資源簡介

(共38張PPT)
2.1.1有理數的加法(第二課時）
第二章 有理數的運算
【2024新教材】人教版數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
2.1.1 有理數的加法 (第二課時）
一、課程導入
回顧上節課所學的有理數加法法則：同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加；絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；互為相反數的兩個數相加得 0；一個數與 0 相加，仍得這個數。然后通過簡單的計算題進行快速回顧，如 (- 3) + ( - 5) 、( + 7) + ( - 4) 、0 + ( - 8) 等，讓學生說出計算過程和結果，鞏固加法法則的運用。
二、知識新授
（一）探索加法運算律
加法交換律
計算：\(3 + ( - 5)\)與\(( - 5) + 3\)。
按照有理數加法法則計算，\(3 + ( - 5) = - (5 - 3) = - 2\) ，\(( - 5) + 3 = - (5 - 3) = - 2\) 。
觀察這兩個式子的計算結果，發現\(3 + ( - 5) = ( - 5) + 3\) 。
再舉例：計算\(2 + ( - 8)\)與\(( - 8) + 2\) ，\(2 + ( - 8) = - (8 - 2) = - 6\) ，\(( - 8) + 2 = - (8 - 2) = - 6\) ，同樣有\(2 + ( - 8) = ( - 8) + 2\) 。
引導學生思考并討論，對于任意的有理數\(a\)和\(b\)，是否都有\(a + b = b + a\) 。
總結得出：兩個數相加，交換加數的位置，和不變，這就是有理數加法的交換律，用字母表示為\(a + b = b + a\) 。
加法結合律
計算：\((2 + ( - 3)) + ( - 8)\)與\(2 + (( - 3) + ( - 8))\) 。
先計算\((2 + ( - 3)) + ( - 8)\) ，\(2 + ( - 3) = - 1\) ，則\((2 + ( - 3)) + ( - 8) = ( - 1) + ( - 8) = - 9\) 。
再計算\(2 + (( - 3) + ( - 8))\) ，\(( - 3) + ( - 8) = - 11\) ，所以\(2 + (( - 3) + ( - 8)) = 2 + ( - 11) = - 9\) 。
觀察可得\((2 + ( - 3)) + ( - 8) = 2 + (( - 3) + ( - 8))\) 。
繼續舉例：計算\((( - 5) + 4) + 6\)與\(( - 5) + (4 + 6)\) ，\((( - 5) + 4) + 6 = ( - 1) + 6 = 5\) ，\(( - 5) + (4 + 6) = ( - 5) + 10 = 5\) ，也有\((( - 5) + 4) + 6 = ( - 5) + (4 + 6)\) 。
引導學生歸納，對于任意的有理數\(a\)、\(b\)、\(c\)，是否都有\((a + b)+c = a+(b + c)\) 。
總結出：三個數相加，先把前兩個數相加，或者先把后兩個數相加，和不變，這就是有理數加法的結合律，用字母表示為\((a + b)+c = a+(b + c)\) 。
（二）生活實例解讀運算律
加法交換律實例：假設你去書店買書，先買了一本價格為\(15\)元的數學輔導書，又買了一本價格為\(20\)元的作文書，那么總共花費\(15 + 20 = 35\)元。如果先買作文書再買數學輔導書，花費就是\(20 + 15 = 35\)元，這體現了加法交換律\(a + b = b + a\) ，即購買順序不同，但總花費不變。
加法結合律實例：周末你和朋友去超市購物，你帶了\(50\)元，朋友甲帶了\(30\)元，朋友乙帶了\(20\)元。你們可以先把你和朋友甲的錢加起來，即\((50 + 30)\)元，再加上朋友乙的\(20\)元，總錢數為\((50 + 30) + 20 = 80 + 20 = 100\)元；也可以先把朋友甲和朋友乙的錢加起來，即\((30 + 20)\)元，再加上你的\(50\)元，總錢數為\(50 + (30 + 20) = 50 + 50 = 100\)元。這體現了加法結合律\((a + b)+c = a+(b + c)\) ，不同的組合相加方式，最終的總錢數相同。
