資源簡介

(共33張PPT)
5.3.1用移項法解一元一次方程
第五章 一元一次方程
【2024新教材】2025-2026學年冀教版數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
第一頁：標題頁
5.2 一元一次方程
—— 最基礎的整式方程
（右下角添加授課教師姓名及日期）
第二頁：引入
在前面我們學習了方程的概念，知道含有未知數的等式是方程。方程的種類有很多，其中最為基礎且應用廣泛的就是一元一次方程。比如 “某數的 3 倍與 5 的差等于 10，求這個數”，這樣的問題就可以用一元一次方程來解決。本節課我們將深入學習一元一次方程的定義、標準形式、判斷方法以及解一元一次方程的基本思路，為解決更復雜的實際問題打下堅實基礎。
第三頁：一元一次方程的定義
定義：只含有一個未知數（元），并且未知數的次數都是 1，等號兩邊都是整式的方程叫做一元一次方程。
關鍵詞解析：
只含有一個未知數：例如，方程\(3x + 5 = 8\)中只含有未知數\(x\)，符合 “一元” 的要求；而方程\(x + y = 6\)中含有兩個未知數\(x\)和\(y\)，不是一元一次方程。
未知數的次數都是 1：指未知數的最高次數是 1。例如，方程\(2x - 1 = 5\)中\(x\)的次數是 1，符合要求；而方程\(x^2 + 3 = 7\)中\(x\)的次數是 2，不是一元一次方程。
等號兩邊都是整式：即方程的兩邊都是單項式或多項式，不含分式等。例如，方程\(\frac{x}{2} + 3 = 5\)（可化為\(\frac{1}{2}x + 3 = 5\)，是整式）是一元一次方程；而方程\(\frac{1}{x} + 2 = 5\)（左邊含有分式）不是一元一次方程。
實例：
是一元一次方程的有：\(5x = 10\)、\(3(x - 2) = 4\)、\(2y - 7 = 3y + 1\)。
不是一元一次方程的有：\(x + y = 3\)（含兩個未知數）、\(x^3 - 1 = 0\)（未知數次數是 3）、\(\frac{2}{x} = 5\)（含分式）。
第四頁：一元一次方程的標準形式
一元一次方程的標準形式是：\(ax + b = 0\)（其中\(a\)、\(b\)是常數，且\(a \neq 0\)）。
說明：
在標準形系數化為 1：兩邊同時除以 - 3，得\(x = \frac{5}{3}\)（依據等式性質 2）。
第七頁：例題解析（一）—— 解簡單的一元一次方程
例題 2：解下列一元一次方程。
（1）\(5x = 15\)；（2）\(x - 7 = 13\)；（3）\(3x + 4 = 16\)。
解：（1）系數化為 1：兩邊同時除以 5，得\(x = 3\)。
（2）移項：兩邊同時加 7，得\(x = 13 + 7 = 20\)。
（3）移項：\(3x = 16 - 4 = 12\)；系數化為 1：\(x = 12 ·3 = 4\)。
例題 3：解方程：\(2(x + 3) = 14 - 2x\)。
解：去括號：\(2x + 6 = 14 - 2x\)。
移項：\(2x + 2x = 14 - 6\)。
合并同類項：\(4x = 8\)。
系數化為 1：\(x = 2\)。
第八頁：例題解析（二）—— 含分母的一元一次方程
例題 4：解方程：\(\frac{x - 1}{2} = \frac{2x + 1}{3}\)。
解：去分母（兩邊同時乘 6，即分母 2 和 3 的最小公倍數）：\(3(x - 1) = 2(2x + 1)\)。
去括號：\(3x - 3 = 4x + 2\)。
移項：\(3x - 4x = 2 + 3\)。
合并同類項：\(-x = 5\)。
系數化為 1：\(x = -5\)。
注意：去分母時，方程兩邊的每一項都要乘各分母的最小公倍數，不要漏乘不含分母的項。例如，解方程\(\frac{x}{2} - 1 = 3\)時，去分母應得\(x - 2 = 6\)，而不是\(x - 1 = 6\)（漏乘了 - 1 這一項）。
第九頁：易錯點分析
