資源簡介

(共28張PPT)
5.4.3盈虧問題及形積變化問題
第五章 一元一次方程
【2024新教材】2025-2026學年冀教版數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
第一頁：標題頁
5.4.3 盈虧問題及形積變化問題
—— 用一元一次方程解決實際問題拓展
（右下角添加授課教師姓名及日期）
第二頁：引入
在實際生活中，我們還會遇到許多其他類型的問題，比如商家銷售商品時出現的盈利或虧損情況，以及物體在形狀或體積發生變化時相關數量的計算。這些問題雖然情境不同，但都蘊含著特定的數量關系，同樣可以用一元一次方程來解決。本節課我們就來學習盈虧問題和形積變化問題的解法，進一步提升運用方程解決實際問題的能力。
第三頁：盈虧問題
一、基本概念
盈虧問題主要研究在銷售商品過程中，成本、售價、利潤、利潤率之間的關系，以及盈利、虧損情況的判斷。
成本（進價）：指商家購進商品時的價格。
售價：指商家賣出商品時的價格。
利潤：售價減去成本（若利潤為正，則盈利；若利潤為負，則虧損）。
利潤率：利潤與成本的比值（通常用百分數表示）。
二、基本數量關系
利潤 = 售價 - 成本
利潤率 = \(\frac{ }{ } 100\%\)
售價 = 成本 + 利潤 = 成本 ×(1 + 利潤率)
成本 = 售價 - 利潤 = \(\frac{ ·}{1 + }\)（當盈利時）
成本 = \(\frac{ ·}{1 - }\)（當虧損時）
三、例題解析（盈虧問題）
例題 1：某商厘米）。
長方體體積 = \(12 3 x = 36x\)（立方厘米）。
列方程：\(36x = 216\)。
解方程：\(x = 216 ·36 = 6\)。
檢驗：\(12 3 6 = 216\)（立方厘米），與正方體體積相等，符合題意。
答：長方體鐵塊的高為 6 厘米。
例題 5：一個底面半徑為 5 厘米、高為 10 厘米的圓柱體鋼坯，要熔鑄成一個底面半徑為 2 厘米的圓柱體零件，求零件的高。
解：設零件的高為\(x\)厘米。
等量關系：圓柱體鋼坯的體積 = 圓柱體零件的體積。
鋼坯體積 = \(\pi 5^2 10 = 250\pi\)（立方厘米）。
零件體積 = \(\pi 2^2 x = 4\pi x\)（立方厘米）。
列方程：\(4\pi x = 250\pi\)（兩邊同時除以\(\pi\)），得\(4x = 250\)。
解方程：\(x = 250 ·4 = 62.5\)。
檢驗：\(\pi 2^2 62.5 = 4\pi 62.5 = 250\pi\)（立方厘米），與鋼坯體積相等，符合題意。
答：零件的高為 62.5 厘米。
例題 6：一個長方形的長是 10 厘米，寬是 8 厘米，若將其長增加\(x\)厘米，寬減少\(x\)厘米，使其變成一個正方形，求\(x\)的值及正方形的邊長。
解：因為變化后是正方形，所以邊長相等，即長增加\(x\)厘米后等于寬減少\(x\)厘米后。
列方程：\(10 + x = 8 - x\)。
解方程：\(x + x = 8 - 10\)；\(2x = -2\)；\(x = -1\)（不符合實際，說明長應減少，寬應增加）。
重新分析：應是長減少\(x\)厘米，寬增加\(x\)厘米后變為正方形，列方程\(10 - x = 8 + x\)。
解方程：\(-x - x = 8 - 10\)；\(-2x = -2\)；\(x = 1\)。
正方形邊長 = \(10 - 1 = 9\)（厘米）或\(8 + 1 = 9\)（厘米）。
檢驗：符合正方形邊長相等的條件，符合題意。
答：\(x\)的值為 1，正方形的邊長為 9 厘米。
第五頁：易錯點分析
盈虧問題：
混淆利潤和利潤率的計算：誤將利潤率當作利潤，或計算利潤率時用售價作分母（正確應為成本）。
解決兩件商品盈虧問題時，錯誤地認為盈利和虧損百分比相同就不盈不虧，忽略了成本不同的影響。
形積變化問題：
體積（或面積）公式記憶錯誤：如將圓柱體體積公式記為\(\pi r h^2\)，導致計算錯誤。
忽略單位統一：如長度單位有的用厘米，有的用米，未統一單位就進行計算。
對 “鍛造”“熔鑄” 等概念理解不清，錯誤認為形狀變化時體積也變化，而實際上體積不變。
例題 7：指出下列解題過程中的錯誤，并改正。
問題：一件商品進價為 100 元，按售價賣出后盈利 20%，求售價。
錯誤解法：
設售價為\(x\)元。
