或者先把后兩個數相加，和不變．
課堂小結
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