資源簡介

(共39張PPT)
1.2.2數軸
第一章 有理數
【2024新教材】人教版數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
1.2.2 數軸
知識回顧與情境導入
復習有理數
回顧有理數的概念：整數和分數統稱為有理數，整數包括正整數、0 和負整數，分數包含正分數和負分數。隨機抽取學生回答，強化記憶。
快速提問：判斷 -2、\(\frac{3}{5}\)、0、 -0.75 分別屬于哪類有理數，通過簡單問答活躍課堂氣氛，為引出數軸做好知識銜接。
情境引入
展示生活實例：溫度計上不同刻度表示不同溫度，刻度分布有序，能直觀比較溫度高低；直尺上的刻度可以用來測量長度，每個刻度對應一個確定的長度值。
提問引導：能否像溫度計、直尺一樣，用一條直線上的點來表示有理數，從而更直觀地研究有理數呢？引發學生思考，自然導入數軸的學習。
數軸的概念與三要素
數軸的定義
給出數軸的定義：規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸。強調數軸是一條直線，且具備這三個關鍵要素才能準確表示有理數。
概念解讀：通過與溫度計、直尺類比，說明原點就如同溫度計上的 0℃刻度、直尺的起始 0 刻度；正方向類似溫度計中溫度上升的方向、直尺刻度增大的方向；單位長度好比溫度計相鄰刻度間的溫差、直尺相鄰刻度間的長度間隔 。
數軸的三要素
原點
作用：原點是數軸的基準點，確定了數軸上點的位置的起始參照。任何有理數都可以相對于原點確定其位置。
舉例：在表示溫度的數軸上，原點表示 0℃；在表示海拔高度的數軸上，原點表示海平面的高度。
正方向
規定：通常規定向右為正方向，用箭頭表示。但在實際問題中，可根據需求靈活規定正方向，如在描述物體向左移動的情境中，可規定向左為正方向。
意義：正方向明確了數的大小變化趨勢，沿著正方向，數逐漸增大；反之，沿著與正方向相反的方向，數逐漸減小。
單位長度
確定：根據實際情況選取合適的長度作為單位長度，不同的問題可以選擇不同的單位長度。例如在表示較小數值的數軸上，單位長度可以取 1cm 代表 1；在表示較大數值時，單位長度可能取 1cm 代表 100 等。
作用：單位長度是衡量數軸上點與點之間距離的標準，通過單位長度，能準確確定有理數在數軸上的位置以及有理數之間的相對距離。
數軸的畫法
步驟演示
畫直線：用直尺畫一條水平的直線，為后續操作提供基礎。
定原點：在直線上選取一點作為原點，并用點表示，標注數字 0，明確原點的位置。
規定正方向：從原點向右畫一個箭頭，表示正方向。強調箭頭的規范性，體現正方向的規定性。
確定單位長度：根據要表示的有理數范圍，選取適當長度作為單位長度。例如，要表示 -5 到 5 之間的有理數，可每隔 1cm 畫一個刻度，代表單位長度為 1 。從原點開始，向右依次在每個刻度上方標注 1、2、3…… ；向左依次在每個刻度下方標注 -1、 -2、 -3……
注意事項強調
直線要畫直，保證數軸的規范性，避免因線條彎曲影響對有理數位置的判斷。
原點、正方向和單位長度缺一不可，且一旦確定，在同一數軸中不能隨意更改。
刻度要均勻，標注數字要清晰、準確，數字與對應刻度對齊，方便觀察和讀數。
有理數與數軸上的點
有理數在數軸上的表示
整數的表示：以表示 2 和 -3 為例，在數軸上找到原點右邊距離原點 2 個單位長度的點，這個點就表示正整數 2；原點左邊距離原點 3 個單位長度的點，則表示負整數 -3。引導學生自己嘗試在數軸上表示其他整數，如 5、 -7 等，加深理解。
分數的表示：對于分數\(\frac{3}{2}\)，將 0 到 1 這一個單位長度平均分成 2 份，從 0 開始向右數 3 個半格對應的點就是\(\frac{3}{2}\)的位置； -\(\frac{5}{3}\)，先將 0 到 -1 和 -1 到 -2 這兩個單位長度分別平均分成 3 份，從 0 開始向左數 5 個小格對應的點即為 -\(\frac{5}{3}\) 。通過多個分數表示的練習，讓學生掌握分數在數軸上的表示方法。
