資源簡介

(共29張PPT)
5.4.2用一元一次方程解行程問題、工程問題
第五章 一元一次方程
【2024新教材】2025-2026學年冀教版數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
第一頁：標題頁
5.4.2 用一元一次方程解行程問題、工程問題
—— 實際問題中的等量關系探索
（右下角添加授課教師姓名及日期）
第二頁：引入
在生活中，行程問題和工程問題十分常見。比如 “甲、乙兩人從兩地同時出發相向而行，多久后相遇”“一項工程，甲單獨做需要多少天完成，乙單獨做需要多少天完成，兩人合作需要幾天完成” 等。這些問題看似復雜，但都可以通過分析其中的數量關系，用一元一次方程來解決。本節課我們就來學習如何運用一元一次方程解決行程問題和工程問題，掌握其中的解題思路和方法。
第三頁：行程問題
一、基本數量關系
行程問題的基本數量關系為：路程 = 速度 × 時間，由此可變形得到：速度 = 路程 ÷ 時間，時間 = 路程 ÷ 速度。
二、常見類型及等量關系
相遇問題：
特點：兩人或兩物體從兩地同時出發，相向而行，最終相遇。
等量關系：甲走的路程 + 乙走的路程 = 兩地之間的總路程。
追及問題：
特點：兩人或兩物體同向運動，快者從后面追上慢者。
等量關系：快者走的路程 - 慢者走的路程 = 出發時兩者之間的距離（或慢者先走的路程）。
同向而行（不同時出發）：
等量關系：慢者先走的路程 + 慢者后走的路程 = 快者走的路程。
環形跑道問題：
相遇（反向而行）：兩人走的路程之和 = 環形跑道的周長。
追及（同向而行）：快者走的路程 - 慢者走的路程 = 環形跑道的周長。
三、例題解析（行程問題）
例題 1（相遇問題）：A、B 兩地相距 450 千米，甲、乙兩車分別從 A、B 兩地同時出發，相向而行。甲車的速度為 60 千米 / 小時，乙車的速度為 90 千米 / 小時，經過幾小時兩車相遇？
解：步驟 1：審題，已知兩地距離、兩車速度，相向而行，求相遇時間。
步驟 2：設未知數，設經過\(x\)小時兩車相遇。
步驟 3：找等量關系，甲車行駛的路程 + 乙車行駛的路程 = A、B 兩地的距離。
步驟 4：列方程，甲車行駛的路程為\(60x\)千米，乙車行駛的路程為\(90x\)千米，可列方程\(60x + 90x = 450\)。
步驟 5：解方程，合并同類項得\(150x = 450\)，系數化為 1 得\(x = 3\)。
步驟 6：檢驗并作答，檢驗：\(60 3 + 90 3 = 180 + 270 = 450\)（千米），符合題意。
答：經過 3 小時兩車相遇。甲先做 3 天的工作量為\(\frac{1}{12} 3 = \frac{1}{4}\)。
甲、乙合作\(x\)天的工作量為\((\frac{1}{12} + \frac{1}{18})x\)。
等量關系：甲先做的工作量 + 甲、乙合作的工作量 = 總工作量（單位 “1”）。
列方程：\(\frac{1}{4} + (\frac{1}{12} + \frac{1}{18})x = 1\)。
解方程：先計算括號內的工作效率和，\(\frac{1}{12} + \frac{1}{18} = \frac{3 + 2}{36} = \frac{5}{36}\)。
方程變為\(\frac{1}{4} + \frac{5}{36}x = 1\)，移項得\(\frac{5}{36}x = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\)。
系數化為 1 得\(x = \frac{3}{4} \frac{36}{5} = \frac{27}{5} = 5.4\)。
檢驗：\(\frac{1}{4} + \frac{5}{36} \frac{27}{5} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1\)，符合題意。
答：還需要\(\frac{27}{5}\)天才能完成這項工作。
第五頁：易錯點分析
行程問題：
忽略單位統一：如速度單位是千米 / 小時，時間單位是分鐘，未進行單位換算就直接計算。
混淆相遇和追及的等量關系：相遇問題中誤將 “路程差” 作為等量關系，追及問題中誤將 “路程和” 作為等量關系。
環形跑道問題中，未明確是同向還是反向而行，導致等量關系錯誤。
工程問題：
總工作量未看作單位 “1”：在多人合作問題中，不知道將總工作量設為 1，導致無法表示工作效率。
工作效率計算錯誤：某人單獨完成工作需要\(n\)天，其工作效率誤算為\(n\)，而實際應為\(\frac{1}{n}\)。
忽略合作過程中的工作量疊加：如甲先做一部分，乙再加入合作，未將甲先做的工作量計入總工作量。