在學習一元一次方程時，容易出現以下錯誤：
判斷時忽略 “整式” 條件：例如，認為\(\frac{1}{x} + 3 = 5\)是一元一次方程，而實際上它含有分式，不是整式方程。
去分母時漏乘項：例如，解方程\(\frac{x + 1}{2} = x - 1\)時，去分母誤寫成\(x + 1 = 2x - 1\)（漏乘右邊的 - 1），正確應為\(x + 1 = 2x - 2\)。
去括號時符號錯誤或漏乘：例如，去括號\(-2(x - 3)\)時，誤寫成\(-2x - 6\)，正確應為\(-2x + 6\)。
移項時忘記變號：例如，解方程\(3x + 5 = 2x + 7\)時，移項誤寫成\(3x + 2x = 7 + 5\)，正確應為\(3x - 2x = 7 - 5\)。
例題 5：指出下列解方程過程中的錯誤，并改正。
解方程：\(\frac{2x - 1}{3} = 1 - \frac{x + 2}{4}\)。
錯誤解法：
去分母：\(4(2x - 1) = 1 - 3(x + 2)\)。
去括號：\(8x - 4 = 1 - 3x - 6\)。
移項：\(8x - 3x = 1 - 6 + 4\)。
合并同類項：\(5x = -1\)。
系數化為 1：\(x = -\frac{1}{5}\)。
錯誤分析：去分母時，右邊的 “1” 沒有乘 12（3 和 4 的最小公倍數），導致錯誤。
正確解法：
去分母：\(4(2x - 1) = 12 - 3(x + 2)\)。
去括號：\(8x - 4 = 12 - 3x - 6\)。
移項：\(8x + 3x = 12 - 6 + 4\)。
合并同類項：\(11x = 10\)。
系數化為 1：\(x = \frac{10}{11}\)。
第十頁：課堂練習
填空題：
下列方程：①\(3x + 5 = 9\)；②\(x^2 + 4x + 4 = 0\)；③\(2x + 3y = 5\)；④\(\frac{x}{4} = 7\)；⑤\(\frac{1}{x} = 2\)。其中是一元一次方程的有______（填序號）。
一元一次方程\(3x - 7 = 0\)的一次項系數是______，常數項是______。
將方程\(2(x - 3) - 4 = 5x\)化為標準形式是______，其中一次項系數是______，常數項是______。
選擇題：
下列關于\(x\)的方程中，是一元一次方程的是（ ）
A. \(x^2 - 4x = 3\) B. \(x = 0\) C. \(x + 2y = 1\) D. \(x - 1 = \frac{1}{x}\)
方程\(\frac{2x - 1}{3} = x - 2\)去分母后正確的是（ ）
A. \(2x - 1 = x - 2\) B. \(2x - 1 = 3x - 2\) C. \(2x - 1 = 3x - 6\) D. \(2x - 3 = 3x - 6\)
解答題：
（1）解下列一元一次方程：
①\(5x - 9 = 7x - 13\)；②\(3(x - 2) = 2 - 5(x - 2)\)；③\(\frac{x + 1}{2} - 1 = 2 + \frac{2 - x}{4}\)。
（2）當\(k\)為何值時，方程\(2(x - 1) = kx + 5\)是關于\(x\)的一元一次方程？
第十一頁：課堂小結
一元一次方程的定義：只含有一個未知數，未知數的次數都是 1，等號兩邊都是整式的方程。
一元一次方程的標準形式：\(ax + b = 0\)（\(a\)、\(b\)為常數，\(a \neq 0\)），其中\(ax\)是一次項，\(a\)是一次項系數，\(b\)是常數項。
判斷一元一次方程的條件：含一個未知數、未知數次數為 1、兩邊是整式、化簡后系數不為 0。
解一元一次方程的基本思路：通過去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為 1 等步驟轉化為\(x = a\)的形式。
易錯點：忽略整式條件、去分母漏乘項、去括號錯誤、移項忘變號等，需特別注意。