對應關系探究
得出結論：任何一個有理數都可以用數軸上的一個點來表示。通過大量實例演示，讓學生直觀感受有理數與數軸上點的對應關系。
拓展思考：引導學生思考數軸上的點是否都表示有理數？（為后續學習無理數埋下伏筆），激發學生進一步探索數學知識的興趣。
典型例題與課堂練習
例題講解
例題 1：畫出數軸，并在數軸上表示出下列有理數： -4，0，\(\frac{5}{2}\)， -1.5，3 。
分析：先按照數軸的畫法步驟畫出數軸，再根據有理數在數軸上的表示方法，找到每個數對應的點。 -4 在原點左邊 4 個單位長度處；0 就是原點；\(\frac{5}{2}=2.5\)，在原點右邊 2.5 個單位長度處； -1.5 在原點左邊 1.5 個單位長度處；3 在原點右邊 3 個單位長度處 。
解答：詳細展示數軸的繪制過程和各數的標注位置，規范解題步驟。
例題 2：指出數軸上 A、B、C、D 各點分別表示什么數。（給出數軸及標注的點）
分析：根據各點在數軸上相對于原點的位置和單位長度，判斷其表示的有理數。A 點在原點左邊 2 個單位長度，所以表示 -2；B 點在原點右邊 3.5 個單位長度，表示 3.5；C 點就是原點，表示 0；D 點在原點左邊 1.5 個單位長度，表示 -1.5 。
解答：給出準確答案，并強調觀察數軸時要注意原點位置、正方向和單位長度。
課堂練習
畫出數軸，并在數軸上表示出 -3，\(\frac{2}{3}\)， -0.5，4， -2\(\frac{1}{2}\) 。讓學生獨立完成，教師巡視指導，及時糾正學生在畫數軸和表示數過程中出現的問題。
數軸上點 M 表示的數是 -2，將點 M 向右移動 3 個單位長度，再向左移動 5 個單位長度，此時點 M 表示的數是多少？引導學生通過在數軸上實際移動點的方式思考問題，培養空間思維能力。
課堂總結
知識梳理
數軸的定義及三要素：規定了原點、正方向和單位長度的直線是數軸，三要素共同確定了數軸的形態和有理數的表示方式。
數軸的畫法：畫直線、定原點、規定正方向、確定單位長度，每個步驟都要準確規范。
有理數與數軸上點的關系：任何有理數都能在數軸上找到唯一對應的點，數軸為研究有理數提供了直觀的工具。
重點強調
數軸三要素的重要性，缺失任何一個要素都不能構成完整的數軸。
有理數在數軸上表示的準確性，注意分數和小數在數軸上的定位方法。
課后作業
基礎作業
畫出數軸，并在數軸上表示出下列各數： -2，\(\frac{7}{3}\)，0， -1.2，5 。
已知數軸上點 A 表示的數是 3，將點 A 向左移動 7 個單位長度，得到點 B，求點 B 表示的數。
拓展作業
數軸上表示整數的點稱為整點。某數軸的單位長度是 1cm，若在這個數軸上隨意畫出一條長為 2025cm 的線段 AB，則線段 AB 蓋住的整點有多少個？引導學生通過分析不同情況，培養邏輯推理能力。
查閱資料，了解數軸在數學發展歷史中的作用，以及在其他學科中的應用，寫一篇簡短的科普小文章 。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1.掌握數軸的三要素，能正確畫出數軸.
2.能將已知數在數軸上表示出來，能說出數軸上已知點所表示的數.
3.掌握數軸的概念，理解數軸上的點和有理數的對應關系.
學習目標
課堂導入
問題 在一條東西向的馬路旁，有一個汽車站牌，汽車站牌東3 m和7.5 m處分別有一棵柳樹和一根交通標志桿，汽車站牌西3 m和4.8 m處分別有一棵槐樹和一根電線桿，試畫圖表示這一情境.
西
東
3 m
7.5 m
3 m
4.8 m
方向
參照點
距離
新知探究
思考1：
怎樣用數簡明地表示柳樹、交通標志桿、槐樹、
電線桿與汽車站牌的相對位置關系（方向、距離）？
在一條直線上任取一點O為基準點, 再用0表示點O.
