資源簡介

(共39張PPT)
2.1.2 有理數的減法-
第2課時 有理數的加減混合運算
第二章 有理數的運算
【2024新教材】人教版數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
2.1.2 有理數的減法 - 第 1 課時 有理數的減法法則
一、課程導入
回顧有理數加法法則：上節課我們學習了有理數的加法法則，哪位同學能來回顧一下呢？同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加，比如\(( - 2)+( - 3)=-(2 + 3)= - 5\) ；絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值，例如\(( + 5)+( - 3)=+(5 - 3)=2\) ；互為相反數的兩個數相加得\(0\) ，像\(3+( - 3)=0\) ；一個數與\(0\)相加，仍得這個數，如\(0+( - 8)= - 8\) 。（隨機提問學生回答，強化記憶）
創設情境引出減法問題：同學們，我們知道北京某天的最高氣溫是\(5^{\circ}C\)，最低氣溫是\(-3^{\circ}C\) ，那這一天北京的溫差（最高氣溫與最低氣溫的差）是多少呢？該如何列式計算呢？由此引出本節課要學習的有理數的減法。
二、知識新授
（一）探索有理數減法法則
借助數軸理解減法運算：我們先在數軸上表示出\(5\)和\(-3\)這兩個數。從數軸上看，要得到\(5\)與\(-3\)的差，就是要找到從\(-3\)這個點到\(5\)這個點的距離。我們可以發現，從\(-3\)出發，向右移動\(8\)個單位長度就到達\(5\)，所以\(5 - (-3)=8\) 。
從加法與減法的關系推導：因為減法是加法的逆運算，我們知道\(( - 3)+8 = 5\) ，那么根據逆運算關系，\(5-( - 3)\)就應該等于\(8\) 。
多組實例探究：再看一組例子，計算\(9 - 6\) ，這很簡單，結果是\(3\) 。同時，我們知道\(6 + 3 = 9\) 。再看\(7 - 4\) ，結果為\(3\) ，且\(4 + 3 = 7\) 。現在我們把正數換成負數，計算\(7-( - 4)\) ，因為\(( - 4)+11 = 7\) ，所以\(7-( - 4)=11\) 。
總結法則：通過觀察這些例子，同學們思考一下，有理數的減法運算有什么規律呢？我們發現，減去一個數，等于加上這個數的相反數。用字母表示為\(a - b = a+( - b)\) ，其中\(a\)、\(b\)為任意有理數。這里要注意 “兩變” ：一是運算符號由減號變為加號；二是減數變成它的相反數。而被減數不變。
（二）生活實例解讀減法法則
海拔高度差實例：我們知道珠穆朗瑪峰的海拔高度約為\(8848\)米，吐魯番盆地的海拔高度約為\(-155\)米，那么珠穆朗瑪峰比吐魯番盆地高多少米呢？列式為\(8848-( - 155)\) 。根據有理數減法法則，\(8848-( - 155)=8848 + 155 = 9003\)米。這就好比我們在做一種 “抵消” 的操作，減去一個負數，就相當于在原來的基礎上加上一個正數，就像你本來有\(8848\)元，又有人給你抵消了\(155\)元的債務，那你實際擁有的就變多了。
樓層高度差實例：假如我們在一棟高樓里，地面一層記為\(0\)層，電梯從\(5\)層下降到\(-2\)層，電梯下降了多少層呢？可以列式為\(5-( - 2)\) 。按照減法法則，\(5-( - 2)=5 + 2 = 7\)層。這里從\(5\)層到\(-2\)層，就好像是在數軸上從\(5\)這個點往\(-2\)這個點移動，減去\(-2\)就相當于加上\(2\)，也就是把負方向的樓層數轉化為正方向的移動層數。
三、例題講解
例 1：計算
\(( - 3)-5\)
分析：根據有理數減法法則，將減法轉化為加法，\(-3\)是被減數不變，\(5\)的相反數是\(-5\) ，所以\(( - 3)-5=( - 3)+( - 5)\) 。
解答：\(( - 3)+( - 5)=-(3 + 5)= - 8\) 。
\(0 - 7\)
分析：\(0\)減去一個數，根據法則，\(0 - 7 = 0+( - 7)\) 。
解答：\(0+( - 7)= - 7\) 。
\(7.2-( - 4.8)\)
分析：把減法變加法，\(7.2\)不變，\(-4.8\)的相反數是\(4.8\) ，即\(7.2-( - 4.8)=7.2 + 4.8\) 。
