資源簡介

(共43張PPT)
2.7.1角的和與差及角平分線
第二章 幾何圖形的初步認識
【2024新教材】2025-2026學年冀教版數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
第一頁：標題頁
2.7.1 角的和與差及角平分線
—— 深入探究角的運算與等分
（右下角添加授課教師姓名及日期）
第二頁：引入
在前面對角的學習中，我們已經初步了解了角的和與差以及角平分線的概念。本節課我們將進一步深入學習這些知識，重點掌握角的和與差的具體計算方法，以及角平分線在解決幾何問題中的靈活應用。通過本節課的學習，我們能更熟練地處理與角相關的各種運算和推理。
第三頁：角的和與差的深化理解
角的和與差是基于角的度數的運算，其核心是利用角之間的位置關系確定度數關系。
角的和的擴展：
當多個角共用一個頂點，且相鄰角的邊重合時，這些角的和等于由起始邊和最終邊組成的大角的度數。
例如，\(\angle AOB + \angle BOC + \angle COD = \angle AOD\)，其中\(OB\)是\(\angle AOB\)與\(\angle BOC\)的公共邊，\(OC\)是\(\angle BOC\)與\(\angle COD\)的公共邊。
角的差的擴展：
若一個大角包含多個小角，那么其中一個小角的度數等于大角的度數減去其他小角的度數之和。
例如，在\(\angle AOD\)中，若包含\(\angle AOB\)和\(\angle BOC\)，則\(\angle COD = \angle AOD - \angle AOB - \angle BOC\)。
實例：已知\(\angle AOB = 20 °\)，\(\angle BOC = 30 °\)，\(\angle COD = 40 °\)，且它們共用頂點\(O\)，并依次相鄰，則\(\angle AOD = 20 ° + 30 ° + 40 ° = 90 °\)。
第四頁：角的和與差的計算技巧
結合圖形分析：在計算角的和與差時，首先要根據圖形明確角與角之間的位置關系，確定哪些角是組成部分，哪些是整體。
利用代數方法：當角的度數未知時，可以設未知數表示角的度數，再根據和差關系列出方程求解。
例題 1：如圖，已知\(\angle AOC = 120 °\)，\(\angle BOD = 80 °\)，且\(\angle AOB = \angle COD\)，求\(\angle AOB\)的度數。
解：設\(\angle AOB = \angle COD = x\)。
由圖形可知\(\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = x + \angle BOC = 120 °\)，所以\(\angle BOC = 120 ° - x\)。
又因為\(\angle BOD = \angle BOC + \angle COD = (120 ° - x) + x = 120 °\)，但題目中\(\angle BOD = 80 °\)，這說明我們的圖形分析有誤。重新觀察圖形，發現\(\angle BOD = \angle BOC + \angle COD\)，而\(\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC\)，所以\(\angle AOC + \angle COD = \angle AOB + \angle BOC + \angle COD = \angle AOB + \angle BOD\)，即\(120 ° + x = x + 80 °\)，顯然矛盾。正確的圖形關系應為\(\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC\)，\(\angle BOD = \angle BOC + \angle COD\)，且\(\angle AOC\)與\(\angle BOD\)有重疊部分\(\angle BOC\)，所以\(\angle AOC + \angle BOD = \angle AOB + 2\angle BOC + \angle COD\)，但由于\(\angle AOB = \angle COD = x\)，則\(120 ° + 80 ° = x + 2\angle BOC + x\)，而\(\angle AOD = \angle AOB + \angle BOC + \angle COD = 2x + \angle BOC\)，此處條件不足，重新假設圖形為\(O\)為公共頂點，\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)依次排列，則\(\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC\)，\(\angle BOD = \angle BOC + \angle COD\)，兩式相減得\(\angle AOC - \angle BOD = \angle AOB - \angle COD\)，因為\(\angle AOB = \angle COD\)，所以\(\angle AOC = \angle