資源簡介

(共31張PPT)
4.4 整式的加減
第四章 整式的加減
【2024新教材】2025-2026學年冀教版數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
第一頁：標題頁
4.4 整式的加減
—— 整式運算的綜合應用
（右下角添加授課教師姓名及日期）
第二頁：引入
在前面的學習中，我們已經掌握了單項式、多項式的概念，以及合并同類項和去括號的方法。整式的加減是這些知識的綜合運用，它在數學運算和實際問題解決中有著廣泛的應用。例如，求兩個多項式的和或差，化簡復雜的整式表達式等，都需要用到整式的加減運算。本節課我們將學習整式加減的意義、法則和運算步驟，通過實例掌握整式加減的方法，提高整式運算的能力。
第三頁：整式加減的意義和實質
整式加減的意義：整式的加減包括整式的加法和減法，其實質是求幾個整式的和或差。
例如，求整式\(3x + 2\)與\(2x - 1\)的和，即\((3x + 2) + (2x - 1)\)；求整式\(5a^2 - 3a + 1\)與\(2a^2 + a - 4\)的差，即\((5a^2 - 3a + 1) - (2a^2 + a - 4)\)。
整式加減的實質：整式的加減實質上就是去括號和合并同類項。在進行整式的加減運算時，首先根據去括號法則去掉括號，然后再合并同類項，將整式化為最簡形式（即不含同類項的形式）。
實例解析：求整式\(2x^2 + 3x - 1\)與\(x^2 - 2x + 3\)的和。
解：根據題意列式：\((2x^2 + 3x - 1) + (x^2 - 2x + 3)\)。
去括號：\(2x^2 + 3x - 1 + x^2 - 2x + 3\)。
合并同類項：\((2x^2 + x^2) + (3x - 2x) + (-1 + 3) = 3x^2 + x + 2\)。
第四頁：整式加減的運算法則和步驟
運算法則：
幾個整式相加時，用加號把它們連接起來，再去括號，合并同類項。
一個整式減去另一個整式時，用減號把它們連接起來，將減式的括號和前面的減號去掉后，括號內各項的符號都要改變，再合并同類項。
運算步驟：
列式：根- 2x^2) + (x^2 - 4y^2)\)。
解：先去括號：\(6x^2 - 3y - 6y^2 + 4x^2 + x^2 - 4y^2\)。
合并同類項：\((6x^2 + 4x^2 + x^2) + (-3y) + (-6y^2 - 4y^2) = 11x^2 - 3y - 10y^2\)。
例題 6：已知\(A = 2x^2 + 3xy - 2x - 1\)，\(B = -x^2 + xy - 1\)，求\(A - 2B\)。
解：將\(A\)和\(B\)代入\(A - 2B\)得：\((2x^2 + 3xy - 2x - 1) - 2(-x^2 + xy - 1)\)。
去括號：\(2x^2 + 3xy - 2x - 1 + 2x^2 - 2xy + 2\)。
合并同類項：\((2x^2 + 2x^2) + (3xy - 2xy) - 2x + (-1 + 2) = 4x^2 + xy - 2x + 1\)。
第八頁：例題解析（四）—— 整式加減與求值結合
例題 7：先化簡，再求值：\((4a^2 - 3a) - (2a^2 + a - 1) + (2 - a^2 + 4a)\)，其中\(a = -2\)。
解：先化簡：
去括號：\(4a^2 - 3a - 2a^2 - a + 1 + 2 - a^2 + 4a\)。
合并同類項：\((4a^2 - 2a^2 - a^2) + (-3a - a + 4a) + (1 + 2) = a^2 + 3\)。
代入\(a = -2\)得：\((-2)^2 + 3 = 4 + 3 = 7\)。
例題 8：已知\(x = 2\)，\(y = -1\)，求\(5(2x^2y - 3xy^2) - (6x^2y - 2xy^2)\)的值。
解：先化簡：
去括號：\(10x^2y - 15xy^2 - 6x^2y + 2xy^2\)。
合并同類項：\((10x^2y - 6x^2y) + (-15xy^2 + 2xy^2) = 4x^2y - 13xy^2\)。
代入\(x = 2\)，\(y = -1\)得：\(4 2^2 (-1) - 13 2 (-1)^2 = 4 4 (-1) - 13 2 1 = -16 - 26 = -42\)。
第九頁：易錯點分析
在進行整式的加減運算時，容易出現以下錯誤：
列式時忘記加括號：例如，求整式\(a - b\)減去整式\(c - d\)的差時，誤寫成\(a - b - c - d\)，而正確的列式應為\((a - b) - (c - d)\)。
去括號時符號錯誤：尤其是括號前是 “-” 號時，部分項的符號未改變。例如，\((2x - 3) - (x - 1)\)去括號后誤寫成\(2x - 3 - x - 1\)，正確結果應為\(2x - 3 - x + 1\)。