例題 7：指出下列解題過程中的錯誤，并改正。
問題：甲、乙兩人分別從相距 100 千米的 A、B 兩地同時出發，同向而行，甲的速度是 8 千米 / 小時，乙的速度是 6 千米 / 小時，甲在乙后面，經過多少小時甲能追上乙？
錯誤解法：
設經過\(x\)小時甲能追上乙。
列方程：\(8x + 6x = 100\)。
解方程：\(14x = 100\)，\(x = \frac{50}{7}\)。
答：經過\(\frac{50}{7}\)小時甲能追上乙。
錯誤分析：這是追及問題，等量關系應為甲走的路程 - 乙走的路程 = 兩地距離，而錯誤地用了路程和。
正確解法：
設經過\(x\)小時甲能追上乙。
列方程：\(8x - 6x = 100\)。
解方程：\(2x = 100\)，\(x = 50\)。
答：經過 50 小時甲能追上乙。
第六頁：課堂練習
填空題：
甲、乙兩人相距 30 千米，相向而行，甲的速度是 4 千米 / 小時，乙的速度是 6 千米 / 小時，______小時后兩人相遇。
一項工程，甲單獨做需要 8 天完成，乙單獨做需要 10 天完成，甲、乙合作每天完成這項工程的______，合作______天可以完成這項工程。
一輛汽車以 60 千米 / 小時的速度行駛，行駛\(x\)小時的路程是______千米；若行駛\(y\)千米，需要______小時。
選擇題：
甲、乙兩人在環形跑道上跑步，跑道一圈長 400 米，甲每秒跑 6 米，乙每秒跑 4 米，若兩人同時同地同向出發，經過（ ）秒甲第一次追上乙。
A. 100 B. 200 C. 300 D. 400
一項工作，甲單獨做需要 10 天，乙單獨做需要 15 天，甲先做 2 天，然后兩人合作，還需要（ ）天完成。
A. 4.8 B. 5 C. 5.2 D. 6
解答題：
（1）A、B 兩地相距 240 千米，一輛快車和一輛慢車同時從 A 地出發開往 B 地，快車的速度是 80 千米 / 小時，慢車的速度是 60 千米 / 小時，快車比慢車早到幾小時？
（2）一項工程，甲隊單獨做需要 10 天完成，乙隊單獨做需要 15 天完成，丙隊單獨做需要 20 天完成。三隊合作，幾天能完成這項工程的\(\frac{3}{4}\)？
（3）甲、乙兩人分別從 A、B 兩地同時出發，相向而行，甲的速度是 5 千米 / 小時，乙的速度是 4 千米 / 小時，兩人相遇時，甲比乙多走了 3 千米，求 A、B 兩地的距離。
第七頁：課堂小結
行程問題：
基本數量關系：路程 = 速度 × 時間。
關鍵是根據不同類型（相遇、追及、環形跑道等）找到對應的等量關系。
工程問題：
基本數量關系：工作量 = 工作效率 × 工作時間，總工作量通常看作單位 “1”。
合作問題的等量關系：各部分工作量之和 = 總工作量。
解決這兩類問題的一般步驟：審題→設未知數→找等量關系→列方程→解方程→檢驗作答。
注意單位統一和實際意義的檢驗，避免常見錯誤。
第八頁：作業布置
教材第 XX 頁習題 5.4 第 5、6、7、8 題。
填空題：
甲每小時走 5 千米，乙每小時走 3 千米，兩人同時同地出發，同向而行，\(t\)小時后兩人相距______千米。
一項工作，甲的工作效率是\(\frac{1}{a}\)，乙的工作效率是\(\frac{1}{b}\)，兩人合作的工作效率是______。
解答題：
（1）甲、乙兩站相距 300 千米，一列慢車從甲站開出，速度是 60 千米 / 小時，一列快車從乙站開出，速度是 80 千米 / 小時。兩車同時開出，相向而行，經過多少小時相遇？
（2）一項工程，甲單獨做需要 20 天完成，乙單獨做需要 30 天完成，甲、乙合作了幾天后，乙因事請假，甲繼續做，從開工到完成任務共用了 16 天，乙請假了幾天？
（3）一條環形跑道長 200 米，甲、乙兩人同時從同一地點出發，同向而行，甲每分鐘跑 110 米，乙每分鐘跑 90 米，經過多少分鐘甲第三次追上乙？
互逆命題、互逆定理教案
一、教學目標
知識與技能目標
理解互逆命題、互逆定理的概念，能準確說出一個命題的逆命題。
會判斷一個命題及它的逆命題的真假性，掌握證明命題真假的方法。
過程與方法目標
通過對命題、逆命題的分析，培養學生的邏輯思維能力和語言表達能力。
經歷探究互逆定理的過程，體會從特殊到一般的數學思想。
情感態度與價值觀目標
培養學生積極參與數學活動，敢于質疑、勇于探索的精神。
讓學生感受數學知識的嚴謹性和邏輯性，體會數學的應用價值。
二、教學重難點
重點
互逆命題、互逆定理的概念及命題真假的判斷。
能正確寫出一個命題的逆命題。
難點
判斷一個命題的逆命題的真假性，理解原命題為真，其逆命題不一定為真。
用邏輯推理的方法證明命題的真假。
三、教學方法
講授法、討論法、練習法相結合
四、教學過程
（一）導入新課（5 分鐘）