第十二頁：作業布置
教材第 XX 頁習題 5.2 第 1、2、3、4 題。
填空題：
若方程\((k - 1)x + 3 = 0\)是關于\(x\)的一元一次方程，則\(k\)的取值范圍是______。
方程\(2x - 1 = 5\)的解是______；方程\(\frac{3x + 1}{2} = 5\)的解是______。
選擇題：
下列方程中，解為\(x = 2\)的是（ ）
A. \(3x + 6 = 0\) B. \(3x - 6 = 0\) C. \(\frac{x}{2} + 1 = 0\) D. \(4x = 2\)
對方程\(4x - 5 = 6x - 7 - 3x\)進行變形正確的是（ ）
A. \(4x - 6x + 3x = -7 + 5\) B. \(4x - 6x - 3x = -7 + 5\)
C. \(4x - 6x + 3x = 5 + 7\) D. \(4x - 6x - 3x = 5 + 7\)
解答題：
（1）解下列一元一次方程：
①\(7 - 3(x + 1) = 2(4 - x)\)；②\(\frac{2x - 1}{3} - \frac{5x + 1}{2} = 1\)；③\(x - \frac{x - 1}{2} = 2 - \frac{x + 2}{3}\)。
（2）已知\(x = 2\)是方程\(2(x - 3) + 1 = x + m\)的解，求\(m\)的值。
（3）
互逆命題、互逆定理教案
一、教學目標
知識與技能目標
理解互逆命題、互逆定理的概念，能準確說出一個命題的逆命題。
會判斷一個命題及它的逆命題的真假性，掌握證明命題真假的方法。
過程與方法目標
通過對命題、逆命題的分析，培養學生的邏輯思維能力和語言表達能力。
經歷探究互逆定理的過程，體會從特殊到一般的數學思想。
情感態度與價值觀目標
培養學生積極參與數學活動，敢于質疑、勇于探索的精神。
讓學生感受數學知識的嚴謹性和邏輯性，體會數學的應用價值。
二、教學重難點
重點
互逆命題、互逆定理的概念及命題真假的判斷。
能正確寫出一個命題的逆命題。
難點
判斷一個命題的逆命題的真假性，理解原命題為真，其逆命題不一定為真。
用邏輯推理的方法證明命題的真假。
三、教學方法
講授法、討論法、練習法相結合
四、教學過程
（一）導入新課（5 分鐘）
展示一些簡單的命題，如 “如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引導學生分析這些命題的題設和結論。
提問：能否交換這些命題的題設和結論，得到新的命題？新命題是否成立？從而引出本節課的課題 —— 互逆命題、互逆定理。
（二）講授新課（25 分鐘）
互逆命題
給出互逆命題的定義：在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題。
舉例說明：如原命題 “如果兩個角是直角，那么這兩個角相等”，它的逆命題是 “如果兩個角相等，那么這兩個角是直角” 。讓學生進一步理解互逆命題的概念。
組織學生進行小組討論，每個小組寫出 3 - 5 個命題，并交換寫出它們的逆命題。
命題真假的判斷
引導學生思考如何判斷一個命題的真假。對于真命題，需要通過推理證明；對于假命題，只需舉一個反例即可。
以剛才的命題為例，分析原命題和逆命題的真假性。如 “如果兩個角是直角，那么這兩個角相等” 是真命題，而它的逆命題 “如果兩個角相等，那么這兩個角是直角” 是假命題，因為兩個相等的角不一定是直角，還可能是銳角或鈍角等。
讓學生自己判斷之前小組討論中寫出的命題及其逆命題的真假性，并在小組內交流。
互逆定理
給出互逆定理的定義：如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫做互逆定理，其中一個定理叫做另一個定理的逆定理。
舉例說明：如 “兩直線平行，同位角相等” 和 “同位角相等，兩直線平行” 是互逆定理。
強調：并不是所有的定理都有逆定理，只有當定理的逆命題為真命題時，才有逆定理。