合并同類項時出錯：包括系數計算錯誤、遺漏同類項等。例如，合并\(3x^2 + 2x^2\)時誤算為\(5x^4\)，正確結果是\(5x^2\)。
代入求值時計算錯誤：在將字母的取值代入化簡后的整式時，因符號或運算順序問題導致結果錯誤。例如，當\(x = -1\)時，計算\(x^2\)誤算為\(-1\)，正確結果是\(1\)。
例題 9：判斷下列計算是否正確，若不正確請改正。
（1）\((x^2 + 3x) - (x^2 - 2x) = x^2 + 3x - x^2 - 2x = x\)；
（2）\(2(a + b) - 3(a - b) = 2a + b - 3a - b = -a\)。
解：（1）不正確。去括號時，\(-(x^2 - 2x)\)應變為\(-x^2 + 2x\)，正確計算：\((x^2 + 3x) - (x^2 - 2x) = x^2 + 3x - x^2 + 2x = 5x\)。
（2）不正確。去括號時，\(2(a + b)\)應變為\(2a + 2b\)，\(-3(a - b)\)應變為\(-3a + 3b\)，正確計算：\(2(a + b) - 3(a - b) = 2a + 2b - 3a + 3b = -a + 5b\)。
第十頁：課堂練習
填空題：
整式\(3x + 2\)與\(2x - 5\)的和是______，差是______。
計算：\((2x^2 - 3x + 1) + (x^2 + 5x - 3) = \)；\((5a^2 - 2a) - (a^2 - 3a) = \)。
已知\(A = x^2 - 2x + 1\)，\(B = 3x^2 - 2x + 5\)，則\(A + B = \)，\(A - B = \)。
選擇題：
下列計算正確的是（ ）
A. \((a + b) - (c - d) = a + b - c - d\) B. \(a - (b - c + d) = a - b - c + d\)
C. \((x + 2y) - (-2x - y) = 3x + 3y\) D. \(-(a - b) + (c - d) = -a - b + c - d\)
化簡\(3(x - y) - 2(x + y)\)的結果是（ ）
A. \(x - y\) B. \(x - 5y\) C. \(x + y\) D. \(x + 5y\)
解答題：
（1）計算：
①\((3a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 + 5ab - 2b^2)\)；②\((5x^2 - 3xy + y^2) - (x^2 + 2xy - 3y^2)\)。
（2）先化簡，再求值：\(2(3x^2y - xy^2) - (xy^2 + 3x^2y)\)，其中\(x = 2\)，\(y = -1\)。
（3）已知\(A = 2x^2 + xy - 3y^2\)，\(B = x^2 - xy + y^2\)，求：①\(A + 2B\)；②當\(x = 1\)，\(y = -2\)時，\(A + 2B\)的值。
第十一頁：課堂小結
整式加減的意義：求幾個整式的和或差。
整式加減的實質：去括號和合并同類項。
整式加減的步驟：列式（加括號）、去括號、合并同類項。
易錯點：列式忘記加括號、去括號符號錯誤、合并同類項出錯、代入求值計算錯誤等，需認真對待每一步運算。
第十二頁：作業布置
教材第 XX 頁習題 4.4 第 1、2、3、4 題。
填空題：
計算：\(3(x^2 - 2xy) - 2(3xy - x^2) = \)______。
若\(M = 3x^2 - 2x + 1\)，\(N = 2x^2 + 3x - 1\)，則\(M - N = \)______。
解答題：
（1）計算：
①\(4(a^2b - 2ab^2) - (a^2b + 2ab^2)\)；②\(3x^2 - [7x - (4x - 3) - 2x^2]\)。
（2）先化簡，再求值：\((5a^2 - 3b^2) + (a^2 + b^2) - (5a^2 + 3b^2)\)，其中\(a = -1\)，\(b = 1\)。
（3）已知\(A = x^3 + 2x^2y + 2xy^2 + y^3\)，\(B = x^3 - 2x^2y + 2xy^2 - y^3\)，求：①\(A + B\)；②\(A - B\)；③當\(x = 1\)，\(y = -1\)時，(A +
互逆命題、互逆定理教案
一、教學目標
知識與技能目標
理解互逆命題、互逆定理的概念，能準確說出一個命題的逆命題。
會判斷一個命題及它的逆命題的真假性，掌握證明命題真假的方法。
過程與方法目標
通過對命題、逆命題的分析，培養學生的邏輯思維能力和語言表達能力。
經歷探究互逆定理的過程，體會從特殊到一般的數學思想。
情感態度與價值觀目標
培養學生積極參與數學活動，敢于質疑、勇于探索的精神。
讓學生感受數學知識的嚴謹性和邏輯性，體會數學的應用價值。
二、教學重難點
重點
互逆命題、互逆定理的概念及命題真假的判斷。
