資源簡介

(共31張PPT)
4.2.1合并同類項
第四章 整式的加減
【2024新教材】2025-2026學年冀教版數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
第一頁：標題頁
4.2.1 合并同類項
—— 簡化多項式的重要方法
（右下角添加授課教師姓名及日期）
第二頁：引入
在多項式中，我們常常會遇到一些結構相似的項。例如，在多項式\(3x^2 + 2x - 5x^2 + 7x\)中，\(3x^2\)與\(-5x^2\)都含有字母\(x\)，且\(x\)的指數都是 2；\(2x\)與\(7x\)都含有字母\(x\)，且\(x\)的指數都是 1。這些具有相同特征的項就是同類項。把同類項合并成一項，能使多項式變得更簡潔，這種方法就是合并同類項。本節課我們將學習同類項的定義、合并同類項的法則和具體步驟。
第三頁：同類項的定義
定義：所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項叫做同類項。
特征：
所含字母相同：例如，\(3x\)與\(5x\)都含有字母\(x\)，是同類項；而\(3x\)與\(5y\)所含字母不同，不是同類項。
相同字母的指數相同：例如，\(2x^2y\)與\(-4x^2y\)中，\(x\)的指數都是 2，\(y\)的指數都是 1，是同類項；而\(2x^2y\)與\(2xy^2\)中，\(x\)的指數分別是 2 和 1，\(y\)的指數分別是 1 和 2，不是同類項。
注意：
同類項與系數無關，與字母的排列順序無關。例如，\(5ab\)與\(-3ba\)是同類項（所含字母相同，相同字母的指數相同，只是字母順序不同）。
幾個常數項也是同類項。例如，\(5\)與\(-7\)是同類項。
實例：
是同類項的有：\(3a\)與\(-2a\)、\(x^2y^3\)與\(5x^2y^3\)、\(-6\)與\(8\)。
不是同類項的有：\(2x\)與\(3x^2\)（相同字母的指數不同）、\(4ab\)與\(4ac\)（所含字母不同）。
第四頁：合并同類項的定義和法則
合并同類項的定義：把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項。
合并同類項的法則：同類項的系數相加，所得的結果作為系數，字母和字母的指數不變。
實例解析：
合并同類項\(3x + 5x\)：根據法則，系數相加\(3 + 5 = 8\)，字母和指數不變，所以\(3x + 5x = 8x\)。
合并同類項\(-2x^2y + 6x^2y\)：系數相加\(-2 + 6 = 4\)，字母和指數不變，所以\(-2x^2y + 6x^2y = 4x^2y\)。
合并同類項\(7 - 3\)：常數項是同類項，系數相加\(7 - 3 = 4\)，所以\(7 - 3 = 4\)。
注意：合并同類項后，所得項的系數是合并前各同類項系數的和，字母和字母的指數與合并前保持一致。
第五頁：合并同類項的步驟
合并同類項一般遵循以下步驟：
找出同類項：在多項式中，用不同的標記（如波浪線、下劃線等）標出同類項，避免遺漏或重復。
移動同類項：根據加法交換律和結合律，把同類項移到一起（通常把同類項放在一起，中間用 “+” 連接）。移動時要注意帶著項的符號一起移動。
合并同類項：按照合并同類項的法則，將同類項的系數相加，字母和指數不變。
整理結果：合并后，按某一字母的指數從高到低（或從低到高）的順序排列多項式（通常按降冪排列）。
實例解析：合并多項式\(3x^2 + 2x - 5x^2 + 7x - 1\)的同類項。
步驟 1：找出同類項。\(3x^2\)與\(-5x^2\)是同類項，\(2x\)與\(7x\)是同類項，\(-1\)是常數項（無同類項）。
步驟 2：移動同類項。\(3x^2 - 5x^2 + 2x + 7x - 1\)。
步驟 3：合并同類項。\((3 - 5)x^2 + (2 + 7)x - 1 = -2x^2 + 9x - 1\)。
步驟 4：整理結果。已經是按\(x\)的降冪排列，結果為\(-2x^2 + 9x - 1\)。
第六頁：例題解析（一）—— 基本類型