規定直線上，從點O向右為正方向(用箭頭表示)，從點O向左為負方向.
選取適當的長度為單位長度， 規定1個單位長度(線段OA的長)代表1 m長.
（參照點）
東西向（方向）
（距離）
知識點1 什么是數軸？
新知探究
O
B
A
C
D
E
0
1
3
7.5
-4.8
-3
用上述方法，我們就可以把柳樹、交通標志桿、槐樹、電線桿與汽車站牌的相對位置關系表示出來了.
我們就用負數、0、正數表示出了這條直線上的點.
知識點1 什么是數軸？
新知探究
思考2：
圖中的溫度計可以看作表示正數、0和負數的直線，它和剛剛畫出的直線有什么共同點？
相同點：都是用一條直線上的點表示正數、0、負數.
不同點：前一幅圖是用一條水平直線上的點表示正數、0、負數；而右圖是用一條豎直的直線上的點表示正數、0、負數.
知識點1 什么是數軸？
新知探究
0
像這樣，規定了原點、正方向和單位長度的直線叫作數軸.
原點
正方向
單位長度
正半軸
負半軸
原點將數軸（原點除外）分成兩部分，其中正方向一側的部分叫作數軸的正半軸；另一側的部分叫作
數軸的負半軸.
知識點1 什么是數軸？
新知探究
我們該怎么畫出數軸呢？
0
知識點2 如何畫數軸？
步驟(1)畫直線，取原點：
在直線上任取一點表示數0，這個點叫作原點.
新知探究
我們該怎么畫出數軸呢？
0
知識點2 如何畫數軸？
步驟(2)標正方向：
通常規定直線上從原點向右（或上）為正方向，用箭頭表示出來，箭頭標在畫出部分的最右邊（或最上邊），則從原點向左（或下）為負方向.
新知探究
我們該怎么畫出數軸呢？
步驟(3)選取單位長度，標數：
選取適當的長度為單位長度，直線上從原點向右，每隔一個單位長度取一個點，依次表示1 ，2 ，3，；從原點向左，用類似方法依次表示-1，-2，-3 .
0
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
注意：
在同一條數軸上，單位長度的大小必須統一，也可根據所表示的數的大小靈活選取單位長度.
知識點2 如何畫數軸？
例1 如圖中，能正確表示數軸的有 （ ）
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
畫數軸時常見的五種錯誤
(1)漏畫原點；
(2)沒有標出正方向；
(3)沒有標出單位長度或單位長度不統一；
(4)標數時順序錯誤；
(5)畫成射線.
無原點
負數順序錯了
單位長度不統一，且無正方向箭頭
左端有刻度，是射線不是直線
B
知識點2 如何畫數軸？
新知探究
1.數軸是一條直線；
2.數軸的三要素：原點、正方向、單位長度，三者缺一不可；
3.稱為數軸的三要素，在解決具體問題時，可以靈活選定原點的位置、正方向的朝向、單位長度的大小，但一經選定后就不能隨意改變.
新知探究
新知探究
知識點3 數軸上的點與有理數的關系
1.觀察上面的數軸，哪些數在原點的左邊，哪些數在原點的右邊，由此你有什么發現？
2.每個數到原點的距離是多少？由此你又有什么發現？
3.如何用數軸上的點來表示分數或小數？如：1.5， 怎樣表示.
0
-1
1
2
3
-2
-3
歸納：
一般地，設a是一個正數，則數軸上表示數a的點在原點的____邊，與原點的距離是____個單位長度；表示數-a的點在原點的____邊，與原點的距離是____個單位長度．
右
a
a
左
課堂小結
任何一個有理數都可以用數軸上的一個點來表示.
知識點3 數軸上的點與有理數的關系
新知探究
例2 畫出數軸，并在數軸上表示下列各數：
3，-4，4，0.5，0，-，-1
0
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
解：如圖所示.
3
-4
4
0.5
0
-
-1
知識點3 數軸上的點與有理數的關系
知識點1 數軸的概念及其畫法
1.下列是四位同學所畫的數軸，其中正確的是( )
C
A.
B.
C.
D.