三、例題講解
例 1：計算
\(( - 23) + 58 + ( - 17)\)
分析：觀察式子，發現\(-23\)和\(-17\)是同號，且它們的和為整數，可利用加法交換律和結合律進行簡便計算。
解答：\(
\begin{align*}
&( - 23) + 58 + ( - 17)\\
=&( - 23) + ( - 17) + 58& ¤ \\
=&(( - 23) + ( - 17)) + 58& \\
=& - 40 + 58\\
=&18
\end{align*}
\)
\(\frac{1}{3} + ( - \frac{3}{4}) + ( - \frac{1}{3}) + \frac{1}{4}\)
分析：式子中有同分母的分數，可先將同分母分數結合相加。
解答：\(
\begin{align*}
&\frac{1}{3} + ( - \frac{3}{4}) + ( - \frac{1}{3}) + \frac{1}{4}\\
=&(\frac{1}{3} + ( - \frac{1}{3})) + (( - \frac{3}{4}) + \frac{1}{4})& ¤ \\
=&0 + ( - \frac{2}{4})\\
=& - \frac{1}{2}
\end{align*}
\)
\(15 + ( - 19) + 18 + ( - 12) + ( - 15)\)
分析：式子中\(15\)和\(-15\)互為相反數，可先結合相加得 0。
解答：\(
\begin{align*}
&15 + ( - 19) + 18 + ( - 12) + ( - 15)\\
=&(15 + ( - 15)) + (( - 19) + ( - 12)) + 18& ¤ \\
=&0 + ( - 31) + 18\\
=& - 31 + 18\\
=& - 13
\end{align*}
\)
例 2：某出租車司機某天下午的營運全在東西走向的人民大道上進行，如果規定向東為正，向西為負，他這天下午行車里程（單位：千米）如下：
\(+15\)，\(-3\)，\(+14\)，\(-11\)，\(+10\)，\(-12\)，\(+4\)，\(-15\)，\(+16\)，\(-18\) 。
問：（1）將最后一名乘客送到目的地時，該司機距下午出車時的出發點多遠？
（2）若汽車耗油量為\(a\)升 / 千米，這天下午共耗油多少升？
分析：
（1）要求距出發點的距離，就是求這些有理數的和，可利用加法運算律簡化計算。
（2）求總耗油量，需要先求出總行車里程，即這些數絕對值的和。
解答：
（1）\(
\begin{align*}
&( + 15) + ( - 3) + ( + 14) + ( - 11) + ( + 10) + ( - 12) + ( + 4) + ( - 15) + ( + 16) + ( - 18)\\
=&[( + 15) + ( - 15)] + [( - 3) + ( - 12) + ( - 18)] + [( + 14) + ( + 10) + ( + 4) + ( + 16)] + ( - 11)\\
=&0 + ( - 33) + 44 + ( - 11)\\
=&( - 33) + 44 + ( - 11)\\
=&11 + ( - 11)\\
=&0
\end{align*}
\)
答：將最后一名乘客送到目的地時，該司機回到了下午出車時的出發點。
（2）\(
\begin{align*}
&\vert + 15\vert + \vert - 3\vert + \vert + 14\vert + \vert - 11\vert + \vert + 10\vert + \vert - 12\vert + \vert + 4\vert + \vert - 15\vert + \vert + 16\vert + \vert - 18\vert\\
=&15 + 3 + 14 + 11 + 10 + 12 + 4 + 15 + 16 + 18\\
=&118
\end{align*}
\)
總耗油量為\(118a\)升。
答：這天下午共耗油\(118a\)升。
四、課堂練習
計算
\(( - 11) + 8 + ( - 14)\)
\(\frac{3}{4} + ( - \frac{2}{3}) + \frac{1}{4} + ( - \frac{1}{3})\)