（三）例題講解（15 分鐘）
例 1：寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的對應角相等。
（3）等腰三角形的兩個底角相等。
分析：
（1）逆命題為 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，這是假命題，因為當 b = 0 時，ab = 0，a 不一定為 0。
（2）逆命題為 “對應角相等的三角形是全等三角形”，這是假命題，因為對應角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命題為 “有兩個角相等的三角形是等腰三角形”，這是真命題，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：證明命題 “如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等” 是真命題。
分析：引導學生畫出圖形，寫出已知、求證，然后進行證明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求證：AB = AC。
證明：作∠BAC 的平分線 AD，交 BC 于點 D。
因為 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共邊），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）課堂練習（10 分鐘）
寫出下列命題的逆命題，并判斷真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的兩個銳角互余。
（3）對頂角相等。
判斷下列說法是否正確：
（1）每個命題都有逆命題。
（2）每個定理都有逆定理。
（3）真命題的逆命題一定是真命題。
（4）假命題的逆命題一定是假命題。
（五）課堂小結（5 分鐘）
與學生一起回顧互逆命題、互逆定理的概念，以及如何判斷命題的真假。
強調：原命題為真，逆命題不一定為真；原命題為假，逆命題也不一定為假。
（六）布置作業（5 分鐘）
課本課后習題，要求學生認真書寫解題過程，判斷命題真假時要說明理由。
拓展作業：收集生活中或數學學習中至少兩個互逆命題，并分析它們的真假性。
五、教學反思
在教學過程中，要注重引導學生積極思考、主動參與，通過實際例子幫助學生理解抽象的概念。對于學生在判斷命題真假和寫逆命題時容易出現的錯誤，要及時給予糾正和指導。在今后的教學中，可以進一步加強練習，提高學生的邏輯思維能力和解決問題的能力。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
學習目標
1.會用移項、合并同類項解一元一次方程.
2.理解每一步操作的原理和依據.
3.通過一元一次方程解法及步驟的探究，體會化歸思想.
問題：某校三年共購買計算機140臺，去年購買的數量是前年的2倍，今年購買的數量又是去年的2倍，前年這個學校購買了多少臺計算機？
設前年購買了x臺.可以表示出：去年購買計算機_______臺，今年購買計算機 臺.你能找出問題中的相等關系嗎？
2x
4x
前年購買量+去年購買量+今年購買量=140臺.
x+2x+4x=140.
思考：怎樣解這個方程呢？
課堂導入
x + 2x + 4x = 140
嘗試把一元一次方程轉化為 x =a的形式.
方程的左邊出現幾個含x的項，該怎么辦？
它們是同類項，可以合并成一項！
分析：解方程，就是把方程變形，化歸為 x = a (a為常數)的形式.
合并同類項
系數化為1
依據：乘法對加法的分配律
依據：等式性質2
新知探究
知識點1 通過合并同類項解一元一次方程
例1 解下列方程：
(1) 5x -2x =9;
(2) 7x -4x = 2.5×3-3.
解:(1) 合并同類項，得
3x=9.
將x的系數化為1，得
x=3.
(2) 合并同類項，得
3x=4.5.
將x的系數化為1，得
x=1.5.
