資源簡介

(共30張PPT)
1.7 有理數的加減混合運算
第一章 有理數
【2024新教材】2025-2026學年冀教版數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
第一頁：標題頁
1.7 有理數的加減混合運算
—— 熟練掌握混合運算的方法與技巧
（右下角添加授課教師姓名及日期：2025 年 7 月 30 日）
第二頁：引入
上節課我們學習了有理數的減法，知道減法可以轉化為加法。在實際運算中，我們常常會遇到既有加法又有減法的混合運算，比如\(3 - 5 + 7 - 9\)。這樣的混合運算該如何處理呢？這節課我們就來系統學習有理數的加減混合運算，掌握其運算方法和技巧。
第三頁：加減混合運算的統一形式
有理數的加減混合運算可以統一成加法運算，具體步驟如下：
將減法轉化為加法：根據有理數減法法則 “減去一個數等于加上這個數的相反數”，把所有的減號都轉化為加號，減數變為它的相反數。
例如：\(5 - 3 + 2 - 7 = 5 + (-3) + 2 + (-7)\)
寫成和的形式：轉化后，算式就變成了幾個正數或負數的和。
實例：
把\((-12) - (+8) + (-6) - (-5)\)統一成加法運算：\((-12) + (-8) + (-6) + (+5)\)
第四頁：省略加號和括號的形式
在統一成加法運算后，為了書寫簡便，可以省略算式中的加號和括號。
規則：去掉加號和括號時，若括號前是 “\(+\)” 號，去掉后括號內的數的符號不變；若括號前是 “\(-\)” 號，去掉后括號內的數的符號要改變（但此時已轉化為加法，括號前都是 “\(+\)” 號，所以直接省略即可）。
實例：
\(5 + (-3) + 2 + (-7)\)可以省略為\(5 - 3 + 2 - 7\)
\((-12) + (-8) + (-6) + (+5)\)可以省略為\(-12 - 8 - 6 + 5\)
讀法：
對于\(5 - 3 + 2 - 7\)，可以讀作 “\(5\)減\(3\)加\(2\)減\(7\)”，也可以讀作 “\(5\)、\(-3\)、\(2\)、\(-7\)的和”。
第五頁：加減混合運算的步驟
統一成加法：將所有減法轉化為加法，寫成和的形式。
省略加號和括號：簡化算式的書寫。
運用加法運算律：根據數的特點，靈活運用加法交換律和結合律進行簡便計算（如將正數、負數分別結合，或把能湊整、互為相反數的數結合）。
按加法法則計算：得出最終結果。
例題 1：計算\(-20 + 3 - 5 + 7\)
解：方法一（按順序計算）：\(\begin{align*}
&-20 + 3 - 5 + 7\\
=&-17 - 5 + 7\\
=&-22 + 7\\
=&-15
\end{align*}\)
方法二（運用運算律）：\(\begin{align*}
&-20 + 3 - 5 + 7\\
=&(-20 - 5) + (3 + 7)\\
=&-25 + 10\\
=&-15
\end{align*}\)
第六頁：例題解析（一）
例題 2：計算\((-7) - (+5) + (-4) - (-10)\)
解：步驟一：統一成加法：\((-7) + (-5) + (-4) + (+10)\)
步驟二：省略加號和括號：\(-7 - 5 - 4 + 10\)
步驟三：運用運算律計算：\(\begin{align*}
&-7 - 5 - 4 + 10\\
=&(-7 - 5 - 4) + 10\\
=&-16 + 10\\
=&-6
\end{align*}\)
第七頁：例題解析（二）
例題 3：計算\(0.25 - \frac{1}{8} - \frac{3}{4} + \frac{7}{8}\)
解：步驟一：統一成加法：\(0.25 + (-\frac{1}{8}) + (-\frac{3}{4}) + \frac{7}{8}\)
步驟二：將\(0.25\)化為\(\frac{1}{4}\)，省略加號和括號：\(\frac{1}{4} - \frac{1}{8} - \frac{3}{4} + \frac{7}{8}\)
步驟三：分組結合：\(\begin{align*}
=&\left(\frac{1}{4} - \frac{3}{4}\right) + \left(-\frac{1}{8} + \frac{7}{8}\right)\\
