資源簡介

(共32張PPT)
1.8.2有理數的乘法運算律
第一章 有理數
【2024新教材】2025-2026學年冀教版數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
第一頁：標題頁
1.8.2 有理數的乘法運算律
—— 靈活運用運算律簡化乘法運算
（右下角添加授課教師姓名及日期：2025 年 7 月 30 日）
第二頁：復習回顧
上節課我們學習了有理數的乘法法則，知道兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；任何數與 0 相乘都得 0。在有理數乘法中，同樣存在一些運算律，它們可以幫助我們簡化計算。這節課我們就來學習有理數的乘法運算律及其應用。
第三頁：乘法交換律
定義：兩個數相乘，交換因數的位置，積相等。
用字母表示為：\(a b = b a\)（可簡寫成\(ab=ba\)）。
實例驗證：
計算\((-3) 5\)和\(5 (-3)\)：
\((-3) 5=-15\)
\(5 (-3)=-15\)
結果相等，說明\((-3) 5 = 5 (-3)\)，驗證了乘法交換律在有理數乘法中成立。
應用：在多個有理數相乘時，交換因數的位置，可將便于計算的因數放在一起，簡化運算。
第四頁：乘法結合律
定義：三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把后兩個數相乘，積相等。
用字母表示為：\((a b) c = a (b c)\)（可簡寫成\((ab)c=a(bc)\)）。
實例驗證：
計算\([(-2) (-3)] 4\)和\((-2) [(-3) 4]\)：
\([(-2) (-3)] 4=6 4 = 24\)
\((-2) [(-3) 4]=(-2) (-12)=24\)
結果相等，說明\([(-2) (-3)] 4=(-2) [(-3) 4]\)，驗證了乘法結合律在有理數乘法中成立。
應用：當三個或三個以上有理數相乘時，通過結合其中兩個數，可使計算更簡便（如結合能湊整的數）。
第五頁：乘法分配律
定義：一個數同兩個數的和相乘，等于把這個數分別同這兩個數相乘，再把積相加。
用字母表示為：\(a (b + c)=a b + a c\)（可簡寫成\(a(b + c)=ab+ac\)）。
實例驗證：
計算\((-4) (3 + 5)\)和\((-4) 3+(-4) 5\)：
\((-4) (3 + 5)=(-4) 8=-32\)
\((-4) 3+(-4) 5=-12+(-20)=-32\)
結果相等，說明\((-4) (3 + 5)=(-4) 3+(-4) 5\)，驗證了乘法分配律在有理數乘法中成立。
逆用：\(ab + ac=a(b + c)\)，即兩個積相加，若有相同的因數，可提取這個因數，簡化計算。
第六頁：例題解析（一）—— 運用交換律和結合律
例題 1：計算下列各題
（1）\((-10) (-\frac{1}{3}) (-0.1) 6\)；（2）\((-4) (-7) (-25)\)。
解：（1）\((-10) (-\frac{1}{3}) (-0.1) 6\)
觀察到\((-10)\)與\((-0.1)\)相乘、\((-\frac{1}{3})\)與\(6\)相乘可簡化計算，運用交換律和結合律：\(\begin{align*}
=&[(-10) (-0.1)] [(-\frac{1}{3}) 6]\\
=&1 (-2)\\
=&-2
\end{align*}\)
（2）\((-4) (-7) (-25)\)
觀察到\((-4)\)與\((-25)\)相乘可得到 100，運用交換律：\(\begin{align*}
=&(-4) (-25) (-7)\\
=&100 (-7)\\
=&-700
\end{align*}\)
第七頁：例題解析（二）—— 運用分配律
例題 2：計算下列各題
（1）\((\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}) (-12)\)；（2）\((-100) (0.7-\frac{3}{10}-\frac{4}{5}+0.03)\)。
解：（1）\((\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}) (-12)\)
運用分配律，將\(-12\)分別與括號內的每一項相乘：\(\begin{align*}
=&\frac{1}{4} (-12)-\frac{1}{2} (-12)+\frac{1}{6} (-12)\\
=&-3 + 6-2\\
=&1
\end{align*}\)