解答：\(7.2 + 4.8 = 12\) 。
\(( - 3\frac{1}{2})-\frac{1}{2}\)
分析：\(-3\frac{1}{2}\)作為被減數，\(\frac{1}{2}\)的相反數是\(-\frac{1}{2}\) ，式子變為\(( - 3\frac{1}{2})+( - \frac{1}{2})\) 。
解答：\(( - 3\frac{1}{2})+( - \frac{1}{2})=-(3\frac{1}{2}+\frac{1}{2})=-4\) 。
例 2：全班學生分為五個組進行游戲，每組的基本分為\(100\)分，答對一題加\(50\)分，答錯一題扣\(50\)分，游戲結束時，各組的分數如下：
組別
第一組
第二組
第三組
第四組
第五組
分數 / 分
\(150\)
\(-400\)
\(350\)
\(-100\)
\(100\)
（1）第一名超出第二名多少分？
（2）第一名超出第五名多少分？
分析：
（1）首先要找出第一名和第二名的分數，從表格中可知第一名是第三組\(350\)分，第二名是第一組\(150\)分，求超出的分數用減法，即\(350 - 150\) 。
（2）第一名是第三組\(350\)分，第五名是第二組\(-400\)分，求超出分數列式為\(350-( - 400)\) 。
解答：
（1）\(350 - 150 = 200\)（分），所以第一名超出第二名\(200\)分。
（2）\(350-( - 400)=350 + 400 = 750\)（分），所以第一名超出第五名\(750\)分。
四、課堂練習
計算
\(( - 7)-9\)
\(4-( - 6)\)
\(0-( - 8)\)
\(( - 5\frac{1}{3})-2\frac{1}{3}\)
某地一周內每天的最高氣溫與最低氣溫記錄如下表，哪天的溫差最大？哪天的溫差最小？
| 星期 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 日 |
|----|----|----|----|----|----|----|----|
| 最高氣溫\(^{\circ}C\)|\(10\)|\(12\)|\(11\)|\(9\)|\(7\)|\(5\)|\(7\)|
| 最低氣溫\(^{\circ}C\)|\(2\)|\(1\)|\(0\)|\(-1\)|\(-4\)|\(-5\)|\(-5\)|
已知\(a = - 3\) ，\(b = 5\) ，求\(a - b\)與\(b - a\)的值，并比較它們的大小。
教師在學生練習過程中進行巡視，及時發現學生在運用有理數減法法則時出現的問題，比如符號變換錯誤等，給予針對性的指導，幫助學生熟練掌握法則進行正確計算。
五、課堂總結
與學生一起回顧有理數減法法則：減去一個數，等于加上這個數的相反數，用式子表示為\(a - b = a+( - b)\) 。強調在運用法則時，一定要注意 “兩變” ：運算符號由減號變加號，減數變為它的相反數，被減數不變。
總結在進行有理數減法運算時，要先將減法轉化為加法，再按照有理數加法法則進行計算。可以通過觀察式子中數的特點，如正負數情況，合理運用法則簡化計算。
鼓勵學生在生活中遇到涉及數量差的問題時，嘗試運用有理數減法知識來解決，體會數學知識與實際生活的緊密聯系。
六、作業布置
基礎作業
計算下列各式：
\(( - 12)-18\)
\(10-( - 15)\)
\(( - 3.2)-0\)
\(2\frac{1}{4}-3\frac{1}{2}\)
已知\(x = - 2\) ，\(y = 3\) ，求\(x - y\)與\(y - x\)的差。
拓展作業
若\(\vert a\vert = 5\) ，\(\vert b\vert = 3\) ，且\(a\lt b\) ，求\(a - b\)的值。思考在計算過程中，如何根據絕對值的性質確定\(a\)、\(b\)的值，再運用有理數減法法則計算。
某工廠第一季度盈利\(25\)萬元，第二季度虧損\(10\)萬元，第三季度虧損\(35\)萬元，第四季度盈利\(60\)萬元，求這個工廠這一年總的盈利情況。嘗試用有理數減法和加法相結合的方式，列出式子并計算，說明每一步的實際意義。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1.學會把有理數加減法的算式統一成只有加法的算式.