列方程：\(x - 100 = 20\%\)，解得\(x = 100.2\)。
答：售價為 100.2 元。
錯誤分析：混淆了利潤和利潤率，利潤率是利潤與成本的比值，不是利潤本身。
正確解法：
設售價為\(x\)元。
利潤為\((x - 100)\)元，利潤率為 20%，則\(\frac{x - 100}{100} 100\% = 20\%\)。
列方程：\(x - 100 = 100 20\%\)，即\(x - 100 = 20\)，解得\(x = 120\)。
答：售價為 120 元。
第六頁：課堂練習
填空題：
一件商品進價為 200 元，售價為 250 元，利潤是______元，利潤率是______。
一個正方體的棱長為 5 厘米，將其鍛造成一個長方體，長方體的長為 10 厘米，寬為 5 厘米，則高為______厘米。
一件商品按進價的 150% 出售，即售價是進價的______倍，若進價為 100 元，售價為______元。
選擇題：
某商品先按進價提高 50% 后標價，再打八折銷售，售價為 240 元，則進價為（ ）
A. 160 元 B. 180 元 C. 200 元 D. 220 元
把一個長、寬、高分別為 8 厘米、6 厘米、4 厘米的長方體鐵塊熔鑄成一個正方體，正方體的棱長為（ ）
A. 4 厘米 B. 6 厘米 C. 8 厘米 D. 10 厘米
解答題：
（1）某商店賣出兩件商品，第一件盈利 50%，第二件虧損 20%，兩件商品的售價均為 60 元，求商店賣出這兩件商品的總利潤。
（2）一個底面直徑為 10 厘米、高為 15 厘米的圓柱體水桶，裝滿水后倒入一個長為 20 厘米、寬為 10 厘米的長方體水箱中，水深多少厘米？（\(\pi\)取 3.14）
（3）一塊長方形鐵皮，長為 40 厘米，寬為 30 厘米，從四個角各剪去一個邊長為\(x\)厘米的正方形，然后折成一個無蓋的長方體盒子，盒子的底面積是原來鐵皮面積的一半，求\(x\)的值。
第七頁：課堂小結
盈虧問題：
核心是掌握利潤、售價、成本、利潤率之間的關系，利潤 = 售價 - 成本，利潤率 = \(\frac{ }{ } 100\%\)。
解題時需明確等量關系，根據具體問題設未知數并列出方程。
形積變化問題：
關鍵是抓住形狀變化前后體積（或面積）不變的等量關系。
要熟記常見圖形的體積（或面積）公式，注意單位統一。
解決這兩類問題的步驟與其他實際問題相同：審題→設未知數→找等量關系→列方程→解方程→檢驗作答。
第八頁：作業布置
教材第 XX 頁習題 5.4 第 9、10、11 題。
填空題：
某商品虧損率為 10%，已知售價為 180 元，則進價為______元。
一個圓柱體的體積為\(100\pi\)立方厘米，若底面半徑不變，高擴大到原來的 2 倍，則體積變為______立方厘米。
解答題：
（1）某商店將進價為 10 元的商品按每件 12 元出售，每天可銷售 100 件，若每件提價 1 元，銷量就減少 10 件，要使每天的利潤為 300 元，每件應提價多少元？
（2）將一個長為 10 米、寬為 8 米、高為 6 米的長方體水池中的水全部注入一個底面半徑為 4 米的圓柱體水池中，圓柱體水池的水深多少米？（結果保留一位小數，\(\pi\)取 3.14）
（3）一塊正方形鐵皮，邊長為 20 厘米，從四個角各剪去一個相同的小正方形，然后折成一個高為 5 厘米的無蓋長方體盒子，求盒子的容積。
互逆命題、互逆定理教案
一、教學目標
知識與技能目標
理解互逆命題、互逆定理的概念，能準確說出一個命題的逆命題。
會判斷一個命題及它的逆命題的真假性，掌握證明命題真假的方法。
過程與方法目標
通過對命題、逆命題的分析，培養學生的邏輯思維能力和語言表達能力。
經歷探究互逆定理的過程，體會從特殊到一般的數學思想。
情感態度與價值觀目標
培養學生積極參與數學活動，敢于質疑、勇于探索的精神。
讓學生感受數學知識的嚴謹性和邏輯性，體會數學的應用價值。
二、教學重難點
重點
互逆命題、互逆定理的概念及命題真假的判斷。
能正確寫出一個命題的逆命題。
難點
判斷一個命題的逆命題的真假性，理解原命題為真，其逆命題不一定為真。
用邏輯推理的方法證明命題的真假。
三、教學方法
講授法、討論法、練習法相結合
四、教學過程
（一）導入新課（5 分鐘）
展示一些簡單的命題，如 “如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引導學生分析這些命題的題設和結論。
