資源簡介

(共35張PPT)
5.4.4用一元一次方程解百分率問題
第五章 一元一次方程
【2024新教材】2025-2026學年冀教版數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
第一頁：標題頁
5.4.4 用一元一次方程解百分率問題
—— 百分數應用中的等量關系
（右下角添加授課教師姓名及日期）
第二頁：引入
在生產生活中，我們經常會遇到與百分率相關的問題，比如經濟增長的百分比、產品合格率的計算、稅率的應用等。這些問題的核心是圍繞 “百分率” 展開的數量關系，而一元一次方程是解決這類問題的有效工具。本節課我們將學習如何分析百分率問題中的等量關系，通過列方程求解實際問題，提升對百分數應用的理解和解題能力。
第三頁：百分率問題的基本概念
百分率的定義：百分率是表示一個數是另一個數的百分之幾的比率，通常用 “%” 表示。例如，增長率、合格率、出勤率、稅率等都屬于百分率。
基本公式：若基數為\(a\)，百分率為\(r\)（通常用百分數表示，計算時需化為小數），則：
增長（或減少）的量 = \(a r\)
增長（或減少）后的量 = \(a (1 + r)\)（增長時）或\(a (1 - r)\)（減少時）
第四頁：常見類型及等量關系
一、增長率問題
特點：研究某量在原有基礎上增長的百分比，如產量增長、人口增長等。
等量關系：
增長后的量 = 原量 ×(1 + 增長率)
連續增長時：最終量 = 原量 ×\((1 + é )^n\)（\(n\)為增長次數，一次增長時\(n=1\)）
二、降低率問題
特點：研究某量在原有基礎上減少的百分比，如成本降低、濃度稀釋等。
等量關系：
降低后的量 = )（元），符合題意。
答：該商品的降價率為 20%。
例題 5：某商店 2024 年的營業額為 80 萬元，按照營業額的 5% 繳納營業稅，該商店應繳納營業稅多少萬元？
解：根據稅率公式，應納稅額 = 營業額 × 稅率。
即\(80 5\% = 4\)（萬元）。
答：該商店應繳納營業稅 4 萬元。
例題 6：小明將 5000 元存入銀行，定期一年，年利率為 2.25%，到期后他能獲得本息和多少元？（不計利息稅）
解：利息 = 本金 × 利率 × 時間 = \(5000 2.25\% 1 = 112.5\)（元）。
本息和 = 本金 + 利息 = \(5000 + 112.5 = 5112.5\)（元）。
答：到期后他能獲得本息和 5112.5 元。
第七頁：例題解析（合格率等問題）
例題 7：某車間生產了 1000 個零件，經檢驗合格率為 98%，求合格零件的數量。
解：合格零件數 = 總數 × 合格率 = \(1000 98\% = 980\)（個）。
答：合格零件的數量為 980 個。
例題 8：某學校七年級共有學生 300 人，某天的出勤率為 99%，求當天缺勤的人數。
解：出勤人數 = 總人數 × 出勤率 = \(300 99\% = 297\)（人）。
缺勤人數 = 總人數 - 出勤人數 = \(300 - 297 = 3\)（人）。
答：當天缺勤的人數為 3 人。
第八頁：易錯點分析
增長率與降低率混淆：誤將 “增長” 用 “1 - 率” 計算，或 “降低” 用 “1 + 率” 計算。例如，求增長后的量時寫成\(a (1 - r)\)。
百分率未化為小數計算：列方程時直接使用百分數，導致結果錯誤。例如，將\(20\%\)當作 20 代入方程，而應化為 0.2。
連續增長（降低）次數錯誤：兩次增長時誤按一次增長計算，忽略\((1 + r)^2\)中的平方。
稅率與利率的基數混淆：計算利息時忘記乘時間，或計算應納稅額時用錯計稅基數。
合格率問題中總數與合格數顛倒：誤將 “合格數 = 合格率 ÷ 總數”，正確應為 “合格數 = 總數 × 合格率”。
例題 9：指出下列解題過程中的錯誤，并改正。
問題：某商品原價 100 元，連續兩次降價，每次降價率為 10%，求兩次降價后的售價。
錯誤解法：
兩次降價后的售價 = \(100 (1 - 10\% 2) = 100 0.8 = 80\)（元）。
錯誤分析：連續降價需用\((1 - é · )^2\)計算，而非直接減去兩次降價的和。
正確解法：
兩次降價后的售價 = \(100 (1 - 10\%)^2 = 100 0.81 = 81\)（元）。
答：兩次降價后的售價為 81 元。
第九頁：課堂練習
填空題：
某廠 2023 年的產量為 500 噸，2024 年的產量比 2023 年增長了 20%，2024 年的產量為______噸。
一種商品原價為 300 元，降價 15% 后的售價為______元。
