資源簡介

(共34張PPT)
5.3.2用去括號法、去分母法解一元一次方程
第五章 一元一次方程
【2024新教材】2025-2026學年冀教版數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
第一部分：用去括號法解一元一次方程
一、適用場景
當一元一次方程中含有括號時，需要先通過去括號將方程化簡，再進行移項、合并同類項等操作。例如方程\(2(x - 3) + 5 = 3x - 1\)，括號的存在會阻礙直接移項，因此需先去括號。
二、去括號的依據
去括號的依據是乘法分配律：\(a(b + c) = ab + ac\)。在去括號時，要將括號外的系數與括號內的每一項分別相乘，確保不遺漏任何一項。
三、去括號的步驟及注意事項
運用乘法分配律去括號：將括號外的數或字母與括號內的每一項相乘。
實例：對于\(3(2x - 5)\)，去括號后為\(3 2x + 3 (-5) = 6x - 15\)。
處理括號前的符號：
若括號前是 “+” 號，去括號后括號內各項符號不變。例如\(+(x + 2y) = x + 2y\)。
若括號前是 “-” 號，去括號后括號內各項符號都要改變。例如\(-(3a - b) = -3a + b\)。
合并同類項（若有）：去括號后，若方程同側有同類項，可先合并，使方程更簡潔。
四、例題解析
例題 1：解方程\(4(x - 1) + 2 = 3(x + 2)\)。
解：步驟 1：去括號，根據乘法分配律得\(4x - 4 + 2 = 3x + 6\)。
步驟 2：合并左側常數項，得\(4x - 2 = 3x + 6\)。
步驟 3：移項，將\(3x\)移到左側（變號為\(-3x\)），將\(-2\)移到右側（變號為\(+2\)），得\(4x - 3x = 6 + 2\)。
步驟 4：合并同類項，得\(x = 8\)。
例題 2：解方程\(5 - 2(3x - 1) = 4(1 - x)\)。
解：步驟 1：去括號，注意括號前是 “-2” 和 “4”，得\(5 - 6x + 2 = 4 - 4x\)。
步驟 2：合并左側常數項，得\(7 - 6x = 4 - 4x\)。
步驟 3：移項，將\(-4x\)移到左側（變號為\(+4x\)），將 7 移到右側（變號為\(-7\)），得\(-6x + 4x = 4 - 7\)。
步驟 4：合并同類項，得\(-2x = -3\)。
步驟 5：系數化為 1，兩邊同時除以\(-2\)，得\(x = \frac{3}{2}\)。
第二部分：用去分母法解一元一次方程
一、適用場景
當一元一次方程中含有分母時（如\(\frac{x - 1}{2} = \frac{2x + 3}{3}\)），為了簡化計算，需要先去掉分母，將方程轉化為不含分母的形式。
二、去分母的依據
去分母的依據是等式的性質 2：等式兩邊同時乘同一個不為 0 的數，所得結果仍是等式。這里的 “同一個數” 通常是方程中所有分母的最小公倍數。
三、去分母的步驟及注意事項
確定最小公倍數：找出方程中所有分母的最小公倍數，作為去分母時的乘數。
實例：方程\(\frac{x}{2} + \frac{x - 1}{3} = 1\)中，分母是 2 和 3，最小公倍數是 6。
方程兩邊同乘最小公倍數：確保方程中的每一項（包括不含分母的項）都乘這個最小公倍數，避免漏乘。
實例：上述方程兩邊同乘 6，得\(6 \frac{x}{2} + 6 \frac{x - 1}{3} = 6 1\)，即\(3x + 2(x - 1) = 6\)。
去括號（若有）：去分母后若出現括號，按去括號法則去掉括號。
后續步驟：移項、合并同類項、系數化為 1，與常規解方程步驟相同。
四、注意事項
去分母時，不含分母的項也要乘最小公倍數，否則會破壞等式平衡。
若分子是多項式，去分母后需給分子加上括號，避免符號錯誤。例如\(\frac{x - 1}{2}\)乘 2 后應變為\((x - 1)\)，而不是\(x - 1\)（當分母前有負號時尤為重要）。
五、例題解析
例題 3：解方程\(\frac{2x - 1}{3} - \frac{x + 1}{2} = 1\)。
解：步驟 1：確定分母 3 和 2 的最小公倍數是 6，方程兩邊同乘 6，得\(6 \frac{2x - 1}{3} - 6 \frac{x + 1}{2} = 6 1\)。