提問：能否交換這些命題的題設和結論，得到新的命題？新命題是否成立？從而引出本節課的課題 —— 互逆命題、互逆定理。
（二）講授新課（25 分鐘）
互逆命題
給出互逆命題的定義：在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題。
舉例說明：如原命題 “如果兩個角是直角，那么這兩個角相等”，它的逆命題是 “如果兩個角相等，那么這兩個角是直角” 。讓學生進一步理解互逆命題的概念。
組織學生進行小組討論，每個小組寫出 3 - 5 個命題，并交換寫出它們的逆命題。
命題真假的判斷
引導學生思考如何判斷一個命題的真假。對于真命題，需要通過推理證明；對于假命題，只需舉一個反例即可。
以剛才的命題為例，分析原命題和逆命題的真假性。如 “如果兩個角是直角，那么這兩個角相等” 是真命題，而它的逆命題 “如果兩個角相等，那么這兩個角是直角” 是假命題，因為兩個相等的角不一定是直角，還可能是銳角或鈍角等。
讓學生自己判斷之前小組討論中寫出的命題及其逆命題的真假性，并在小組內交流。
互逆定理
給出互逆定理的定義：如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫做互逆定理，其中一個定理叫做另一個定理的逆定理。
舉例說明：如 “兩直線平行，同位角相等” 和 “同位角相等，兩直線平行” 是互逆定理。
強調：并不是所有的定理都有逆定理，只有當定理的逆命題為真命題時，才有逆定理。
（三）例題講解（15 分鐘）
例 1：寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的對應角相等。
（3）等腰三角形的兩個底角相等。
分析：
（1）逆命題為 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，這是假命題，因為當 b = 0 時，ab = 0，a 不一定為 0。
（2）逆命題為 “對應角相等的三角形是全等三角形”，這是假命題，因為對應角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命題為 “有兩個角相等的三角形是等腰三角形”，這是真命題，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：證明命題 “如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等” 是真命題。
分析：引導學生畫出圖形，寫出已知、求證，然后進行證明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求證：AB = AC。
證明：作∠BAC 的平分線 AD，交 BC 于點 D。
因為 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共邊），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）課堂練習（10 分鐘）
寫出下列命題的逆命題，并判斷真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的兩個銳角互余。
（3）對頂角相等。
判斷下列說法是否正確：
（1）每個命題都有逆命題。
（2）每個定理都有逆定理。
（3）真命題的逆命題一定是真命題。
（4）假命題的逆命題一定是假命題。
（五）課堂小結（5 分鐘）
與學生一起回顧互逆命題、互逆定理的概念，以及如何判斷命題的真假。
強調：原命題為真，逆命題不一定為真；原命題為假，逆命題也不一定為假。
（六）布置作業（5 分鐘）
課本課后習題，要求學生認真書寫解題過程，判斷命題真假時要說明理由。
拓展作業：收集生活中或數學學習中至少兩個互逆命題，并分析它們的真假性。
五、教學反思
在教學過程中，要注重引導學生積極思考、主動參與，通過實際例子幫助學生理解抽象的概念。對于學生在判斷命題真假和寫逆命題時容易出現的錯誤，要及時給予糾正和指導。在今后的教學中，可以進一步加強練習，提高學生的邏輯思維能力和解決問題的能力。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
學習目標
1.在解決百分率、銷售與儲蓄問題的過程中，獲得進一步的體驗、感受、經驗，提高用方程解決實際問題的能力.