小明存入銀行 1000 元，年利率為 3%，存期 2 年，到期后利息為______元，本息和為______元。
某班有 50 名學生，某天的出勤率為 96%，當天出勤______人，缺勤______人。
選擇題：
某商品經過一次漲價 20% 后，售價為 120 元，原價為（ ）
A. 100 元 B. 105 元 C. 110 元 D. 115 元
某工廠生產了 2000 個零件，合格率為 99.5%，不合格的零件有（ ）
A. 5 個 B. 10 個 C. 15 個 D. 20 個
解答題：
（1）某城市 2022 年的 GDP 為 1000 億元，2023 年增長了 8%，2024 年在 2023 年的基礎上又增長了 9%，求 2024 年的 GDP。
（2）某商品原價為 250 元，經過兩次降價后售價為 160 元，求平均每次的降價率。
（3）某企業 2024 年的營業額為 500 萬元，按營業額的 3% 繳納營業稅，同時按營業稅的 7% 繳納城市維護建設稅，該企業 2024 年應繳納城市維護建設稅多少萬元？
第十頁：課堂小結
百分率問題的核心是圍繞 “基數 ×(1 ± 率)” 的數量關系，需根據具體問題判斷是增長還是降低。
常見類型包括增長率、降低率、稅率、利率、合格率等，需熟記各自的等量關系。
解題步驟：審題確定基數和百分率→設未知數→根據等量關系列方程→解方程→檢驗并作答。
注意事項：百分率需化為小數計算，連續增長（降低）需用乘方形式，避免混淆增長率與降低率。
第十一頁：作業布置
教材第 XX 頁習題 5.4 第 12、13、14 題。
填空題：
某縣 2023 年的糧食產量為 40 萬噸，2024 年因災減產 5%，2024 年的糧食產量為______萬噸。
某品牌電腦原價 5000 元，先降價 10%，再提價 10% 后的售價為______元。
解答題：
（1）某商店將進價為 100 元的商品按利潤率 20% 定價，然后打九折出售，實際售價是多少元？利潤是多少元？
（2）某村 2020 年的人均收入為 8000 元，2022 年的人均收入為 9680 元，求這兩年人均收入的平均增長率。
（3）某工廠計劃在三年內將產量從每年 2000 臺提高到 2662 臺，求平均每年的增長率。
（4）一批產品的合格率為 95%，已知合格產品有 1900 個，求這批產品的總數。
互逆命題、互逆定理教案
一、教學目標
知識與技能目標
理解互逆命題、互逆定理的概念，能準確說出一個命題的逆命題。
會判斷一個命題及它的逆命題的真假性，掌握證明命題真假的方法。
過程與方法目標
通過對命題、逆命題的分析，培養學生的邏輯思維能力和語言表達能力。
經歷探究互逆定理的過程，體會從特殊到一般的數學思想。
情感態度與價值觀目標
培養學生積極參與數學活動，敢于質疑、勇于探索的精神。
讓學生感受數學知識的嚴謹性和邏輯性，體會數學的應用價值。
二、教學重難點
重點
互逆命題、互逆定理的概念及命題真假的判斷。
能正確寫出一個命題的逆命題。
難點
判斷一個命題的逆命題的真假性，理解原命題為真，其逆命題不一定為真。
用邏輯推理的方法證明命題的真假。
三、教學方法
講授法、討論法、練習法相結合
四、教學過程
（一）導入新課（5 分鐘）
展示一些簡單的命題，如 “如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引導學生分析這些命題的題設和結論。
提問：能否交換這些命題的題設和結論，得到新的命題？新命題是否成立？從而引出本節課的課題 —— 互逆命題、互逆定理。
（二）講授新課（25 分鐘）
互逆命題
給出互逆命題的定義：在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題。
舉例說明：如原命題 “如果兩個角是直角，那么這兩個角相等”，它的逆命題是 “如果兩個角相等，那么這兩個角是直角” 。讓學生進一步理解互逆命題的概念。
組織學生進行小組討論，每個小組寫出 3 - 5 個命題，并交換寫出它們的逆命題。
命題真假的判斷
引導學生思考如何判斷一個命題的真假。對于真命題，需要通過推理證明；對于假命題，只需舉一個反例即可。
以剛才的命題為例，分析原命題和逆命題的真假性。如 “如果兩個角是直角，那么這兩個角相等” 是真命題，而它的逆命題 “如果兩個角相等，那么這兩個角是直角” 是假命題，因為兩個相等的角不一定是直角，還可能是銳角或鈍角等。
讓學生自己判斷之前小組討論中寫出的命題及其逆命題的真假性，并在小組內交流。
互逆定理
給出互逆定理的定義：如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫做互逆定理，其中一個定理叫做另一個定理的逆定理。