步驟 2：化簡得\(2(2x - 1) - 3(x + 1) = 6\)。
步驟 3：去括號，得\(4x - 2 - 3x - 3 = 6\)。
步驟 4：合并同類項，得\(x - 5 = 6\)。
步驟 5：移項，得\(x = 6 + 5 = 11\)。
例題 4：解方程\(\frac{3x + 1}{4} - 1 = \frac{x - 1}{2}\)。
解：步驟 1：分母 4 和 2 的最小公倍數是 4，兩邊同乘 4，得\(3x + 1 - 4 = 2(x - 1)\)（注意 “-1” 乘 4 得 - 4）。
步驟 2：去括號，得\(3x + 1 - 4 = 2x - 2\)。
步驟 3：合并左側常數項，得\(3x - 3 = 2x - 2\)。
步驟 4：移項，得\(3x - 2x = -2 + 3\)。
步驟 5：合并同類項，得\(x = 1\)。
第三部分：綜合練習
用去括號法解下列方程：
（1）\(3(2x + 5) = 2(4x + 3) - 3\)
（2）\(7 - (x - 2) = 3(2x + 1)\)
用去分母法解下列方程：
（1）\(\frac{x + 1}{5} = \frac{3x - 1}{3} - 2\)
（2）\(\frac{2x - 1}{6} - \frac{3x + 1}{4} = \frac{x}{2}\)
第四部分：易錯點總結
去括號時的錯誤：
漏乘括號內的項，如\(2(x + 3)\)去括號后誤寫為\(2x + 3\)（正確應為\(2x + 6\)）。
括號前是負號時，部分項未變號，如\(-(2x - 1)\)去括號后誤寫為\(-2x - 1\)（正確應為\(-2x + 1\)）。
去分母時的錯誤：
漏乘不含分母的項，如\(\frac{x}{2} + 1 = 3\)去分母時誤寫為\(x + 1 = 6\)（正確應為\(x + 2 = 6\)）。
分子是多項式時未加括號，如\(\frac{x - 1}{2} 2\)誤寫為\(x - 1\)（當分母前有負號時，如\(-\frac{x - 1}{2} 2\)，易誤寫為\(-x - 1\)，正確應為\(-(x - 1) = -x + 1\)）。
互逆命題、互逆定理教案
一、教學目標
知識與技能目標
理解互逆命題、互逆定理的概念，能準確說出一個命題的逆命題。
會判斷一個命題及它的逆命題的真假性，掌握證明命題真假的方法。
過程與方法目標
通過對命題、逆命題的分析，培養學生的邏輯思維能力和語言表達能力。
經歷探究互逆定理的過程，體會從特殊到一般的數學思想。
情感態度與價值觀目標
培養學生積極參與數學活動，敢于質疑、勇于探索的精神。
讓學生感受數學知識的嚴謹性和邏輯性，體會數學的應用價值。
二、教學重難點
重點
互逆命題、互逆定理的概念及命題真假的判斷。
能正確寫出一個命題的逆命題。
難點
判斷一個命題的逆命題的真假性，理解原命題為真，其逆命題不一定為真。
用邏輯推理的方法證明命題的真假。
三、教學方法
講授法、討論法、練習法相結合
四、教學過程
（一）導入新課（5 分鐘）
展示一些簡單的命題，如 “如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引導學生分析這些命題的題設和結論。
提問：能否交換這些命題的題設和結論，得到新的命題？新命題是否成立？從而引出本節課的課題 —— 互逆命題、互逆定理。
（二）講授新課（25 分鐘）
互逆命題
給出互逆命題的定義：在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題。
舉例說明：如原命題 “如果兩個角是直角，那么這兩個角相等”，它的逆命題是 “如果兩個角相等，那么這兩個角是直角” 。讓學生進一步理解互逆命題的概念。
組織學生進行小組討論，每個小組寫出 3 - 5 個命題，并交換寫出它們的逆命題。
命題真假的判斷
引導學生思考如何判斷一個命題的真假。對于真命題，需要通過推理證明；對于假命題，只需舉一個反例即可。
以剛才的命題為例，分析原命題和逆命題的真假性。如 “如果兩個角是直角，那么這兩個角相等” 是真命題，而它的逆命題 “如果兩個角相等，那么這兩個角是直角” 是假命題，因為兩個相等的角不一定是直角，還可能是銳角或鈍角等。
