資源簡介

(共28張PPT)
4.2.2求整式的值
第四章 整式的加減
【2024新教材】2025-2026學年冀教版數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
第一頁：標題頁
4.2.2 求整式的值
—— 從整式到具體數值的轉化
（右下角添加授課教師姓名及日期）
第二頁：引入
我們已經學習了整式的相關知識，包括單項式、多項式以及合并同類項。在實際應用中，常常需要根據字母的具體取值，求出整式的結果，這就是求整式的值。例如，當知道一個長方形的長和寬時，我們可以根據面積公式（整式）求出它的面積。求整式的值不僅是對前面知識的綜合運用，也是解決實際問題的重要工具。本節課我們將學習求整式值的方法和技巧，特別是先化簡再求值的方法。
第三頁：求整式的值的一般步驟
求整式的值的基本思路是用具體數值代替代數式中的字母，然后計算得出結果。一般步驟如下：
代入：把整式中各個字母所取的具體數值代入整式中，注意代入時要保持原有的運算符號和數字不變，省略的乘號要補全。
計算：按照整式中規定的運算順序進行計算，得出結果。運算順序遵循先乘方，再乘除，最后加減；有括號的先算括號里面的。
實例解析：求整式\(3x^2 - 2x + 1\)當\(x = 2\)時的值。
步驟 1：代入，將\(x = 2\)代入整式中，得到\(3 2^2 - 2 2 + 1\)。
步驟 2：計算，先算乘方\(2^2 = 4\)，再算乘法\(3 4 = 12\)，\(2 2 = 4\)，最后算加減\(12 - 4 + 1 = 9\)。所以當\(x = 2\)時，該整式的值是 9。
第四頁：先化簡再求值
當整式較為復雜時，直接代入計算會比較繁瑣，此時可以先對整式進行化簡（主要是合并同類項），再代入求值，這樣能簡化計算過程。
先化簡再求值的步驟：
化簡整式：通過合并同類項等方法，將整式化為最簡形式（即不含同類項的形式）。
代入計算：把字母的具體數值代入化簡后的整式中，按照運算順序計算得出結果。
實例解析：先化簡，再求值：\(3x^2 + 2x - 5x^2 + 7x - 1\)，其中\(x = 1\)。
步驟 1：化簡整式，合并同類項：\((3x^2 - 5x^2) + (2x + 7x) - 1 = -2x^2 + 9x - 1\)。
步驟 2：代入\(x = 1\)，得到\(-2 1^2 + 9 1 - 1 = -2 + 9 - 1 = 6\)。
對比：如果直接代入\(x = 1\)到原式計算：\(3 1^2 + 2 1 - 5 1^2 + 7 1 - 1 = 3 + 2 - 5 + 7 - 1 = 6\)，結果相同，但化簡后計算更簡便，尤其當字母取值較復雜時，優勢更明顯。
第五頁：例題解析（一）—— 直接代入求值
例題 1：求整式\(2a + 3b\)的值，其中\(a = 4\)，\(b = -5\)。
解：將\(a = 4\)，\(b = -5\)代入整式\(2a + 3b\)得：\(2 4 + 3 (-5) = 8 - 15 = -7\)。
例題 2：求整式\(x^2 - 2xy + y^2\)的值，其中\(x = 3\)，\(y = 1\)。
解：把\(x = 3\)，\(y = 1\)代入整式得：\(3^2 - 2 3 1 + 1^2 = 9 - 6 + 1 = 4\)。
第六頁：例題解析（二）—— 先化簡再求值
例題 3：先化簡，再求值：\(5a^2 + 3b^2 + 2ab - 4a^2 - 3b^2\)，其中\(a = -1\)，\(b = 2\)。
解：化簡整式，合并同類項：\((5a^2 - 4a^2) + (3b^2 - 3b^2) + 2ab = a^2 + 2ab\)。
代入\(a = -1\)，\(b = 2\)得：\((-1)^2 + 2 (-1) 2 = 1 - 4 = -3\)。
例題 4：先化簡，再求值：\(3(2x^2 - y^2) - 2(3y^2 - 2x^2)\)，其中\(x = -2\)，\(y = 1\)。
解：先去括號：\(6x^2 - 3y^2 - 6y^2 + 4x^2\)。
再合并同類項：\((6x^2 + 4x^2) + (-3y^2 - 6y^2) = 10x^2 - 9y^2\)。
代入\(x = -2\)，\(y = 1\)得：\(10 (-2)^2 - 9 1^2 = 10 4 - 9 1 = 40 - 9 = 31\)。
第七頁：例題解析（三）—— 整體代入求值
當整式中字母的取值未直接給出，或字母的取值較為復雜時，可以將一個代數式作為一個整體代入求值。
例題 5：已知\(x + y = 5\)，求整式\(2(x + y) - 3\)的值。
解：把\(x + y = 5\)看作一個整體，代入整式得：\(2 5 - 3 = 10 - 3 = 7\)。
例題 6：若\(a^2 - 2a = 3\)，求整式\(2a^2 - 4a + 5\)的值。
