資源簡介

(共32張PPT)
1.1 正數和負數 （第2課時）
第一章 有理數
【2024新教材】人教版數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
1.1 正數和負數（第 2 課時）
知識回顧
復習正數和負數的定義
正數：大于 0 的數，如 3、1.5、\(\frac{1}{2}\) 、 +58 等，“+” 號可省略。
負數：在正數前加 “-” 號的數，像 -2、 -0.75、 -\(\frac{3}{4}\) 、 -100 等，“-” 號不能省略。
0：既不是正數也不是負數，是正負數的分界點。
回顧生活中的應用實例
溫度：某地某天最高氣溫 +12℃，最低氣溫 -3℃，分別表示比 0℃高 12℃和低 3℃。
海拔：黃山蓮花峰海拔約 +1864.8 米，高于海平面；死海湖面海拔約 -430.5 米，低于海平面。
收支：家庭 5 月工資收入 +8000 元，水電費支出 -200 元，正數表示收入，負數表示支出。
正數和負數的運算
正數與正數相加
實例引入：小明有 5 元零花錢，媽媽又給了他 3 元，現在小明一共有多少錢？
分析：這是兩個正數相加的問題，用算式表示為\(5 + 3\) 。
計算：\(5 + 3 = 8\)（元），結果為正數。
總結法則：正數與正數相加，結果為正數，把它們的絕對值相加。例如，\(a\gt0\) ，\(b\gt0\) ，則\(a + b =+(|a|+|b|)\) ，如\(2 + 4 =+(|2|+|4|)=6\) 。
正數與負數相加
實例 1：倉庫上午運進貨物 +10 噸，下午運出貨物 -8 噸，問倉庫現有貨物多少噸？
分析：運進為正，運出為負，這是正數與負數相加，算式為\(10+( - 8)\) 。
計算：可以借助數軸理解，從數軸上 +10 的位置向左移動 8 個單位，結果為 +2 噸。也可以這樣計算：\(10+( - 8)=10 - 8 = 2\) 。
實例 2：如果氣溫上升 +5℃，又下降 -3℃，實際氣溫變化是多少？
分析：算式為\(5+( - 3)\) 。
計算：\(5+( - 3)=5 - 3 = 2\) ，結果為 +2℃，表示氣溫上升了 2℃。
總結法則：正數與負數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。若\(a\gt0\) ，\(b\lt0\) ，且\(|a|\gt|b|\) ，則\(a + b =+(|a|-|b|)\) ；若\(|a|\lt|b|\) ，則\(a + b =-(|b|-|a|)\) 。例如，\(3+( - 5)=-(|5|-|3|)= - 2\) ，\(7+( - 4)=+(|7|-|4|)=3\) 。
負數與負數相加
實例：冬天某天，早上的氣溫是 -2℃，中午又下降了 -3℃，中午的氣溫是多少？
分析：下降用負數表示，算式為\(( - 2)+( - 3)\) 。
計算：從數軸上 -2 的位置再向左移動 3 個單位，得到 -5℃。計算過程為\(( - 2)+( - 3)=-(|2|+|3|)= - 5\) 。
總結法則：負數與負數相加，結果為負數，把它們的絕對值相加。若\(a\lt0\) ，\(b\lt0\) ，則\(a + b =-(|a|+|b|)\) 。例如，\(( - 4)+( - 6)=-(|4|+|6|)= - 10\) 。
正數與正數相減
實例：小紅有 8 個蘋果，吃了 3 個，還剩幾個蘋果？
分析：用減法，算式為\(8 - 3\) 。
計算：\(8 - 3 = 5\) ，結果為正數。
總結法則：正數與正數相減，當被減數大于減數時，結果為正數，用被減數的絕對值減去減數的絕對值。若\(a\gt0\) ，\(b\gt0\) ，且\(a\gt b\) ，則\(a - b =+(|a|-|b|)\) 。例如，\(7 - 4 =+(|7|-|4|)=3\) 。
正數與負數相減