2.在解決百分率、銷售與儲蓄問題的過程中，體會隱含的等量關系：“原有數量+增長數量=現有數量”.
觀察下列各圖，小組討論圖中這些數據對我們生活的影響.
5折酬賓
課堂導入
某企業2022年的生產總值為95 930萬元，比2021年增長了7.3％．那么2021年該企業的生產總值為多少萬元？(精確到1萬元)
思考：
（1）本題具體的等量關系是什么？
2021年生產總值+2022年比2021年增長的產值=2022年的生產總值.
（2）抽象的等量關系是什么？
原有數量＋增長數量=現有數量
一起探究
新知探究
知識點1 增長率問題
2021年的生產總值 2021年～2022年間增長的產值 2022年的生產總值
x
(3)設該企業2021年的生產總值為x萬元，填表：
7.3%x
95 930
(4)列出的方程是
x+7.3%x=95 930.
(5)請解這個方程
x≈89 404元.
增長率問題中常見的等量關系：
原量×（1+增長率）=增長后的量
原量×（1-減少率）=減少后的量
新知探究
知識點1 增長率問題
高利息

“存款利率問題”
例1 某期3年期國債，年利率為2.8%；這期國債發行時，3年期定期存款的年利率為3.0%.小紅的爸爸有一筆錢，如果用來存3年期定期存款比買這期國債到期后可多得利息48元，那么這筆錢為多少元？
【分析】利息＝本金×年利率×年數；
解：設這筆錢是x元.依題意，得
x×3.0%×3-x×2.8%×3=48.
解得 x=8 000.
答：這筆錢是8 000元.
儲蓄問題中常見的等量關系：
本金×利率×時間=利息
本金+利息=本息和
新知探究
知識點1 增長率問題
例2 玻璃廠熔煉玻璃液，由石英砂和長石粉混合而成.要求原料中含二氧化硅70%.根據化驗，石英砂中含二氧化硅99%，長石粉中含二氧化硅67%.試問在3.2噸原料中，石英砂和長石粉各多少噸？
解：設需石英砂x噸，則長石粉為(3.2-x)噸.
依題意，得
x×99%+（3.2-x）×67%=3.2×70%.
解得x=0.3，
所以3.2-x=3.2-0.3=2.9（噸）.
答：需石英砂0.3噸，長石粉為2.9噸.
濃度問題中常見的等量關系：
濃度=溶質質量÷溶液質量×100%
新知探究
知識點1 增長率問題
跳樓價

“銷售中的利潤問題”
問題1 根據所學知識，完成下列內容：
（1）商品原價200元，九折出售，售價是 元；
（2）商品進價是150元，售價是180元，則利潤是 元.
利潤率是 ；　
（3）某商品原來每件零售價是a元， 現在每件降價10%，降價后每件零售價是 元；
（4）某種品牌的彩電降價20%以后，每臺售價為a元，則該品牌彩電每臺原價應為 元；
（5）某商品按定價的八折出售，售價是14.8元，則原定售價是
　元.　　　　　　　　
180
30
20％
0.9a
1.25a
17
新知探究
知識點2 銷售問題
銷售問題中常見的等量關系：
1.售價、進價、利潤的關系：
利潤= 實際售價—進價（或成本）
2.進價、利潤、利潤率的關系：
利潤率=利潤÷進價×100%
3.標價、折扣數、售價關系 ：
售價= 標價×（折扣數÷10）
4.售價、進價、利潤率的關系：
售價= 進價×（1+利潤率）
新知探究
知識點2 銷售問題
問題2 一商店在某一時間以每件60元的價格賣出兩件衣服，其中一件盈利25% ，另一件虧損25% ，賣這兩件衣服總的是盈利還是虧損？或是不盈不虧
1.你估計盈虧情況是怎樣的？
A. 盈利
B. 虧損
C. 不盈不虧
新知探究
知識點2 銷售問題
2.銷售的盈虧決定于什么？
120 ＞ 總成本
120 ＜ 總成本
120 ＝ 總成本
盈 利
虧 損
不盈不虧
銷售的盈虧取決于總售價與總成本(兩件衣服的成本之和)的關系.