例題 1：合并下列多項式中的同類項。
（1）\(5a + 4b - 3a - 7b\)；（2）\(4x^2 - 8x + 5 - 3x^2 + 6x - 2\)。
解：（1）找出同類項：\(5a\)與\(-3a\)是同類項，\(4b\)與\(-7b\)是同類項。
移動并合并：\((5a - 3a) + (4b - 7b) = (5 - 3)a + (4 - 7)b = 2a - 3b\)。
（2）找出同類項：\(4x^2\)與\(-3x^2\)是同類項，\(-8x\)與\(6x\)是同類項，\(5\)與\(-2\)是同類項。
移動并合并：\((4x^2 - 3x^2) + (-8x + 6x) + (5 - 2) = (4 - 3)x^2 + (-8 + 6)x + 3 = x^2 - 2x + 3\)。
例題 2：合并多項式\(3x^2y - 2xy^2 + 5x^2y - xy + 4xy^2\)的同類項。
解：找出同類項：\(3x^2y\)與\(5x^2y\)是同類項，\(-2xy^2\)與\(4xy^2\)是同類項，\(-xy\)無同類項。
移動并合并：\((3x^2y + 5x^2y) + (-2xy^2 + 4xy^2) - xy = (3 + 5)x^2y + (-2 + 4)xy^2 - xy = 8x^2y + 2xy^2 - xy\)。
第七頁：例題解析（二）—— 含括號的同類項合并
例題 3：合并多項式\(2(x + y) - 3(x + y) + 5(x + y)\)的同類項。
解：把\((x + y)\)看作一個整體，它是同類項。
合并：\((2 - 3 + 5)(x + y) = 4(x + y) = 4x + 4y\)。
例題 4：合并多項式\(3a^2 - [2a - (5a^2 - 1) + 2a^2]\)中的同類項（先去括號，再合并）。
解：先去括號（去括號法則：括號前是 “+”，去括號后各項符號不變；括號前是 “-”，去括號后各項符號改變）：\(3a^2 - [2a - 5a^2 + 1 + 2a^2] = 3a^2 - [2a - 3a^2 + 1] = 3a^2 - 2a + 3a^2 - 1\)。
再合并同類項：\((3a^2 + 3a^2) - 2a - 1 = 6a^2 - 2a - 1\)。
第八頁：易錯點分析
在合并同類項時，容易出現以下錯誤：
誤判同類項：例如，認為\(3x^2y\)與\(5xy^2\)是同類項（相同字母的指數不同，不是同類項），從而錯誤合并。
合并時改變字母或指數：例如，合并\(2x^2 + 3x^2\)時，錯誤地寫成\(5x^4\)（字母指數應不變，正確結果是\(5x^2\)）。
遺漏項：例如，合并多項式\(3x + 2y - 3x\)時，只合并\(3x - 3x = 0\)，而遺漏\(2y\)，錯誤結果為\(0\)（正確結果是\(2y\)）。
移動項時忘記帶符號：例如，合并\(5x - 3 + 2x\)時，錯誤地寫成\(5x + 2x + 3 = 7x + 3\)（應帶著 “-” 號移動\(-3\)，正確結果是\(7x - 3\)）。
例題 5：判斷下列合并同類項是否正確，若不正確請改正。
（1）\(2x + 3x = 5x^2\)；（2）\(3a + 2b = 5ab\)；（3）\(7x^2 - 3x^2 = 4\)；（4）\(5xy - 5yx = 0\)。
解：（1）不正確。合并同類項時字母和指數不變，應改為\(2x + 3x = 5x\)。
（2）不正確。\(3a\)與\(2b\)不是同類項，不能合并。
（3）不正確。系數相加后字母和指數不變，應改為\(7x^2 - 3x^2 = 4x^2\)。
（4）正確。\(5xy\)與\(-5yx\)是同類項，合并后系數為\(5 - 5 = 0\)，結果為\(0\)。
第九頁：課堂練習
填空題：
下列各組中的兩項是不是同類項？是的打 “√”，不是的打 “×”。
①\(2x^2y\)與\(-3x^2y\)（ ）；②\(3a\)與\(3b\)（ ）；③\(-5\)與\(8\)（ ）；④\(4x^2\)與\(4x\)（ ）。
