資源簡介

(共28張PPT)
1.8.1有理數的乘法法則
第一章 有理數
【2024新教材】2025-2026學年冀教版數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
第一頁：標題頁
1.8.1 有理數的乘法法則
—— 探究有理數乘法的運算規律
（右下角添加授課教師姓名及日期：2025 年 7 月 30 日）
第二頁：引入
在小學階段，我們已經學習了正數與正數、正數與 0 的乘法運算，比如\(3 2 = 6\)，\(5 0 = 0\)等。但在有理數的范圍內，還存在負數，那么負數與正數、負數與負數、負數與 0 相乘又該如何計算呢？這節課我們就來探究有理數的乘法法則。
第三頁：有理數乘法的探究（正數 × 正數）
情境分析：
一只蝸牛沿直線爬行，規定向右為正，向左為負。如果蝸牛每小時向右爬行\(3\)米，那么\(2\)小時后它在什么位置？
每小時向右爬行\(3\)米，記為\(+3\)米 / 小時；\(2\)小時后，記為\(+2\)小時。
位置變化為：\(3 2 = 6\)（米），即\(2\)小時后蝸牛在出發點右側\(6\)米處，用算式表示為\((+3) (+2)=+6\)。
結論：正數乘以正數，積為正數，且把絕對值相乘。
第四頁：有理數乘法的探究（正數 × 負數）
情境分析：
如果蝸牛每小時向右爬行\(3\)米，那么\(2\)小時前它在什么位置？
每小時向右爬行\(3\)米，記為\(+3\)米 / 小時；\(2\)小時前，記為\(-2\)小時。
要找到\(2\)小時前的位置，需要反向思考：現在在原點，\(2\)小時前應該在出發點左側\(6\)米處。
用算式表示為\((+3) (-2)=-6\)。
結論：正數乘以負數，積為負數，且把絕對值相乘。
第五頁：有理數乘法的探究（負數 × 正數）
情境分析：
如果蝸牛每小時向左爬行\(3\)米，那么\(2\)小時后它在什么位置？
每小時向左爬行\(3\)米，記為\(-3\)米 / 小時；\(2\)小時后，記為\(+2\)小時。
位置變化為：\(2\)小時后蝸牛在出發點左側\(6\)米處，用算式表示為\((-3) (+2)=-6\)。
結論：負數乘以正數，積為負數，且把絕對值相乘。
第六頁：有理數乘法的探究（負數 × 負數）
情境分析：
如果蝸牛每小時向左爬行\(3\)米，那么\(2\)小時前它在什么位置？
每小時向左爬行\(3\)米，記為\(-3\)米 / 小時；\(2\)小時前，記為\(-2\)小時。
反向思考：現在在原點，\(2\)小時前應該在出發點右側\(6\)米處。
用算式表示為\((-3) (-2)=+6\)。
結論：負數乘以負數，積為正數，且把絕對值相乘。
第七頁：有理數乘法的探究（任何數 ×0）
情境分析：
如果蝸牛每小時爬行\(3\)米（無論方向），\(0\)小時后它的位置沒有變化，仍在出發點；如果蝸牛\(0\)小時爬行，無論時間多久，位置也不變。
用算式表示為：\(3 0 = 0\)，\(0 3 = 0\)，\((-3) 0 = 0\)，\(0 (-3)=0\)。
結論：任何數與\(0\)相乘，積都為\(0\)。
第八頁：有理數乘法法則總結
兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。
任何數與\(0\)相乘，都得\(0\)。
符號表示：
若\(a > 0\)，\(b > 0\)，則\(a b>0\)，且\(a b=\vert a \vert \vert b \vert\)；
若\(a < 0\)，\(b < 0\)，則\(a b>0\)，且\(a b=\vert a \vert \vert b \vert\)；
若\(a > 0\)，\(b < 0\)（或\(a < 0\)，\(b > 0\)），則\(a b < 0\)，且\(a b=\vert a \vert \vert b \vert\)；
若\(a = 0\)或\(b = 0\)，則\(a b = 0\)。
第九頁：例題解析（一）
例題 1：計算下列各題
（1）\((-4) (-5)\)；（2）\((-6) 3\)；（3）\(7 (-0.8)\)；（4）\((- \frac{2}{3}) (- \frac{3}{4})\)；（5）\((-5) 0\)。
解：（1）\((-4) (-5)\)，兩數同號，積為正，絕對值相乘：\(\vert -4 \vert \vert -5 \vert=4 5 = 20\)，所以\((-4) (-5)=20\)。
（2）\((-6) 3\)，兩數異號，積為負，絕對值相乘：\(\vert -6 \vert \vert 3 \vert=6 3 = 18\)，所以\((-6) 3=-18\)。
