資源簡介

(共47張PPT)
2.1.1有理數的加法(第一課時）
第二章 有理數的運算
【2024新教材】人教版數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
2.1.1 有理數的加法 (第一課時）
一、課程導入
在日常生活中，我們經常會遇到需要進行加法運算的場景。比如，在一條東西向的道路上，小明先向東走了 5 米，接著又向東走了 3 米，那他總共向東移動了多遠呢？這很容易計算，\(5 + 3 = 8\)米，小明在出發點東邊 8 米處。但要是情況變復雜些，小明先向東走 5 米，然后又向西走了 3 米，此時他又在出發點的哪個方向，距離出發點多遠呢？這就涉及到有理數的加法運算了，今天我們就來深入學習有理數的加法。
二、知識新授
（一）探究有理數加法法則
同號兩數相加
借助剛才的例子，規定向東為正方向，向西為負方向。若小明兩次都向東走，第一次走了\(+5\)米，第二次走了\(+3\)米，從數軸上可以直觀看到，他最終在出發點東邊，且移動的總距離是兩次移動距離之和，即\(( + 5) + ( + 3) = + 8\)米。
再看另一種情況，若小明兩次都向西走，第一次走了\(-3\)米，第二次走了\(-2\)米，在數軸上表示出來，會發現他在出發點西邊，總共移動的距離是兩次移動距離之和，也就是\(( - 3) + ( - 2) = - 5\)米。
通過這兩個例子，我們能總結出同號兩數相加的法則：同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加。
異號兩數相加
回到小明先向東走 5 米，再向西走 3 米的例子，用數學式子表示就是\(( + 5) + ( - 3)\)。在數軸上，從表示\(+5\)的點開始，沿著負方向移動 3 個單位，最終停在表示\(+2\)的點上，所以\(( + 5) + ( - 3) = + 2\)。這是因為\(+5\)的絕對值是 5，\(-3\)的絕對值是 3，\(5 > 3\)，結果取\(+5\)的符號 “\(+\)”，并用較大的絕對值 5 減去較小的絕對值 3，得到 2。
再看，若小明先向西走 4 米，再向東走 7 米，式子為\(( - 4) + ( + 7)\)。在數軸上操作，從表示\(-4\)的點出發，沿著正方向移動 7 個單位，會停在表示\(+3\)的點，即\(( - 4) + ( + 7) = + 3\)。同樣，\(+7\)的絕對值是 7，\(-4\)的絕對值是 4，\(7 > 4\)，結果取\(+7\)的符號 “\(+\)”，用 7 減去 4 得到 3。
由此總結異號兩數相加的法則：絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。
特殊情況
一個數與 0 相加：若小明第一次走了\(+6\)米，第二次沒動（相當于走了 0 米），那么他最終的位置就是第一次走后的位置，用式子表示為\(( + 6) + 0 = + 6\)。同樣，若小明第一次走了\(-2\)米，第二次沒動，式子為\(( - 2) + 0 = - 2\)。可以得出：一個數與 0 相加，仍得這個數。
互為相反數的兩數相加：假設小明先向東走 5 米，再向西走 5 米，式子是\(( + 5) + ( - 5)\)。在數軸上，從\(+5\)的位置沿著負方向移動 5 個單位，就回到了原點，也就是結果為 0。這表明互為相反數的兩個數相加得 0。
（二）法則總結
有理數加法法則如下：
同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加。
絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。
一個數與 0 相加，仍得這個數。
互為相反數的兩個數相加得 0。
為了方便記憶，我們可以用一句順口溜：同號相加一邊倒；異號相加 “大” 減 “小”，符號跟著 “大” 的跑。這里的 “大”“小” 指的是加數絕對值的大小。
三、例題講解
例 1：計算
\(( - 4) + ( - 7)\)
分析：這是同號兩數相加，兩個加數都是負數。
解答：根據同號兩數相加法則，取相同的符號 “\(-\)”，再把絕對值相加，即\(4 + 7 = 11\)，所以\(( - 4) + ( - 7) = - 11\)。
\(( + 5) + ( - 3)\)
分析：屬于異號兩數相加，\(+5\)的絕對值是 5，\(-3\)的絕對值是 3，\(5 > 3\)。
