資源簡介

(共40張PPT)
2.1.2 有理數的減法-
第1課時 有理數的減法法則
第二章 有理數的運算
【2024新教材】人教版數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
2.1.2 有理數的減法 - 第 1 課時 有理數的減法法則
一、課程導入
回顧有理數加法法則：上節課我們學習了有理數的加法法則，哪位同學能來回顧一下呢？同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加，比如\(( - 2)+( - 3)=-(2 + 3)= - 5\) ；絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值，例如\(( + 5)+( - 3)=+(5 - 3)=2\) ；互為相反數的兩個數相加得\(0\) ，像\(3+( - 3)=0\) ；一個數與\(0\)相加，仍得這個數，如\(0+( - 8)= - 8\) 。（隨機提問學生回答，強化記憶）
創設情境引出減法問題：同學們，我們知道北京某天的最高氣溫是\(5^{\circ}C\)，最低氣溫是\(-3^{\circ}C\) ，那這一天北京的溫差（最高氣溫與最低氣溫的差）是多少呢？該如何列式計算呢？由此引出本節課要學習的有理數的減法。
二、知識新授
（一）探索有理數減法法則
借助數軸理解減法運算：我們先在數軸上表示出\(5\)和\(-3\)這兩個數。從數軸上看，要得到\(5\)與\(-3\)的差，就是要找到從\(-3\)這個點到\(5\)這個點的距離。我們可以發現，從\(-3\)出發，向右移動\(8\)個單位長度就到達\(5\)，所以\(5 - (-3)=8\) 。
從加法與減法的關系推導：因為減法是加法的逆運算，我們知道\(( - 3)+8 = 5\) ，那么根據逆運算關系，\(5-( - 3)\)就應該等于\(8\) 。
多組實例探究：再看一組例子，計算\(9 - 6\) ，這很簡單，結果是\(3\) 。同時，我們知道\(6 + 3 = 9\) 。再看\(7 - 4\) ，結果為\(3\) ，且\(4 + 3 = 7\) 。現在我們把正數換成負數，計算\(7-( - 4)\) ，因為\(( - 4)+11 = 7\) ，所以\(7-( - 4)=11\) 。
總結法則：通過觀察這些例子，同學們思考一下，有理數的減法運算有什么規律呢？我們發現，減去一個數，等于加上這個數的相反數。用字母表示為\(a - b = a+( - b)\) ，其中\(a\)、\(b\)為任意有理數。這里要注意 “兩變” ：一是運算符號由減號變為加號；二是減數變成它的相反數。而被減數不變。
（二）生活實例解讀減法法則
海拔高度差實例：我們知道珠穆朗瑪峰的海拔高度約為\(8848\)米，吐魯番盆地的海拔高度約為\(-155\)米，那么珠穆朗瑪峰比吐魯番盆地高多少米呢？列式為\(8848-( - 155)\) 。根據有理數減法法則，\(8848-( - 155)=8848 + 155 = 9003\)米。這就好比我們在做一種 “抵消” 的操作，減去一個負數，就相當于在原來的基礎上加上一個正數，就像你本來有\(8848\)元，又有人給你抵消了\(155\)元的債務，那你實際擁有的就變多了。
樓層高度差實例：假如我們在一棟高樓里，地面一層記為\(0\)層，電梯從\(5\)層下降到\(-2\)層，電梯下降了多少層呢？可以列式為\(5-( - 2)\) 。按照減法法則，\(5-( - 2)=5 + 2 = 7\)層。這里從\(5\)層到\(-2\)層，就好像是在數軸上從\(5\)這個點往\(-2\)這個點移動，減去\(-2\)就相當于加上\(2\)，也就是把負方向的樓層數轉化為正方向的移動層數。
三、例題講解
例 1：計算
\(( - 3)-5\)
分析：根據有理數減法法則，將減法轉化為加法，\(-3\)是被減數不變，\(5\)的相反數是\(-5\) ，所以\(( - 3)-5=( - 3)+( - 5)\) 。
解答：\(( - 3)+( - 5)=-(3 + 5)= - 8\) 。
\(0 - 7\)
分析：\(0\)減去一個數，根據法則，\(0 - 7 = 0+( - 7)\) 。
解答：\(0+( - 7)= - 7\) 。
\(7.2-( - 4.8)\)
分析：把減法變加法，\(7.2\)不變，\(-4.8\)的相反數是\(4.8\) ，即\(7.2-( - 4.8)=7.2 + 4.8\) 。