能正確寫出一個命題的逆命題。
難點
判斷一個命題的逆命題的真假性，理解原命題為真，其逆命題不一定為真。
用邏輯推理的方法證明命題的真假。
三、教學方法
講授法、討論法、練習法相結合
四、教學過程
（一）導入新課（5 分鐘）
展示一些簡單的命題，如 “如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引導學生分析這些命題的題設和結論。
提問：能否交換這些命題的題設和結論，得到新的命題？新命題是否成立？從而引出本節課的課題 —— 互逆命題、互逆定理。
（二）講授新課（25 分鐘）
互逆命題
給出互逆命題的定義：在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題。
舉例說明：如原命題 “如果兩個角是直角，那么這兩個角相等”，它的逆命題是 “如果兩個角相等，那么這兩個角是直角” 。讓學生進一步理解互逆命題的概念。
組織學生進行小組討論，每個小組寫出 3 - 5 個命題，并交換寫出它們的逆命題。
命題真假的判斷
引導學生思考如何判斷一個命題的真假。對于真命題，需要通過推理證明；對于假命題，只需舉一個反例即可。
以剛才的命題為例，分析原命題和逆命題的真假性。如 “如果兩個角是直角，那么這兩個角相等” 是真命題，而它的逆命題 “如果兩個角相等，那么這兩個角是直角” 是假命題，因為兩個相等的角不一定是直角，還可能是銳角或鈍角等。
讓學生自己判斷之前小組討論中寫出的命題及其逆命題的真假性，并在小組內交流。
互逆定理
給出互逆定理的定義：如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫做互逆定理，其中一個定理叫做另一個定理的逆定理。
舉例說明：如 “兩直線平行，同位角相等” 和 “同位角相等，兩直線平行” 是互逆定理。
強調：并不是所有的定理都有逆定理，只有當定理的逆命題為真命題時，才有逆定理。
（三）例題講解（15 分鐘）
例 1：寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的對應角相等。
（3）等腰三角形的兩個底角相等。
分析：
（1）逆命題為 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，這是假命題，因為當 b = 0 時，ab = 0，a 不一定為 0。
（2）逆命題為 “對應角相等的三角形是全等三角形”，這是假命題，因為對應角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命題為 “有兩個角相等的三角形是等腰三角形”，這是真命題，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：證明命題 “如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等” 是真命題。
分析：引導學生畫出圖形，寫出已知、求證，然后進行證明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求證：AB = AC。
證明：作∠BAC 的平分線 AD，交 BC 于點 D。
因為 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共邊），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）課堂練習（10 分鐘）
寫出下列命題的逆命題，并判斷真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的兩個銳角互余。
（3）對頂角相等。
判斷下列說法是否正確：
（1）每個命題都有逆命題。
（2）每個定理都有逆定理。
（3）真命題的逆命題一定是真命題。
（4）假命題的逆命題一定是假命題。
（五）課堂小結（5 分鐘）
與學生一起回顧互逆命題、互逆定理的概念，以及如何判斷命題的真假。
強調：原命題為真，逆命題不一定為真；原命題為假，逆命題也不一定為假。
（六）布置作業（5 分鐘）
課本課后習題，要求學生認真書寫解題過程，判斷命題真假時要說明理由。
拓展作業：收集生活中或數學學習中至少兩個互逆命題，并分析它們的真假性。
五、教學反思
在教學過程中，要注重引導學生積極思考、主動參與，通過實際例子幫助學生理解抽象的概念。對于學生在判斷命題真假和寫逆命題時容易出現的錯誤，要及時給予糾正和指導。在今后的教學中，可以進一步加強練習，提高學生的邏輯思維能力和解決問題的能力。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1.經歷從具體情境中用代數式表示數量關系的過程，體會整式加減的意義,進一步發展符號意識.
2.掌握整式加減的一般步驟,能進行整式的加減運算，并能運用整式的加減運算解決問題,進一步發展運算能力,加強代數推理,發展推理能力.