=&(-\frac{2}{4}) + \frac{6}{8}\\
=&-\frac{1}{2} + \frac{3}{4}\\
=&\frac{1}{4}
\end{align*}\)
第八頁：復雜混合運算的技巧
拆分帶分數：對于帶分數的加減混合運算，可以將帶分數拆成整數和分數兩部分，再分別結合計算。
例如：\(3\frac{1}{2} - 5\frac{1}{3} = 3 + \frac{1}{2} - 5 - \frac{1}{3} = (3 - 5) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3})\)
利用絕對值：若算式中含有絕對值，先根據絕對值的性質去掉絕對值符號，再進行加減運算。
例如：\(\vert -2 \vert + 3 - \vert -5 \vert = 2 + 3 - 5 = 0\)
分步處理符號：對于符號較多的算式，先確定每個數的符號，再分組計算。
例題 4：計算\(2\frac{1}{3} - \vert -1\frac{1}{2} \vert - (-1\frac{1}{3}) + (-4\frac{1}{2})\)
解：步驟一：去掉絕對值和括號：\(2\frac{1}{3} - 1\frac{1}{2} + 1\frac{1}{3} - 4\frac{1}{2}\)
步驟二：拆分帶分數并分組：\(\begin{align*}
=&(2 + \frac{1}{3}) - (1 + \frac{1}{2}) + (1 + \frac{1}{3}) - (4 + \frac{1}{2})\\
=&(2 - 1 + 1 - 4) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{2})\\
=&-2 + (\frac{2}{3} - 1)\\
=&-2 - \frac{1}{3}\\
=&-2\frac{1}{3}
\end{align*}\)
第九頁：實際應用舉例
例題 5：某水庫的水位在一周內的變化情況如下（上升為正，下降為負，單位：米）：\(+0.5\)、\(-0.3\)、\(+0.2\)、\(-0.4\)、\(+0.1\)、\(-0.2\)、\(+0.3\)。
（1）這一周內水庫水位最終是上升了還是下降了？上升或下降了多少米？
（2）若水庫初始水位為\(100\)米，則一周后水庫的水位是多少米？
解：（1）計算水位變化的總和：\(\begin{align*}
&0.5 - 0.3 + 0.2 - 0.4 + 0.1 - 0.2 + 0.3\\
=&(0.5 + 0.2 + 0.1 + 0.3) + (-0.3 - 0.4 - 0.2)\\
=&1.1 + (-0.9)\\
=&0.2
\end{align*}\)
結果為正，說明水位上升了，上升了\(0.2\)米。
（2）初始水位為\(100\)米，一周后水位為：\(100 + 0.2 = 100.2\)（米）
第十頁：課堂練習
填空題：
把\((-5) - (+3) + (-2) - (-7)\)寫成省略加號和括號的形式是______，讀作______（兩種讀法）。
計算：\(-3 + 5 - 7 + 9 = \)；\(1 - 2 + 3 - 4 + 5 = \)。
計算下列各題：
（1）\(-12 + 11 - 8 + 39\)
（2）\((-23) - (-5) + (-64) - (-12)\)
（3）\(\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{6}\)
（4）\(3\frac{1}{4} - \vert -2\frac{3}{4} \vert - 5\frac{1}{2} + (-1\frac{1}{4})\)
某商店一周的收入和支出情況如下（收入為正，支出為負，單位：元）：\(+1200\)、\(-800\)、\(+500\)、\(-1000\)、\(+600\)、\(-900\)、\(+300\)。這一周商店的總收入比總支出多多少元？
第十一頁：課堂小結
有理數加減混合運算的核心是將減法轉化為加法，統一成 “和” 的形式，再省略加號和括號簡化書寫。
運算步驟：統一成加法→省略加號和括號→運用加法運算律簡便計算→得出結果。
常用技巧：分組結合（正數與正數、負數與負數、能湊整的數、同分母分數等）、拆分帶分數、處理絕對值等。