\(20 + ( - 15) + 16 + ( - 20)\)
某倉庫第一天運進貨物\(+10\)噸，第二天運進\(-7\)噸，第三天運進\(+15\)噸，第四天運出\(-10\)噸，問四天后倉庫貨物比原來多了還是少了？多或少多少噸？
某足球隊在一場比賽中，上半場進了\(3\)個球，下半場失了\(2\)個球，又進了\(1\)個球，補時階段失了\(1\)個球，求該足球隊在這場比賽中的凈勝球數。
教師在學生練習過程中巡視，及時發現問題并給予指導，幫助學生正確運用加法運算律進行計算，糾正運算過程中的錯誤。
五、課堂總結
與學生一起回顧有理數加法交換律\(a + b = b + a\)和結合律\((a + b)+c = a+(b + c)\) ，強調運算律對于簡化有理數加法運算的重要性。
總結在運用加法運算律時，要仔細觀察式子中數的特點，如互為相反數的數、同號的數、同分母的分數、能湊整的數等，合理選擇運算律進行簡便計算。
鼓勵學生在解決實際問題時，善于將問題轉化為有理數加法運算，并運用運算律簡化計算過程，提高解題效率。
六、作業布置
基礎作業
計算下列各式：
\(( - 1.5) + 3.25 + 2.75 + ( - 5.5)\)
\((-\frac{2}{3}) + \frac{1}{2} + ( - \frac{1}{6}) + \frac{3}{4}\)
\(12 + ( - 18) + 7 + ( - 15)\)
若\(a = - 3\) ，\(b = 5\) ，\(c = - 7\) ，求\(a + b + c + ( - a)\)的值。
拓展作業
已知\(|x| = 3\) ，\(|y| = 5\) ，且\(x\)、\(y\)異號，求\(x + y\)的值，并說明在計算過程中運用了哪些運算律。
有一批食品罐頭，標準質量為每聽\(454\)克，現抽取\(10\)聽樣品進行檢測，結果如下（單位：克）：
\(444\)，\(459\)，\(454\)，\(459\)，\(454\)，\(454\)，\(449\)，\(454\)，\(459\)，\(464\) 。
求這\(10\)聽罐頭的總質量與標準質量的差值，你能想到幾種計算方法？哪種方法更簡便？
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1.能敘述有理數加法運算律.
2.會運用加法運算律進行有理數加法簡便運算.
學習目標
我們以前學過加法交換律、結合律，在有理數的加法中它們還適用嗎？
課堂導入
（1）比較以上各組兩個算式的結果有什么關系？每組兩個算式有什么特征？
解：（1）①30＋(－20) =10，(－20)＋30=10；
② (－5)＋(－13) =－18，(－13)＋(－5)=－18；
③(－37)＋16=－21，16＋(－37)=－21.
知識點 有理數加法的交換律和結合律
新知探究
探究 計算：①30＋(－20) ，(－20)＋30；
② (－5)＋(－13) ，(－13)＋(－5)；
③(－37)＋16，16＋(－37).
（1）比較以上各組兩個算式的結果有什么關系？每組兩個算式有什么特征？
解：（1）以上各組兩個算式的結果相同.每組兩個算式的第二個算式是由第一個算式交換兩個加數的位置得到的.
知識點 有理數加法的交換律和結合律
新知探究
探究 計算：①30＋(－20) ，(－20)＋30；
② (－5)＋(－13) ，(－13)＋(－5)；
③(－37)＋16，16＋(－37).
（2）小學學的加法交換律在有理數的加法中還適用嗎？
解：（2）小學學的加法交換律在有理數的加法中還適用.
知識點 有理數加法的交換律和結合律
新知探究
探究 計算：①30＋(－20) ，(－20)＋30；
② (－5)＋(－13) ，(－13)＋(－5)；
③(－37)＋16，16＋(－37).
（3）請你再換幾個加數，試一試，看一看所得的結果如何？
解：（3）換幾個加數，例：3＋(－2) =1，(－2)＋3 =1；
(－1)＋(－2)= －3，(－2)＋(－1)= －3；(－14)＋4=－10，
4＋(－14)=－10.以上各組兩個算式的結果相同.
知識點 有理數加法的交換律和結合律
新知探究
探究 計算：①30＋(－20) ，(－20)＋30；
② (－5)＋(－13) ，(－13)＋(－5)；
③(－37)＋16，16＋(－37).
你能用精煉的語言表述這一結論嗎？你能把該規律用字母表示嗎？
加法交換律： a+b=b+a.