實例 1：今天的氣溫是 +5℃，昨天的氣溫是 -2℃，今天比昨天氣溫高多少度？
分析：求溫差用減法，算式為\(5-( - 2)\) 。
計算：減去一個負數等于加上它的相反數，所以\(5-( - 2)=5 + 2 = 7\) 。
實例 2：海拔 +100 米的地方比海拔 -30 米的地方高多少米？
分析：算式為\(100-( - 30)\) 。
計算：\(100-( - 30)=100 + 30 = 130\)（米）。
總結法則：正數減去負數，等于正數加上這個負數的相反數，結果為正數。若\(a\gt0\) ，\(b\lt0\) ，則\(a-( - b)=a + b\) 。例如，\(6-( - 3)=6 + 3 = 9\) 。
負數與負數相減
實例：冰箱冷凍室的溫度是 -10℃，冷藏室的溫度是 -2℃，冷凍室比冷藏室溫度低多少度？
分析：求溫差用減法，算式為\(( - 10)-( - 2)\) 。
計算：減去一個負數等于加上它的相反數，所以\(( - 10)-( - 2)=( - 10)+2 = - 8\) 。
總結法則：負數減去負數，等于負數加上減數的相反數，然后按照正負數相加的法則計算。若\(a\lt0\) ，\(b\lt0\) ，則\(a-( - b)=a + b\) ，再根據\(|a|\)與\(|b|\)的大小確定結果的符號。例如，\(( - 5)-( - 3)=( - 5)+3 = - 2\) 。
正數與正數相乘
實例：一支鉛筆 2 元，買 5 支鉛筆需要多少錢？
分析：這是乘法問題，算式為\(2×5\) 。
計算：\(2×5 = 10\) ，結果為正數。
總結法則：正數與正數相乘，結果為正數，把它們的絕對值相乘。若\(a\gt0\) ，\(b\gt0\) ，則\(a×b =+(|a|×|b|)\) 。例如，\(3×4 =+(|3|×|4|)=12\) 。
正數與負數相乘
實例 1：一個人每天虧損 5 元，4 天后一共虧損多少錢？
分析：虧損用負數表示，算式為\(4×( - 5)\) 。
計算：可以理解為 4 個 -5 相加，\(4×( - 5)=( - 5)+( - 5)+( - 5)+( - 5)= - 20\) 。
實例 2：汽車以每小時 -30 千米的速度向西行駛 2 小時，行駛的路程是多少？
分析：速度為負表示向西行駛，算式為\(2×( - 30)\) 。
計算：\(2×( - 30)= - 60\)（千米），表示向西行駛了 60 千米。
總結法則：正數與負數相乘，結果為負數，把它們的絕對值相乘。若\(a\gt0\) ，\(b\lt0\) ，則\(a×b =-(|a|×|b|)\) 。例如，\(3×( - 4)=-(|3|×|4|)= - 12\) 。
負數與負數相乘
實例：一種商品，成本價降低 -2 元，若有 5 件這樣的商品，成本一共降低多少錢？
分析：成本降低用負數表示，算式為\(( - 2)×5\) 。
計算：從乘法意義理解，5 個 -2 相加，\(( - 2)×5=( - 2)+( - 2)+( - 2)+( - 2)+( - 2)= - 10\) 。但根據乘法法則，兩個負數相乘，\((-2)×(-5)=+(|2|×|5|)=10\) 。
總結法則：負數與負數相乘，結果為正數，把它們的絕對值相乘。若\(a\lt0\) ，\(b\lt0\) ，則\(a×b =+(|a|×|b|)\) 。例如，\(( - 3)×( - 4)=+(|3|×|4|)=12\) 。
正數與正數相除
實例：把 12 個蘋果平均分給 3 個人，每人分幾個？
分析：用除法，算式為\(12÷3\) 。
計算：\(12÷3 = 4\) ，結果為正數。
總結法則：正數與正數相除，結果為正數，用被除數的絕對值除以除數的絕對值。若\(a\gt0\) ，\(b\gt0\) ，則\(a÷b =+(|a|÷|b|)\) 。例如，\(15÷5 =+(|15|÷|5|)=3\) 。
正數與負數相除
實例 1：有 10 元錢，要分給 -2 個人（可以理解為欠 2 個人錢，平均分債務），每人分多少？