解：觀察發現\(2a^2 - 4a = 2(a^2 - 2a)\)，已知\(a^2 - 2a = 3\)，將其整體代入得：\(2 3 + 5 = 6 + 5 = 11\)。
第八頁：易錯點分析
在求整式的值時，容易出現以下錯誤：
代入時符號錯誤：例如，當\(x = -2\)時，求\(-x^2\)的值，誤算為\((-(-2))^2 = 4\)，而正確結果是\(-(-2)^2 = -4\)。
運算順序錯誤：例如，求整式\(2x^2\)當\(x = 3\)時的值，誤算為\((2 3)^2 = 36\)，正確結果是\(2 3^2 = 18\)。
化簡不徹底：例如，在進行先化簡再求值時，沒有完全合并同類項，導致計算復雜且容易出錯。
整體代入時漏乘系數：例如，已知\(x - y = 2\)，求\(3x - 3y + 1\)的值，誤算為\(2 + 1 = 3\)，而正確結果是\(3 2 + 1 = 7\)。
例題 7：判斷下列計算是否正確，若不正確請改正。
當\(x = -1\)時，求整式\(x^3 - 2x + 3\)的值。
錯誤解法：\((-1)^3 - 2 (-1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4\)（此解法正確，以下為錯誤示例）。
錯誤示例：\((-1)^3 - 2 (-1) + 3 = 1 + 2 + 3 = 6\)（錯誤原因：\((-1)^3\)計算錯誤，應為 - 1 而不是 1）。
第九頁：課堂練習
填空題：
當\(x = 3\)時，整式\(2x - 5\)的值是______。
若\(a = 2\)，\(b = -3\)，則整式\(a^2 + b^2\)的值是______。
先化簡，再求值：整式\(3x^2 - 2x + 1 - x^2 + 5x - 7\)，當\(x = -2\)時，值為______。
選擇題：
當\(x = 2\)，\(y = -1\)時，整式\(x - 2y\)的值是（ ）
A. 0 B. 4 C. -4 D. 2
先化簡，再求值：\(5a^2 - (3b^2 + 5a^2) + (4b^2 + 7ab)\)，其中\(a = 2\)，\(b = -1\)，結果為（ ）
A. -3 B. 3 C. -11 D. 11
解答題：
（1）求整式\(\frac{1}{2}x - 2(x - \frac{1}{3}y^2) + (-\frac{3}{2}x + \frac{1}{3}y^2)\)的值，其中\(x = -2\)，\(y = \frac{2}{3}\)。
（2）已知\(a + b = 3\)，\(ab = 2\)，求整式\(a^2 + b^2\)的值（提示：\(a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab\)）。
（3）先化簡，再求值：\(2(xy - 5xy^2) - (3xy^2 - xy)\)，其中\(x = 1\)，\(y = -1\)。
第十頁：課堂小結
求整式的值的一般步驟：代入和計算，代入時要注意補全乘號，計算時要遵循運算順序。
先化簡再求值的優勢：能簡化計算過程，減少計算錯誤，尤其適用于復雜整式。
整體代入求值：當字母取值未直接給出或較復雜時，將代數式作為整體代入，簡化計算。
易錯點：代入時符號錯誤、運算順序錯誤、化簡不徹底、整體代入漏乘系數等，需特別注意。
第十一頁：作業布置
教材第 XX 頁習題 4.2 第 4、5、6 題。
填空題：
當\(x = -3\)時，整式\(x^2 - 3x + 1\)的值是______。
先化簡，再求值：整式\(5m^2n - 3mn^2 + 2m^2n - mn^2\)，當\(m = 1\)，\(n = -1\)時，值為______。
解答題：
（1）先化簡，再求值：\(3x^2 - [7x - (4x - 3) - 2x^2]\)，其中\(x = -1\)。
（2）已知\(2x - y = 4\)，求整式\(6x - 3y + 5\)的值。
（3）若多項式\(2x^2 + my - 12\)與多項式\(nx^2 - 3y + 6\)合并同類項后不含有\(x^2\)項和\(y\)項，求當\(x = -1\)時，合并后整式的值。
（4）已知\(a^2 + 2ab = -10\)，\(b^2 + 2ab = 16\)，求整式\(a^2 + 4ab + b^2\)和\(a^2 - b^2\)的值。
思考：求整式的值與求代數式的值有什么異同？在解決實際問題時，如何選擇合適的方法求整式的值？
互逆命題、互逆定理教案
一、教學目標
知識與技能目標
理解互逆命題、互逆定理的概念，能準確說出一個命題的逆命題。
會判斷一個命題及它的逆命題的真假性，掌握證明命題真假的方法。
過程與方法目標
通過對命題、逆命題的分析，培養學生的邏輯思維能力和語言表達能力。
經歷探究互逆定理的過程，體會從特殊到一般的數學思想。
情感態度與價值觀目標
培養學生積極參與數學活動，敢于質疑、勇于探索的精神。
