資源簡介

(共25張PPT)
1.9 有理數的除法
第一章 有理數
【2024新教材】2025-2026學年冀教版數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
第一頁：標題頁
1.9 有理數的除法
—— 探索有理數除法運算的奧秘
（右下角添加授課教師姓名及日期）
第二頁：知識引入
在前面，我們學習了有理數的乘法運算。而除法其實是乘法的逆運算。就像在整數運算中，因為\(2 3 = 6\)，所以\(6 ·3 = 2\)。那在有理數范圍內，除法又該如何運算呢？這就是我們今天要探究的內容 —— 有理數的除法。
第三頁：有理數除法的定義
已知兩個有理數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算，叫做有理數的除法。
設\(a\)，\(b\)是兩個有理數，且\(b 0\)，\(a\)除以\(b\)就是要求一個數\(x\)，使得\(x ·b = a\)，其中，\(x\)叫做\(a\)除以\(b\)所得的商，記作\(a ·b\)，\(a\)叫做被除數，\(b\)叫做除數。
強調：在有理數除法中，除數不能為\(0\)。因為若\(b = 0\)，對于任意有理數\(x\)，\(x ·0 = 0\)，不可能等于非零的\(a\)；而當\(a = 0\)，\(b = 0\)時，任何數\(x\)都滿足\(x ·0 = 0\)，商不唯一，所以除數為\(0\)時除法沒有意義。
第四頁：有理數除法法則一
法則內容：除以一個不為\(0\)的數，等于乘這個數的倒數。用字母表示為\(a ·b = a \frac{1}{b}\)（\(b 0\)）。
實例說明：計算\(6 ·(-\frac{1}{3})\)，根據該法則，\(6 ·(-\frac{1}{3}) = 6 (-3)= -18\)。
解釋：這里\(-\frac{1}{3}\)的倒數是\(-3\)，所以將除法運算轉化為乘法運算，更便于計算。尤其在不能整除的情況下，運用這個法則可以將復雜的除法轉化為我們熟悉的乘法。
第五頁：有理數除法法則二
法則內容：兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。\(0\)除以任何一個不為\(0\)的數，都得\(0\)。
實例說明：
計算\((-12) ·(-3)\)，因為被除數\(-12\)和除數\(-3\)同號，所以商為正，再把它們的絕對值相除，\(\vert -12\vert ·\vert -3\vert = 12 ·3 = 4\)，即\((-12) ·(-3)=4\)。
計算\(15 ·(-5)\)，被除數\(15\)和除數\(-5\)異號，商為負，\(\vert 15\vert ·\vert -5\vert = 3\)，所以\(15 ·(-5)= -3\)。
計算\(0 ·7\)，根據法則，\(0\)除以任何非零數都得\(0\)，所以\(0 ·7 = 0\)。
強調：在能整除的情況下，運用這個法則可以快速確定商的符號和大小，簡化計算過程。
第六頁：法則的選擇與運用
一般來說，在進行有理數除法運算時：
如果算式中的數是分數形式，尤其是除數是分數時，常運用法則一，將除法轉化為乘法，這樣便于約分計算。
例如：計算\(\frac{2}{3} ·\frac{4}{5}\)，運用法則一，\(\frac{2}{3} ·\frac{4}{5}=\frac{2}{3} \frac{5}{4}=\frac{5}{6}\)。
如果算式中的數是整數形式，且能整除，運用法則二更為簡便。
例如：計算\(24 ·(-6)\)，運用法則二，因為\(24\)與\(-6\)異號，商為負，\(\vert 24\vert ·\vert -6\vert = 4\)，所以\(24 ·(-6)= -4\)。
第七頁：例題解析（一）—— 運用法則一
例題 1：計算下列各題
（1）\((-8) ·\frac{2}{3}\)；（2）\(\frac{5}{6} ·(-\frac{10}{3})\)。
解：（1）\((-8) ·\frac{2}{3}\)
根據法則一，除以一個數等于乘以它的倒數：\(\begin{align*}
=&(-8) \frac{3}{2}\\
=&(-4) 3\\
=& -12
\end{align*}\)
（2）\(\frac{5}{6} ·(-\frac{10}{3})\)
同樣運用法則一：\(\begin{align*}
=&\frac{5}{6} (-\frac{3}{10})\\
=&\frac{1}{2} (-\frac{1}{2})\\
=&-\frac{1}{4}
\end{align*}\)