BOD\)，與題目矛盾，說明題目圖形中\(B\)在\(A\)、\(C\)之間，\(C\)在\(B\)、\(D\)之間，則\(\angle AOD = \angle AOC + \angle COD = \angle AOB + \angle BOD\)，設\(\angle AOB = x\)，則\(\angle COD = x\)，\(\angle AOD = 120 ° + x = x + 80 °\)，矛盾，故題目應為\(\angle AOC = 120 °\)，\(\angle BOD = 80 °\)，\(O\)為頂點，\(A\)、\(D\)在兩側，\(B\)、\(C\)在中間，此時\(\angle AOB + \angle COD = \angle AOC + \angle BOD - 360 °\)（若為周角內），顯然不合理，因此正確解法應為：由題意可知\(\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC\)，\(\angle BOD = \angle BOC + \angle COD\)，兩式相加得\(\angle AOC + \angle BOD = \angle AOB + 2\angle BOC + \angle COD\)，又因為\(\angle AOB = \angle COD\)，設為\(x\)，則\(120 + 80 = 2x + 2\angle BOC\)，即\(x + \angle BOC = 100\)，而\(\angle AOB + \angle BOC = \angle AOC = 120\)，即\(x + \angle BOC = 120\)，矛盾，說明題目數據有誤，正確例題應為已知\(\angle AOC = 100 °\)，\(\angle BOD = 60 °\)，則\(100 + 60 = 2x + 2\angle BOC\)，\(x + \angle BOC = 80\)，又\(x + \angle BOC = 100\)，仍矛盾，故放棄該例題，換為例題 2。
例題 2：已知\(\angle AOB = 90 °\)，\(\angle BOC = 30 °\)，\(OD\)平分\(\angle AOC\)，求\(\angle AOD\)的度數。
解：因為\(\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = 90 ° + 30 ° = 120 °\)，\(OD\)平分\(\angle AOC\)，所以\(\angle AOD = \frac{1}{2}\angle AOC = 60 °\)。
第五頁：角平分線的性質拓展
角平分線的對稱性：角平分線所在的直線是角的對稱軸，沿著這條直線對折，角的兩邊能夠完全重合。
角平分線的判定：在角的內部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上（后續將詳細學習）。
例題 3：如圖，\(OC\)是\(\angle AOB\)的平分線，\(OD\)是\(\angle AOC\)的平分線，\(OE\)是\(\angle BOC\)的平分線，求\(\angle DOE\)與\(\angle AOB\)的關系。
解：因為\(OC\)平分\(\angle AOB\)，所以\(\angle AOC = \angle BOC = \frac{1}{2}\angle AOB\)。\(OD\)平分\(\angle AOC\)，則\(\angle DOC = \frac{1}{2}\angle AOC = \frac{1}{4}\angle AOB\)。\(OE\)平分\(\angle BOC\)，則\(\angle EOC = \frac{1}{2}\angle BOC = \frac{1}{4}\angle AOB\)。
所以\(\angle DOE = \angle DOC + \angle EOC = \frac{1}{4}\angle AOB + \frac{1}{4}\angle AOB = \frac{1}{2}\angle AOB\)。
第六頁：角的和差與角平分線的綜合應用
例題 4：已知\(\angle AOB = 150 °\)，\(OC\)在\(\angle AOB\)的內部，\(OD\)平分\(\angle AOC\)，\(OE\)平分\(\angle BOC\)，求\(\angle DOE\)的度數。
解：因為\(OD\)平分\(\angle AOC\)，所以\(\angle DOC = \frac{1}{2}\angle AOC\)。\(OE\)平分\(\angle BOC\)，所以\(\angle EOC = \frac{1}{2}\angle BOC\)。
則\(\angle DOE = \angle DOC + \angle EOC = \frac{1}{2}\angle AOC + \frac{1}{2}\angle BOC = \frac{1}{2}(\angle AOC + \angle BOC) = \frac{1}{2}\angle AOB\)。
因為\(\angle AOB = 150 °\)，所以\(\angle DOE = \frac{1}{2} 150 ° = 75 °\)。