（3）\(7 (-0.8)\)，兩數異號，積為負，絕對值相乘：\(7 0.8 = 5.6\)，所以\(7 (-0.8)=-5.6\)。
（4）\((- \frac{2}{3}) (- \frac{3}{4})\)，兩數同號，積為正，絕對值相乘：\(\frac{2}{3} \frac{3}{4}=\frac{1}{2}\)，所以\((- \frac{2}{3}) (- \frac{3}{4})=\frac{1}{2}\)。
（5）\((-5) 0 = 0\)（任何數與\(0\)相乘都得\(0\)）。
第十頁：例題解析（二）
例題 2：確定下列各式的積的符號，并計算結果
（1）\((-3) (-4) (-5)\)；（2）\((-2) (-2) (-2) (-2)\)。
解：（1）\((-3) (-4) (-5)\)
符號判斷：三個負數相乘，積的符號為負（奇數個負數相乘，積為負）。
計算：\(\vert -3 \vert \vert -4 \vert \vert -5 \vert=3 4 5 = 60\)，所以結果為\(-60\)。
（2）\((-2) (-2) (-2) (-2)\)
符號判斷：四個負數相乘，積的符號為正（偶數個負數相乘，積為正）。
計算：\(\vert -2 \vert \vert -2 \vert \vert -2 \vert \vert -2 \vert=2 2 2 2 = 16\)，所以結果為\(16\)。
總結：多個不為\(0\)的有理數相乘，積的符號由負因數的個數決定：當負因數有奇數個時，積為負；當負因數有偶數個時，積為正。幾個數相乘，只要有一個因數為\(0\)，積就為\(0\)。
第十一頁：課堂練習
填空題：
\((-5) (-7)=\)；\((-8) 4=\)；\(0 (-13)=\)；\((- \frac{1}{2}) (- \frac{1}{3})=\)。
若兩個有理數的積為正數，則這兩個數的符號______；若積為負數，則這兩個數的符號______。
計算\((-1) (-2) (-3) 4\)的結果的符號是______，結果是______。
選擇題：
下列計算正確的是（ ）
A. \((-3) (-4)=-12\) B. \((-5) 6 = 30\) C. \((- \frac{1}{2}) (-2)=1\) D. \(7 (-1)=7\)
若\(ab = 0\)，則（ ）
A. \(a = 0\) B. \(b = 0\) C. \(a = 0\)或\(b = 0\) D. \(a = 0\)且\(b = 0\)
計算下列各題：
（1）\((-12) (-5)\)；（2）\(15 (- \frac{2}{3})\)；（3）\((-0.7) (-1.2)\)；（4）\((- \frac{3}{4}) (- \frac{8}{9}) (-2)\)。
第十二頁：課堂小結
有理數乘法法則：兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；任何數與\(0\)相乘都得\(0\)。
多個不為\(0\)的有理數相乘，積的符號由負因數的個數決定：負因數個數為奇數時，積為負；負因數個數為偶數時，積為正；有一個因數為\(0\)，積為\(0\)。
計算時，先確定積的符號，再計算絕對值的乘積，能提高計算的準確性。
第十三頁：作業布置
教材第 XX 頁習題 1.8 第 1、2、3 題。
計算下列各題：
（1）\((-9) (-8)\)；（2）\((-10) 7\)；（3）\((- \frac{2}{5}) (- \frac{5}{6})\)；（4）\(0.5 (-0.4)\)；（5）\((-1) (-2) (-3) (-4)\)；（6）\((-3) (- \frac{1}{3}) (-5)\)。
已知\(\vert a \vert=3\)，\(\vert b \vert=5\)，且\(a b < 0\)，求\(a b\)的值。
若三個有理數的積為\(0\)，則這三個數中至少有一個數是______。
思考：如果兩個有理數的積為\(1\)，那么這兩個數有什么關系？舉例說明。
互逆命題、互逆定理教案
一、教學目標
知識與技能目標
理解互逆命題、互逆定理的概念，能準確說出一個命題的逆命題。
會判斷一個命題及它的逆命題的真假性，掌握證明命題真假的方法。
過程與方法目標
通過對命題、逆命題的分析，培養學生的邏輯思維能力和語言表達能力。
經歷探究互逆定理的過程，體會從特殊到一般的數學思想。
情感態度與價值觀目標
培養學生積極參與數學活動，敢于質疑、勇于探索的精神。
讓學生感受數學知識的嚴謹性和邏輯性，體會數學的應用價值。
二、教學重難點
重點
互逆命題、互逆定理的概念及命題真假的判斷。
能正確寫出一個命題的逆命題。
難點
判斷一個命題的逆命題的真假性，理解原命題為真，其逆命題不一定為真。