2. 能正確熟練地進行有理數的加減混合運算.
學習目標
敘述有理數的加法法則．
敘述有理數的加法運算律．
知識回顧
同號兩數相加，和取相同的符號，且和的絕對值等于加數的絕對值的和．
絕對值不相等的異號兩數相加，和取絕對值較大的加數的符號，且和的絕對值等于加數的絕對值中較大者與較小者的差．互為相反數的兩個數相加得0．
一個數與0相加，仍得這個數.
加法交換律：a+b=b+a.
加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c).
敘述有理數的減法法則．
小學加減法混合運算的順序是怎樣的？
知識回顧
有理數的減法法則：
減去一個數，等于加上這個數的相反數．
如果是同一級運算，一般按從左往右依次進行計算；
如果有括號，先算括號里面的．
分析：這個算式中有加法，也有減法. 可以先根據有理數減法法則，把減法轉化為加法，即把這個算式改寫為
(－20)＋ (＋3) ＋ (＋5) ＋ (－7).
例1 計算： (－20)＋ (＋3) － (－5) － (＋7).
使問題轉化為幾個有理數的加法.
知識點1 探究有理數的加減混合運算
新知探究
解： (－20)＋ (＋3) － (－5) － (＋7)
＝(－20)＋ (＋3) ＋ (＋5) ＋ (－7)
＝[(－20) ＋ (－7)]＋[ (＋3) ＋ (＋5)]
＝(－27)＋ (＋8)
＝－19.
這里使用了哪些運算律？
加法交換律，加法結合律.
再進行有理數的加法運算.
知識點1 探究有理數的加減混合運算
新知探究
引入相反數后，加減混合運算可以統一為加法運算.
歸納
a＋b－c＝a＋b＋ (－c).
知識點1 探究有理數的加減混合運算
新知探究
這個算式可以讀作“負20、正3、正5、負7的和”，或讀作“負20加3加5減7”.
算式(－20)＋ (＋3) ＋ (＋5) ＋ (－7)是－20，+3，+5，－7 這四個數的和，為書寫簡單，可以省略算式中的括號和加號，把它寫為
－20＋3 ＋5－7.
知識點1 探究有理數的加減混合運算
新知探究
大膽探究：在符號簡寫這個環節，有什么小竅門嗎？
例1的運算過程也可以簡單地寫為
(－20)+(+3)－(－5)－(+7)
=－20+3+5－7
=－20－7+3+5
=－27+8
=－19.
知識點1 探究有理數的加減混合運算
新知探究
有理數加減法混合運算的符號簡寫方法：
一個數前面有偶數個“－”號，結果為正.
一個數前面有奇數個“－”號，結果為負.
0 前面無論有幾個“－”號，結果都為 0.
知識點1 探究有理數的加減混合運算
新知探究
例2 計算 14－25+12－17.
知識點1 探究有理數的加減混合運算
新知探究
解： 14－25+12－17
=14+12－25－17
=26－42
=－16.
是不是變簡單了！
在數軸上，點 A，B 分別表示數a ,b. 對于下列各組數a ,b
a＝2，b＝6；a＝0，b＝6；a＝2，b＝－6；a＝－2，b＝－6.
(1)觀察點A,B在數軸上的位置，你能得出它們之間的距離嗎？
探究
知識點2 利用有理數減法求數軸上兩點間的距離
新知探究
－6 －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 6
a=2
b=6
a=0
b=－6
6－2=4
6－0=6
2－(－6)=8
a=－2
－2－(－6)=4
a＝2，b＝6；a＝0，b＝6；a＝2，b＝－6；a＝－2，b＝－6.