解決實際問題時，先明確正負數的含義，再通過加減混合運算分析數量變化。
第十二頁：作業布置
教材第 XX 頁習題 1.7 第 1、2、3、4 題。
計算下列各題：
（1）\(-25 + 18 - 5 - 12\)
（2）\(0 - (-15) + (-6) - (+8) - (-3)\)
（3）\(\frac{3}{5} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{3}{10}\)
（4）\(2\frac{1}{2} - 3\frac{1}{3} + 1\frac{5}{6} - \frac{1}{3}\)
（5）\(\vert -4.5 \vert - \vert -2.7 \vert + (-3) - \vert -1 \vert\)
一輛汽車從 A 地出發，先向東行駛\(30\)千米，再向西行駛\(20\)千米，又向東行駛\(40\)千米，最后向西行駛\(15\)千米，此時汽車在 A 地的哪個方向？距離 A 地多少千米？
已知\(a = -3\)，\(b = 5\)，\(c = -2\)，求\(a - b + c\)的值。
思考：在有理數加減混合運算中，如何快速判斷分組方式才能使計算最簡便？
互逆命題、互逆定理教案
一、教學目標
知識與技能目標
理解互逆命題、互逆定理的概念，能準確說出一個命題的逆命題。
會判斷一個命題及它的逆命題的真假性，掌握證明命題真假的方法。
過程與方法目標
通過對命題、逆命題的分析，培養學生的邏輯思維能力和語言表達能力。
經歷探究互逆定理的過程，體會從特殊到一般的數學思想。
情感態度與價值觀目標
培養學生積極參與數學活動，敢于質疑、勇于探索的精神。
讓學生感受數學知識的嚴謹性和邏輯性，體會數學的應用價值。
二、教學重難點
重點
互逆命題、互逆定理的概念及命題真假的判斷。
能正確寫出一個命題的逆命題。
難點
判斷一個命題的逆命題的真假性，理解原命題為真，其逆命題不一定為真。
用邏輯推理的方法證明命題的真假。
三、教學方法
講授法、討論法、練習法相結合
四、教學過程
（一）導入新課（5 分鐘）
展示一些簡單的命題，如 “如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引導學生分析這些命題的題設和結論。
提問：能否交換這些命題的題設和結論，得到新的命題？新命題是否成立？從而引出本節課的課題 —— 互逆命題、互逆定理。
（二）講授新課（25 分鐘）
互逆命題
給出互逆命題的定義：在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題。
舉例說明：如原命題 “如果兩個角是直角，那么這兩個角相等”，它的逆命題是 “如果兩個角相等，那么這兩個角是直角” 。讓學生進一步理解互逆命題的概念。
組織學生進行小組討論，每個小組寫出 3 - 5 個命題，并交換寫出它們的逆命題。
命題真假的判斷
引導學生思考如何判斷一個命題的真假。對于真命題，需要通過推理證明；對于假命題，只需舉一個反例即可。
以剛才的命題為例，分析原命題和逆命題的真假性。如 “如果兩個角是直角，那么這兩個角相等” 是真命題，而它的逆命題 “如果兩個角相等，那么這兩個角是直角” 是假命題，因為兩個相等的角不一定是直角，還可能是銳角或鈍角等。
讓學生自己判斷之前小組討論中寫出的命題及其逆命題的真假性，并在小組內交流。
互逆定理
給出互逆定理的定義：如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫做互逆定理，其中一個定理叫做另一個定理的逆定理。
舉例說明：如 “兩直線平行，同位角相等” 和 “同位角相等，兩直線平行” 是互逆定理。
強調：并不是所有的定理都有逆定理，只有當定理的逆命題為真命題時，才有逆定理。
（三）例題講解（15 分鐘）
例 1：寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的對應角相等。
（3）等腰三角形的兩個底角相等。
分析：
（1）逆命題為 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，這是假命題，因為當 b = 0 時，ab = 0，a 不一定為 0。