用邏輯推理的方法證明命題的真假。
三、教學方法
講授法、討論法、練習法相結合
四、教學過程
（一）導入新課（5 分鐘）
展示一些簡單的命題，如 “如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引導學生分析這些命題的題設和結論。
提問：能否交換這些命題的題設和結論，得到新的命題？新命題是否成立？從而引出本節課的課題 —— 互逆命題、互逆定理。
（二）講授新課（25 分鐘）
互逆命題
給出互逆命題的定義：在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題。
舉例說明：如原命題 “如果兩個角是直角，那么這兩個角相等”，它的逆命題是 “如果兩個角相等，那么這兩個角是直角” 。讓學生進一步理解互逆命題的概念。
組織學生進行小組討論，每個小組寫出 3 - 5 個命題，并交換寫出它們的逆命題。
命題真假的判斷
引導學生思考如何判斷一個命題的真假。對于真命題，需要通過推理證明；對于假命題，只需舉一個反例即可。
以剛才的命題為例，分析原命題和逆命題的真假性。如 “如果兩個角是直角，那么這兩個角相等” 是真命題，而它的逆命題 “如果兩個角相等，那么這兩個角是直角” 是假命題，因為兩個相等的角不一定是直角，還可能是銳角或鈍角等。
讓學生自己判斷之前小組討論中寫出的命題及其逆命題的真假性，并在小組內交流。
互逆定理
給出互逆定理的定義：如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫做互逆定理，其中一個定理叫做另一個定理的逆定理。
舉例說明：如 “兩直線平行，同位角相等” 和 “同位角相等，兩直線平行” 是互逆定理。
強調：并不是所有的定理都有逆定理，只有當定理的逆命題為真命題時，才有逆定理。
（三）例題講解（15 分鐘）
例 1：寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的對應角相等。
（3）等腰三角形的兩個底角相等。
分析：
（1）逆命題為 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，這是假命題，因為當 b = 0 時，ab = 0，a 不一定為 0。
（2）逆命題為 “對應角相等的三角形是全等三角形”，這是假命題，因為對應角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命題為 “有兩個角相等的三角形是等腰三角形”，這是真命題，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：證明命題 “如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等” 是真命題。
分析：引導學生畫出圖形，寫出已知、求證，然后進行證明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求證：AB = AC。
證明：作∠BAC 的平分線 AD，交 BC 于點 D。
因為 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共邊），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）課堂練習（10 分鐘）
寫出下列命題的逆命題，并判斷真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的兩個銳角互余。
（3）對頂角相等。
判斷下列說法是否正確：
（1）每個命題都有逆命題。
（2）每個定理都有逆定理。
（3）真命題的逆命題一定是真命題。
（4）假命題的逆命題一定是假命題。
（五）課堂小結（5 分鐘）
與學生一起回顧互逆命題、互逆定理的概念，以及如何判斷命題的真假。
強調：原命題為真，逆命題不一定為真；原命題為假，逆命題也不一定為假。
（六）布置作業（5 分鐘）
課本課后習題，要求學生認真書寫解題過程，判斷命題真假時要說明理由。
拓展作業：收集生活中或數學學習中至少兩個互逆命題，并分析它們的真假性。
五、教學反思
在教學過程中，要注重引導學生積極思考、主動參與，通過實際例子幫助學生理解抽象的概念。對于學生在判斷命題真假和寫逆命題時容易出現的錯誤，要及時給予糾正和指導。在今后的教學中，可以進一步加強練習，提高學生的邏輯思維能力和解決問題的能力。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1.掌握有理數乘法法則及多個有理數相乘的符號法則,會進行有理數的乘法運算,提高運算能力.