展示一些簡單的命題，如 “如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引導學生分析這些命題的題設和結論。
提問：能否交換這些命題的題設和結論，得到新的命題？新命題是否成立？從而引出本節課的課題 —— 互逆命題、互逆定理。
（二）講授新課（25 分鐘）
互逆命題
給出互逆命題的定義：在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題。
舉例說明：如原命題 “如果兩個角是直角，那么這兩個角相等”，它的逆命題是 “如果兩個角相等，那么這兩個角是直角” 。讓學生進一步理解互逆命題的概念。
組織學生進行小組討論，每個小組寫出 3 - 5 個命題，并交換寫出它們的逆命題。
命題真假的判斷
引導學生思考如何判斷一個命題的真假。對于真命題，需要通過推理證明；對于假命題，只需舉一個反例即可。
以剛才的命題為例，分析原命題和逆命題的真假性。如 “如果兩個角是直角，那么這兩個角相等” 是真命題，而它的逆命題 “如果兩個角相等，那么這兩個角是直角” 是假命題，因為兩個相等的角不一定是直角，還可能是銳角或鈍角等。
讓學生自己判斷之前小組討論中寫出的命題及其逆命題的真假性，并在小組內交流。
互逆定理
給出互逆定理的定義：如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫做互逆定理，其中一個定理叫做另一個定理的逆定理。
舉例說明：如 “兩直線平行，同位角相等” 和 “同位角相等，兩直線平行” 是互逆定理。
強調：并不是所有的定理都有逆定理，只有當定理的逆命題為真命題時，才有逆定理。
（三）例題講解（15 分鐘）
例 1：寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的對應角相等。
（3）等腰三角形的兩個底角相等。
分析：
（1）逆命題為 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，這是假命題，因為當 b = 0 時，ab = 0，a 不一定為 0。
（2）逆命題為 “對應角相等的三角形是全等三角形”，這是假命題，因為對應角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命題為 “有兩個角相等的三角形是等腰三角形”，這是真命題，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：證明命題 “如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等” 是真命題。
分析：引導學生畫出圖形，寫出已知、求證，然后進行證明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求證：AB = AC。
證明：作∠BAC 的平分線 AD，交 BC 于點 D。
因為 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共邊），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）課堂練習（10 分鐘）
寫出下列命題的逆命題，并判斷真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的兩個銳角互余。
（3）對頂角相等。
判斷下列說法是否正確：
（1）每個命題都有逆命題。
（2）每個定理都有逆定理。
（3）真命題的逆命題一定是真命題。
（4）假命題的逆命題一定是假命題。
（五）課堂小結（5 分鐘）
與學生一起回顧互逆命題、互逆定理的概念，以及如何判斷命題的真假。
強調：原命題為真，逆命題不一定為真；原命題為假，逆命題也不一定為假。
（六）布置作業（5 分鐘）
課本課后習題，要求學生認真書寫解題過程，判斷命題真假時要說明理由。
拓展作業：收集生活中或數學學習中至少兩個互逆命題，并分析它們的真假性。
五、教學反思
在教學過程中，要注重引導學生積極思考、主動參與，通過實際例子幫助學生理解抽象的概念。對于學生在判斷命題真假和寫逆命題時容易出現的錯誤，要及時給予糾正和指導。在今后的教學中，可以進一步加強練習，提高學生的邏輯思維能力和解決問題的能力。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
學習目標
1.經歷用一元一次方程解決實際問題的過程，提高發現和提出問題、分析和解決問題的能力.
2.通過對行程和工程問題的解決過程，進一步體會“各分量之和=總量”這個基本的等量關系.
3.在解決行程和工程問題的過程中，能夠借助圖示或列表，用代數式表達問題中的各量.