（2）逆命題為 “對應角相等的三角形是全等三角形”，這是假命題，因為對應角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命題為 “有兩個角相等的三角形是等腰三角形”，這是真命題，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：證明命題 “如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等” 是真命題。
分析：引導學生畫出圖形，寫出已知、求證，然后進行證明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求證：AB = AC。
證明：作∠BAC 的平分線 AD，交 BC 于點 D。
因為 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共邊），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）課堂練習（10 分鐘）
寫出下列命題的逆命題，并判斷真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的兩個銳角互余。
（3）對頂角相等。
判斷下列說法是否正確：
（1）每個命題都有逆命題。
（2）每個定理都有逆定理。
（3）真命題的逆命題一定是真命題。
（4）假命題的逆命題一定是假命題。
（五）課堂小結（5 分鐘）
與學生一起回顧互逆命題、互逆定理的概念，以及如何判斷命題的真假。
強調：原命題為真，逆命題不一定為真；原命題為假，逆命題也不一定為假。
（六）布置作業（5 分鐘）
課本課后習題，要求學生認真書寫解題過程，判斷命題真假時要說明理由。
拓展作業：收集生活中或數學學習中至少兩個互逆命題，并分析它們的真假性。
五、教學反思
在教學過程中，要注重引導學生積極思考、主動參與，通過實際例子幫助學生理解抽象的概念。對于學生在判斷命題真假和寫逆命題時容易出現的錯誤，要及時給予糾正和指導。在今后的教學中，可以進一步加強練習，提高學生的邏輯思維能力和解決問題的能力。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1.進一步理解將有理數的減法轉化為加法的意義,能進行有理數的加減混合運算.
2.理解省略加號后加法的意義,能熟練利用運算律簡化運算.
3.能綜合運用有理數及其加法、減法的有關知識解決簡單的實際問題.
學習目標
有理數的加法法則
1.同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加
2.異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值?；橄喾磾档膬蓴迪嗉拥扔?。
3.一個數同0相加，仍得這個數。
課堂導入
回顧
有理數減法法則
減去一個數等于加這個數的相反數
a－b = a + (－b)
注意:減號變成加號、減數換成其相反數;
被減數不要變號,也不要變換位置.
課堂導入
根據所學知識，試著解決問題.
一口深3.5米的深井，一只青蛙從井底沿井壁往上爬，第一次爬了0.7米又下滑了0.1米，第二次往上爬了0.42米又下滑了0.15米，第三次往上爬了1.25米又下滑了0.2米，第四次往上爬了0.75米又下滑了0.1米，第五次往上爬了0.65米.
小青蛙爬出井了嗎？
課堂導入
　
1.引入相反數后，加減混合運算可以統一為加法運算.
如：a+b-c=a+b+______
2.將上面的算式轉化為加法:____________________________.
3.這個算式我們可以看作是___、___、___、___這四個數的和.
4.為書寫簡單，省略算式中的括號和加號寫為___________.
5.我們可以讀作_________________________的和，或讀作
_____加____加____減____
（-20）+（+3）-（-5）-（+7）
(-c)
-20+3+5-7
負20、正3 、正5、負7
（-20）+（+3）+（+5）+（-7）
-20 3 5 -7
負20 3 5 7
探究
新知探究
知識點1 有理數加減混合運算統一成加法運算
在有理數的加減混合運算中，把加減混合運算都統一成加法運算，原來的算式就轉化為求幾個正數或負數的和.
在一個算式里，通常把各個加數的括號及其前面的運算符號“+”省略不寫.