解答：\(7.2 + 4.8 = 12\) 。
\(( - 3\frac{1}{2})-\frac{1}{2}\)
分析：\(-3\frac{1}{2}\)作為被減數，\(\frac{1}{2}\)的相反數是\(-\frac{1}{2}\) ，式子變為\(( - 3\frac{1}{2})+( - \frac{1}{2})\) 。
解答：\(( - 3\frac{1}{2})+( - \frac{1}{2})=-(3\frac{1}{2}+\frac{1}{2})=-4\) 。
例 2：全班學生分為五個組進行游戲，每組的基本分為\(100\)分，答對一題加\(50\)分，答錯一題扣\(50\)分，游戲結束時，各組的分數如下：
組別
第一組
第二組
第三組
第四組
第五組
分數 / 分
\(150\)
\(-400\)
\(350\)
\(-100\)
\(100\)
（1）第一名超出第二名多少分？
（2）第一名超出第五名多少分？
分析：
（1）首先要找出第一名和第二名的分數，從表格中可知第一名是第三組\(350\)分，第二名是第一組\(150\)分，求超出的分數用減法，即\(350 - 150\) 。
（2）第一名是第三組\(350\)分，第五名是第二組\(-400\)分，求超出分數列式為\(350-( - 400)\) 。
解答：
（1）\(350 - 150 = 200\)（分），所以第一名超出第二名\(200\)分。
（2）\(350-( - 400)=350 + 400 = 750\)（分），所以第一名超出第五名\(750\)分。
四、課堂練習
計算
\(( - 7)-9\)
\(4-( - 6)\)
\(0-( - 8)\)
\(( - 5\frac{1}{3})-2\frac{1}{3}\)
某地一周內每天的最高氣溫與最低氣溫記錄如下表，哪天的溫差最大？哪天的溫差最小？
| 星期 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 日 |
|----|----|----|----|----|----|----|----|
| 最高氣溫\(^{\circ}C\)|\(10\)|\(12\)|\(11\)|\(9\)|\(7\)|\(5\)|\(7\)|
| 最低氣溫\(^{\circ}C\)|\(2\)|\(1\)|\(0\)|\(-1\)|\(-4\)|\(-5\)|\(-5\)|
已知\(a = - 3\) ，\(b = 5\) ，求\(a - b\)與\(b - a\)的值，并比較它們的大小。
教師在學生練習過程中進行巡視，及時發現學生在運用有理數減法法則時出現的問題，比如符號變換錯誤等，給予針對性的指導，幫助學生熟練掌握法則進行正確計算。
五、課堂總結
與學生一起回顧有理數減法法則：減去一個數，等于加上這個數的相反數，用式子表示為\(a - b = a+( - b)\) 。強調在運用法則時，一定要注意 “兩變” ：運算符號由減號變加號，減數變為它的相反數，被減數不變。
總結在進行有理數減法運算時，要先將減法轉化為加法，再按照有理數加法法則進行計算。可以通過觀察式子中數的特點，如正負數情況，合理運用法則簡化計算。
鼓勵學生在生活中遇到涉及數量差的問題時，嘗試運用有理數減法知識來解決，體會數學知識與實際生活的緊密聯系。
六、作業布置
基礎作業
計算下列各式：
\(( - 12)-18\)
\(10-( - 15)\)
\(( - 3.2)-0\)
\(2\frac{1}{4}-3\frac{1}{2}\)
已知\(x = - 2\) ，\(y = 3\) ，求\(x - y\)與\(y - x\)的差。
拓展作業
若\(\vert a\vert = 5\) ，\(\vert b\vert = 3\) ，且\(a\lt b\) ，求\(a - b\)的值。思考在計算過程中，如何根據絕對值的性質確定\(a\)、\(b\)的值，再運用有理數減法法則計算。
某工廠第一季度盈利\(25\)萬元，第二季度虧損\(10\)萬元，第三季度虧損\(35\)萬元，第四季度盈利\(60\)萬元，求這個工廠這一年總的盈利情況。嘗試用有理數減法和加法相結合的方式，列出式子并計算，說明每一步的實際意義。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
了解有理數的減法法則.