舉例說明：如 “兩直線平行，同位角相等” 和 “同位角相等，兩直線平行” 是互逆定理。
強調：并不是所有的定理都有逆定理，只有當定理的逆命題為真命題時，才有逆定理。
（三）例題講解（15 分鐘）
例 1：寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的對應角相等。
（3）等腰三角形的兩個底角相等。
分析：
（1）逆命題為 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，這是假命題，因為當 b = 0 時，ab = 0，a 不一定為 0。
（2）逆命題為 “對應角相等的三角形是全等三角形”，這是假命題，因為對應角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命題為 “有兩個角相等的三角形是等腰三角形”，這是真命題，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：證明命題 “如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等” 是真命題。
分析：引導學生畫出圖形，寫出已知、求證，然后進行證明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求證：AB = AC。
證明：作∠BAC 的平分線 AD，交 BC 于點 D。
因為 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共邊），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）課堂練習（10 分鐘）
寫出下列命題的逆命題，并判斷真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的兩個銳角互余。
（3）對頂角相等。
判斷下列說法是否正確：
（1）每個命題都有逆命題。
（2）每個定理都有逆定理。
（3）真命題的逆命題一定是真命題。
（4）假命題的逆命題一定是假命題。
（五）課堂小結（5 分鐘）
與學生一起回顧互逆命題、互逆定理的概念，以及如何判斷命題的真假。
強調：原命題為真，逆命題不一定為真；原命題為假，逆命題也不一定為假。
（六）布置作業（5 分鐘）
課本課后習題，要求學生認真書寫解題過程，判斷命題真假時要說明理由。
拓展作業：收集生活中或數學學習中至少兩個互逆命題，并分析它們的真假性。
五、教學反思
在教學過程中，要注重引導學生積極思考、主動參與，通過實際例子幫助學生理解抽象的概念。對于學生在判斷命題真假和寫逆命題時容易出現的錯誤，要及時給予糾正和指導。在今后的教學中，可以進一步加強練習，提高學生的邏輯思維能力和解決問題的能力。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
學習目標
1.通過對追及和等積變形問題的解決過程，進一步體會“同一個量的不同表示”這個基本的等量關系.
2.在解決追及和等積變形問題的過程中引導學生多角度地分析和解決問題，發展思維能力 .
想一想：
阿基米德為了幫助國王辨別皇冠的真假，需要測量皇冠的體積，確定皇冠的密度，聰明的阿基米德用非常巧妙的方法測出了皇冠的體積，你知道他是如何測量的嗎？
h
r
=
課堂導入
小明早晨要在7：20以前趕到距家1 000米的學校上學．一天，小明以80米/分的速度出發，5分鐘后，小明的爸爸發現他忘了帶歷史作業，于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他．
問爸爸追上小明用了多長時間？
新知探究
知識點1 追及問題
分析：當爸爸追上小明時，兩人所走路程相等.
解：設爸爸追上小明用了x分鐘，則此題的數量關系可用線段圖表示.
據題意，得 80×5＋80x=180x.
答：爸爸追上小明用了4分鐘．
解得 x=4.
80×5
80x
180x
新知探究
知識點1 追及問題
追及問題解題思路：
追及問題中的等量關系：
速度差×追及時間=追及路程
其中追及時間指快者和慢者共同行駛的時間，追及路程指慢者先行駛的路程.
新知探究
知識點1 追及問題
例1 某學校七年級學生進行了一次徒步行走活動.帶隊教師和學生們以4 km/h的速度從學校出發，20 min后，小王騎自行車前去追趕.如果小王以12 km/h的速度行駛，那么小王要用多久才能追上隊伍？此時，隊伍已走了多遠？
分析：小王追上隊伍，就是小王和隊伍走過的路程相等.