第八頁：例題解析（二）—— 運用法則二
例題 2：計算下列各題
（1）\(48 ·(-6)\)；（2）\((-45) ·(-9)\)。
解：（1）\(48 ·(-6)\)
因為被除數\(48\)與除數\(-6\)異號，根據法則二，商為負，再把絕對值相除：\(\begin{align*}
=&-(48 ·6)\\
=& -8
\end{align*}\)
（2）\((-45) ·(-9)\)
被除數\(-45\)與除數\(-9\)同號，商為正，絕對值相除：\(\begin{align*}
=&45 ·9\\
=&5
\end{align*}\)
第九頁：有理數乘除混合運算
運算步驟：
將所有除數轉化為其倒數，把所有除法轉化為乘法。
確定積的符號：根據多個有理數相乘的符號法則，負因數的個數為偶數時，積為正；負因數的個數為奇數時，積為負。
運用乘法運算律簡化運算，并求出最后結果。
例題 3：計算\((-12) ·(-\frac{1}{3}) (-4)\)
解：
第一步，將除法轉化為乘法：\(\begin{align*}
=&(-12) (-3) (-4)
\end{align*}\)
第二步，確定積的符號，這里有\(2\)個負因數，積為負：\(\begin{align*}
=&-(12 3 4)
\end{align*}\)
第三步，計算結果：\(\begin{align*}
=&-(36 4)\\
=& -144
\end{align*}\)
第十頁：課堂練習
填空題：
\( (-10) ·2=\)；\(0 ·(-5)=\)。
\(\frac{3}{4} ·(-\frac{1}{2})=\)；\((-8) ·(-\frac{1}{4})=\)。
若\(a ·b = 1\)（\(b 0\)），則\(a\)與\(b\)的關系是______。
計算下列各題：
（1）\((-24) ·(-3)\)
（2）\(15 ·(-\frac{3}{5})\)
（3）\((-\frac{7}{8}) ·\frac{7}{4}\)
（4）\((-36) ·\frac{3}{4} ·(-\frac{9}{5})\)
（5）\(5 (-6) ·(-3)\)
第十一頁：課堂小結
有理數除法的定義：已知兩個有理數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算。
有理數除法法則：
法則一：除以一個不為\(0\)的數，等于乘這個數的倒數（\(a ·b = a \frac{1}{b}\)，\(b 0\)）。
法則二：兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除；\(0\)除以任何一個不為\(0\)的數，都得\(0\)。
有理數乘除混合運算步驟：先將除法轉化為乘法，確定積的符號，再運用乘法運算律計算結果。
注意事項：除數不能為\(0\)；在運算過程中要注意符號的確定和運算順序。
第十二頁：作業布置
教材第 XX 頁習題 1.9 第 3、4、5 題。
計算下列各題：
（1）\((-35) ·7\)
（2）\(\frac{4}{5} ·(-\frac{8}{15})\)
（3）\((-18) ·(-\frac{2}{3}) ·(-\frac{9}{2})\)
（4）\(12 ·(-\frac{3}{4}) (-\frac{1}{2})\)
（5）\((-2) (-\frac{1}{4}) ·(-\frac{1}{8})\)
已知\(a = -2\)，\(b = \frac{1}{3}\)，\(c = -5\)，求\(a ·(b c)\)和\((a ·b) c\)的值，比較它們的結果，你能發現什么？
思考：在有理數除法中，是否有類似乘法交換律、結合律、分配律的運算律呢？舉例說明。
互逆命題、互逆定理教案
一、教學目標
知識與技能目標
理解互逆命題、互逆定理的概念，能準確說出一個命題的逆命題。
會判斷一個命題及它的逆命題的真假性，掌握證明命題真假的方法。
過程與方法目標
通過對命題、逆命題的分析，培養學生的邏輯思維能力和語言表達能力。
經歷探究互逆定理的過程，體會從特殊到一般的數學思想。
情感態度與價值觀目標
培養學生積極參與數學活動，敢于質疑、勇于探索的精神。
讓學生感受數學知識的嚴謹性和邏輯性，體會數學的應用價值。
二、教學重難點
重點
互逆命題、互逆定理的概念及命題真假的判斷。
能正確寫出一個命題的逆命題。
難點
判斷一個命題的逆命題的真假性，理解原命題為真，其逆命題不一定為真。
用邏輯推理的方法證明命題的真假。
三、教學方法
講授法、討論法、練習法相結合
四、教學過程
（一）導入新課（5 分鐘）