讓學生自己判斷之前小組討論中寫出的命題及其逆命題的真假性，并在小組內交流。
互逆定理
給出互逆定理的定義：如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫做互逆定理，其中一個定理叫做另一個定理的逆定理。
舉例說明：如 “兩直線平行，同位角相等” 和 “同位角相等，兩直線平行” 是互逆定理。
強調：并不是所有的定理都有逆定理，只有當定理的逆命題為真命題時，才有逆定理。
（三）例題講解（15 分鐘）
例 1：寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的對應角相等。
（3）等腰三角形的兩個底角相等。
分析：
（1）逆命題為 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，這是假命題，因為當 b = 0 時，ab = 0，a 不一定為 0。
（2）逆命題為 “對應角相等的三角形是全等三角形”，這是假命題，因為對應角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命題為 “有兩個角相等的三角形是等腰三角形”，這是真命題，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：證明命題 “如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等” 是真命題。
分析：引導學生畫出圖形，寫出已知、求證，然后進行證明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求證：AB = AC。
證明：作∠BAC 的平分線 AD，交 BC 于點 D。
因為 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共邊），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）課堂練習（10 分鐘）
寫出下列命題的逆命題，并判斷真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的兩個銳角互余。
（3）對頂角相等。
判斷下列說法是否正確：
（1）每個命題都有逆命題。
（2）每個定理都有逆定理。
（3）真命題的逆命題一定是真命題。
（4）假命題的逆命題一定是假命題。
（五）課堂小結（5 分鐘）
與學生一起回顧互逆命題、互逆定理的概念，以及如何判斷命題的真假。
強調：原命題為真，逆命題不一定為真；原命題為假，逆命題也不一定為假。
（六）布置作業（5 分鐘）
課本課后習題，要求學生認真書寫解題過程，判斷命題真假時要說明理由。
拓展作業：收集生活中或數學學習中至少兩個互逆命題，并分析它們的真假性。
五、教學反思
在教學過程中，要注重引導學生積極思考、主動參與，通過實際例子幫助學生理解抽象的概念。對于學生在判斷命題真假和寫逆命題時容易出現的錯誤，要及時給予糾正和指導。在今后的教學中，可以進一步加強練習，提高學生的邏輯思維能力和解決問題的能力。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
學習目標
1.能利用去括號、去分母解一元一次方程，并理解每一步變形的依據,提高運算能力,體會化歸思想.
2.歸納解一元一次方程的一般步驟,并能靈活運用到解方程中.
問題1 某工廠加強節能措施，去年下半年與上半年相比，月平均用電量減少2 000度，全年用電15萬度，這個工廠去年上半年每月平均用電多少度？
【分析】若設上半年每月平均用電x度，則下半年每月平均用電 度，上半年共用電 度，下半年共用電 度
因為全年共用了15萬度電，所以,可列方程 .
（x-2 000）
6（x-2 000）
6x
6x+ 6（x-2 000）=150 000
你會解這個方程嗎？
方程的左邊有帶括號的式子，可以嘗試去括號！趕快動手試一試吧！
課堂導入
去括號
6x + 6 ( x－2 000 ) = 150 000
6x+6x－12 000=150 000
6x+6x=150 000+12 000
12x=162 000
x=13 500
移項
合并同類項
系數化為1
方程中有帶括號的式子時，去括號是常用的化簡步驟.