即小王騎車行駛的路程=隊伍行走的路程.
列方程時，量的單位要統一, 20min= h.
新知探究
知識點1 追及問題
解：設小王要用x h才能追上隊伍，這時隊伍行走的時間為（ ）h.依題意，得
解得
答：小王要 h才能追上隊伍.此時，隊伍已行走了2 km.
新知探究
知識點1 追及問題
例2 甲、乙兩地相距100 km，一列慢車與一列快車同時從甲、乙兩地出發，慢車每小時行駛65 km，快車每小時行駛85 km，快車行駛幾小時后追上慢車？
分析：快車與慢車同時出發，即它們行駛的時間相等.
快車追上慢車，比慢車多行駛的距離即為甲、乙兩地的距離.
即：快車行駛路程=慢車行駛路程+100km.
解：設快車出發x h能追上慢車. 依題意，得
解得 x=5.
答：快車出發5h能追上慢車.
新知探究
知識點1 追及問題
歸納總結
追及問題：
1.同地不同時：(1)
(2) (a為慢者先走的時間）
2.同時不同地：(1)
(2)
新知探究
知識點1 追及問題
把一些圖書分給某班學生閱讀，如果每人分3本，則剩余20本；如果每人分4本，則還缺25本.這個班有多少名學生，共有多少本圖書？
【分析】如果設這個班有x名學生，則圖書的本數可以表示為___________本
或___________本.
根據圖書的本數可以列方程解決.
解：設這個班有x名學生，根據題意列方程，得
解得x=45.
所以3x+20=3×45+20=155.
答：這個班有45名學生，共有155本圖書.
新知探究
知識點2 盈虧問題
例3 某農場要對一塊麥田施底肥，現有化肥若干千克．如果每公頃施肥400 kg，那么余下化肥800 kg；如果每公頃施肥500 kg，那么缺少化肥300 kg；這塊麥田是多少公頃？現有化肥多少千克？
【分析】設這塊麥田有x公頃，根據題意可得化肥的總數可表示為400x+800，或500x﹣300，根據化肥的總數不變可得方程．
解：設這塊麥田有x公頃，根據題意, 得
400x+800＝500x﹣300，
解得 x＝11．
現有化肥數：400x+800＝5 200．
答：這塊麥田是11公頃，現有化肥5 200千克．
新知探究
知識點2 盈虧問題
常見圖形周長及面積公式
名稱 圖形 正方形
三角形
梯形
圓
平行四邊形
r
a
b
h
c
d
a
h
b
c
a
a
h
b
用字母表示公式
周長（C）
面積（S）
新知探究
知識點3 等積變形問題
常見圖形的體積公式
名稱 圖形 用字母表示公式
體積（V）
正方體
長方體
圓柱體
圓錐體
a
a
b
c
r
h
r
h
新知探究
知識點3 等積變形問題
問題 用一根長為100米的鐵絲圍成一個長比寬長10米的長方形，問這個長方形的長和寬各是多少米？
在這個過程中什么沒有發生變化？
長方形的周長=原鐵絲的長度
新知探究
知識點3 等積變形問題
解：設長方形的寬為x米，則長為(x+10)米.
依題意，得
2（x+x+10）=100.
解得 x=20.
所以長為x+10=20+10=30（米）.
答：長方形的長為30米，寬為20米.
新知探究
知識點3 等積變形問題
例4 如圖，用直徑為200毫米的圓鋼，鍛造一個長、寬、高分別為300毫米、300毫米和90毫米的長方體毛坯底板，應截取圓鋼多少？（計算時，π取3.14）
200
x
90
300
300
新知探究
知識點3 等積變形問題
解：設應截取圓鋼x毫米.依題意，得
【分析】本題中涉及的等量關系為
圓鋼體積=長方體毛胚的體積
答：應截取258毫米長的圓柱體鋼.