新知探究
知識點2 銷售問題
3.兩件衣服的成本各是多少元？
盈利的一件
解：設盈利25%的衣服進價是 x 元，
依題意,得x＋0.25 x＝60.
解得 x＝48.
虧損的一件
設虧損 25%的衣服進價是 y元，
依題意,得y－0.25y＝60.
解得 y＝80.
兩件衣服總成本：48＋80＝128 元；
因為120－128＝－8元；
所以賣這兩件衣服共虧損了8元.
這個結論與你的猜想一致嗎？
新知探究
知識點2 銷售問題
1.一球鞋廠，現打折促銷賣出330雙球鞋，比上月多賣10%.設上個月賣出x雙，則可列出方程為（ ）
A.10%x=330 B.(1-10%)x=33
C.(1-10%)2x=330 D.(1+10%)x=330
D
隨堂練習
A
2.張先生到銀行存了一筆三年期的定期存款，年利率是2.75%.到期后全部取出，得到本息(本金+利息)共21 650元.設張先生存入的本金為x元，則下面所列方程正確的是（ ）
A.x+3×2.75%x=21 650
B.x+2.75%x=21 650
C.3×2.75%x=21 650
D.3(x+2.75%x)=21 650
隨堂練習
A
3.互聯網“微商”經營已成為大眾創業新途徑.某微信平臺上一件商品進價為200元，按標價的五折銷售，仍可獲利10% .設這件商品的標價為x元，根據題意列出方程為（ ）
A.0.5x-200=10%×200
B.0.5x-200=10%×0.5x
C.200=（1-10%）×0.5x
D.0.5x=（1-10%）×200
隨堂練習
4.某件商品現在的售價為34元，比原價降低了15%，則原來的售價是( )
A.51元 B.28.9元 C.35元 D.40元
D
隨堂練習
2. [2024·邯鄲第十三中學模擬]某農場要對一塊麥田施底肥，
現有化肥若干千克.如果每公頃施肥400 kg，那么余下化
肥800 kg；如果每公頃施肥500 kg，那么缺少化肥300 kg.
若設現有化肥 x kg，則可列方程為(　A　)
A
1
2
3
4
3. [2024·邯鄲冀南新區期末]我國古代《孫子算經》卷中記載
“多人共車”問題，其原文如下：今有三人共車，二車
空；二人共車，九人步，問人與車各幾何？其大意為：若
3個人乘一輛車，則空2輛車；若2個人乘一輛車，則有9個
人要步行，求人數和車數.甲、乙兩人所列方程如下，下
列判斷正確的是(　C　)
甲：設車數為 x 輛，可列方程為3( x －2)＝2 x ＋9
C
1
2
3
4
乙：設人數為 y 人，可列方程為 ＋2＝
A. 甲對乙錯 B. 甲錯乙對
C. 甲、乙都對 D. 甲、乙都錯
1
2
3
4
4. [2024·石家莊期末]某辦公樓剛建好，有一些相同的房間需
要鋪地板，老板計劃雇傭若干名工人，并對工人進行分
組，若每組3人，則多出2人；若每組4人，則還缺3人，已
知兩種分法的組數相同.
(1)問老板雇傭了多少名工人？
1
2
3
4
【解】設老板雇傭了 x 名工人，
依題意得 ＝ ，
解得 x ＝17.
答：老板雇傭了17名工人.
1
2
3
4
(2)在實際工作中，工人按工作能力分為一級和二級，一
天3名一級工人去鋪設4個房間，結果其中有5 m2地板未
來得及鋪設；同樣時間內4名二級工人鋪設了5個房間
之外，還多鋪設了另外的6 m2地板.已知每名一級工人
比二級工人一天多鋪設4 m2地板，求每個房間需要鋪設
的地板面積.
1
2
3
4
【解】設每個房間需要鋪設的地板面積為 y m2，
依題意得 － ＝4，
解得 y ＝86.
答：每個房間需要鋪設的地板面積為86 m2.
1
2
3
4
課堂小結
列一元一次方程解決百分率、銷售問題
百分率問題
銷售問題
儲蓄問題
增長率問題
利潤=售價-進價
售價=標價×（折扣÷10）
濃度問題
利潤率=利潤÷進價
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