合并同類項：\(3x - 5x = \)；\(-2ab + 5ab = \)；\(x^2 + x^2 = \)______。
多項式\(3x^2 - 2x + 1 - x^2 + 5x - 7\)合并同類項后為______。
選擇題：
下列合并同類項正確的是（ ）
A. \(3x + 2x = 5x^2\) B. \(5a^2 - a^2 = 5\) C. \(3x^2 + 4x^3 = 7x^5\) D. \(7xy - 7yx = 0\)
多項式\(2x^2 - xy + 3y^2\)與\(-x^2 + xy + 2y^2\)合并同類項后，結果為（ ）
A. \(x^2 + 5y^2\) B. \(x^2 + 2xy + 5y^2\) C. \(x^2 + 5y^2\) D. \(3x^2 + 2xy + 5y^2\)
解答題：
（1）合并下列多項式中的同類項：
①\(4a^2 + 3b^2 + 2ab - 4a^2 - 3b^2\)；②\(3x^2 - 1 - 2x - 5 + 3x - x^2\)。
（2）先去括號，再合并同類項：\(3(2x^2 - y^2) - 2(3y^2 - 2x^2)\)。
（3）已知多項式\(ax^2 + bx + c\)與多項式\(2x^2 - 3x + 5\)合并同類項后不含\(x^2\)項和\(x\)項，且常數項為\(10\)，求\(a\)、\(b\)、\(c\)的值。
第十頁：課堂小結
同類項的定義：所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項，常數項也是同類項。
合并同類項的法則：同類項的系數相加，字母和字母的指數不變。
合并同類項的步驟：找出同類項、移動同類項、合并同類項、整理結果。
易錯點：誤判同類項、合并時改變字母或指數、遺漏項、移動項時忘記帶符號等，需特別注意。
第十一頁：作業布置
教材第 XX 頁習題 4.2 第 1、2、3 題。
填空題：
合并同類項：\(5m^2n - 3mn^2 + 2m^2n - mn^2 = \)______。
多項式\(3(x - y) + 5(x - y) - 2(x - y)\)合并同類項后為______。
解答題：
（1）合并下列多項式中的同類項：
①\(2x^3 + 3x^3 - 4x^3\)；②\(6a^2b + 5ab^2 - 4ab^2 - 7a^2b\)。
（2）先去括號，再合并同類項：\(5x - [3x - (2x - 1)]\)。
（3）若\(2x^{3m - 1}y^3\)與\(-5x^5y^{2n + 1}\)是同類項，求\(5m + 3n\)的值。
（4）已知多項式\(2x^2 + my - 12\)與多項式\(nx^2 - 3y + 6\)合并同類項后不含有\(x^2\)項和\(y\)項，求\(m + n + mn\)的值。
思考：合并同類項與整式的加減有什么關系？合并同類項在簡化計算中有什么作用？
互逆命題、互逆定理教案
一、教學目標
知識與技能目標
理解互逆命題、互逆定理的概念，能準確說出一個命題的逆命題。
會判斷一個命題及它的逆命題的真假性，掌握證明命題真假的方法。
過程與方法目標
通過對命題、逆命題的分析，培養學生的邏輯思維能力和語言表達能力。
經歷探究互逆定理的過程，體會從特殊到一般的數學思想。
情感態度與價值觀目標
培養學生積極參與數學活動，敢于質疑、勇于探索的精神。
讓學生感受數學知識的嚴謹性和邏輯性，體會數學的應用價值。
二、教學重難點
重點
互逆命題、互逆定理的概念及命題真假的判斷。
能正確寫出一個命題的逆命題。
難點
判斷一個命題的逆命題的真假性，理解原命題為真，其逆命題不一定為真。
用邏輯推理的方法證明命題的真假。
三、教學方法
講授法、討論法、練習法相結合
四、教學過程
（一）導入新課（5 分鐘）
展示一些簡單的命題，如 “如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引導學生分析這些命題的題設和結論。
提問：能否交換這些命題的題設和結論，得到新的命題？新命題是否成立？從而引出本節課的課題 —— 互逆命題、互逆定理。
（二）講授新課（25 分鐘）
互逆命題