分析：算式為\(10÷( - 2)\) 。
計算：\(10÷( - 2)= - 5\) 。
實例 2：汽車向東行駛 60 千米，速度是 -30 千米 / 小時，行駛了多長時間？
分析：根據時間 = 路程 ÷ 速度，算式為\(60÷( - 30)\) 。
計算：\(60÷( - 30)= - 2\)（小時），表示行駛了 2 小時，負號表示行駛方向與規定正方向相反。
總結法則：正數與負數相除，結果為負數，用被除數的絕對值除以除數的絕對值。若\(a\gt0\) ，\(b\lt0\) ，則\(a÷b =-(|a|÷|b|)\) 。例如，\(18÷( - 6)=-(|18|÷|6|)= - 3\) 。
負數與負數相除
實例：把 -12 個蘋果平均分給 -3 個人（可以理解為分欠的蘋果，每人承擔的份額），每人分幾個？
分析：算式為\(( - 12)÷( - 3)\) 。
計算：\(( - 12)÷( - 3)=4\) 。
總結法則：負數與負數相除，結果為正數，用被除數的絕對值除以除數的絕對值。若\(a\lt0\) ，\(b\lt0\) ，則\(a÷b =+(|a|÷|b|)\) 。例如，\(( - 20)÷( - 5)=+(|20|÷|5|)=4\) 。
課堂練習
計算練習
計算下列各題：
\(( + 3)+( + 5)\)
\(( - 2)+( + 7)\)
\(( - 4)+( - 6)\)
\(8-( + 3)\)
\(5-( - 4)\)
\(( - 9)-( - 3)\)
\(( + 2)×( + 6)\)
\(( + 3)×( - 4)\)
\(( - 5)×( - 2)\)
\(15÷( + 3)\)
\(20÷( - 4)\)
\(( - 18)÷( - 6)\)
讓學生獨立完成，然后同桌之間互相批改，教師巡視指導，強調運算過程和結果的正確性。
實際應用練習
某公司第一季度盈利 +500 萬元，第二季度虧損 -200 萬元，這兩個季度該公司總的盈利情況如何？
潛水員在水下 -30 米處，上升了 15 米，又下降了 8 米，此時潛水員在水下多少米處？
引導學生分析題目中的正負數含義，列出算式并計算，然后請學生回答解題思路和結果，教師點評。
課堂總結
運算要點回顧
正數和負數的加法：同號相加取相同符號，絕對值相加；異號相加取絕對值較大加數的符號，用較大絕對值減去較小絕對值。
正數和負數的減法：減去一個數等于加上這個數的相反數，然后按照加法法則計算。
正數和負數的乘法：同號相乘得正，異號相乘得負，都把絕對值相乘。
正數和負數的除法：同號相除得正，異號相除得負，都用被除數絕對值除以除數絕對值。
強調注意事項
運算時要先確定符號，再進行絕對值的運算。
注意區分加法和減法、乘法和除法的運算法則，不能混淆。
在解決實際問題時，要正確理解正負數在題目中的實際意義，準確列出算式并計算。
課后作業
書面作業
計算：
\(( + 4)+( - 9)\)
\(( - 7)+( - 8)\)
\(10-( - 5)\)
\(( - 6)-( + 2)\)
\(( + 3)×( - 5)\)
\(( - 4)×( - 7)\)
\(24÷( - 6)\)
\(( - 36)÷( - 9)\)
某商店上半年盈利 +8000 元，下半年虧損 -3000 元，問該商店全年盈利多少元？
小明在一條南北方向的道路上行走，規定向北為正，他先向北走了 +50 米，又向南走了 -30 米，再向北走了 +20 米，請問小明現在在出發點的什么方向，距離出發點多少米？
拓展作業
觀察下面一列數，找出規律并填空：1， -2，3， -4，5， -6，（ ），（ ），...，第 100 個數是（ ）。
思考：在生活中，還有哪些場景可以用正負數的運算來解決問題？至少列舉兩個例子，并進行簡單說明。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1.理解數“0 ”表示的量的意義.