解答：依據異號兩數相加法則，取絕對值較大的加數\(+5\)的符號 “\(+\)”，用較大的絕對值 5 減去較小的絕對值 3，得到 2，所以\(( + 5) + ( - 3) = + 2\)，即 2。
\(0 + ( - 9)\)
分析：是一個數與 0 相加的情況。
解答：按照法則，一個數與 0 相加，仍得這個數，所以\(0 + ( - 9) = - 9\)。
例 2：某倉庫星期一進貨\(+5\)噸，星期二進貨\(-3\)噸，星期三沒有進貨，星期四出貨\(-2\)噸，星期五進貨\(+6\)噸，問這五天倉庫貨物的總變化量是多少？
分析：把每天貨物的變化量用有理數表示，進貨為正，出貨為負，要求總變化量，就是求這幾個有理數的和。
解答：\(
\begin{align*}
&( + 5) + ( - 3) + 0 + ( - 2) + ( + 6)\\
=&[( + 5) + ( + 6)] + [( - 3) + ( - 2)] + 0\\
=&( + 11) + ( - 5) + 0\\
=& + 6
\end{align*}
\)
答：這五天倉庫貨物的總變化量是進貨 6 噸。
四、課堂練習
計算
\(( - 3) + ( - 8)\)
\(( + 10) + ( - 6)\)
\(( - 15) + 0\)
\(( + 7) + ( - 7)\)
某天股票 A 開盤價為 18 元，上午跌了 1.5 元，下午收盤時又漲了 0.3 元，則股票 A 這天的收盤價是多少元？
潛水員先潛入水下 30 米，然后又上升 18 米，此時潛水員在水下什么位置？
教師在學生練習過程中巡視指導，及時發現問題并給予糾正。
五、課堂總結
引導學生回顧有理數加法法則的幾種情況，強調在進行有理數加法運算時，要先判斷兩個加數是同號還是異號，或者是否有一個加數為 0 等情況，再根據相應法則進行計算。特別要注意先確定和的符號，再計算絕對值。
總結在解決實際問題時，如何將實際情境轉化為有理數加法運算，培養學生用數學知識解決實際問題的意識和能力。
六、作業布置
基礎作業
計算下列各式：
\(( - 12) + ( - 13)\)
\(( + 25) + ( - 17)\)
\(( - 9) + 0\)
\(( + 18) + ( - 18)\)
若甲地海拔為\(+120\)米，乙地海拔比甲地低\(30\)米，求乙地海拔。
拓展作業
已知\(|a| = 3\)，\(|b| = 5\)，求\(a + b\)的值。（提示：分情況討論\(a\)、\(b\)的取值）
有 5 筐蔬菜，以每筐 50 千克為準，超過的千克數記為正，不足的記為負，稱重記錄如下：\(+3\)，\(-6\)，\(-4\)，\(+2\)，\(-1\)，總計超過或不足多少千克？5 筐蔬菜的總重量是多少千克？
通過分層作業，滿足不同層次學生的學習需求，鞏固課堂所學知識，提升學生運用知識的能力。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
　小學學過的加法運算涉及正數與正數相加、正數與0相加以及0與0相加.引入負數后，在有理數范圍內，加法有哪幾種情況？
思考
正數 0 負數
正數
0
負數
正數＋正數
0＋正數
負數＋正數
0＋0
負數＋0
0＋負數
負數＋負數
正數＋0
正數＋負數
第一個加數
第二個加數
課堂導入
結論：共三種類型.
即：（1）同號兩個數相加；
（2）異號兩個數相加；
（3）一個數與0相加．
下面借助具體情境和數軸來討論有理數的加法.
課堂導入
觀察探究
一個物體沿著一條直線做左右方向的運動，我們規定向右為正，向左為負.例如，將向右運動5 m記作5 m，向左運動5 m記作-5 m.
知識點1 有理數加法法則
新知探究
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
（1）如果物體沿著一條直線先向右運動5 m，再向右運動3 m，那么兩次運動的最后結果是什么？可以用怎樣的算式表示？
(+5)+(+3)=8
5
3
8
思考
+
知識點1 有理數加法法則
新知探究
(-5)＋(-3)＝-8
（2）如果物體沿著一條直線先向左運動5 m，再向左運動3 m，那么兩次運動的最后結果是什么？可以用怎樣的算式表示？
思考
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
-5
-3
+
-8
知識點1 有理數加法法則
新知探究
根據以上兩個算式能否嘗試總結同號兩數相加的法則？
(+5)+(+3)＝ 8 ①
(-5)+(-3)＝-8 ②
注意關注加數的符號和絕對值
從算式①②可以看出：符號相同的兩個數相加，和的符號不變，且和的絕對值等于加數的絕對值的和.