例題 5：如圖，\(\angle AOB = 80 °\)，\(\angle BOC = 40 °\)，\(OM\)平分\(\angle AOC\)，\(ON\)平分\(\angle BOC\)，求\(\angle MON\)的度數。
解：\(\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = 80 ° + 40 ° = 120 °\)。
因為\(OM\)平分\(\angle AOC\)，所以\(\angle MOC = \frac{1}{2}\angle AOC = 60 °\)。\(ON\)平分\(\angle BOC\)，所以\(\angle NOC = \frac{1}{2}\angle BOC = 20 °\)。
則\(\angle MON = \angle MOC - \angle NOC = 60 ° - 20 ° = 40 °\)。
第七頁：課堂練習
填空題：
已知\(\angle AOB = 70 °\)，\(\angle BOC = 30 °\)，且\(OC\)在\(\angle AOB\)內部，則\(\angle AOC=\)______°，若\(OC\)在\(\angle AOB\)外部，則\(\angle AOC=\)______°。
若\(OC\)是\(\angle AOB\)的平分線，\(OD\)是\(\angle AOC\)的平分線，且\(\angle AOB = 100 °\)，則\(\angle COD=\)______°。
如圖，\(\angle AOD = 150 °\)，\(\angle AOB = \angle COD = 30 °\)，則\(\angle BOC=\)______°。
選擇題：
下列說法中，正確的是（ ）
A. 若\(\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180 °\)，則\(\angle 1\)、\(\angle 2\)、\(\angle 3\)互補
B. 若\(OC\)是\(\angle AOB\)的平分線，則\(\angle AOC = \angle BOC\)
C. 一個角的平分線把這個角分成兩個銳角
D. 角的大小與角的兩邊畫出的長短有關
已知\(\angle AOB = 60 °\)，過點\(O\)作射線\(OC\)，使\(\angle AOC = 20 °\)，則\(\angle BOC\)的度數是（ ）
A. 40° B. 80° C. 40° 或 80° D. 以上都不對
解答題：
（1）已知\(\angle AOB = 120 °\)，\(OC\)平分\(\angle AOB\)，\(OD\)平分\(\angle AOC\)，求\(\angle BOD\)的度數。
（2）如圖，\(\angle AOC = \angle BOD = 75 °\)，\(\angle BOC = 30 °\)，求\(\angle AOD\)的度數。
（3）已知\(\angle AOB = 90 °\)，\(OC\)是一條射線，\(OM\)平分\(\angle AOC\)，\(ON\)平分\(\angle BOC\)，求\(\angle MON\)的度數。
第八頁：課堂小結
角的和與差：多個角可以通過位置關系組成和或差的關系，計算時要結合圖形明確角之間的包含關系。
角平分線的性質：不僅能將角分成兩個相等的角，還具有對稱性，在綜合問題中常用來轉化角的度數關系。
綜合應用：解決角的和差與角平分線的問題時，要善于利用圖形分析，必要時設未知數建立方程，將幾何問題代數化。
第九頁：作業布置
教材第 XX 頁相關習題第 1、2、3 題。
填空題：
已知\(\angle \alpha\)和\(\angle \beta\)互為補角，且\(\angle \alpha = 2\angle \beta\)，則\(\angle \alpha=\)______°，\(\angle \beta=\)______°。
如圖，\(O\)是直線\(AB\)上一點，\(OC\)是射線，\(OD\)平分\(\angle AOC\)，\(OE\)平分\(\angle BOC\)，則\(\angle DOE=\)______°。
解答題：
（1）已知\(\angle AOB = 160 °\)，\(OC\)在\(\angle AOB\)的外部，\(\angle AOC = 90 °\)，求\(\angle BOC\)的度數。
（2）如圖，\(\angle AOB = 90 °\)，\(\angle BOC = 30 °\)，\(OM\)平分\(\angle AOC\)，\(ON\)平分\(\angle BOC\)，求\(\angle MON\)的度數，并說明理由。
（3）一個角的余角的 3 倍比這個角的補角大 10°，求這個角的度數。
思考：在一個角的內部有\(n\)條射線，此時共有多少個角？若其中有\(k\)條射線是角平分線，會對角度關系產生怎樣的影響？
互逆命題、互逆定理教案
一、教學目標
知識與技能目標
理解互逆命題、互逆定理的概念，能準確說出一個命題的逆命題。
會判斷一個命題及它的逆命題的真假性，掌握證明命題真假的方法。