能熟練地運用有理數的減法法則進行有理數的減法運算.
通過加與減兩種運算的對立統一關系，建立“轉化”的數學思想.
學習目標
溫差是指最高氣溫減最低氣溫.
3－(－3)
課堂導入
北京某天氣溫是－3 ℃～3 ℃，這天的溫差是多少攝氏度呢？
你能看出3 ℃比
－3 ℃高多少攝
氏度嗎？
3－(－3)＝
？
6
北京某天氣溫是－3 ℃～3 ℃，這天的溫差是多少攝氏度呢？
課堂導入
在小學，我們學習減法時，知道減法是加法的逆運算.在把減法推廣到有理數范圍內時，為使減法運算具有一致性，規定有理數的減法與加法之間仍然具有上述關系.
知識點1 有理數的減法法則
新知探究
計算3－(－3)，就是要求一個數，使得它與－3相加得3.
因為6＋ (－3) ＝3，所以這個數應該是 6，即
3－(－3) ＝6 ①
另一方面，我們知道
3＋ (＋3) ＝6 ②
由①②，得
3－(－3) ＝3+ (+3) ③
知識點1 有理數的減法法則
新知探究
從③式能看出減
－3相當于加哪個數嗎？
加+3
這些數減－3的結果與它們加＋3的結果相同嗎？
0－(－3) =____;
(－1)－(－3) =____;
(－5)－(－3) =____.
知識點1 有理數的減法法則
新知探究
探究 把3分別換成0，－1，－5，用上面的方法考慮.
0+3 =____;
(－1)+3 =____;
(－5)+3=____.
+3
+2
－2
+3
+2
－2
這些數減－3的結果與它們加＋3的結果相同．
9－8=____；9+(－8)=_____；
15－7=____；15+(－7)=____；
從中又有什么新發現？
探究 計算：
1
1
8
8
知識點1 有理數的減法法則
新知探究
可以發現，有理數的減法可以轉化為加法來進行.
有理數減法法則也可以表示成
有理數減法法則：減去一個數，等于加這個數的相反數．
a－b＝a＋ (－b)
知識點1 有理數的減法法則
新知探究
顯然，兩個有理數相減，差是一個有理數.
減法運算轉化成加法運算的要點：兩變一不變.
不變
知識點1 有理數的減法法則
新知探究
a－b＝a＋ (－b)
變成相反數
減號變加號
知識點1 有理數的減法法則
新知探究
例1 計算:
（4） 7.2－(－4.8)；
（5）
（2）0－7；
（1）(－3)－(－5)；
（3）2－5；
解：(1) (－3)－(－5)=(－3)+5=2;
(2) 0－7=0+(－7)=－7;
(3)2－5=2+(－5)=－3;
知識點1 有理數的減法法則
新知探究
例1 計算:
（4） 7.2－(－4.8)；
（5）
（2）0－7；
（1）(－3)－(－5)；
（3）2－5；
解： (4) 7.2－(－4.8)=7.2+4.8=12;
(5) = = .
跟蹤訓練 計算：
（1） 6－9=________; （2） (＋4)－(－7) =________;
（3）(－5)－(－8) =________; （4） 0 －(－5) =________;
（5）0－0.2 =________; （6）(－2.5)－5.9 =________;
（7） 1.9 －(－0.6) =______; （8）() =________;
（9） ()() =________.
－3
11
3
5
－0.2
－8.4
知識點1 有理數的減法法則
新知探究
2.5
－
在小學，只有當a大于或等于b時（其中a，b是0或正數），我們才能計算a－b (如2－1，1－1) .現在，當a小于b時，你能計算a－b (如1－2，(－1)－1)嗎
一般地，在有理數范圍內，較小的數減去較大的數，所得差的符號是什么？
思考
能. 1－2=1+(－2)=－1，(－1)－1=(－1)+(－1)=－2.
一般地，在有理數范圍內，較小的數減去較大的數，所得差的符號是負號.
知識點2 有理數減法法則的運用
新知探究
知識點2 有理數減法法則的運用
新知探究
在數學發展史中，在較小的正數減去較大的正數的運算能正常進行，并與已有的運算不矛盾，是引入負數的一個重要原因.
例2 計算.