2.借助生活中的實例，感受引入負數的必要性，認識到數的產生和發展離不開生活和生產的需要.
學習目標
上一節課我們學習了哪些概念？
在數學中，像3，50，7.8%這樣大于0的數叫作正數，像-3，-10，-0.7% 這樣在正數前加上符號“”的數叫作負數.
課堂導入
1.下列各數中，哪些是正數？哪些是負數？
4.3，85%， - ， - ，0，0.2，-0.03，
0 既不是正數，也不是負數.
2.如果80 m表示向東走80 m，那么-60 m表示_____________.
向西走60 m
課堂導入
3.如果高于標準水位3 m 時水位記作+3 m，那么低于標準水位3 m時水位記作_______，標準水位應記作______.
-3 m
0 m
思考：
這里的“0 m”是什么含義？還是和小學一樣表示“沒有”、“空”嗎？
這里的“0 m”表示是水庫的基準水位 0 m.
課堂導入
知識點1 0的認識
海平面
珠穆朗瑪峰
8 848.86米
吐魯番盆地艾丁湖
154.31米
世界最高峰珠穆朗瑪峰，高于海平面8 848.86米，我國陸地海拔最低處位于新疆吐魯番盆地的艾丁湖，低于海平面154.31米.
新知探究
思考：
這里的海平面表示什么呢？
知識點1 0的認識
表示某地的高度時，通常以海平面為基準，規定海平面的海拔為0 m. 用正數表示高于海平面的海拔，用負數表示低于海平面的海拔.
新知探究
海平面
珠穆朗瑪峰
8 848.86米
吐魯番盆地艾丁湖
154.31米
記為 0 m
記為 +8 848.86 m
記為 -154.31 m
這里的0表示海平面的高度 0 m.
新知探究
知識點1 0的認識
這里的0表示溫度中的 0 攝氏度.
思考：
如圖，這是室內溫度計，這里的0又表示什么？
知識點1 0的認識
引入正負數后，0不再簡簡單單的只表示沒有.
它是正數和負數的分界；
它是水庫的基準水位 0 m；
它是海平面的高度 0 m；
它是溫度中的 0 攝氏度 ，它有著豐富的實際含義.
也正是因為如此，我們對用正數和負數來表示相反意義的量有了新的解讀.
新知探究
思考 如圖是地理中的等高線圖，你能說出其中的正數和負數的意義分別是什么？
正數和負數的意義分別是：
A地的海拔高出海平面4 600米；
B地的海拔低于海平面100米.
知識點2 用正數和負數表示相對基準量
新知探究
思考 如圖是手機中的部分收支款賬單，你能說出其中的正數和負數的意義分別是什么？
正數和負數的意義分別是：
收入1.00元；
支出0.10元；
支出39.90元；
收入40.00元.
新知探究
知識點2 用正數和負數表示相對基準量
你能再舉一些用正數、負數表示具有相反意義的量的例子嗎？
新知探究
知識點2 用正數和負數表示相對基準量
某地中午12：00的溫度是+10℃，晚上11：00的溫度是-2℃.
新知探究
例1 (1)一個月內，李明體重增加1.2kg，張華體重減少0.5kg，劉偉體重無變化，寫出他們這個月的體重增長值.
解：(1) 這個月李明體重增長1.2 kg，張華體重增長-0.5 kg，劉偉體重增長0 kg.
知識點2 用正數和負數表示相對基準量
新知探究
例1 (2)四種品牌的手機今年的銷售量與去年相比，變化率如下：
A品牌減少2%，B品牌增長4%，C品牌增長1%，D品牌減少3%
寫出今年這些品牌的手機銷售量的增長率.
(2)四種品牌的手機今年銷售量的增長率是：
A品牌-2%，B品牌4%，C品牌1%，D品牌-3%.
知識點2 用正數和負數表示相對基準量
增長-2%就是減少2%. 不增長也不減少時，增長率為0.
增長-2%，是什么意思？什么情況下增長率是0？
新知探究
跟蹤訓練 從山腳測山高為300 m，山腳高出海平面50 m.若以海平面為基準，山腳的高度記作+50 m，則山高記作_______；若以山腳為基準，山高記作+300 m，則海平面的高度記作_______.