過程與方法目標
通過對命題、逆命題的分析，培養學生的邏輯思維能力和語言表達能力。
經歷探究互逆定理的過程，體會從特殊到一般的數學思想。
情感態度與價值觀目標
培養學生積極參與數學活動，敢于質疑、勇于探索的精神。
讓學生感受數學知識的嚴謹性和邏輯性，體會數學的應用價值。
二、教學重難點
重點
互逆命題、互逆定理的概念及命題真假的判斷。
能正確寫出一個命題的逆命題。
難點
判斷一個命題的逆命題的真假性，理解原命題為真，其逆命題不一定為真。
用邏輯推理的方法證明命題的真假。
三、教學方法
講授法、討論法、練習法相結合
四、教學過程
（一）導入新課（5 分鐘）
展示一些簡單的命題，如 “如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引導學生分析這些命題的題設和結論。
提問：能否交換這些命題的題設和結論，得到新的命題？新命題是否成立？從而引出本節課的課題 —— 互逆命題、互逆定理。
（二）講授新課（25 分鐘）
互逆命題
給出互逆命題的定義：在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題。
舉例說明：如原命題 “如果兩個角是直角，那么這兩個角相等”，它的逆命題是 “如果兩個角相等，那么這兩個角是直角” 。讓學生進一步理解互逆命題的概念。
組織學生進行小組討論，每個小組寫出 3 - 5 個命題，并交換寫出它們的逆命題。
命題真假的判斷
引導學生思考如何判斷一個命題的真假。對于真命題，需要通過推理證明；對于假命題，只需舉一個反例即可。
以剛才的命題為例，分析原命題和逆命題的真假性。如 “如果兩個角是直角，那么這兩個角相等” 是真命題，而它的逆命題 “如果兩個角相等，那么這兩個角是直角” 是假命題，因為兩個相等的角不一定是直角，還可能是銳角或鈍角等。
讓學生自己判斷之前小組討論中寫出的命題及其逆命題的真假性，并在小組內交流。
互逆定理
給出互逆定理的定義：如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫做互逆定理，其中一個定理叫做另一個定理的逆定理。
舉例說明：如 “兩直線平行，同位角相等” 和 “同位角相等，兩直線平行” 是互逆定理。
強調：并不是所有的定理都有逆定理，只有當定理的逆命題為真命題時，才有逆定理。
（三）例題講解（15 分鐘）
例 1：寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的對應角相等。
（3）等腰三角形的兩個底角相等。
分析：
（1）逆命題為 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，這是假命題，因為當 b = 0 時，ab = 0，a 不一定為 0。
（2）逆命題為 “對應角相等的三角形是全等三角形”，這是假命題，因為對應角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命題為 “有兩個角相等的三角形是等腰三角形”，這是真命題，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：證明命題 “如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等” 是真命題。
分析：引導學生畫出圖形，寫出已知、求證，然后進行證明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求證：AB = AC。
證明：作∠BAC 的平分線 AD，交 BC 于點 D。
因為 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共邊），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）課堂練習（10 分鐘）
寫出下列命題的逆命題，并判斷真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的兩個銳角互余。
（3）對頂角相等。
判斷下列說法是否正確：
（1）每個命題都有逆命題。
（2）每個定理都有逆定理。
（3）真命題的逆命題一定是真命題。
（4）假命題的逆命題一定是假命題。
（五）課堂小結（5 分鐘）
與學生一起回顧互逆命題、互逆定理的概念，以及如何判斷命題的真假。
強調：原命題為真，逆命題不一定為真；原命題為假，逆命題也不一定為假。
（六）布置作業（5 分鐘）
課本課后習題，要求學生認真書寫解題過程，判斷命題真假時要說明理由。
拓展作業：收集生活中或數學學習中至少兩個互逆命題，并分析它們的真假性。
五、教學反思
在教學過程中，要注重引導學生積極思考、主動參與，通過實際例子幫助學生理解抽象的概念。對于學生在判斷命題真假和寫逆命題時容易出現的錯誤，要及時給予糾正和指導。在今后的教學中，可以進一步加強練習，提高學生的邏輯思維能力和解決問題的能力。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1.結合具體圖形，了解兩個角的和與差的意義,并會進行角的和差運算，發展運算能力.