有理數的加法中，兩個數相加，交換加數的位置，和不變．
知識點 有理數加法的交換律和結合律
新知探究
兩次所得的和相同嗎？換幾個加數再試一試.
[8＋ (－5)]＋(－4) ，8＋[(－5) ＋(－4)].
探究
知識點 有理數加法的交換律和結合律
新知探究
解：[8＋ (－5)]＋(－4) =－1,8＋[(－5) ＋(－4)]=－1,兩次所得的和相同.
換幾個加數，例：[(－3)＋ 4]＋5 =6，(－3)＋ (4＋5) =6，
[3＋(－8)]＋(－2) =－7，3＋[(－8)＋(－2)] =－7.
從上述計算中，你能得出什么結論？
[8＋ (－5)]＋(－4) ，8＋[(－5) ＋(－4)].
探究
知識點 有理數加法的交換律和結合律
新知探究
加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c)
在有理數的加法中，三個數相加，先把前兩個數相加，或者先把后兩個數相加，和不變．
例1 計算： (1)8+(－6)+(－8) ； (2)16+(－25)+24+(－35).
怎樣使計算簡化的？根據是什么？
(1)中，把互為相反數的一對數結合起來相加，(2)中，把正數和負數分別相加，從而使計算簡化，這樣做既利用了加法交換律，又利用了加法結合律.
知識點 有理數加法的交換律和結合律
新知探究
解：(1) 8+(－6)+(－8)
=[8+(－8)]+(－6)
=0+(－6)
=－6；
(2) 16+(－25)+24+(－35)
=(16+24)+[(－25)+(－35)]
=40+(－60)
=－20.
例2 10袋小麥稱后記錄(單位：kg) 如圖所示.10 袋小麥一共多少千克？如果每袋小麥以50 kg為質量標準，10 袋小麥總計超過多少千克或不足多少千克？
知識點 有理數加法的交換律和結合律
新知探究
50.5 50.5 50.8 49.5 50.6
50.7 49.2 49.4 50.9 50.4
解法1：先計算10袋小麥一共多少千克：
50.5+50.5+50.8+49.5+50.6+50.7+49.2+49.4+50.9+50.4=502.5.
再計算總計超過多少千克：
502.5－50×10 ＝ 2.5.
例2 10袋小麥稱后記錄(單位：kg) 如圖所示.10 袋小麥一共多少千克？如果每袋小麥以50 kg為質量標準，10 袋小麥總計超過多少千克或不足多少千克？
知識點 有理數加法的交換律和結合律
新知探究
50.5 50.5 50.8 49.5 50.6
50.7 49.2 49.4 50.9 50.4
解法2：把每袋小麥超過50 kg的千克數記作正數，不足的千克數記作負數.
10袋小麥對應的數分別為+0.5，+0.5，+0.8，－0.5，+0.6，+0.7，－0.8，－0.6，+0.9，+0.4.
例2 10袋小麥稱后記錄(單位：kg) 如圖所示.10 袋小麥一共多少千克？如果每袋小麥以50 kg為質量標準，10 袋小麥總計超過多少千克或不足多少千克？
知識點 有理數加法的交換律和結合律
新知探究
0.5+0.5+0.8+（－0.5）+0.6+0.7+（－0.8）+（－0.6）+0.9+0.4
= [0.5+(－0.5)]+[0.8+(－0.8)]+[0.6+(－0.6)]+ (0.5＋0.7＋0.9＋0.4)
= 2.5.
50×10+2.5=502.5.
答：10袋小麥一共502.5 kg，總計超過2.5 kg.
比較兩種解法，解法2中使用了哪些運算律？
解法2把互為相反數的一對數結合起來相加，可以使計算簡化.這種解法利用了加法交換律和加法結合律.
知識點 有理數加法的交換律和結合律
新知探究
比較兩種解法，解法2中使用了哪些運算律？
跟蹤訓練 某學習小組五位同學某次數學測試成績（分）為83、76、94、88、74，該班全體同學測試的平均分為80分，問這五位同學的平均分超出全班平均分多少分？用兩種方法解答.