讓學生感受數學知識的嚴謹性和邏輯性，體會數學的應用價值。
二、教學重難點
重點
互逆命題、互逆定理的概念及命題真假的判斷。
能正確寫出一個命題的逆命題。
難點
判斷一個命題的逆命題的真假性，理解原命題為真，其逆命題不一定為真。
用邏輯推理的方法證明命題的真假。
三、教學方法
講授法、討論法、練習法相結合
四、教學過程
（一）導入新課（5 分鐘）
展示一些簡單的命題，如 “如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引導學生分析這些命題的題設和結論。
提問：能否交換這些命題的題設和結論，得到新的命題？新命題是否成立？從而引出本節課的課題 —— 互逆命題、互逆定理。
（二）講授新課（25 分鐘）
互逆命題
給出互逆命題的定義：在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題。
舉例說明：如原命題 “如果兩個角是直角，那么這兩個角相等”，它的逆命題是 “如果兩個角相等，那么這兩個角是直角” 。讓學生進一步理解互逆命題的概念。
組織學生進行小組討論，每個小組寫出 3 - 5 個命題，并交換寫出它們的逆命題。
命題真假的判斷
引導學生思考如何判斷一個命題的真假。對于真命題，需要通過推理證明；對于假命題，只需舉一個反例即可。
以剛才的命題為例，分析原命題和逆命題的真假性。如 “如果兩個角是直角，那么這兩個角相等” 是真命題，而它的逆命題 “如果兩個角相等，那么這兩個角是直角” 是假命題，因為兩個相等的角不一定是直角，還可能是銳角或鈍角等。
讓學生自己判斷之前小組討論中寫出的命題及其逆命題的真假性，并在小組內交流。
互逆定理
給出互逆定理的定義：如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫做互逆定理，其中一個定理叫做另一個定理的逆定理。
舉例說明：如 “兩直線平行，同位角相等” 和 “同位角相等，兩直線平行” 是互逆定理。
強調：并不是所有的定理都有逆定理，只有當定理的逆命題為真命題時，才有逆定理。
（三）例題講解（15 分鐘）
例 1：寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的對應角相等。
（3）等腰三角形的兩個底角相等。
分析：
（1）逆命題為 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，這是假命題，因為當 b = 0 時，ab = 0，a 不一定為 0。
（2）逆命題為 “對應角相等的三角形是全等三角形”，這是假命題，因為對應角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命題為 “有兩個角相等的三角形是等腰三角形”，這是真命題，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：證明命題 “如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等” 是真命題。
分析：引導學生畫出圖形，寫出已知、求證，然后進行證明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求證：AB = AC。
證明：作∠BAC 的平分線 AD，交 BC 于點 D。
因為 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共邊），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）課堂練習（10 分鐘）
寫出下列命題的逆命題，并判斷真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的兩個銳角互余。
（3）對頂角相等。
判斷下列說法是否正確：
（1）每個命題都有逆命題。
（2）每個定理都有逆定理。
（3）真命題的逆命題一定是真命題。
（4）假命題的逆命題一定是假命題。
（五）課堂小結（5 分鐘）
與學生一起回顧互逆命題、互逆定理的概念，以及如何判斷命題的真假。
強調：原命題為真，逆命題不一定為真；原命題為假，逆命題也不一定為假。
（六）布置作業（5 分鐘）
課本課后習題，要求學生認真書寫解題過程，判斷命題真假時要說明理由。
拓展作業：收集生活中或數學學習中至少兩個互逆命題，并分析它們的真假性。
五、教學反思
在教學過程中，要注重引導學生積極思考、主動參與，通過實際例子幫助學生理解抽象的概念。對于學生在判斷命題真假和寫逆命題時容易出現的錯誤，要及時給予糾正和指導。在今后的教學中，可以進一步加強練習，提高學生的邏輯思維能力和解決問題的能力。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1.能準確合并同類項并求多項式的值，提高運算能力.