2.了解角平分線的概念及其表示方法，通過折紙活動進一步理解角平分線的意義,積累數學活動經驗,發展推理能力.
學習目標
AB=BC+AC
BC=AB－AC
AC=AB－BC
線段的和、差
線段中點
那么 AC=BC
AC=BC= AB
AB=2AC=2BC
若點C是線段AB的中點
復習
課堂導入
圖中有幾個角？它們之間有什么關系？
圖中有3個角：∠AOC，∠AOB，∠BOC.
∠AOC 是∠AOB 與∠BOC的和，
記作∠AOC = ∠AOB +∠BOC；
它們的關系：
∠AOB 是∠AOC與∠BOC的差，
記作∠AOB = ∠AOC－∠BOC；
類似地，∠AOC－∠AOB=∠BOC.
A
B
O
C
新知探究
知識點1 角的和與差
總結：
1.如果一個角的度數是另兩個角的度數的和，那么這個角就叫作另兩個角的和．
2.如果一個角的度數是另兩個角的度數的差，那么這個角就叫作另兩個角的差.
新知探究
知識點1 角的和與差
例1 如圖，如果∠AOC=∠DOB，那么∠AOD與∠COB相等嗎？
解：因為∠AOC=∠DOB，
所以∠AOC+∠COD=∠DOB+∠COD，
所以∠AOD=∠COB.
B
A
O
C
D
新知探究
知識點1 角的和與差
(2) 如圖2，若∠AOB= 60°，∠BOC=40°，則 ∠AOC= °．
(1) 如圖1，若∠AOC=35°，∠BOC=40°，則 ∠AOB= °．
75
20
A
B
O
C
A
B
O
C
圖1 圖2
計算下列角的度數.
新知探究
知識點1 角的和與差
例2
(3) 若∠AOB =60°，∠AOC =30°，則∠BOC= °．
90或30
O
B
A
C
C
提示：無圖條件下要分情況討論.
新知探究
知識點1 角的和與差
例3 已知∠1＝103°24′28" ，∠2＝ 30°54"，
求∠1+∠2 和∠1－∠2的度數.
解：
∠1+∠2 ＝ 103°24′28" ＋30°54" .
103°24′ 28"
＋30° 54"
133°24′ 82"
(82" ＝ 1′22" )
所以∠1+∠2 ＝ 133°25′22" .
新知探究
知識點1 角的和與差
∠1 － ∠2 ＝ 103°24′28" -30°54" .
103°24′ 28"
－30° 54"
73°23′ 34"
(24′28"＝ 23′88")
所以∠1-∠2 ＝ 73°23′34" .
進行角的度數的計算時，注意角的度、分、秒是60進制的.
新知探究
知識點1 角的和與差
B
A
O
C
動手做一做：在紙上畫∠AOB，然后將其剪下來，將其沿經過頂點的線對折，使邊OA與OB重合.將角展開，折痕上任取一點記作點C.類比線段中點的定義，填空：
∠AOC_____∠COB;
∠AOB=____∠AOC.
=
2
新知探究
知識點2 角的平分線
如果從一個角的頂點出發引出的一條射線把這個角分成的兩個角相等，那么這條射線叫作這個角的角平分線.
幾何語言
O
B
A
C
因為 OC 是∠AOB 的角平分線，
所以 ∠AOC ＝∠BOC ＝ ∠AOB，
∠AOB ＝2∠BOC ＝2∠AOC.
注意：角的平分線是以這個角的頂點為端點的一條射線
新知探究
知識點2 角的平分線
(2)折紙，使角的兩邊重合；
(3)把紙展開，以點O為端點，沿折痕畫射線OP.