學習目標
問題1 根據所學知識，完成下列內容：
甲數：______________________;
百位 十位 個位
甲數 a b c
乙數 1.5a 2b 2c
乙數：_____________________；
100a+10b+c
150a+20b+2c
甲數+乙數：________________________________；
（100a+10b+c）+（150a+20b+2c）
甲數-乙數：________________________________.
（100a+10b+c）-（150a+20b+2c）
如何計算
課堂導入
問題2 七年級（一）班分成三個組，利用星期日參加社會公益活動.第一組有學生m名；第二組的人數比第一組的2倍少10人；第三組的人數是第二組的一半，七年級（一）班一共有學生多少名？
解：七年級（一）班的學生總數是
m+（2m-10）+0.5（2m-10）
=m+2m-10+m-5 （去括號）
=4m-15(名). （合并同類項）
所以，七年級(一）班共有學生（4m-15）名.
新知探究
知識點 整式的加減
整式加減的一般步驟
（1） 如果有括號，那么按去括號法則先去括號.
（2） 如果有同類項，合并同類項，直到算式中沒有同類項為止.
新知探究
知識點 整式的加減
例1 求整式4-5x2+3x與-2x +7x2-3的和.
解：(4-5x2+3x)+（-2x +7x2-3)
=4-5x2+3x-2x +7x2-3
=(-5x2+7x2)+(3x-2x)+(4-3)
=2x2+x+1.
有括號要先去括號
有同類項，合并同類項
結果中不能再有同類項
新知探究
知識點 整式的加減
例2 先化簡，再求值.
，其中x=1,y=-2.
解：
當x=1,y=-2時，
新知探究
知識點 整式的加減
注意：
(1)整式的加減運算重點注意去括號時的符號、系數的處理，不要把符號弄錯，不要漏乘括號外的系數；
(2)整式的化簡求值題，能夠化簡的先化簡，盡量不要直接把字母的值代入計算．
新知探究
知識點 整式的加減
例3 一個長方形的寬為a，長比寬的2倍小1.
（1） 寫出這個長方形的周長.
（2） 當a=2時，這個長方形的周長是多少？
（3） 當a為何值時，這個長方形的周長是16？
解：（1）這個長方形的周長是2a+2(2a-1)=6a-2.
（2）當a=2時，6a-2=6×2-2=10.
所以這個長方形的周長是10.
（3）如果6a-2=16,那么6a=18,即a=3.
所以，當a=3時，這個長方形的周長是16.
新知探究
知識點 整式的加減
例4 設是一個四位數.若a+b+c+d 可以被9整除，則這個數可以被9整除.試說明理由.
解: =1 000a + 100b+10c+d
= (999a + 99b +9c) +(a+b+c+d)
= 9(111a+11b+c)+ (a+b+c+d),
因為111a+11b+c是整數，所以9(111a+11b+c)可以被9整除.
因此，若a+b+c+d可以被9整除，則可以被9整除.
像這樣，利用代數運算的定義、法則、運算律和性質等，從條件出發推導數學結論的推理過程稱為代數推理.
利用整式加減解決實際問題時，先要把具體量用代數式表示出來，然后根據整式加減運算的步驟進行計算．
注意最后結果是幾個單項式的和的形式，且要帶單位時，要整體加括號．
方法歸納：
新知探究
知識點 整式的加減
2.長方形的一邊長等于3a+2b,另一邊比它大a-b,那么這個長方形的周長是（ ）
A.14a+6b B.7a+3b 　 C.10a+10b　 D.12a+8b
1.已知一個多項式與 的和等于 ，則這個多項式是（ ）
A
A
隨堂練習
3.若M-(-3x)=2x2-3x-3，則M應該是( )
A.2x2-3 B.2x2-3x-3
C.2x2-6x-3 D.2x2-6x-3
C
4.若A是一個二次二項式，B是一個五次五項式，則B－A一定是（　 ）
A.二次多項式 B.三次多項式　　
C.五次三項式 D. 五次多項式
D
隨堂練習
5.若A=x2-2xy+y2，B=x2+2xy+y2，則結果為4xy的式子是( )
A.A+B B.B-A C.A-B D.2A-2B
B
6.已知 則
-9a2+5a-4
7.若mn=m+3，則2mn+3m-5mn+10=______.
1
隨堂練習
8. 先化簡，再求值：
其中a=4.
解：
原式
當a=4時，
原式
隨堂練習
知識點1 整式加減的運算
1. 計算3( a ＋ b )－2( a － b )，應先 ，得
；再 ，得 .