（1）比 2 ℃ 低 8 ℃ 的溫度；
（2）比 －3 ℃ 低 6 ℃ 的溫度.
解：（1）2－8＝－ 6（℃）；
（2）－3－6＝－ 9（℃）.
知識點2 有理數減法法則的運用
新知探究
知識點1 有理數的減法
1.在下列橫線上填上適當的數.
（1）___ ____；
（2）______ ____；
（3）____ ____.
3
2.5
2.5
2.在應用有理數減法法則，對 進行運算時，下列說法正確的是
( )
A
A.①②均需變成“” B.只有①變成“ ”
C.只有①變成“×” D.只有②變成“ ”
3.若，則表示 的點落在如圖所示的數軸上的范圍是
( )
C
A.① B.② C.③ D.以上都不對
4.已知6與一個數的差是 ，則這個數是( )
A
A.8 B.4 C. D.8或4
5.（32分）［教材P練習T 變式］計算：
（1） ；
解： .
（2） ；
解： .
（3） ；
解： .
（4） ；
解： .
（5） ；
解： .
（6） ；
解： .
（7） ；
解： .
（8） .
解： .
知識點2 有理數減法的應用
6.［2025揚州月考］下圖是某市某一天的天氣預報圖，則這一天的溫差
為____ .
10
7.（4分） 已知某種植物成活的主要條件是：生長地區夏
冬兩季的溫差不得超過 .若不考慮其他因素，下表的四個地區中，
哪個地區適合大面積的栽培這種植物？
地區
A地區 41
B地區 38 20
C地區 27
D地區
解：地區夏冬兩季的溫差是 ；
B地區夏冬兩季的溫差是 ；
C地區夏冬兩季的溫差是 ；
D地區夏冬兩季的溫差是 .
因為地區夏冬兩季的溫差不超過，所以 地區適合大面積的栽培
這種植物.
8.［2025滄州模擬］在有理數2，0，， 中，任意取兩個數相減，
差最大是( )
A
A.5 B. C. D.
9.下列說法中正確的是( )
B
A.兩個數之差一定小于被減數
B.一個數減去一個負數，差一定大于被減數
C.0減去任何數，差都是負數
D.一個數減去一個正數，差一定大于被減數
10.［2025溫州期末］若，，且，則 的值是
( )
B
A.1或5 B.或 C.1或 D. 或5
11.［2025長沙期中］有理數， 在數軸上的表示如圖所示，則下列結
論中：；；； ；
.正確的有( )
B
A.2個 B.3個 C.4個 D.5個
12. 某人乘電梯從地下5層升至地上8層，電梯一共升了____層.
12
13.（8分）在計算兩個數相減時，由于不小心打翻了墨水瓶，
的減數被墨水污染了.
（1）嘉淇誤將后面的“-”看成了“”，從而算得結果為 ，請求出
被墨水污染的減數；
解：被墨水污染的減數為 .
（2）請你正確計算出此題的結果.
解： .
14.（8分）小鵬設計的計算程序如圖所示，按要
求完成下列各題.
（1）當小鵬輸入的數為6時，求輸出的結果 ；
解：當時， ，
， ，
，
則 .
（2）若小鵬某次輸入數后，輸出的結果為，請你寫出 可能
的2個值.
解： ，
當時， ，
當時，可能為 .
故可能為或 （答案不唯一）.
15.（8分）［2025北京期中］現有若干有理數排成一個圓圈，規定一次
操作為：將任意相鄰的兩個數都減去同一個有理數，其余各數不變.圖
①是小云兩次操作的示意圖，將圓圈上的三個數變為了相同的數.
（1）請畫出相應的操作示意圖，將圖②圓圈上的有理數都變為相同的數.
解：如圖（答案不唯一）.
（2）如圖③，若要將圓圈上的四個數都變為相同的數，最少需
要通過幾次操作？給出你的判斷，并說明理由.
解：最少需要操作兩次，理由如下：
如果只進行一次操作，只能改變相鄰
2個數，剩下2個數不相等，因此最少需要操作兩次，具體操作如圖所示
（操作方法不唯一）.
課堂小結
有理數減法法則：
減去一個數，等于加這個數的相反數．
不變
a－b＝a＋ (－b)
變成相反數
減號變加號
謝謝觀看！

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