（2）\((-100) (0.7-\frac{3}{10}-\frac{4}{5}+0.03)\)
先將分數化為小數：\(\frac{3}{10}=0.3\)，\(\frac{4}{5}=0.8\)，再運用分配律：\(\begin{align*}
=&(-100) 0.7-(-100) 0.3-(-100) 0.8+(-100) 0.03\\
=&-70 + 30 + 80-3\\
=&37
\end{align*}\)
第八頁：例題解析（三）—— 分配律的逆用
例題 3：計算\(3.14 (-4.5)+3.14 (-5.5)\)
解：觀察到兩項中都有相同的因數\(3.14\)，逆用分配律：\(\begin{align*}
=&3.14 [(-4.5)+(-5.5)]\\
=&3.14 (-10)\\
=&-31.4
\end{align*}\)
例題 4：計算\(-99\frac{71}{72} 36\)
解：將帶分數拆分為整數和分數的差，再運用分配律：\(\begin{align*}
=&-(100-\frac{1}{72}) 36\\
=&-100 36+\frac{1}{72} 36\\
=&-3600 + 0.5\\
=&-3599.5
\end{align*}\)
第九頁：運用乘法運算律的注意事項
運用交換律和結合律時，要連同因數的符號一起交換或結合，避免符號錯誤。
例如：\((-2) (-3) (-4)=(-2) [(-3) (-4)]\)，不能忽略每個因數的負號。
運用分配律時，要將括號外的數分別與括號內的每一項相乘，不能漏乘任何一項，且要注意符號的變化。
例如：\(a (b - c)=ab-ac\)，不要誤寫成\(ab - c\)。
對于復雜的算式，要先觀察數的特點，選擇合適的運算律，以達到簡化計算的目的。
多個有理數相乘時，可先根據負因數的個數確定積的符號，再運用運算律計算絕對值的乘積。
第十頁：課堂練習
填空題：
\( (-5) 8 (-0.2)=\)；\((\frac{1}{3}-\frac{1}{6}) 12=\)。
運用乘法分配律計算\(-3 (4 - 6)\)，結果為______。
若\(a b = 0\)，則\(a\)、\(b\)的關系是______。
計算下列各題：
（1）\((-8) (-12) (-0.125) (-\frac{1}{3})\)
（2）\((\frac{3}{4}-\frac{5}{6}+\frac{7}{12}) (-36)\)
（3）\(7 (-3.6)+7 (-6.4)\)
（4）\(99\frac{17}{18} (-9)\)
第十一頁：課堂小結
有理數乘法的運算律包括：
乘法交換律：\(ab = ba\)
乘法結合律：\((ab)c=a(bc)\)
乘法分配律：\(a(b + c)=ab + ac\)（逆用：\(ab + ac=a(b + c)\)）
運用這些運算律可以簡化有理數乘法的計算，尤其是在多個數相乘或有括號的情況下。
運用運算律時要注意符號的處理，避免漏乘或符號錯誤，同時要根據數的特點靈活選擇合適的運算律。
第十二頁：作業布置
教材第 XX 頁習題 1.8 第 4、5、6 題。
計算下列各題：
（1）\((-25) (-8) (-4) 125\)
（2）\((-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{1}{4}) (-24)\)
（3）\(1.25 (-3.2) (-0.8)\)
（4）\(6.8 (-5)+6.8 (-12)+6.8 17\)
（5）\(-101 190 + 101 (-10)\)
已知\(a = -3\)，\(b = 4\)，\(c = -5\)，求\(a (b + c)\)和\(a b + a c\)的值，觀察它們的關系，驗證乘法分配律。
思考：如何運用乘法運算律計算\(1 + 2 + 3 + \cdots + 100\)？（提示：可利用乘法分配律的思想）
互逆命題、互逆定理教案
一、教學目標
知識與技能目標
理解互逆命題、互逆定理的概念，能準確說出一個命題的逆命題。
會判斷一個命題及它的逆命題的真假性，掌握證明命題真假的方法。
過程與方法目標
通過對命題、逆命題的分析，培養學生的邏輯思維能力和語言表達能力。
經歷探究互逆定理的過程，體會從特殊到一般的數學思想。
情感態度與價值觀目標
培養學生積極參與數學活動，敢于質疑、勇于探索的精神。
讓學生感受數學知識的嚴謹性和邏輯性，體會數學的應用價值。
二、教學重難點
重點
互逆命題、互逆定理的概念及命題真假的判斷。
能正確寫出一個命題的逆命題。
難點
判斷一個命題的逆命題的真假性，理解原命題為真，其逆命題不一定為真。