給出互逆命題的定義：在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題。
舉例說明：如原命題 “如果兩個角是直角，那么這兩個角相等”，它的逆命題是 “如果兩個角相等，那么這兩個角是直角” 。讓學生進一步理解互逆命題的概念。
組織學生進行小組討論，每個小組寫出 3 - 5 個命題，并交換寫出它們的逆命題。
命題真假的判斷
引導學生思考如何判斷一個命題的真假。對于真命題，需要通過推理證明；對于假命題，只需舉一個反例即可。
以剛才的命題為例，分析原命題和逆命題的真假性。如 “如果兩個角是直角，那么這兩個角相等” 是真命題，而它的逆命題 “如果兩個角相等，那么這兩個角是直角” 是假命題，因為兩個相等的角不一定是直角，還可能是銳角或鈍角等。
讓學生自己判斷之前小組討論中寫出的命題及其逆命題的真假性，并在小組內交流。
互逆定理
給出互逆定理的定義：如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫做互逆定理，其中一個定理叫做另一個定理的逆定理。
舉例說明：如 “兩直線平行，同位角相等” 和 “同位角相等，兩直線平行” 是互逆定理。
強調：并不是所有的定理都有逆定理，只有當定理的逆命題為真命題時，才有逆定理。
（三）例題講解（15 分鐘）
例 1：寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的對應角相等。
（3）等腰三角形的兩個底角相等。
分析：
（1）逆命題為 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，這是假命題，因為當 b = 0 時，ab = 0，a 不一定為 0。
（2）逆命題為 “對應角相等的三角形是全等三角形”，這是假命題，因為對應角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命題為 “有兩個角相等的三角形是等腰三角形”，這是真命題，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：證明命題 “如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等” 是真命題。
分析：引導學生畫出圖形，寫出已知、求證，然后進行證明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求證：AB = AC。
證明：作∠BAC 的平分線 AD，交 BC 于點 D。
因為 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共邊），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）課堂練習（10 分鐘）
寫出下列命題的逆命題，并判斷真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的兩個銳角互余。
（3）對頂角相等。
判斷下列說法是否正確：
（1）每個命題都有逆命題。
（2）每個定理都有逆定理。
（3）真命題的逆命題一定是真命題。
（4）假命題的逆命題一定是假命題。
（五）課堂小結（5 分鐘）
與學生一起回顧互逆命題、互逆定理的概念，以及如何判斷命題的真假。
強調：原命題為真，逆命題不一定為真；原命題為假，逆命題也不一定為假。
（六）布置作業（5 分鐘）
課本課后習題，要求學生認真書寫解題過程，判斷命題真假時要說明理由。
拓展作業：收集生活中或數學學習中至少兩個互逆命題，并分析它們的真假性。
五、教學反思
在教學過程中，要注重引導學生積極思考、主動參與，通過實際例子幫助學生理解抽象的概念。對于學生在判斷命題真假和寫逆命題時容易出現的錯誤，要及時給予糾正和指導。在今后的教學中，可以進一步加強練習，提高學生的邏輯思維能力和解決問題的能力。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1.結合具體情境,經歷合并同類項的過程，理解同類項的概念,形成數學抽象能力.