試一試：
B地
A地
如圖所示，甲、乙兩車分別在A，B兩地.若兩車同時出發，相向而行，兩小時后相遇.相遇時甲車比乙車多行進24km；相遇后半小時，甲車到達B地，求甲、乙兩車的行進速度分別是多少.
小組討論解決此問題的方法.
可以用列方程的方法解答
甲
乙
課堂導入
相遇問題
甲、乙兩地間的路程為375km.一輛轎車和一輛公共汽車分別從甲、乙兩地同時出發沿公路相向而行.轎車的平均速度為90km/h，公共汽車的平均速度為60km/h.它們出發后多少小時在途中相遇？
問題1：找出本題中的等量關系.
轎車行駛的路程+公共汽車行駛的路程=甲乙兩地間的路程.
新知探究
知識點1 行程問題
問題2：設兩車出發后x h相遇，請解釋下圖的含義.
375 km
甲
乙
90x km
60x km
轎車行駛方向
公共汽車行駛方向
相遇地點
問題3：列出的方程是_________________________
90x+60x=375.
解得x=2.5.
即轎車與公共汽車出發后2.5h在途中相遇.
新知探究
知識點1 行程問題
相遇問題中常見的等量關系：
總路程＝速度和×時間
甲走的路程+乙走的路程=甲、乙之間的距離
【注意】相向而行的始發時間和地點
相遇問題
新知探究
知識點1 行程問題
例1 小明與小紅的家相距20km，小明從家里出發騎自行車去小紅家，兩人商定小紅到時候從家里出發騎自行車去接小明. 已知小明騎車的速度為13 km/h，小紅騎車的速度是12 km/h.
（1）如果兩人同時出發，那么他們經過多少小時相遇？
（2）如果小明先走30min，那么小紅騎車要走多少小時才能與小明相遇？
【分析】由于小明與小紅都從家里出發，相向而行，所以相遇時，
他們走的路程的和等于兩家之間的距離，即
小明走的路程+小紅走的路程=兩家之間的距離（20 km）.
新知探究
知識點1 行程問題
解：（1）設小明與小紅騎車走了x h后相遇，
則根據等量關系，得
13x + 12x = 20 .
解得 x = 0.8 .
答：經過0.8 h他們兩人相遇.
小明走的路程
小紅走的路程
相遇
新知探究
知識點1 行程問題
（2）如果小明先走30min，那么小紅騎車要走多少小時才能與小明相遇？
小明先走的路程
小紅出發后小明走的路程
小紅走的路程
解：（2）設小紅騎車走了t h后與小明相遇，
則根據等量關系，得
13(0.5 + t )+12t = 20 .
解得 t = 0.54 .
答：小紅騎車走0.54h后與小明相遇.
相遇
新知探究
知識點1 行程問題
例2 一項工作，小李單獨做需要6h完成，小王單獨做需要9h完成.如果小李先做2h后，再由兩人合做，那么還需幾小時才能完成 ？
【分析】如果設還需兩人合做x h才能完成，那么有下面分析圖.
工程問題
小李單獨做2h完成的工作量
小王、小李合做xh完成的工作量
總工作量
新知探究
知識點2 工程問題
解：設兩人合做x小時才能完成．依題意，得
解得
答：兩人合做 小時才能完成這項工作．
新知探究
知識點2 工程問題
2.相等關系：
（1）按工作時間：各時間段的工作量之和=完成的工作量.
（2）按工作者：若一項工作有甲、乙兩人參與，則甲的工作
量+乙的工作量=完成的工作量.
工程問題
1.三個基本量：
工程問題中的三個基本量：工作總量、工作效率、工作時間.
它們之間的關系是：工作總量=工作效率×工作時間.
若把工作量看作1，則工作效率=
新知探究
知識點2 工程問題
1.某公路的干線上有相距108 km 的 A，B兩個車站，某日14時整，甲、乙兩車分別從A，B兩站同時出發，相向而行.已知甲車的速度為45 km/h，乙車的速度為36 km/h，則兩車相遇的時間是（ ）
A.14時20分 B.15時20分
C.15時40分 D.14時40分
B
隨堂練習
2.甲、乙兩人騎摩托車同時從相距170千米的A，B兩地相向而行，2小時后相遇.如果甲比乙每小時多行5千米，則乙每小時行( 　　)
A.30千米 B.40千米 C.50千米 D.45千米
B
隨堂練習
3.甲、乙兩人在400米的環形跑道上練習長跑，他們同時同地反向而跑，甲的速度是6米/秒，乙的速度是4米/秒，則他們首次相遇時，兩人都跑了( 　　)
A.40秒 B.50秒 C.60秒 D.70秒
A
隨堂練習
4.一項工作，甲獨做需18天，乙獨做需24天，如果兩人合做8天后，余下的工作再由甲獨做x天完成，那么所列方程為____________.