新知探究
知識點1 通過合并同類項解一元一次方程
問題 把一些圖書分給某班學生閱讀，如果每人分3本，則剩余20本，如果每人分4本，則還缺25本.這個班有多少學生？
【解析】設這個班有x名學生. 若每人分3本，共分書
3x本，加上剩余20本，這批書共有 本；
（3x+20）
（4x-25）
3x+20=4x-25
新知探究
知識點2 通過移項解一元一次方程
每人分4本，共分出4x本，減去缺的25本這批書共
有 本；
根據題意列方程得 .
想一想：
怎樣使得這個方程轉化為ax = b的形式？
3x+20=4x-25
等號兩邊減去4x
3x-4x+20=-25
等號兩邊減去20
3x-4x=-25-20
合并同類項，化系數為1
x=45
新知探究
知識點2 通過移項解一元一次方程
移項的概念：
在解方程的過程中，等號的兩邊加上或減去方程中某一項的變形過程，相當于將這一項改變符號后，從等號的一邊移到另一邊.這種變形過程叫作移項.
新知探究
知識點2 通過移項解一元一次方程
(1)移項的依據是等式的基本性質1.
(2)移項要變號，沒有移動的項不改變符號.
(3)通常把含有未知數的項移到方程的左邊，把常數項(不含未知數的項)移到方程的右邊.
例2 解下列方程：
（1）5x =4x-6； （2）3x -2 = 2x+5.
解：（1） 移項，得
5x-4x=-6.
合并同類項，得
x=-6.
（2） 移項，得
3x-2x=5+2.
合并同類項，得
x=7.
新知探究
知識點2 通過移項解一元一次方程
解：（1） 移項，得5x-2x=-10+2.
合并同類項，得3x=-8.
將x的系數化為1，得
（2） 移項，得
合并同類項，得
將x的系數化為1，得x=-3.
例3 解下列方程：
（1）5x-2 =2x-10； （2）
新知探究
知識點2 通過移項解一元一次方程
利用移項和合并同類項解一元一次方程的步驟是：
移項
合并同類項
未知數的系數化為1
新知探究
知識點2 通過合并同類項解一元一次方程
1. 下列方程合并同類項正確的是 ( )
A. 由 3x－x＝－1＋3，得 2x ＝4
B. 由 2x＋x＝－7－4，得 3x ＝－3
C. 由 15－2＝－2x＋ x，得 3＝x
D. 由 6x－2－4x＋2＝0，得 2x＝0
D
隨堂練習
2.解下列方程時，既要移含未知數的項，又要移常數項的是( )
A.3x=4-2x B.2-5x=6x-3
C.8x-1+3x=7 D.2x+4=-5
B
隨堂練習
3.解方程4x-2=3-x時，正確的解答順序是( )
①合并同類項，得5x=5；
②移項，得4x+x=3+2；
③兩邊都除以5，得x=1.
A.①②③ B.③②① C.②①③ D.③①②
C
隨堂練習
4.若 x-5與2x-1的值相等，則 x 的值是 .
解析：根據題意，得 x-5=2x-1.
移項，得 x-2x= -1+5.
合并同類項，得 -x=4.
系數化為1，得 x= -4.
-4
隨堂練習
(1)5＋x＝10移項得x＝ 10＋5 ；
(2)6x＝2x＋8移項得 6x＋2x ＝8；
(3)5－2x＝4－3x移項得3x－2x＝4－5；
(4)－2x＋7＝1－8x移項得－2x＋8x＝1－7.
×
×
√
√
10－5
6x－2x
5.下面的移項對不對？如果不對，應怎樣改正？
隨堂練習
解：合并同類項，得
系數化為1，得
解：合并同類項，得
系數化為1，得
6.解方程：
(1)-3x+0.5x=10；
(2)3y-4y=-25-20.
隨堂練習
知識點1 合并同類項法解方程
1. 補全下列解方程的過程：
(1)6 x － x ＝4.
解：合并同類項，得 ＝4.
系數化為1，得 x ＝ .
5 x 　
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)－4 x ＋6 x －0.5 x ＝－0.3.
解：合并同類項，得 ＝－0.3.