用邏輯推理的方法證明命題的真假。
三、教學方法
講授法、討論法、練習法相結合
四、教學過程
（一）導入新課（5 分鐘）
展示一些簡單的命題，如 “如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引導學生分析這些命題的題設和結論。
提問：能否交換這些命題的題設和結論，得到新的命題？新命題是否成立？從而引出本節課的課題 —— 互逆命題、互逆定理。
（二）講授新課（25 分鐘）
互逆命題
給出互逆命題的定義：在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題。
舉例說明：如原命題 “如果兩個角是直角，那么這兩個角相等”，它的逆命題是 “如果兩個角相等，那么這兩個角是直角” 。讓學生進一步理解互逆命題的概念。
組織學生進行小組討論，每個小組寫出 3 - 5 個命題，并交換寫出它們的逆命題。
命題真假的判斷
引導學生思考如何判斷一個命題的真假。對于真命題，需要通過推理證明；對于假命題，只需舉一個反例即可。
以剛才的命題為例，分析原命題和逆命題的真假性。如 “如果兩個角是直角，那么這兩個角相等” 是真命題，而它的逆命題 “如果兩個角相等，那么這兩個角是直角” 是假命題，因為兩個相等的角不一定是直角，還可能是銳角或鈍角等。
讓學生自己判斷之前小組討論中寫出的命題及其逆命題的真假性，并在小組內交流。
互逆定理
給出互逆定理的定義：如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫做互逆定理，其中一個定理叫做另一個定理的逆定理。
舉例說明：如 “兩直線平行，同位角相等” 和 “同位角相等，兩直線平行” 是互逆定理。
強調：并不是所有的定理都有逆定理，只有當定理的逆命題為真命題時，才有逆定理。
（三）例題講解（15 分鐘）
例 1：寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的對應角相等。
（3）等腰三角形的兩個底角相等。
分析：
（1）逆命題為 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，這是假命題，因為當 b = 0 時，ab = 0，a 不一定為 0。
（2）逆命題為 “對應角相等的三角形是全等三角形”，這是假命題，因為對應角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命題為 “有兩個角相等的三角形是等腰三角形”，這是真命題，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：證明命題 “如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等” 是真命題。
分析：引導學生畫出圖形，寫出已知、求證，然后進行證明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求證：AB = AC。
證明：作∠BAC 的平分線 AD，交 BC 于點 D。
因為 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共邊），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）課堂練習（10 分鐘）
寫出下列命題的逆命題，并判斷真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的兩個銳角互余。
（3）對頂角相等。
判斷下列說法是否正確：
（1）每個命題都有逆命題。
（2）每個定理都有逆定理。
（3）真命題的逆命題一定是真命題。
（4）假命題的逆命題一定是假命題。
（五）課堂小結（5 分鐘）
與學生一起回顧互逆命題、互逆定理的概念，以及如何判斷命題的真假。
強調：原命題為真，逆命題不一定為真；原命題為假，逆命題也不一定為假。
（六）布置作業（5 分鐘）
課本課后習題，要求學生認真書寫解題過程，判斷命題真假時要說明理由。
拓展作業：收集生活中或數學學習中至少兩個互逆命題，并分析它們的真假性。
五、教學反思
在教學過程中，要注重引導學生積極思考、主動參與，通過實際例子幫助學生理解抽象的概念。對于學生在判斷命題真假和寫逆命題時容易出現的錯誤，要及時給予糾正和指導。在今后的教學中，可以進一步加強練習，提高學生的邏輯思維能力和解決問題的能力。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1.掌握有理數的乘法運算律,能靈活運用乘法運算律
簡化運算.