歸納
　
新知探究
知識點1 有理數加減混合運算統一成加法運算
把下面各式寫成省略括號的和的形式：
（1） 10+(+4)+(-6)-(-5)；
（2） (-8)-(+4)+(-7)-(+9)．
試一試
解：（1） 10+(+4)+(-6)-(-5)
=10+（+4）+(-6)+(+5)
=10+4-6+5;
(2) (-8)-(+4)+(-7)-(+9)
=(-8)+(-4)+(-7)+(-9)
=-8-4-7-9.
先將加減混合運算同一成加法運算.
省略括號和多余的“+”號.
　
新知探究
知識點1 有理數加減混合運算統一成加法運算
問題1 計算：
（1）3-4+9-2； （2）
解：（1）3-4+9-2
=（3+9）+（-4-2）
=12-6
=6.
　
新知探究
知識點1 有理數加減混合運算統一成加法運算
有理數加減混合運算的步驟：
（1）將減法轉化為加法運算；
（2）省略加號和括號；
（3）運用加法交換律和結合律，將同號兩數相加；
（4）按有理數加法法則計算．
　
新知探究
知識點2 有理數加減混合運算的步驟
問題2 計算：(－2)＋(+30)－(－15)－(＋27)
解:原式＝(－2)＋(＋30)＋(＋15)＋(－27)
＝[(－2)＋(－27)]＋[(＋30)＋(＋15)]
＝(－29)＋(＋45)
＝16
減法轉化成加法
按有理數加法法則計算
方法一：減法變加法
　
新知探究
知識點2 有理數加減混合運算的步驟
解:原式＝-2+30+15-27
＝-2-27+30+15
＝-29+45
省略括號
運用加法交換律使同號兩數分別相加
按有理數加法法則計算
＝16
方法二：省略括號和加號
問題3 計算：(－2)＋(+30)－(－15)－(＋27)
新知探究
知識點2 有理數加減混合運算的步驟
問題4 隨著科技的進步，航展已經走進了我們的日常生活，在航展上一架飛機作特技表演，起飛后的高度變化如下表：
此時飛機比起飛點高了多少千米
高度變化 上升4.5千米 下降3.2千米 上升1.1千米 下降1.4千米
記 作 +4.5千米 －3.2千米 +1.1千米 －1.4千米
解：4.5＋(－3.2)＋1.1＋(－1.4)
=(4.5＋1.1)＋[(－3.2)＋（－1.4)]
=(4.5＋1.1)＋[(－3.2)＋（－1.4)]
=5.6＋(－4.6)=1(千米)
答：此時飛機比起飛點高了1千米.
新知探究
知識點2 有理數加減混合運算的步驟
1.把6-(+3)-(-7)+(-2)中的減法改成加法，并寫成省略加號和括號的形式為( )
A.-6-3+7-2 B.6-3-7-2
C.6-3+7-2 D.6+3-7-2
2.數6，-13，2的和比它們的絕對值的和小( )
A.-26 B.-4 C.4 D.26
C
D
隨堂練習
D
3.下列交換加數的位置的變形中，正確的是（ ）
A.1-4+5-4=1-4+4-5
B.
C.1-2+3-4=2-1+4-3
D.4.5-1.7-2.5+1=4.5-2.5+1-1.7
4.若a= -2，b=3，c= -4 ，則a-(b-c)的值為 .
－9
隨堂練習
5.計算：
思路引導：先寫成省略括號的和的形式，并把小數化為分數，再根據運算律進行合理運算.
隨堂練習
6.一個水利勘察隊，第一天沿江向上游走512 km，第二天又向上游走513 km，第三天又向下游走423 km，第四天又向下游走512 km.試計算：
（1）這個勘察隊四天一共走了多少km？
（2）第四天末，這個勘察隊在出發點的上游還是下游，距離出發點多遠？
解：（1）512+513+423+512=(512+512)+(513+423)=21(km).