新知探究
知識點1 通過去括號解一元一次方程
例1 解方程： 6(2x -5) +20= 4（1-2x）.
解：
去括號，得 12x-30+20=4-8x.
移項，得
12x+8x=4+30-20.
合并同類項，得
20x=14.
兩邊同時除以20，得
x= .
新知探究
知識點1 通過去括號解一元一次方程
去括號必須注意的事項：
1.如果括號外的因數是負數時，去括號后，原括號內各項的符號要改變；
2.乘數與括號內多項式相乘時，乘數應乘括號內的每一項，不要漏乘．
新知探究
知識點1 通過去括號解一元一次方程
如何求畢達哥拉斯的學生有多少名？
畢達哥拉斯是古希臘著名的數學家，有一次有位數學家問他：“尊敬的畢達哥拉斯先生，請告訴我，有多少名學生在你的學習里聽你講課？”畢達哥拉斯回答說：“我的學生，現在有 在學習數學， 在學習音樂， 沉默無言，此外，還有三名婦女.
課堂導入
你有不同的解法嗎？
解：設畢達哥拉斯的學生有x名.根據題意，可列方程
這個方程怎么解？
移項，得
合并同類項，得
兩邊同時除以 ，得
新知探究
知識點2 通過去分母解一元一次方程
提 示：像上面這樣的方程中有些系數是分數，如果能化去分母，把系數化為整數，則可以使解方程中的計算更方便些.
這個方程中各分母的最小公倍數是28，方程兩邊乘28.
新知探究
知識點2 通過去分母解一元一次方程
解：去分母得
移項，得
合并同類項，得
兩邊同時除以-3，得
把分數化成整數計算更簡單！
兩種解法有什么不同？你認為哪種解法比較好？
新知探究
知識點2 通過去分母解一元一次方程
利用去分母解一元一次方程：
1.解系數是分數的方程時，將方程的左、右兩邊同時乘各分母的最小公倍數可化去分母，將系數化為整數.
2.去分母的依據是等式的基本性質2.
新知探究
知識點2 通過去分母解一元一次方程
例2 解方程：
解：去分母，得
去括號，得
移項，合并同類項，得
兩邊同時除以4，得
小心漏乘，記得添括號！
新知探究
知識點2 通過去分母解一元一次方程
解一元一次方程的一般步驟是：
未知數的系數化為1
去分母、去括號、
移項、合并同類項
一元一次方程
ax=b
(a，b是常數，a≠0)
兩邊都除以a，得
新知探究
知識點2 通過去分母解一元一次方程
1.解方程2-3(2x-3)=0時，下列去括號正確的是( )
A.2-6x+9=0 B.2-6x-3=0
C.2-6x-9=0 D.2-6x+3=0
A
隨堂練習
2.解方程 時，為了去分母，應將方程兩邊同乘以( )
A.30 B.15
C.10 D.6
A
隨堂練習
3.若x=2是方程(2k-7)x=k+7的解，則k的值是( )
A.1 B.-1 C.7 D.-7
C
4.若關于x的一元一次方程 的解是x=-1，則k的值是( )
A. B.1 C. D.0
B
隨堂練習
5.若式子 與 的值相等，x= .
6.如果規定符號“*”的運算規則為a*b= (其中a，b為有理數)，那么方程3*x= 的解是x=________.
5
隨堂練習
7.下面方程的求解是否正確？如不正確，請改正.
解方程 2(2x+3)=2+x.
解 去括號，得 4x+3=2+x.
移項，得 4x +x = 2-3.
化簡，得 5x = -1.
方程兩邊都除以5 ，得
x = -
應改為4 x +6 =2+x
應改為4 x– x = 2-6
應改為3x =-4
應改為 x =
方程兩邊都除以3，得
隨堂練習
8.下列方程的解法對不對？如果不對，你能找出錯在哪里嗎？
解方程：
解：去分母，得 4x－1－3x + 6 = 1.