2.理解倒數的意義,會求一個非0有理數的倒數.
學習目標
甲水庫的水位每天升高3厘米，乙水庫的水位每天下降3厘米，4天后甲、乙水庫的水位的總變化量各是多少？
第一天
第二天
第三天
第四天
第一天
第二天
第三天
第四天
課堂導入
問題1 觀通過測量某學校實驗樓的樓梯得知，每一級臺階的高度都是15cm.現在規定：一樓大廳地面的高度為0m，從一樓大廳往樓上方向為正方向，一樓大廳往地下室方向為負方向.小亮從一樓大廳往樓上走1，2，3，4級臺階時，他所在的高度分別為多少？
15×1=15（cm）； 15×2=30（cm）；
15×3=45（cm）； 15×4=60（cm）.
探究
新知探究
知識點1 有理數的乘法法則
問題2 請你在下面的橫線上分別填寫大華從一樓大廳向地下室走1，2，3，4級臺階時，他所在的高度：
（-15）×1= （cm）； （-15）×2= （cm）
（-15）×3= （cm）； （-15）×4= （cm）.
-15
-30
-45
-60
比較上面兩組算式，猜想當兩數相乘時，如果把一個因數換成它的相反數，那么它們的乘積有什么關系？
新知探究
知識點1 有理數的乘法法則
問題3 根據你的發現，猜想一下各式的結果：
（-15）×（-1）= （cm）； （-15）×（-2）= （cm）
（-15）×（-3）= （cm）；（-15）×（-4）= （cm）.
15
30
45
60
歸納：
兩數相乘，把一個因數換成它的相反數，所得的積應為原來的積的相反數.
新知探究
知識點1 有理數的乘法法則
問題4 觀察下列算式，你能得出什么結論？
0×3=0； 0×(－3)=0；
2×0=0； (－2)×0=0．
任何數同0相乘，仍得0.
有理數的乘法法則：
1.兩數相乘，同號得正，異號得負，并把這兩數的絕對值相乘.
2.任何數同0相乘，都得0.
總結
新知探究
知識點1 有理數的乘法法則
拓展
討論:
(1)若a＜0,b＞0,則ab_____0 ;
(2)若a＜0,b＜0,則ab_____0 ;
(3)若ab＞0,則a、b應滿足什么條件？
(4)若ab＜0,則a、b應滿足什么條件？
＜
＞
a、b同號
a、b異號
新知探究
知識點1 有理數的乘法法則
問題5 計算：
解：
有理數乘法的求解步驟:
先確定積的符號；
再求絕對值的積.
新知探究
知識點1 有理數的乘法法則
問題6 計算：
（1） ×2；　　　（2）( - )×(-2)
觀察上面兩題有何特點
結論: 如果兩個有理數的乘積是1，那么我們稱其中一個數為另一個數的倒數，也稱這兩個有理數互為倒數，.0沒有倒數..
顯然，一個正數的倒數是正數，一個負數的倒數是負數.