知識點1 有理數加法法則
新知探究
探究 利用數軸，求以下物體兩次運動的結果，并用算式表示：
如果物體沿著一條直線先向左運動3 m，再向右運動5 m，
相當于物體從起點向____運動了____m，____________；
如果物體沿著一條直線先向右運動3 m，再向左運動5 m， 相當于物體從起點向____運動了____m，____________；
右
左
2
2
(-3)+5＝2
3+(-5)＝-2
知識點1 有理數加法法則
新知探究
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
從算式③④可以看出：絕對值不相等、符號相反的兩個數相加，和的符號與絕對值較大的加數的符號相同，且和的絕對值等于加數的絕對值中較大者與較小者的差.
注意關注加數的符號和絕對值
知識點1 有理數加法法則
新知探究
(-3)+5＝2 ③
3+(-5)＝-2 ④
根據以上兩個算式能否嘗試總結絕對值不相等、符號相反的兩個數相加的法則？
知識點1 有理數加法法則
新知探究
探究
如果物體沿著一條直線先向右運動5 m，再向左運動5 m，那么兩次運動的最后結果是什么？
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
結果是物體仍在起點處. 寫成算式就是
5+（-5）=0. ⑤
算式⑤表明，互為相反數的兩個數相加，結果為0.
5+0＝5 ( 或 (-5)+0＝-5)． ⑥
算式⑥表明，一個數與0相加，結果仍是這個數.
知識點1 有理數加法法則
新知探究
探究
如果物體第1 s向右（或左）運動5 m，第2 s原地不動，那么2 s后物體從起點向右（或左）運動了___ m. 寫成算式就是
5
同號兩數相加，和取相同的符號，且和的絕對值等于加數的絕對值的和．
絕對值不相等的異號兩數相加，和取絕對值較大的加數的符號，且和的絕對值等于加數的絕對值中較大者與較小者的差．互為相反數的兩個數相加得0．
一個數與0相加，仍得這個數.
有理數加法法則：
知識點1 有理數加法法則
新知探究
顯然，兩個有理數相加，和是一個有理數.
思考
按照有理數加法法則進行正數及0的加法運算，它和小學學過的正數及0的加法運算一致嗎？
一致. 一個數與0相加，仍得這個數.
知識點1 有理數加法法則
新知探究
例1 計算：
（1）(-3)+(-9)； （2）(-8)+0； （3）12+(-8)；
（4）(-4.7)+3.9；（5）(-)+(+).
知識點1 有理數加法法則
新知探究
解：（1）（－3）＋（－9）＝
同號兩數相加
－
（3＋9）
＝－12；
取相同符號
把絕對值相加
例1 計算：
（1）(-3)+(-9)； （2）(-8)+0； （3）12+(-8)；
（4）(-4.7)+3.9；（5）(-)+(+).
知識點1 有理數加法法則
新知探究
一個數與0相加，仍得這個數.
解：(2) (-8)+0=-8;
例1 計算：
（1）(-3)+(-9)； （2）(-8)+0； （3）12+(-8)；
（4）(-4.7)+3.9；（5）(-)+(+).
知識點1 有理數加法法則
新知探究
解：（3）12＋（-8）＝
（12 － 8）
+
＝+4；
異號兩數相加
取絕對值較大的加數的符號
用較大的絕對值減較小的絕對值
例1 計算：
（1）(-3)+(-9)； （2）(-8)+0； （3）12+(-8)；
（4）(-4.7)+3.9；（5）(-)+(+).
知識點1 有理數加法法則
新知探究
在運算過程中，“先
定和的符號、再算和的
絕對值”是一種有效
的方法.
解： (4) (-4.7)+3.9=-(4.7-3.9)=-0.8;
(5) (-)+(+)=0.
有理數加法的運算步驟：
一要辨別加數的類型(同號、異號)；
二要確定和的符號；
三要計算絕對值的和（或差）.
一看
二定
三算
知識點1 有理數加法法則
新知探究
知識點2 一個數加上正（負）數
新知探究
思考
任何一個數加上一個正數，和與原來的數有怎樣的大小關系？加上一個負數呢？請你先借助數軸直觀地得出結論，再利用有理數的加法法則進行說明.
記a為任何一個數，b為正數，
則a+b____c.
由數軸上左邊的數小于右邊的數可得， a___c，即a___ a+b.
a
c
b
<
=
任何一個數加上一個正數，和大于原來的數.
<
知識點2 一個數加上正（負）數
新知探究
記a為任何一個數，d為負數，
則a-d____e.
由數軸上左邊的數小于右邊的數可得， e___a，即a-d ___ a.
e
a
d
<
=
任何一個數加上一個負數，和小于原來的數.