去括號　
3 a ＋3 b
－2 a ＋2 b 　
合并同類項　
a ＋5 b 　
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10
2. 當 x ＝2 025時，( x2－ x )－( x2－2 x ＋1)的值是 .
【點撥】
先將整式化簡，得 x －1，再把 x ＝2 025代入求值.
2 024　
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10
3. 多項式3 a － a2與單項式2 a2的和等于(　B　)
A. 3 a B. 3 a ＋ a2
C. 3 a ＋2 a2 D. 4 a2
B
1
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10
4. 化簡5(2 x －3)＋4(3－2 x )的結果為(　A　)
A. 2 x －3 B. 2 x ＋9
C. 8 x －3 D. 18 x －3
【點撥】
5(2 x －3)＋4(3－2 x )＝10 x －15＋12－8 x ＝2 x －3.
A
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10
5. 已知 A ＝5 a －3 b ， B ＝－6 a ＋4 b ，則 A － B ＝(　C　)
A. － a ＋ b B. 11 a ＋ b
C. 11 a －7 b D. a －7 b
【點撥】
A － B ＝(5 a －3 b )－(－6 a ＋4 b )＝5 a －3 b ＋6 a －4
b ＝11 a －7 b .
C
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知識點2 整式加減的應用
6. 若2 x3－8 x2＋ x －1與3 x3＋2 mx2－5 x ＋3的差不含 x 的二
次項，則 m 等于 .
－4　
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10
7. [2024·重慶一中期中]如果 M 和 N 都是三次多項式，那么
M ＋ N 一定是(　D　)
A. 三次多項式
B. 六次多項式
C. 次數不低于3的多項式或單項式
D. 次數不高于3的多項式或單項式
D
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易錯點 兩個多項式相減時，因忽視括號的作用而出錯
8. 一個多項式與 x2－2 x ＋1的和是3 x －2，則這個多項式為
(　C　)
A. x2－5 x ＋3 B. － x2＋ x －1
C. － x2＋5 x －3 D. x2－5 x －3
【點撥】
設這個多項式為 A ，由題意得 A ＋( x2－2 x ＋1)＝3 x
－2，求解即可.
C
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利用整式的加減求值
9. (1)當 x ＝1時，多項式 px3＋ qx ＋1的值為2 025，求當 x ＝
－1時，多項式 px3＋ qx ＋1的值；
【解】因為當 x ＝1時，多項式 px3＋ qx ＋1的值為2 025，
所以 p ×13＋ q ×1＋1＝2 025，則 p ＋ q ＝2 024.所以當 x
＝－1時， px3＋ qx ＋1＝ p ×(－1)3＋ q ×(－1)＋1＝－ p
－ q ＋1＝－( p ＋ q )＋1＝－2 024＋1＝－2 023.
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(2)當式子(2 x ＋4)2＋5取最小值時，求式子5 x －[－2 x2－
(－5 x ＋2)]的值.
【解】因為(2 x ＋4)2＋5取得最小值時，(2 x ＋4)2＝0，
所以2 x ＋4＝0，解得 x ＝－2.
則5 x －[－2 x2－(－5 x ＋2)]＝5 x －(－2 x2＋5 x －2)＝5
x ＋2 x2－5 x ＋2＝2 x2＋2.
當 x ＝－2時，原式＝2×(－2)2＋2＝10.
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利用整式加減探求月歷問題
10. [新考法·特征數表示法]如圖是2024年5月的月歷.
(1)帶陰影的十字框中的5個數之和與十字框中心的數有
什么關系？
【解】帶陰影的十字框中的5個數
之和是十字框中心的數的5倍.
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(2)不改變十字框的大小，如果將帶陰影的十字框移至其
他幾個位置，你能得出什么結論？你知道為什么嗎？
【解】結論：帶陰影的十字框中的5個數之和是十字框中心的數的5倍.理由如下：設十字框中心的數為 x ，則其余4個數分別為 x －7， x －1， x ＋1， x ＋7，所以帶陰影的十字框中的5個數之和為( x －7)＋( x －1)＋ x ＋( x ＋1)＋( x ＋7)＝5 x .所以帶陰影的十字框中的5個數之和是十字框中心的數的5倍.
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(3)這個結論對于任何一個月的月歷都成立嗎？
【解】這個結論對于任何一個月
的月歷都成立.
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整式的加減
整式的加減運算
整式加減的應用
比較復雜的式子求值，先化簡，再把數值代入計算.
一般地，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類項，我們就可以完成整式的加減運算.
列整式解決實際問題：先要把具體量用代數式表示出來，然后根據整式加減運算的步驟進行計算．
課堂小結
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