5.整理一批圖書，由1個人做需20 h完成.現在先由若干人做2 h，然后增加2個人再做4 h，完成了這項工作，則開始時，參與整理圖書的有 人.
2
隨堂練習
知識點1 流(風)速問題
1. 一艘輪船從甲地到乙地順流行駛，用了4 h，從乙地返回
到甲地逆流行駛，用了6 h，已知輪船在靜水中的平均速
度是20 km/h，那么水流速度是 .
4 km/h　
1
2
3
4
5
知識點2 行速問題
2. [新考向·傳承數學文化]《九章算術》是中國古代的一部數
學專著，其中記載了一道有趣的題：“今有鳧起南海，七
日至北海；雁起北海，九日至南海，今鳧雁俱起，問何日
相逢？”大意是：今有野鴨從南海起飛，7天到北海；大
雁從北海起飛，9天到南海，現野鴨從南海、大雁從北海
同時起飛，問經過多少天相遇？設經過 x 天相遇，根據題
意可列方程為(　A　)
1
2
3
4
5
C. (9－7) x ＝1 D. (9＋7) x ＝1
【點撥】
根據題意得 x ＋ x ＝1，
所以 x ＝1.故選A.
A
【答案】
1
2
3
4
5
3. [2023·連云港]元朝朱世杰所著的《算學啟蒙》中，記載了
這樣一道題：良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十
里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何日追及之？其大意
是：快馬每天行240里，慢馬每天行150里，慢馬先行12
天，快馬幾天可追上慢馬？若設快馬 x 天可追上慢馬，由
題意得(　D　)
1
2
3
4
5
C. 240( x －12)＝150 x D. 240 x ＝150( x ＋12)
【點撥】
因為慢馬先行12天，快馬 x 天可追上慢馬，
所以快馬追上慢馬時，慢馬行了( x ＋12)天.
根據題意得240 x ＝150( x ＋12).
故選D.
【答案】
D
1
2
3
4
5
利用方程解追及問題
4. 如圖，跑道由兩條半圓跑道 AB ， CD 和兩條直跑道 AD ，
BC 組成，兩條半圓跑道的長都是122 m，兩條直跑道的長
都是85 m.小斌站在 C 處，小強站在 B 處，兩人同時出
發，按逆時針方向跑步，小斌每秒跑7 m，小強每秒跑12
m.當小強第一次追上小斌時，他們的位置在(　C　)
A. 半圓跑道 AB 上 B. 直跑道 BC 上
C. 半圓跑道 CD 上 D. 直跑道 AD 上
1
2
3
4
5
【點撥】
設 x s后，小強第一次追上小斌，
根據題意得12 x －7 x ＝85，解得 x ＝17，
所以7 x ＝7×17＝119.又因為119＜122，
所以當小強第一次追上小斌時，他們的位置在半圓跑
道 CD 上.
C
【答案】
1
2
3
4
5
利用方程解航行問題
5. 有甲、乙兩艘船，現同時由A地順流而下，乙船到B地時
接到通知，于是立即逆流而上到達C地執行任務，甲船繼
續順流航行.已知甲、乙兩船在靜水中的速度都是7.5
km/h，水流速度為2.5 km/h，A，C兩地間的距離為10
km.如果乙船由A地經B地再到達C地共用了4 h，問：乙
船從B地到達C地時，甲船距離B地有多遠？
1
2
3
4
5
【解】設乙船由B地到C地用了 x h，則乙船從B地到達C
地時，甲船距離B地(7.5＋2.5) x km.
當C地在A，B兩地之間時，由題意得
(7.5＋2.5)×(4－ x )－(7.5－2.5) x ＝10，
解得 x ＝2，所以(7.5＋2.5) x ＝10×2＝20；
當C地在B，A兩地的延長線上時，
由題意得(7.5－2.5) x －(4－ x )(7.5＋2.5)＝10，
1
2
3
4
5
解得 x ＝ ，所以(7.5＋2.5) x ＝10× ＝ .
答：乙船由B地到達C地時，甲船距離B地20 km或
km.
1
2
3
4
5
甲的工作量+乙的工作量=完成的工作量
列一元一次方程解決相遇、工程問題
相遇問題
工程問題
總路程＝速度和×時間
甲走的路程+乙走的路程=甲、乙之間的距離
工作總量=工作效率×工作時間
各時間段的工作量之和=完成的工作量
課堂小結
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