2.理解并掌握合并同類項法則，能準確合并同類項.
3.類比數的運算探究合并同類項的方法，從中體會“數式通性”和類比思想.
學習目標
觀察下圖中的物體，對它們進行分類.
水果
蔬菜
課堂導入
a
a
a
a
a
b
現有以下兩種積木，它們的各邊長如圖所示
小亮用　型和　 型的積木塊搭成了下圖兩個不同形狀的“橋”。
新知探究
知識點1 同類項
你能分別用代數式表示兩座橋的體積嗎？
怎樣計算兩個“橋”的體積之和？
=
4a3+a2b
3a3+2a2b
4a3+a2b+3a3+2a2b
7a3+3a2b
新知探究
知識點1 同類項
+
與
與
能合并在一起的兩項具有怎樣的特征？
每一項所含字母相同，相同字母的指數也相同.
新知探究
知識點1 同類項
指數3
指數2
相同字母的指數相同
所含字母相同
單項式
所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項，叫作同類項.
同類項：
特殊地：所有的常數項都是同類項.
注意這有三個“相同”
同類項與系數無關，與字母的排列順序無關
注意這有兩個“無關”
新知探究
知識點1 同類項
例1 下列各組中的兩項是不是同類項？
√
×
×
×
√
√
新知探究
知識點1 同類項
根據乘法對加法的分配律，可以得到
觀察下面圖示中的式子，說說你的發現.
同類項
合并
同類項
合并
新知探究
知識點2 合并同類項
2.合并同類項的法則：
在合并同類項時，把同類項的系數相加，字母和字母的指數保持不變.
1.把多項式中的同類項合并成一項叫作合并同類項.
3 ab + 5 ab = 8 ab
相加
不變
新知探究
知識點2 合并同類項
例2 合并同類項：
（1）
（2）
（3）
解：（1）
1.將同類項在底下劃線標出；
2.運用加法的交換律和結合律，把同類項放在一起；
3.合并同類項.
新知探究
知識點2 合并同類項
（2）
（3）
注意：對于不同的同類項，分別用不同的線標出.
當同類項的系數互為相反數時，合并后的結果為0
新知探究
知識點2 合并同類項
例3 合并下式中的同類項：
（1）
（2）
解：
（1）
（2）
新知探究
知識點2 合并同類項
合并同類項的方法
一找，找出多項式中的同類項，不同類的同類項用不同的標記標出；
二移，利用加法的交換律，將不同類的同類項集中到不同的括號內；
三合，將同一括號內的同類項相加即可.
系數相加，字母及其指數不變.
新知探究
知識點2 合并同類項
1.下列各組式子中是同類項的是（ ）
A．-2a與a2 B．2a2b與3ab2
C．5ab2c與-b2ac D．-ab2和4ab2c
2.下列運算中正確的是（ ）
A．3a2-2a2=a2 B．3a2-2a2=1
C．3x2-x2=3 D．3x2-x=2x
C
A
隨堂練習
3．如果5x2y與xmyn是同類項，那么m =____，n =____．
4．合并同類項：
（1）-a-a-2a=________；
（2）-xy-5xy+6yx=______；
（3）0.8ab2-a2b+0.2ab2=_______ ；
（4）3a2b-4ab2-4+5a2b+2ab2+7=______________．
1
-4a
0
ab2-a2b
2
8a2b-2ab2+3
隨堂練習
隨堂練習
5.合并同類項：
(1)5x+4x； (2) yy+2y；
(3) -7ab+6ab； (4) 10y2-0.5y2；
(5)mn2+3mn2； (6) -3x2y+3xy2+2x2y-2xy2.
=(5+4)x
=9x.
=( +2)y
= y.
=(-7+6)ab
=-ab.
=(10-0.5) y2
=9.5y2.