展示一些簡單的命題，如 “如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引導學生分析這些命題的題設和結論。
提問：能否交換這些命題的題設和結論，得到新的命題？新命題是否成立？從而引出本節課的課題 —— 互逆命題、互逆定理。
（二）講授新課（25 分鐘）
互逆命題
給出互逆命題的定義：在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題。
舉例說明：如原命題 “如果兩個角是直角，那么這兩個角相等”，它的逆命題是 “如果兩個角相等，那么這兩個角是直角” 。讓學生進一步理解互逆命題的概念。
組織學生進行小組討論，每個小組寫出 3 - 5 個命題，并交換寫出它們的逆命題。
命題真假的判斷
引導學生思考如何判斷一個命題的真假。對于真命題，需要通過推理證明；對于假命題，只需舉一個反例即可。
以剛才的命題為例，分析原命題和逆命題的真假性。如 “如果兩個角是直角，那么這兩個角相等” 是真命題，而它的逆命題 “如果兩個角相等，那么這兩個角是直角” 是假命題，因為兩個相等的角不一定是直角，還可能是銳角或鈍角等。
讓學生自己判斷之前小組討論中寫出的命題及其逆命題的真假性，并在小組內交流。
互逆定理
給出互逆定理的定義：如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫做互逆定理，其中一個定理叫做另一個定理的逆定理。
舉例說明：如 “兩直線平行，同位角相等” 和 “同位角相等，兩直線平行” 是互逆定理。
強調：并不是所有的定理都有逆定理，只有當定理的逆命題為真命題時，才有逆定理。
（三）例題講解（15 分鐘）
例 1：寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的對應角相等。
（3）等腰三角形的兩個底角相等。
分析：
（1）逆命題為 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，這是假命題，因為當 b = 0 時，ab = 0，a 不一定為 0。
（2）逆命題為 “對應角相等的三角形是全等三角形”，這是假命題，因為對應角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命題為 “有兩個角相等的三角形是等腰三角形”，這是真命題，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：證明命題 “如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等” 是真命題。
分析：引導學生畫出圖形，寫出已知、求證，然后進行證明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求證：AB = AC。
證明：作∠BAC 的平分線 AD，交 BC 于點 D。
因為 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共邊），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）課堂練習（10 分鐘）
寫出下列命題的逆命題，并判斷真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的兩個銳角互余。
（3）對頂角相等。
判斷下列說法是否正確：
（1）每個命題都有逆命題。
（2）每個定理都有逆定理。
（3）真命題的逆命題一定是真命題。
（4）假命題的逆命題一定是假命題。
（五）課堂小結（5 分鐘）
與學生一起回顧互逆命題、互逆定理的概念，以及如何判斷命題的真假。
強調：原命題為真，逆命題不一定為真；原命題為假，逆命題也不一定為假。
（六）布置作業（5 分鐘）
課本課后習題，要求學生認真書寫解題過程，判斷命題真假時要說明理由。
拓展作業：收集生活中或數學學習中至少兩個互逆命題，并分析它們的真假性。
五、教學反思
在教學過程中，要注重引導學生積極思考、主動參與，通過實際例子幫助學生理解抽象的概念。對于學生在判斷命題真假和寫逆命題時容易出現的錯誤，要及時給予糾正和指導。在今后的教學中，可以進一步加強練習，提高學生的邏輯思維能力和解決問題的能力。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1.掌握有理數除法法則,體會除法與乘法的關系,以及將除法轉化為乘法的轉化思想.
2.會熟練進行有理數的除法運算，提高運算能力.
3.會利用有理數的除法運算解決簡單的實際問題形成應用
意識.