2.能利用有理數的乘法解決簡單的實際問題，形成
應用意識.
學習目標
3.小學時候大家學過乘法的那些運算律？
兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘.
任何數同0相乘，仍得0.
先確定積的符號； 再計算絕對值的積.
乘法交換律、乘法結合律、乘法對加法的分配律
1.有理數乘法法則是什么？
2.如何進行有理數的乘法運算？
回顧
課堂導入
1.填空：
(1) (-2)×4=_______ , 4×(-2)=________.
(2) [(-2)×(-3)×(-4)=_____×(-4)=______ ,
(-2)×[(-3)×(-4)]=(-2)×_____=_______.
問題1 在有理數的范圍內，乘法的交換律和結合律是否仍然適用？
-8
-8
6
-24
12
-24
探究
乘法交換律仍然成立
乘法結合律仍然成立
新知探究
知識點 有理數乘法的運算律
一般地，有理數的乘法有以下運算律：
乘法交換律：ab=ba.
即，兩個數相乘，交換因數的位置，積不變.
乘法結合律：（a×b)×c=a×(b×c).
即對于三個有理數相乘，可以先把前面兩個數相乘，
再把結果與第三個數相乘；或者先把后兩個數相乘，再
把第一個數與所得結果相乘，積不變.
歸納
新知探究
知識點 有理數乘法的運算律
問題2 計算
解：
運用交換律
運用結合律
新知探究
知識點 有理數乘法的運算律
問題3 在有理數的范圍內，乘法對加法的分配律是否仍然適用？
填空
(1) (-6)×[4+(-9)]=(-6)×______=_______,
(-6)×4+(-6)×(-9)=____+____=_______;
(2) 5×[(-8)+(-3)]=5×_______=_________.
5×(-8)+5×(-3)=____+____=________.
-5
30
-24
54
30
-11
-55
-40
-15
-55
乘法對加法的分配律（簡稱分配律）
仍然成立
新知探究
知識點 有理數乘法的運算律
一般地，我們可以得出：
乘法對加法的分配律（簡稱分配律）： a(b+c)=ab+ac.
即一個數與兩個數的和相乘，等于把這個數分別同這兩個數相乘，再把積相加.
歸納
新知探究
知識點 有理數乘法的運算律
問題4 計算
解：
新知探究
知識點 有理數乘法的運算律
1.計算：
（1）1×2×3×4= ，
（2）（-1）×2×3×4= ，
（3）（-1）×（-2）×3×4= ，
（4）（-1）×（-2）×（-3）×4= ，
（5）（-1）×（-2）×（-3）×（-4）= ，
24
-24
24
-24
24
探究
多個有理數相乘的符號法則
新知探究
知識點 有理數乘法的運算律
2.通過上面的計算，填寫下表：
算式 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸
負因數的個數
積的 符號
0
+
1
-
2
+
3
-
4
+
新知探究
知識點 有理數乘法的運算律
3.根據表中填寫的結果，探究幾個不為0的數相乘時，積的符號與負因數個數之間有什么關系？
幾個不為0的數相乘，積的符號由_____________ 決定.
當負因數有_____ 個時，積為負；
當負因數有_____ 個時，積為正.