解法一：先計算這5位同學的平均分是多少分：
（83＋76＋94＋88＋74）÷5 ＝ 83.
再計算超過平均分多少分：
83－80 ＝ 3.
知識點 有理數加法的交換律和結合律
新知探究
解法二：每位同學的分數超過平均分的記為正數，低于平均分的記為負數，則5位同學的分數對應的數分別為：+3，－4，+14，+8，－6.
[( +3)+(－4)+(+14)+(+8) +(－6)]÷5 ＝ 3.
答：這五位同學的平均分超出全班平均分3分.
跟蹤訓練 某學習小組五位同學某次數學測試成績（分）為83、76、94、88、74，該班全體同學測試的平均分為80分，問這五位同學的平均分超出全班平均分多少分？用兩種方法解答.
知識點 有理數加法的交換律和結合律
新知探究
有理數的加法運算的常用方法：
（1）正負數歸類法；
（2）相反數結合法；
（3）湊整數；
（4）同分母分數結合法.
知識點 有理數加法的交換律和結合律
新知探究
知識點1 有理數加法運算律
1.（1）加法交換律： ______.
例：______ .
（2）加法結合律： ___________.
例：_______ _______］.
2.小磊解題時，將式子 先變形為
，再計算結果，小磊運用了( )
B
A.加法交換律 B.加法交換律和加法結合律
C.加法結合律 D.以上均不正確
3.下列式子中，正確的是( )
B
A.
B.
C.
D.
4.（16分）［教材 例2變式］用適當的方法計算：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） ；
解：原式 .
（4） .
解：原式 .
知識點2 利用有理數加法運算律解決實際問題
5.某公交車上原有22人,經過2個站點時的上下車情況如下（上車為正,下
車為負）:, ,則經過這2個站點后車上還有____人.
19
6.某食品店5天的盈虧情況如下（盈利為正，虧損為負）：260元、
元、元、110元、 元，則這5天的總盈虧情況是___________.
盈利326元
7.（4分）［教材P練習T變式］某條河的水位第一天上升 ，第二
天下降，第三天又下降了，第四天又上升了 ，最后水位
是上升了還是下降了？請通過計算說明理由.
解：記上升的水位為正數，下降的水位為負數，
根據題意，得 ，
所以最后水位下降了 .
8.股民小王上周五買進某公司的股票，每股25元，下表為本周內該股票
的漲跌情況，則本周五收盤時，該股票每股的價格是( )
星期 一 二 三 四 五
每股漲跌（與前一天相比）
B
A.27.1元 B.24.5元 C.29.5元 D.25.8元
9.絕對值大于1且小于4的所有整數之和是( )
C
A.6 B. C.0 D.4
10.［2025重慶巴蜀區月考］計算
的值等于
( )
D
A. B. C.1 012 D.1 013
11.如圖，小明設計了一個計算程序，并按此程序進行了計算，若開始輸
入的數為 ，則最后輸出的數為_____.
12. 對于正整數，，規定一種新運算“”， 表示
由開始且不小于的個連續整數之和，如 ，請
你計算以下式子的結果： ___.
0
13.（8分）［2025西安雁塔區月考］某檢修小組乘汽車沿一條東西走向
的公路檢修線路，記錄員規定向東行駛為正，向西行駛為負.以下是某
天記錄員記錄的自地出發到收工時所走的路線（單位：）： ，
，，，，，，，， .
（1）收工時在地哪個方向？距 地多遠
解： .
答：收工時在地東邊，距地 .
（2）若每千米耗油，問從 地出發到收工時共耗油多少升
解： ，
.
答：從地出發到收工時共耗油 .
14.（4分） 閱讀材料：對于
，可以進行如下計算：
原式
.
上面這種方法叫拆數法，仿照上面的方法，請你計算：
.
解：原式
.
有理數的加法中，兩個數相加，交換加數的位置，和不變．
加法交換律：a+b=b+a.
有理數的加法中，三個數相加，先把前兩個數相加，或者先把后兩個數相加，和不變．
加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c).
課堂小結
有理數加法的交換律和結合律
謝謝觀看！

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