解得
等積變形就是無論物體怎么變化都存在一個等量關系，即物體變化前后面積或體積不變
新知探究
知識點3 等積變形問題
1.一個長方形的周長是40 cm，若將長減少8 cm，寬增加2 cm，長方形就變成了正方形，則正方形的邊長為( 　　)
A.6 cm　　　B.7 cm　　　C.8 cm　　　D. 9 cm
B
隨堂練習
2.一個寬為3cm的長方形與一個邊長為6cm的正方形面積相等，則這個長方形的周長為（ ）
A.12 cm B.18 cm C.24 cm D.30 cm
D
3.甲、乙兩人練習賽跑，從同一地點出發，甲每秒跑7米，乙先跑1秒，結果甲用10秒追上乙，在這個過程中下列說法正確的是(　　)
A．乙跑了1秒 B．乙跑了11秒
C．甲跑了11秒 D．甲比乙跑的路程少
B
隨堂練習
知識點1 銷售問題
1. 由于換季，商場準備對某商品打折出售，如果按原售價的
七五折出售，將虧損25元，而按原售價的九折出售，將盈
利20元，則該商品的原售價為(　D　)
A. 230元 B. 250元
C. 270元 D. 300元
1
2
3
4
5
6
【點撥】
設該商品的原售價為 x 元，則可列方程為0.75 x ＋25
＝0.9 x －20，解得 x ＝300.故選D.
D
【答案】
1
2
3
4
5
6
2. 已知某商店有兩件進價不同的運動衫都賣了160元，其中
一件盈利60％，另一件虧損20％，在這次買賣中這家商店
(　B　)
A. 不盈不虧 B. 盈利20元
C. 盈利10元 D. 虧損20元
B
1
2
3
4
5
6
知識點2 股票與儲蓄問題
3. 某股民將甲、乙兩種股票賣出，甲種股票賣得1 500元，
盈利20％；乙種股票賣得1 500元，但虧損20％，該股民
在這次交易中(　B　)
A. 盈利125元 B. 虧損125元
C. 不虧不盈 D. 虧損625元
1
2
3
4
5
6
設甲種股票、乙種股票買進價分別是 a 元， b 元.根
據題意得 a (1＋20％)＝1 500，
所以 a ＝1 250.
b (1－20％)＝1 500，所以 b ＝1 875.
1 500×2－(1 250＋1 875)＝－125(元).
故該股民在這次交易中虧損125元.
【點撥】
B
【答案】
1
2
3
4
5
6
4. 某儲戶去年8月份存入定期為1年的人民幣5 000元(去年1年
定期存款利率為1.75％).設到期后銀行應向該儲戶支付現
金 x 元，則所列方程正確的是(　A　)
A. x －5 000＝5 000×1.75％
B. x ＋5 000＝5 000×1.75％
C. x ＋5 000＝5 000×(1＋1.75％)
D. x ＋5 000×1.75％＝5 000
1
2
3
4
5
6
【點撥】
到期后銀行應向該儲戶支付的現金＝本金＋利息，可
列方程為 x ＝5 000(1＋1.75％)，即 x －5 000＝5 000×1.75％.故選A.
A
【答案】
1
2
3
4
5
6
利用方程解銷售中的價格問題
5. 同樣一件衣服A商店的進價比B商店的進價低10％，若
A，B商店銷售該衣服的利潤率分別為20％和17％，該衣
服在A商店的售價比在B商店的售價低5.4元，則B商店該
衣服的進價為(　B　)
A. 56元 B. 60元
C. 72元 D. 80元
1
2
3
4
5
6
設B商店該衣服的進價是 x 元，則A商店該衣服的進
價是(1－10％) x 元.依題意，得(1＋17％) x －(1－10％) x
×(1＋20％)＝5.4，解得 x ＝60，所以B商店該衣服的進
價是60元.故選B.
【點撥】
B
【答案】
1
2
3
4
5
6
利用方程解儲蓄中的本金問題
6. [情境題·生活應用]為了準備小穎六年后上大學的學費15
000元，她的父母現在就參加了教育儲蓄，下面有兩種儲
蓄方式：
方式一：先存三年期的，三年后將本息和自動轉存三
年期；
方式二：直接存六年期的.
1
2
3
4
5
6
期數 教育儲蓄年利率/％
一年 1.75
三年 2.35
六年 2.60
你認為哪種儲蓄方式開始存入的本金比較少？
1
2
3
4
5
6
解得 x ≈13 089.35.
方式二： y (1＋6×2.60％)＝15 000，
解得 y ≈12 975.78.
因為 x ＞ y ，所以方式二開始存入的本金比較少.
【解】設兩種儲蓄方式開始存入的本金分別為 x 元、 y 元.
方式一： x (1＋3×2.35％)(1＋3×2.35％)＝15 000，
1
2
3
4
5
6
課堂小結
列方程解決盈虧、追擊及等積變形問題
追及問題
等積變形問題
同地不同時
同時不同地
等長變形
等積變形
盈虧問題
根據總數不變列方程
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