移項，合并同類項，得 x=4.
方程右邊的“1”去分母時漏乘最小公倍數6
去括號符號錯誤
約去分母3后，(2x－1)×2在去括號時出錯
隨堂練習
知識點1 去括號法
1. 下列四種變形中，屬于去括號的是(　C　)
A. 5 x ＋4＝0，則5 x ＝－4
C. 3 x －(2－4 x )＝5，則3 x －2＋4 x ＝5
D. 5 x ＝2＋1，則5 x ＝3
C
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2. [2024·貴陽十七中月考]解方程－2(2 x ＋1)＝ x 時，去括號
正確的是(　D　)
A. －4 x ＋1＝－ x B. －4 x ＋2＝－ x
C. －4 x －1＝ x D. －4 x －2＝ x
D
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知識點2 用去括號法解一元一次方程
3. 方程2( x －3)＝6的解是 .
【點撥】
2( x －3)＝6，去括號，得2 x －6＝6，解得 x ＝6.
x ＝6　
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4. [2024·西工大附中月考]若2( a ＋3)的值與4互為相反數，則
a 的值為 .
【點撥】
由題意得2( a ＋3)＋4＝0，2 a ＋6＋4＝0，2 a ＝－
10， a ＝－5.
－5　
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5. 解方程：
10 x －4(3－ x )－5(2＋7 x )＝15 x －9( x －2).
【解】去括號，得10 x －12＋4 x －10－35 x ＝15 x －9 x ＋
18.合并同類項，得－21 x －22＝6 x ＋18.
移項，得－21 x －6 x ＝22＋18.
合并同類項，得－27 x ＝40.
系數化為1，得 x ＝－ .
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知識點3 去分母法
6. 解方程 －1＝ ，為了去分母應給方程兩邊同時乘
的最合適的數是(　C　)
A. 6 B. 9 C. 12 D. 24
C
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7. [2024·重慶一中月考]解一元一次方程 ( x ＋1)＝1－ x
時，去分母正確的是(　D　)
A. 3( x ＋1)＝1－2 x B. 2( x ＋1)＝1－3 x
C. 2( x ＋1)＝6－3 x D. 3( x ＋1)＝6－2 x
D
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知識點4 用去分母法解一元一次方程
8. [2024·合肥四十五中月考]根據下列解方程 ＝
的過程，請在前面的括號內填寫變形步驟，在后面的括號
內填寫變形依據.
1
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解：原方程可變形為 ＝ .(　分數的基本性質　)
去分母，得3(3 x ＋5)＝2(2 x －1).(　等式的性質2　)
去括號，得9 x ＋15＝4 x －2.(　去括號法則(或分配律)　)
(　移項　)，得9 x －4 x ＝－15－2.(　等式的性質1　)
(　合并同類項　)，得5 x ＝－17.
(　系數化為1　)，得 x ＝－ .(　等式的性質2　)
分數的基本性質
等式的性質2
去括號法則(或分配律)
移項
等式的性質1
合并同類項
系數化為1
等式的性質2
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9. [新考法·2024·衢州·過程辨析法]小紅在解方程 ＝ ＋
1時，第一步出現了錯誤：
解：2×7 x ＝(4 x －1)＋1，
…
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(1)請在方框內用橫線標出小紅的錯誤處；
【解】如圖.
解：2×7 x ＝(4 x －1)＋ 　1　，
…
1
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3
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6
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(2)寫出正確的解答過程.
【解】去分母，得2×7 x ＝(4 x －1)＋6，去括號，
得14 x ＝4 x －1＋6，移項，得14 x －4 x ＝－1＋6，合
并同類項，得10 x ＝5，系數化為1，得 x ＝ .
1
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課堂小結
解一元一次方程
利用去括號與去分母解一元一次方程
解一元一次方程的步驟
利用去括號解方程
利用去分母解方程
去分母
去括號
移項
合并同類項
未知數系數化為1
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