<
知識點2 一個數加上正（負）數
新知探究
例2 數a，b在數軸上表示的點如圖所示，則
（1）a + b _____ a；
（2）a + (－b)_____ a；
（3） b+a _____ b；
（4）b+ (－a) _____b. (填“>”“<”或“=”)
＞
＜
＞
＜
知識點2 一個數加上正（負）數
新知探究
知識點1 有理數的加法法則
1.（1） 與2的和的符號取“___”號；
（2）與 的和的符號取“__”號；
（3）與 的和的符號取“___”號；
（4） 與2的和的符號取“__”號.
-
-
2.在下列橫線上填上適當的數或符號.
（1）___ ____；
（2）_____ _____；
（3）_____ ___；
（4）____ ____；
（5） ______；
（6） ___.（共13空，共26分）
23
-
-
6
-
-
0
知識點2 利用有理數加法法則計算
3.［2024廣東中考］計算 的結果是( )
A
A. B. C.2 D.8
4.若，則“ ”表示的數是( )
D
A. B.0 C.1 D.2
5.的相反數與 的絕對值的和為____.
6.（24分）［教材P練習T 變式］計算：
（1） ；
解： .
（2） ；
解： .
（3） ；
解： .
（4） ；
解： .
（5） ；
解： .
（6） .
解： .
7.（4分） 學習了有理數的加法后，王老師出了一道題：
計算 .
嘉嘉：原式 .
琪琪：原式 .
觀察嘉嘉、琪琪的解題過程，判斷是否正確，如果不正確，請分析錯誤
的原因，并寫出正確的答案.
解：嘉嘉的解法不正確，符號選取雖正確，但將絕對值相減錯寫成了絕
對值相加；琪琪的解法也不正確，注意了絕對值相減，但忽略了符號的
確定.
正解：原式 .
知識點3 有理數加法的應用
8.［教材P練習T 變式］某日一水庫的水位從0：00到12：00上升10米，
從12：00到24：00下降2米，則水庫水位全天的上升量可用算式表示為
( )
C
A. B. C. D.
9.［2025保定期末］某天某地早晨的氣溫是，中午上升了 ，則
中午的氣溫是( )
B
A. B. C. D.
10.已知地的海拔為米，地海拔比地高20米，則 地的海拔為
________.
米
11.如果兩個有理數的和為負數，那么這兩個有理數( )
D
A.一定都是負數
B.一定是一正一負，且負數的絕對值大
C.一定是一個為零，另一個為負數
D.至少有一個是負數，且僅有一個負數時該負數的絕對值較大
12.若，，且，則 的值等于( )
D
A.5 B.0 C.1 D.5或1
13.已知有理數， 在數軸上表示的點如圖所示，則下列式子中正確的
是( )
A
A. B. C. D.
14.［2025天津河西區調研］若是有理數，則 的值( )
D
A.一定是正數 B.一定是負數
C.可能是正數，可能是負數 D.不可能是負數
15.有一個水利勘察大隊，第一天從出發點沿江向上游走了 ，第
二天又向下游走了，第三天向下游走了 ，這時，勘察大
隊在距出發點____游____ 處.
下
5.1
16.［教材P練習T 變式］ 請用生活中的例子解釋算
式 ______________________________________________
__________________________.
某天6:00的氣溫是，氣溫上升了，此
時氣溫是（答案不唯一）
17.（12分）如圖，下面有4張卡片，其上分別寫有相應的有理數.
（1）指出卡片中所有的非負數；
解：卡片中所有的非負數是0，19.
（2）計算這4個有理數的和；
解： .
（3）拿走一個數，使剩下3個有理數的和為正數，直接寫出這個數.
解：拿走的數是 .
18.（12分）
（1）比較大小（用“ ”“ ”或“ ”填空）：
①___ ；
②___ ；
③___ .
（2）在（1）的基礎上，嘉淇又舉出若干個例子，并歸納得出以下結論，
請你補充完整：
①當，______（填“同號”或“異號”）時，有 ；
②當，______（填“同號”或“異號”）時，有 ；
異號
同號
③當，中至少有一個為0時，有___ .
總之，對于有理數，，有___ .
（3）根據上述結論，請你直接寫出當時，
的取值范圍.
解：由（2）可知，若，則 ，
所以的取值范圍是 .
課堂小結
絕對值不相等的異號兩數相加，和取絕對值較大的加數的符號，且和的絕對值等于加數的絕對值中較大者與較小者的差．互為相反數的兩個數相加得0．
同號兩數相加，和取相同的符號，且和的絕對值等于加數的絕對值的和．
有理數
加法法則
一個數與0相加，仍得這個數.
謝謝觀看！

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