系數化為1，得 x ＝ .
1.5 x 　
－ 　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2. 下列各方程合并同類項不正確的是(　C　)
A. 由4 x －2 x ＝4，得2 x ＝4
B. 由2 x －3 x ＝3，得－ x ＝3
C. 由5 x －2 x ＋3 x ＝12，得 x ＝12
D. 由－7 x ＋2 x ＝5，得－5 x ＝5
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3. [新視角·新定義題] 對于任意四個有理數 a ， b ， c ， d ，
定義一種新運算： ＝ ad － bc .若 ＝6，則
x 的值為(　D　)
A. 2 B. 3
C. 6 D. －6
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4. 若關于 x 的方程3 x ＋6 x ＝－3與2 mx ＋3 m ＝－1的解相
同，則 m 的值為(　B　)
【點撥】
由3 x ＋6 x ＝－3，得 x ＝－ .依題意可知， x ＝－
也是方程2 mx ＋3 m ＝－1的解，所以－ m ＋3 m ＝－1，
解得 m ＝－ .故選B.
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
知識點2 移項法解方程
5. 下列方程中，解方程時，既需要移含未知數的項，又需要
移常數項的是(　D　)
A. x －6 x ＝－18－12 B. x ＝－15－6 x
C. x －6＝－18 D. 2 x ＋7＝ x －18
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
6. 下列方程移項正確的是(　D　)
A. 由4 x －2＝－5，得4 x ＝5－2
B. 由4 x －2＝－5，得4 x ＝－5－2
C. 由3 x ＋2＝4 x ，得3 x －4 x ＝2
D. 由3 x ＋2＝4 x ，得4 x －3 x ＝2
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7. [新考法·過程辨析法]解方程： x ＋5＝－ x －1.
佳佳的解答過程如下：
解：移項，得 x ＋ x ＝5－1.①
合并同類項，得3 x ＝4.②
系數化為1，得 x ＝ .③
請問佳佳的解答過程有誤嗎？如果有誤，從第幾步開始出
錯的？請將正確的解答過程寫出來.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
【解】有誤，從第①步開始出錯的，正確的解答過程
如下：
移項，得 x ＋ x ＝－5－1.
合并同類項，得3 x ＝－6.
系數化為1，得 x ＝－2.
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易錯點 系數化為1時，易出現混淆被除數與除數而致錯
8. [2024·山東實驗中學模擬]方程－ x －3 x ＝ －1的解為
(　B　)
A. x ＝－3
C. x ＝3
【點撥】
－ x －3 x ＝ －1，合并同類項，得－ x ＝ ，兩
邊同時除以－ ，得 x ＝－ .故選B.
B
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利用解方程的方法解錯解中字母的值
9. 王麗在解關于 x 的方程3 a －2 x ＝15時，誤將減2 x 看成加
2 x ，得到方程的解為 x ＝－3.
(1)求 a 的值；
【解】把 x ＝－3代入方程3 a ＋2 x ＝15，得3 a －6＝
15，解得 a ＝7.
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(2)求此方程正確的解；
【解】把 a ＝7代入方程3 a －2 x ＝15，得21－2 x ＝
15，解得 x ＝3.
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(3)當 y ＝ a 時，整式 my3＋ ny ＋1的值為5，求當 y ＝－ a
時，整式 my3＋ ny ＋1的值.
【解】把 y ＝ a ＝7代入 my3＋ ny ＋1＝5，得73 m ＋7
n ＋1＝5，即73 m ＋7 n ＝4.
所以當 y ＝－ a ＝－7時， my3＋ ny ＋1＝(－7)3 m ＋(－
7)× n ＋1＝－(73 m ＋7 n )＋1＝－4＋1＝－3.
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課堂小結
利用移項與合并同類項解一元一次方程
利用合并同類項解方程
利用移項解方程
移項
合并同類項
未知數系數化1
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