2.能用合并同類項解決一些簡單的實際問題.
學習目標
復習：1.下列各組中的單項式是不是同類項？
兩相同：字母相同，相同字母的指數相同！
兩無關：與系數無關，與字母的排列順序無關！
×
√
√
×
×
√
課堂導入
2.下列合并同類項對嗎？不對的，說明理由.
(1)a+a=2a (2)3a+2b=5ab (3)5y2-3y2=2
(4)4x2y-5xy2=-x2y (5)3x2+2x3=5x5 (6)a+a-5a=-3a
×
√
×
×
×
√
課堂導入
問題：某學校校園的總體規劃圖如下(單位：m)
1.用代數式表示該校的土地面積是多少？
2.如果a=120，b=60，計算該校的土地面積是多少？
課堂導入
1.用代數式表示該校的土地面積是多少？
300a+300b
2.如果a=120，b=6 0，計算該校的土地面積是多少？
300a+300b=300×120+300×60
=54 000.
課堂導入
解：3xy2-5xy+0.5x2y-3xy2-4.5x2y=-5xy-4x2y.
例1 當x=1，y= 時，求多項式3xy2-5xy+0.5x2y-3xy2-4.5x2y的值.
當x=1，y= 時，
原式=
新知探究
知識點 多項式的化簡求值
例2 求代數式5(x－2y)－3(x－2y)＋8(x－2y)－4(x－2y)
的值，其中x＝　，y＝　．
解：原式=（5-3+8-4）（x-2y）=6（x-2y）.
當x= ,y= 時，6（ x-2y ）=6×（ ）=-1.
將（x-2y）看成一個整體
新知探究
知識點 多項式的化簡求值
例3 某學校組織七、八年級全體同學參觀革命圣地西柏坡.七年級租用45座（不含司機座位，下同）大巴車x輛，60座大巴車y輛；八年級租用60座大巴車x輛，30座中巴車y輛.當每輛車恰好坐滿時：
（1）請用含x，y的代數式表示該學校七、八年級學生的總數；
（2）當x=4，y=7時，該學校七、八年級共有多少名學生？
解：（1）由題意可知七年級有學生(45x+60y)人，八年級有學生（60x+30y)名.
所以，七、八年級學生的總數為45x+60y+60x+30y=105x+90y.
（2）當x=4，y=7時，105x+90y=105×4+90×7=1 050.
所以，七、八年級共有1 050名學生.
新知探究
知識點 多項式的化簡求值
1.多項式-5x2-2x的二次項系數、一次項系數和常數項分別是( )
A.-5，-2，0 B.5，-2，0
C.-5，-2，1 D.-5，2，1
A
隨堂練習
2．如果多項式x2－7ab＋b2＋kab－1不含ab項，那么k的值為( )
A．0 B．7 C．1 D．不能確定
B
3. 三角形三邊長分別為5x，12x，13x ，則這個三角形的周長為 .當時 x=2cm ，周長為 cm.
30x
60
隨堂練習
4. 已知a=-0.5，b=4，求多項式2a2b-3a-3a2b+2a的值．
解： 2a2b-3a-3a2b+2a
= 2a2b-3a2b-3a+2a
=(2-3)a2b+(-3+2)a
=-a2b-a．
當a=-0.5，b=4時，
原式=-(-0.5)2×4－(-0.5)=-0.25×4+0.5=-1+0.5=-0.5．
隨堂練習
5．小王購買了一套經濟適用房，他準備將地面鋪上地磚，地面結構如圖所示，根據圖中的數據(單位：m)，解答下列問題：
(1)用含x的代數式表示地面總面積；
(2)當x＝4，y＝2時，鋪1 m2地磚的平均費用為30元，那么鋪地磚的總費用為多少元？
隨堂練習
解：(1)4xy＋2y＋4y＋8y＝(14y＋4xy)m2.　
(2)當x＝4，y＝2時，原式＝14×2＋4×4×2＝60(m2)，
總費用＝60×30＝1 800(元)，所以鋪地磚的總費用是1 800元.