（2）（- ）×（-2）= 1
解：（1） ×2 = 1
思考：數a(a≠0)的倒數是什么
(a≠0時,a的倒數是 )
新知探究
知識點2 倒數
問題7 說出下列各數的倒數：
１，－１， ，－ ，５，－５，0.75，－
1，
－１，
3，
—3，
歸納
（1）求一個數的倒數，不能改變它的性質符號，即一個正數的倒數是正數，一個負數的倒數是負數；
（2）求小數或帶分數時的倒數時，先將小數或帶分數化為分數或者假分數，再顛倒其分子和分母的位置.
新知探究
知識點2 倒數
問題8 通常情況下，海拔高度每增加1km，氣溫就降低大約6℃（氣溫降低為負）.某校七年級科技興趣小組在海拔高度為1000m的山腰上，測得氣溫是12℃.請你推算此山海拔高度為3500m處的氣溫大約是多少.
解：1000m=1km,3500m=3.5km.
12+(-6)×(3.5-1)
=12+(-15)
=-3(℃).
答：氣溫大約是零下3℃.
知識點1 有理數的乘法法則
1. (榮德原創題)填空.
(1)(－2)×(－3)
　＝ ( × )
　＝ .
　兩數相乘，同號得 ，并把它們的
相乘.
＋　
2　
3　
6　
正　
絕對值　
1
2
3
4
5
6
7
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15
(2)(－3)×
　＝ ( × )
　＝－ .
　兩數相乘，異號得 ，并把它們的
相乘.
－　
3　
　
負　
絕對值　
1
2
3
4
5
6
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2. [2023·天津]計算 ×(－2)的結果等于(　D　)
B. －1
D. 1
D
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3. [2023·南通]計算(－3)×2，正確的結果是(　D　)
A. 6 B. 5
C. －5 D. －6
D
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15
知識點2 有理數乘法法則的運用
4. [新考法·法則辨析法]下列說法中，錯誤的是(　C　)
A. 一個數同1相乘，仍得這個數
B. 一個數同－1相乘，得原數的相反數
C. 互為相反數的兩數的積為1
D. 一個數同0相乘，得0
【點撥】
互為相反數的兩數的積不是1，故C錯.
C
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5. 已知兩個有理數 a ， b ，如果 ab ＜0且 a ＋ b ＞0，那么
(　D　)
A. a ＞0， b ＞0
B. a ＜0， b ＞0
C. a ， b 同號
D. a ， b 異號，且正數的絕對值較大
【點撥】
因為 ab ＜0，所以 a ， b 異號.因為 a ＋ b ＞0，所以正
數的絕對值較大.
D
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6. [新考向·2023·杭州·數形結合法]已知數軸上的點 A ， B 分
別表示數 a ， b ，其中－1＜ a ＜0，0＜ b ＜1.若 a × b ＝
c ，數 c 在數軸上用點 C 表示，則點 A ， B ， C 在數軸上
的位置可能是(　B　)
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【點撥】
因為－1＜ a ＜0，0＜ b ＜1，
所以－1＜ a × b ＜0，
B
即－1＜ c ＜0，
那么點 C 應在－1和0之間.
故選B.
【答案】
1
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7. 計算：(－2)×0＋5.
【解】(－2)×0＋5＝0＋5＝5.
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知識點3 倒數
8. [母題 2023·泰安·教材P39習題A組T2]－ 的倒數為
(　A　)
A
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9. ｜－3｜的倒數是(　D　)
A. －3
C. 3
D
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10. [母題 教材P39習題A組T2]若 a 的倒數為2，則 a ＝
(　A　)
B. 2
D. －2
A
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易錯點 因考慮問題不全面而出錯
11. [新考法·分類討論法]若｜ a ｜＝3，｜ b ｜＝4，且 a ＋ b
＜0，則 ab ＝ .
【點撥】
由于正負不定，因此要進行分類討論.分類時，注意
不要漏掉任何一種情況.
±12　
1
2
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有理數的乘法
有理數的乘法法則
倒數
有理數的乘法的實際應用
2.任何數同0相乘，都得0.
1.兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘.
有理數中，乘積是1的兩個數互為倒數
課堂小結
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