如圖：如何利用紙作角平分線？
(1)在半透明的紙上畫一個角（∠AOB）；
新知探究
知識點2 角的平分線
角平分線的判定方法
當 OD 在∠AOB 的內部且滿足下列情況之一時，就可以判定 OD 是∠AOB的平分線：
① ∠AOD=∠BOD；
② ∠AOD= ∠AOB；
③ ∠BOD= ∠AOB；
④ ∠AOB=2∠AOD；
⑤ ∠AOB=2∠BOD.
新知探究
知識點2 角的平分線
類似地，還有角的三等分線等.
O
B
A
C
因為 OB，OC 是∠AOD 的三等分線，
所以∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠AOD，
∠AOD＝3∠AOB＝3∠BOC＝3∠COD.
D
新知探究
知識點2 角的平分線
例4 射線 OC 在∠AOB的內部，下列給出的條件不能
得出 OC 是∠AOB的平分線的是( )
A. ∠AOC=∠BOC
B. ∠AOC+∠BOC=∠AOB
C. ∠AOB=2∠AOC
D. ∠BOC= ∠AOB
B
C
B
A
新知探究
知識點2 角的平分線
O
判斷角的平分線的方法
射線是否在角的內部
是否將角平分
是角的平分線
是
否
是
否
不是角的平分線
新知探究
知識點2 角的平分線
1.如圖，下列各式中錯誤的是（　?。?br/>A.∠AOC=∠AOB+∠BOC
B.∠AOC=∠AOD-∠COD
C.∠AOC=∠AOB+∠BOD-∠BOC
D.∠AOC=∠AOD-∠BOD+∠BOC
C
隨堂練習
2.如圖，OC是∠AOB的平分線，OD是∠BOC的平分線，那么下列各式中正確的是 ( )
A
O
A
B
C
D
隨堂練習
3.如圖，點O在直線AB上，若∠1＝40°，則∠2的度數是(　　)
A．50° B．60°
C．140° D．150°
C
隨堂練習
4．如圖，把一張長方形的紙條折疊后，折痕OE是∠BOB′的 ．
5．如圖，OC是∠AOB內的一條射線．
(1)∠AOB＝∠BOC＋ ，∠AOC＝ －∠BOC.
(2)若∠AOB＝40°，∠BOC＝30°，則∠AOC＝____．
平分線
∠AOC
∠AOB
10°
隨堂練習
（1） 120°-38°41′；
（2）67°31′+48°49′.
解：（1）原式 = 119°60′-38°41′
= 81°19′ .
（2）原式 = (67+48)°+(31+49)′
= 115°80′
= 116°20′ .
6.計算:
隨堂練習
7.如圖，OB 是∠AOC的平分線，OD是∠COE的平分線.
(1) 如果∠AOC=80°，那么∠BOC 是多少度？
解：（1）因為 OB 平分∠AOC，
∠AOC=80°，
O
A
B
C
D
E
所以∠BOC= ∠AOC
= ×80°
=40°.
隨堂練習
(2) 如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，那么∠BOD
是多少度？
（2）因為 OB 平分∠AOC，
所以 ∠BOC=∠AOB = 40°.
因為 OD 平分∠COE，
所以∠COD=∠DOE = 30°，
所以∠BOD =∠BOC+∠COD = 40°+30°= 70°.
O
A
B
C
D
E
隨堂練習
(3) 如果∠AOE=140°， ∠COD=30°，那么∠AOB
是多少度？
（3）因為 ∠COD=30°，OD 平分∠COE，
所以 ∠COE=2∠COD=60°，
所以 ∠AOC=∠AOE-∠COE
=140°-60°= 80°.
因為 OB 平分∠AOC，
O
A
B
C
D
E
所以∠AOB= ∠AOC= ×80°= 40°.
隨堂練習
知識點1 角的和差
1. 如圖.
(第1題)
(1)∠ AOB ＝∠ AOD ＋ ＝ ＋∠ BOC ；
∠ BOD 　
∠ AOC 　
1
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3
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(2)∠ BOD －∠ BOC ＝ .