幾個數相乘,如果有一個因數為0，_________
負因數的個數
奇數
偶數
奇負偶正
積就為0.
新知探究
知識點 有理數乘法的運算律
問題5 計算
解：
先確定積的符號，再把絕對值相乘.
新知探究
知識點 有理數乘法的運算律
1.(-0.125)×15×(-8)×-0.8=［(-0.125)×(-8)］×15×-0.8的運算中用到了( )
A.乘法結合律 B.乘法交換律
C.分配律 D.乘法交換律和結合律
D
隨堂練習
2.算式 -25×14+18×14-39×（-14）=（-25+18+39）×14是逆用了（　　）
A．加法交換律 B．乘法交換律
C．乘法結合律 D．乘法對加法的分配律
D
隨堂練習
3.有2021個有理數相乘，如果積為0，那么這2021個有理數( )
A.全部為0 B.只有一個因數為0
C.至少有一個為0 D.有兩個數互為相反數
C
隨堂練習
4.下列計算(-55)×99+(-44)×99-99正確的是( )
A.原式=99×(-55-44)=-9 801
B.原式=99×(-55-44+1)=-9 702
C.原式=99×(-55-44-1)=-9 900
D.原式=99×(-55-44-99)=-19 602
C
隨堂練習
5.計算
解：
隨堂練習
隨堂練習
6.計算：
（1） （2）
解：（1）原式
（2）原式
隨堂練習
知識點1 乘法運算律
1. 在算式變形：1.25× ×(－8)＝1.25×(－8)×
中，運用了(　C　)
A. 分配律 B. 乘法交換律和分配律
C. 乘法交換律 D. 分配律和乘法結合律
C
1
2
3
4
5
6
2. (－0.125)×15×(－8)× ＝[(－0.125)×(－8)]×
，運算中沒有運用的運算律是(　C　)
A. 乘法交換律
B. 乘法結合律
C. 分配律
D. 乘法交換律和乘法結合律
C
1
2
3
4
5
6
知識點2 乘法運算律的應用
3. 計算71 ×(－8)最簡單的方法是(　C　)
C
1
2
3
4
5
6
易錯點 用分配律時易漏乘或弄錯符號
4. (榮德原創題)用分配律計算(－3)× 的過程正
確的是(　A　)
1
2
3
4
5
6
【點撥】
利用分配律最易出現的兩種錯誤是漏乘和計算過程中
出現符號錯誤.
A
【答案】
1
2
3
4
5
6
利用有理數的乘法運算律進行巧算
5. [2024·邢臺信都區模擬]如圖，請你參考老師的講解，用運
算律簡便計算：
(1)999×(－15)；
【解】原式＝(1 000－1)×(－15)＝－15 000＋15＝－14 985.
1
2
3
4
5
6
(2)999×118 ＋999× －999×18 .
【解】原式＝999×［118 ＋(－ )－18 ］＝999×100
＝99 900.
【點撥】
對于分配律，可以正用，也可以逆用.
1
2
3
4
5
6
6. [新考法·閱讀類比法]閱讀材料，回答下列問題：
× ＝ × ＝1；
× × × ＝ × × × ＝
× ＝1×1＝1.
根據以上信息，請求出下式的結果：
1
2
3
4
5
6
× × ×…× × ×
× ×…× .
【解】原式＝ × × ×…× × × × ×…× ＝
( × )× ×( × )×…× ＝
1×1×1×…×1＝1.
1
2
3
4
5
6
有理數乘法的運算律
乘法的運算律
多個有理數相乘的符號法則
乘法的交換律
______________
乘法的結合律
__________________
乘法對加法的分配律
_________________
ab=ba.
（ab)c=a(bc).
a(b+c)=ab+bc.
有一個因數為0時，積就為0.
幾個不等于0的數相乘，當負因數有____個時，積為__；當負因數有____個時，積為___.
奇數
負
偶數
正
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