=(1+3) mn2
=4mn2.
=(3-2) xy2+(-3+2) x2y
=xy2-x2y.
知識點1 同類項
1. [母題 教材P140練習] 下列整式與 ab2為同類項的是(　B　)
A. a2 b B. －2 ab2
C. ab D. ab2 c
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2. [新命題·題組訓練法]下列各式不是同類項的是(　C　)
B. －2與π
C. 4 x2 y 與－2 xy2 D. 5 m2 n 與－3 nm2
【點撥】
本題中要注意π是數，不是字母，故－2與π是同類
項.
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. [母題 教材P140習題A組T1]若4 a2 b2 n＋1與 a｜ m｜ b3是同類
項，則 m －2 n 的值為(　D　)
A. 0 B. 0或4
C. ±4 D. 0或－4
【點撥】
由同類項的定義得｜ m ｜＝2，2 n ＋1＝3，解得 m ＝
±2， n ＝1.當 m ＝2時， m －2 n ＝2－2×1＝0；當 m ＝
－2時， m －2 n ＝－2－2×1＝－4.
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. 若單項式3 xmy 與－2 x6 y 是同類項，則 m ＝ .
6　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
知識點2 合并同類項
5. [2023·株洲]計算：3 a2－2 a2＝ .
a2　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. [2023·宜賓]下列計算正確的是(　B　)
A. 4 a －2 a ＝2 B. 2 ab ＋3 ba ＝5 ab
C. a ＋ a2＝ a3 D. 5 x2 y －3 xy2＝2 xy
【點撥】
合并同類項只需把系數相加，所得的結果作為系數，
字母和指數都不變.
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. 合并同類項：
(1)－5 x2＋3 x －1＋2 x2－3 x ＋9；
【解】原式＝－5 x2＋2 x2＋3 x －3 x －1＋9＝－3 x2＋8.
(2)7 a2－2 ab ＋2 a2＋ b2＋3 ab －2 b2.
【解】原式＝7 a2＋2 a2＋ b2－2 b2－2 ab ＋3 ab ＝9 a2－ b2＋ ab .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
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知識點3 合并同類項的應用
8. [母題 教材P141習題A組T1]如果多項式3 x2－7 x2＋ x ＋ k2
x2－5中不含 x2項，則 k 的值為(　D　)
A. 2 B. －2
C. 0 D. 2或－2
【點撥】
由題意得3－7＋ k2＝0，則 k ＝2或－2.
D
1
2
3
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5
6
7
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9
10
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9. [情境題·2023·宜昌·生活應用]在日歷上，某些數滿足一定
的規律，如圖是某年8月份的日歷，任意選擇其中所示的
含4個數字的方框部分，設右上角的數字為 a ，則下列敘
述中正確的是(　D　)
D
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31
1
2
3
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5
6
7
8
9
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A. 左上角的數字為 a ＋1
B. 左下角的數字為 a ＋7
C. 右下角的數字為 a ＋8
D. 方框中4個位置的數相加，結果是4的倍數
1
2
3
4
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10. [新考法·2023·重慶·新定義法] 如果一個四位自然數
的各數位上的數字互不相等且均不為0，滿足 － ＝
，那么稱這個四位數為“遞減數”.例如：四位數4
129，因為41－12＝29，所以4 129是“遞減數”；又
如：四位數5 324，因為53－32＝21≠24，所以5 324不是
“遞減數”，若一個“遞減數”為 ，則這個數
為 ；若一個“遞減數”的前三個數字組成的三
位數 與后三個數字組成的三位數 的和能被9整
除，則滿足條件的數的最大值是 .
4 312　
8 165　
1
2
3
4
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合并同類項
與系數無關
與所含字母的順序無關
同類項
兩相同
兩無關
相同字母的指數相同
所含字母相同
合并同類項
法則
字母連同它的指數不變
步驟
一找、二移、三合
課堂小結
系數相加
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