-50 m
+350 m
山腳
海平面
山頂
50 m
300 m
知識點2 用正數和負數表示相對基準量
基準
基準
知識點3 用正數和負數表示誤差范圍
新知探究
例2 某超市出售一種品牌大米，袋上標有質量為(15±0.15)kg的字樣．
(1)這種大米的標準質量為______kg，最重不超過______ kg，最輕不小于______ kg.若某袋該種大米的實際質量為15.2 kg，則該袋大米_____________(選擇“合格”或“不合格”)；
(2)從該超市里任意拿出這種品牌的大米兩袋，它們的質量最多應相差______ kg.
15
15.15
14.85
不合格
0.3
15+0.15=15.15
15-0.15=14.85
15.15-14.85=0.3
10.［教材例2變式］“體重減少 ”換一種說法，可以敘述為“體重
增加_________”.
（2）身高低于平均身高和高于平均身高 各怎么表示？
解：身高低于平均身高表示為；身高高于平均身高 表
示為 .
（3）既不高于平均身高，也不低于平均身高怎么表示？
解：既不高于平均身高，也不低于平均身高表示為 .
11.（12分）［教材例1變式］某班同學的平均身高為 ，如果用
正數表示身高高于平均身高的高度，那么：
（1）和 各表示什么？
解：表示身高高于平均身高； 表示身高低于平均身
高 .
12.下列說法正確的有( )
是正數，但2不是正數；表示沒有溫度；③若 是正數，則
一定是負數；④不帶“-”的數都是正數；⑤一個數不是正數就是負數.
A
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
13.一種大米每袋的標準質量為，不足 的部分記為負數，超
過的部分記為正數，現有兩袋大米，質量分別為 和
，則下面記錄正確的是( )
D
A.和 B.和
C.和 D.和
14.面粉包裝袋上有 的標識，則下面幾袋面粉質量不合格的
是( )
B
A. B. C. D.
15.某次數學檢測，以85分為基準，老師公布的成績如下：周揚 分，
王婷0分，張江 分，則他們三人的實際得分依次為_______________
___.
92分，85分，72分
16.（8分）［教材習題 變式］某校七年級某班派出12名同學參加數
學競賽，這12名同學的成績分別是90分、95分、70分、71分、72分、79
分、81分、77分、78分、80分、82分、85分.
（1）這12名同學成績的平均值是多少？
解：分 ，
故這12名同學成績的平均值是80分.
（2）以平均值為標準，用正數表示超出的部分，用負數表示不足的部
分，它們對應的數分別是什么？
解：它們對應的數分別是，，，，，， ，
，，0，， .
17.（12分） 某超市今年上半年的營業額與去年同月營業
額相比的增長率如下表.請根據表格信息回答下列問題：
月份 1 2 3 4 5 6
比去年同月增長/% 0 0.2 0.3 0.4
（1）該超市今年上半年的營業額與去年同月營業額相比，哪幾個月是
增長的？
解：因為,, 是正數，
所以3月，5月，6月的營業額是增長的.
（2）今年1月和4月相比去年同月增長率是負數，表示什么意思？
解：今年1月和4月相比去年同月增長率是負數，表示營業額下降.
（3）今年上半年與去年上半年同月相比，營業額沒有增長的是哪幾個月？
解：營業額沒有增長的是1月,2月,4月.
18.（12分） 邱老師給小明出了一道題，如圖，請根據
數的排列規律，探索下列問題：
（1）在 處的數是正數還是負數？
解：因為在處的數是上方向右箭頭對應的數，與 的符號相同，所以
在 處的數是負數.
（2）負數在，，， 中的什么位置？
解：因為向下箭頭的上方是負數，下方是正數，向上箭頭的下方是負數，
上方是正數，所以負數在， 位置.
（3）第2 025個數是正數還是負數？排在，，， 中的什么位置？
解：因為 ，
所以第2 025個數排在 的位置，是負數.
課堂小結
用正數和負數表示誤差范圍
用正數和負數表示相對基準量
0的認識
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