2.有關數軸的畫法，下列說法中，錯誤的是( )
D
A.原點位置可以是數軸上任意一點
B.一般情況下，取從左到右的方向為數軸的正方向
C.數軸的單位長度可根據實際需要任意選取
D.數軸上每兩個刻度之間的長度都等于
知識點2 數軸上的點與有理數的對應關系
3.［2024河南中考］如圖，數軸上點 表示的數是( )
A
A. B.0 C.1 D.2
4.［2025廣州花都區期末］如圖，數軸上表示有理數3的點是( )
D
A.點 B.點 C.點 D.點
5.［教材P練習T 變式］如圖，在數軸上，墨跡遮擋住的點表示的數
可能是( )
B
A.0.5 B. C. D.
6.在數軸上，表示，0，， 的點在數軸正半軸上的有( )
D
A.4個 B.3個 C.2個 D.1個
7.（1）數軸上，表示 的點位于原點的____邊，距原點___個單位長度；
（2）數軸上位于原點左邊且與原點相距4個單位長度的點表示的數是____；
（3）數軸上，到原點的距離為8個單位長度的點表示的數是_______.
右
5
或8
8.如圖，數軸的單位長度是1，若點表示的數是，則點 表示的數是
___.
4
9.（4分）指出數軸（如圖）上點，，， 表示的數.
解：點表示的數為0，點表示的數為，點表示的數為，點 表
示的數為3.
10.（4分）［教材P練習T 變式］畫數軸，并在數軸上表示下列各數：
3，，0， .
解：如圖.
知識點3 數軸上兩點間的距離
11.在數軸上，表示 的點與表示6的點之間的距離是( )
A
A.7個單位長度 B.5個單位長度 C.8個單位長度 D.16個單位長度
12.［教材P練習T變式］數軸上點表示的數為，點在點 左側，
且與點相距4個單位長度，則點 表示的數為( )
B
A.1 B. C. D.1或
13.（4分）如圖，數軸上從左到右依次有點，，，，其中點 為原
點，點，所表示的數分別為，1，， 兩點間的距離是3個單位長
度.在圖中標出點，的位置，并寫出點 表示的數.
解：如圖.
點表示的數是 .
14. 在數軸上與表示 的點相距4個單位長度的點表
示的數是( )
D
A.3 B.5 C. D.3或
15.［教材P練習T 變式］如圖，一滴墨水滴在一條數軸上，根據圖中
標出的數值，判斷墨跡蓋住的整數有( )
（第15題）
C
A.7個 B.8個 C.9個 D.10個
16.如圖，在數軸上有，，， 四個點，分別表示四個不同的數.若
從這四個點中選一個點作為原點，使得其余三個點表示的數中有兩個負
數和一個正數，則這個點是( )
（第16題）
C
A.點 B.點 C.點 D.點
17.如圖，嘉嘉借助刻度尺畫了一條數軸，則這條數軸上點 表示的數為
( )
A
A. B. C.0 D.2.5
18.［教材P練習T變式］數軸上，點表示的數是，點 表示的數
是1.請回答下列問題.
（1）將點向右移動5個單位長度，移動后的點表示的數是___；將點
向左移動3個單位長度，移動后的點表示的數是____.
（2）將點 移動6個單位長度，則移動后的點表示的數是_______.
2
或7
19.（16分）一輛貨車從超市出發，向東走了3千米到達小彬家，繼續向東
走2.5千米到達小穎家，然后向西走了10千米到達小明家，最后回到超市.
（1）以超市為原點，以向東的方向為正方向，用1個單位長度表示1千
米，用，， 分別表示小明家，小彬家，小穎家，在如圖所示的數軸
上表示出，， 的位置.
解：如圖.
（2）小明家距小彬家____千米.
7.5
（3）貨車一共行駛了多少千米？
解： （千米）.
答：貨車一共行駛了20千米.
（4）該貨車每千米耗油0.1升，這次共耗油多少升？
解： （升）.
答：共耗油2升.
20.已知在紙面上有一數軸（如圖），折疊紙面.例如：若數軸上數2表示
的點與數表示的點重合，則數軸上數 表示的點與數4表示的點重合.
若數軸上數 表示的點與數1表示的點重合，根據此情境解決下列問題：
（1）數軸上數3表示的點與數____表示的點重合；
（2）若點到原點的距離是5個單位長度，并且， 兩點經折疊后重合，
則點 表示的數是__________.
或
有理數
數軸
原 點
單位長度
數與點
的轉化
三要素
正方向
課堂小結
謝謝觀看！

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