學習目標
你能很快地說出下列各數的倒數嗎
原數 5 7 0 -1
倒數
-1
倒數的定義你還記得嗎？
復習
課堂導入
根據“除法是乘法的逆運算”填空：
乘法 除法 乘法
（+2）×（+3）=+6
（-2）×（-3）=+6
（-2）×（+3）=-6
（-6）÷（-2）=
（-6）÷（+3）=
（+6）÷（-2）=
（+6）÷（-3）=
（+6）÷（+2）=
（+6）÷（+3）=
-2
+3
+2
-3
+3
-2
+3
+2
-3
-2
+3
-2
探究
新知探究
知識點 有理數除法法則
（1）（+6）÷（+2）=
+3
+3
（2）（+6）÷（-2）=
-3
-3
觀察下列兩組式子，你能找到它們的共同點嗎？
“÷”變“×”
“÷”變“×”
互為倒數
互為倒數
歸納：
除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數.
新知探究
知識點 有理數除法法則
（+6）÷（-2）= - 3
（-6）÷（+3）= - 3
（+6）÷（+2）= + 3
（-6）÷（-2）= + 3
同號兩數相除得正數
異號兩數相除得負數
并把它們的絕對值相除.
兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除.
歸納
新知探究
知識點 有理數除法法則
0除以任何不等于0的數都得0.
0×（+5）=0
0×（-5）=0
0÷（+5）=
0÷（-5）=
0
0
觀察一下式子，你能得出什么結論？
歸納
你能結合有理數的乘法法則，歸納出有理數的除法法則嗎？
新知探究
知識點 有理數除法法則
有理數的除法法則：
1.除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數.
2.兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除.
3.0除以任何一個不等于0的數，都得0.
新知探究
知識點 有理數除法法則
問題1 計算：
解：
同號得正，絕對值相除.
除以一個數等于乘這個數的倒數.
異號得負，絕對值相除.
新知探究
知識點 有理數除法法則
問題2 計算：
解：
新知探究
知識點 有理數除法法則
1.下列把除法轉換為乘法的過程中正確的是( )
C
隨堂練習
2.下列計算正確的是( )
D
隨堂練習
知識點1 倒數法法則
1. 計算1÷ 時，將除法變為乘法正確的是(　D　)
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2. 計算(－6)÷ 的結果是(　C　)
A. －18 B. 2
C. 18 D. －2
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
知識點2 絕對值法法則
3. 計算5÷(－5)＝ .
－1　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4. [2023·常德]下面算法正確的是(　D　)
A. (－5)＋9＝－(9－5)
B. 7－(－10)＝7－10
C. (－5)×0＝－5
D. (－8)÷(－4)＝8÷4
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
知識點3 有理數的加減乘除混合運算
5. 下列計算正確的是(　D　)
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
6. 計算12＋(－18)÷(－6)－(－3)×2的結果是(　C　)
A. 7 B. 8
C. 21 D. 36
【點撥】
原式＝12＋3＋6＝21.
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
7. 一段鐵絲，第一次剪下全長的 ，第二次剪下的長度與第
一次剪下的長度的比是9∶20，還剩7米，這段鐵絲全長
(　D　)
A. 12米 B. 24米
C. 32米 D. 36米
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
＝7÷
＝7÷ ＝36(米).
即這段鐵絲全長36米.故選D.
【點撥】
7÷
D
【答案】
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
8. 取一個自然數，若它是奇數，則乘以3加上1，若它是偶
數，則除以2，按此規則經過若干步的計算最終可得到1，
這個結論在數學上還沒有得到證明，但舉例驗證都是正確
的.例如：取自然數5，經過下面5步運算可得到1，即如圖
所示.如果自然數 m 恰好經過7步運算可得到1，則所有符
合條件的數的和是(　D　)
5 16 8 4 2 1
A. 23 B. 151
C. 150 D. 172
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
易錯點 因弄錯運算順序或運算律而出錯
9. 計算： ÷ ÷ × －(－6.4).
【解】原式＝ ÷ ÷ × ＋6.4
＝－ ×6× × ＋6.4
＝－ ＋
＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
　
兩個有理數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除.
法則一
法則二
除法
有理數
0除以任何非0的數都得0.
除以一個數等于乘這個數的倒數.
課堂小結
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