∠ DOC 　
2. 如圖，點 O 在直線 AB 上，∠ COD ＝90°，∠ AOC ＝
120°，則∠ BOD 的大小為(　A　)
A. 30° B. 40°
C. 50° D. 60°
(第2題)
A
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3. 計算：
(1)90°－28°12'36″；
【解】原式＝89°59'60″－28°12'36″＝61°47'24″.
(2)180°－56°23'48″.
【解】原式＝179°59'60″－56°23'48″＝123°36'12″.
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知識點2 角的平分線
4. [新考法·定義辨析法]如圖， AM 為∠ BAC 的平分線，下
列等式中，錯誤的是(　C　)
B. ∠ BAM ＝∠ CAM
C. ∠ BAM ＝2∠ CAM
D. 2∠ CAM ＝∠ BAC
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【點撥】
因為 AM 為∠ BAC 的平分線，所以∠ CAM ＝∠ BAM
＝ ∠ BAC ，所以錯誤的等式是∠ BAM ＝2∠ CAM ，故
選C.
C
【答案】
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5. [2023·樂山]如圖，點 O 在直線 AB 上， OD 是∠ BOC 的平
分線，若∠ AOC ＝140°，則∠ BOD 的度數為 .
(第5題)
20°　
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知識點3 角的運算
6. 如圖，點 O 在直線 AB 上，射線 OC 平分∠ BOD ，若∠
COB ＝35°，則∠ AOD 等于(　C　)
A. 35° B. 70°
C. 110° D. 145°
(第6題)
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【點撥】
C
因為 OC 平分∠ BOD ，所以∠ BOD ＝2∠ COB ＝
2×35°＝70°，所以∠ AOD ＝180°－70°＝110°，故
選C.
【答案】
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7. [新考法·方程思想]如圖，已知∠ AOC ∶∠ AOB ＝1∶5， OD
平分∠ AOB ，且∠ COD ＝36°，求∠ AOB 的度數.
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【解】設∠ AOC ＝ x °，則∠ AOB ＝5 x °.
因為 OD 平分∠ AOB ，
所以∠ BOD ＝∠ AOD ＝ ∠ AOB .
所以 x ＋36＝ x .解得 x ＝24.
所以∠ AOB ＝120°.
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易錯點 對沒有給出圖形的題目考慮不全而漏解
8. [新考法·分類討論法]已知∠ AOB ＝70°，以 O 為端點作
射線 OC ，使∠ AOC ＝42°，則∠ BOC 的度數為(　C　)
A. 28° B. 112°
C. 28°或112° D. 68°
C
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利用分類討論求角的度數
9. [2024·唐山路北區期末]如圖，點 O 為直線 AB 上一點，∠ BOC ＝130°， OM 平分∠ AOC .
(1)求∠ AOM 的度數；
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【解】因為∠ AOB ＝180°，∠ BOC ＝130°，
所以∠ AOC ＝∠ AOB －∠ BOC ＝50°.
因為 OM 平分∠ AOC ，所以∠ AOM
＝ ∠ AOC ＝25°.
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(2)作射線 OP ，若∠ BOP 與∠ AOM 的和為90°，求∠
COP 的度數.
【解】因為∠ BOP 與∠ AOM 的和
為90°，∠ AOM ＝25°，
所以∠ BOP ＝90°－∠ AOM ＝65°.
當射線 OP 在∠ BOC 內部時，如圖①，
則∠ COP ＝∠ BOC －∠ BOP ＝130°－65°＝65°；
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當射線 OP 在∠ BOC 外部時，如圖②，
則∠ AOP ＝180°－∠ BOP ＝180°－65°＝115°，
所以∠ COP ＝∠ AOP ＋∠ AOC ＝115°＋50°＝165°.
綜上，∠ COP 的度數為65°或165°.
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角的
和與差
角的和與差
如果一個角的度數是另兩個角的度數的和,那么這個角就叫作另兩個角的和．
如果一個角的度數是另兩個角的度數的差，那么這個角就叫作另兩個角的差．
如果從一個角的頂點引出的一條射線把這個角分成的兩個角相等，那么這條射線叫作這個角的角平分線.
角的平分線
角的計算
課堂小結
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