（2）設向上游走為正，向下游走為負.由題意，得
512+513+(-423)+(-512)=(512-512)+(513-423)=23(km)
答：這個勘察隊四天一共走了21km.第四天末時，距離出發點上游23km.
隨堂練習
知識點1 將有理數的加減運算統一成加法運算
1. 將式子3－10－7寫成和的形式，正確的是(　D　)
A. 3＋10＋7
B. －3＋(－10)＋(－7)
C. 3－(＋10)－(＋7)
D. 3＋(－10)＋(－7)
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2. 把6－(＋3)－(－7)＋(－2)統一成加法運算，下列變形正確
的是(　C　)
A. －6＋(－3)＋(－7)＋(－2)
B. 6＋(－3)＋(－7)＋(－2)
C. 6＋(－3)＋(＋7)＋(－2)
D. 6＋(＋3)＋(－7)＋(－2)
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3. [2024·北大附中月考]下列式子可讀作“負1、負3、正6與
負8的和”的是(　B　)
A. －1＋(－3)＋(＋6)－(－8)
B. －1－3＋6－8
C. －1－(－3)－(－6)－(－8)
D. －1－(－3)－6－(－8)
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4. 將－3－(＋6)－(－5)＋(－2)寫成省略括號和加號的和的形
式，正確的是(　D　)
A. －3＋6－5－2 B. －3－6＋5＋2
C. －3－6－5－2 D. －3－6＋5－2
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
知識點2 加法運算律在加減混合運算中的應用
5. 下列各式的結果等于3的是(　C　)
A. (－2)－(－9)＋(＋3)－(－1)
B. 0－1＋2－3＋4－5
C. 4.5－2.3＋2.5－3.7＋2
D. －2－(－7)＋(－6)＋0＋(＋3)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
(－2)－(－9)＋(＋3)－(－1)＝－2＋9＋3＋1＝11，A
選項不符合題意；0－1＋2－3＋4－5＝2＋4－1－3－5＝
－3，B選項不符合題意；4.5－2.3＋2.5－3.7＋2＝4.5
＋2.5＋2－(3.7＋2.3)＝9－6＝3，C選項符合題意；－2
－(－7)＋(－6)＋0＋(＋3)＝－2＋7－6＋3＝2，D選項不
符合題意.
【點撥】
C
【答案】
1
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6. [情境題·生活應用]下表是小辰的媽媽元旦當天的微信零錢
收支明細(單位：元)：
微信轉賬 如意水果店 微信紅包 便民菜場
＋80 －75 ＋36 －18
觀察表格信息，可知小辰的媽媽元旦當晚微信零錢余額和
前一天相比(　A　)
A
A. 多了23元 B. 少了23元
C. 多了116元 D. 少了93元
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7. [新趨勢·過程性學習]閱讀下列計算過程，并回答問題.
?。? ＋3.2－ ＋7.8
＝ ＋(3.2＋7.8)(第一步)
＝－ ＋(3.2＋7.8)(第二步)
＝－1＋11(第三步)
＝10.(第四步)
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(1)寫出計算過程中所用到的運算律，并指出是哪一步；
【解】加法交換律和結合律，是第一步.
(2)寫出第二步的加法運算法則.
【解】同號兩數相加，和取相同的符號，并把絕對
值相加.
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8. 計算：14－(－12)＋(－25)－17.
【解】14－(－12)＋(－25)－17
＝14＋(＋12)＋(－25)＋(－17)
＝[14＋(＋12)]＋[(－25)＋(－17)]
＝(＋26)＋(－42)
＝－16.
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有理數的加減混合運算
加減混合算式的讀法與寫法
有理數的加減混合運算
（4）按有理數加法法則計算．
（1）將減法轉化為加法運算；
（2）省略加號和括號；
（3）運用加法交換律和結合律，將同號兩數相加；
有理數的加減
合運算的應用
課堂小結
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