隨堂練習
(1)用含x的代數式表示地面總面積；
(2)當x＝4，y＝2時，鋪1 m2地磚的平均費用為30元，
那么鋪地磚的總費用為多少元？
知識點1 先合并同類項再求值
1. [2024·石家莊月考]當 y ＝－4時，代數式 y －1＋5 y 的值為
(　B　)
A. －24 B. －25
C. 79 D. －17
B
1
2
3
4
5
6
7
2. [2024·廊坊四中月考]式子－3 x2 y －10 x3＋3 x3＋6 x3 y ＋3
x2 y －6 x3 y ＋7 x3－8的值(　A　)
A. 與 x ， y 的值都無關
B. 只與 x 的值有關
C. 只與 y 的值有關
D. 與 x ， y 的值都有關
A
1
2
3
4
5
6
7
3. 已知｜ a ＋1｜＋( b －4)2＝0，則 ab2－5 a2 b － a2 b ＋
0.75 ab2＝ .
【點撥】
由｜ a ＋1｜＋( b －4)2＝0，
得 a ＋1＝0， b －4＝0，所以 a ＝－1， b ＝4.
則 ab2－5 a2 b － a2 b ＋0.75 ab2
－39　
1
2
3
4
5
6
7
＝ ab2－5 a2 b － a2 b ＋ ab2
＝ ab2＋ a2 b
＝ ab2－ a2 b ，
當 a ＝－1， b ＝4時，原式＝(－1)×16－ ×1×4＝
－39.
1
2
3
4
5
6
7
知識點2 先列式再求值
4. 有三個工程隊合作挖水渠，第一隊挖了 x 米，第二隊挖的
比第一隊的2倍還多7米，第三隊挖的比第一隊的3倍少12
米，則三個隊一共挖了 米.當 x ＝25時，三個
隊一共挖了 米.
(6 x －5)　
145　
1
2
3
4
5
6
7
第三隊挖了(3 x －12)米，
則三個隊一共挖了 x ＋(2 x ＋7)＋(3 x －12)＝(6 x －5)
米.當 x ＝25時，6 x －5＝6×25－5＝145.
【點撥】
根據題意可得，
第二隊挖了(2 x ＋7)米，
1
2
3
4
5
6
7
5. [情境題·地域文化]西柏坡位于河北省石家莊市平山縣中
部，曾是中共中央所在地，為我國革命圣地之一，是國家
重點文物保護單位，又是5A級景區.某學校組織七、八年
級全體學生去西柏坡參觀.七年級租用45座大巴車 x 輛，
55座大巴車 y 輛；八年級租用30座大巴車 x 輛，55座大巴
車 y 輛.當每輛車恰好坐滿時.
1
2
3
4
5
6
7
(1)用關于 x ， y 的整式表示該學校七、八年級的總人數
為 ；
(2)當 x ＝4， y ＝6時，該學校七、八年級的總人數
為 .
75 x ＋110 y 　
960　
1
2
3
4
5
6
7
利用閱讀法探求整式的值
6. 閱讀理解：已知5 a ＋3 b ＝－4，求代數式2( a ＋ b )＋4(2 a
＋ b )的值.小穎提出了一種解法如下：原式＝2 a ＋2 b ＋8
a ＋4 b ＝10 a ＋6 b ＝2(5 a ＋3 b ).因為5 a ＋3 b ＝－4，所
以原式＝2×(－4)＝－8.
依照小穎的解題方法，解決下面的問題：
(1)如果－ a2＝ a ，那么 a2＋ a ＋1＝ ；
1　
1
2
3
4
5
6
7
(2)已知 a － b ＝－3，則3( a － b )－5 a ＋5 b ＋5的值
為 ；
【點撥】
3( a － b )－5 a ＋5 b ＋5＝3( a － b )－5( a － b )＋5
＝－2( a － b )＋5.
因為 a － b ＝－3，
所以原式＝－2×(－3)＋5＝11.
11　
1
2
3
4
5
6
7
(3)已知 a2＋2 ab ＝－2， ab － b2＝－4，求2 a2＋ ab ＋
b2的值.
【解】因為 a2＋2 ab ＝－2， ab － b2＝－4，
所以2 a2＋ ab ＋ b2＝2 a2＋4 ab － ab ＋ b2＝2( a2＋
2 ab )－ ( ab － b2)＝2×(－2)－ ×(－4)＝－2.
1
2
3
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6
7
先合并同類項再求值，可以簡化多項式的求值
利用代數式求值解決實際問題時，要注意數量單位的統一和取值的實際意義.
課堂小結
多項式的
化簡求值
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