探究
知識點2 利用有理數減法求數軸上兩點間的距離
新知探究
6－2=4
6－0=6
2－(－6)=8
－2－(－6)=4
b－a
b－a
a－b
a－b
(2)利用有理數的運算，你能用含有a , b的算式表示上述各組點A , B之間的距離嗎？
一般地，你能發現點 A， B 之間的距離與數 a，b 之間的關系嗎？
探究
知識點2 利用有理數減法求數軸上兩點間的距離
新知探究
數軸上兩點A，B的距離| AB | 與這兩點所對應的數a，b的關系為：| AB | ＝ | a－b |.
結論
例3 根據圖中提供的信息，回答下列問題.
知識點2 利用有理數減法求數軸上兩點間的距離
新知探究
(1)A,B兩點間的距離是多少？
(2)B,C兩點間的距離是多少？
解：點A表示數2，點B表示數，點C表示數3.
(1)因為|2()|=|2+ |= ，
所以A,B兩點間的距離是.
例3 根據圖中提供的信息，回答下列問題.
知識點2 利用有理數減法求數軸上兩點間的距離
新知探究
(1)A,B兩點間的距離是多少？
(2)B,C兩點間的距離是多少？
解：點A表示數2，點B表示數，點C表示數3.
(2)因為|()(3)|=|+3|=| |= ,
所以B,C兩點間的距離是.
利用有理數的減法求數軸上兩點間的距離的方法
數軸上A,B兩點表示的數分別為a,b時，這兩點之間的距離AB=|ab|,即在數軸上，任意兩點間的距離等于這兩點所表示的數之差的絕對值（或兩點之間的距離等于這兩點所表示的數中較大的數減去較小的數）.
知識點2 利用有理數減法求數軸上兩點間的距離
新知探究
跟蹤訓練 如圖，若x為最大負整數，則表示x的值的點落在( )
A.段①
B.段②
C.段③
D.段④
C
知識點2 利用有理數減法求數軸上兩點間的距離
新知探究
知識點1 有理數加減混合運算統一成加法運算
1.將 寫成省略加號的和的形式是( )
B
A. B.
C. D.
2.下列將算式統一成加法運算，正確的是( )
D
A. B.
C. D.
3.式子 有下面兩種讀法:
讀法一：負2，負1，正6與負9的和；
讀法二：負2減1加6減9.
則關于這兩種讀法，下列說法正確的是( )
D
A.只有讀法一正確 B.只有讀法二正確
C.兩種讀法都不正確 D.兩種讀法都正確
知識點2 有理數加減混合運算
4.［2025廣州白云區期中］算式 等于( )
A
A. B.1 C. D.5
5.在“”里填上一個數，使式子“ ”能用運算律進行簡便運算，
則這個數可能是( )
A
A. B. C. D.
6.（12分）［教材 例6變式］計算：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） .
解：原式 .
7.（8分）簡便計算：
（1） ；
解：原式
.
（2） .
解：原式
.
知識點3 有理數的加減混合運算的實際應用
8.［教材習題變式］某地一天中午12時的氣溫是 ，到14時氣溫
升高了，到晚上22時氣溫又降低了 ，則22時的氣溫為( )
C
A. B. C. D.
9.（4分）［教材習題 變式］［2025杭州期中］一個糧庫從9月1日
至9月7日的糧食進出情況如下表（記進庫為正）.
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
數量/噸
至9月7日運糧結束時，糧庫內的糧食是增多了還是減少了？增減了多少噸？
解： （噸）.
答：至9月7日運糧結束時，糧庫內的糧食減少了，減少了3噸.
10.［2025無錫期中］點 在數軸上從原點向右移動10個單位長度，再向
左移動10個單位長度，最后落點表示的數為( )
A
A.0 B. C.10 D.
11.已知為最小的正整數，為最大的負整數， 是絕對值最小的有理數，
則 的值為( )
A
A.0 B.2 C. D.2或
12.如圖，樂樂將,, ，0，1，2，3，4，5分別填入九個空格內，
使每行、每列、每條對角線上的三個數之和相等，現在，，， 分
別表示其中的一個數，則 的值為____.
5 0
3 1
4
13. 規定圖形 表示運算 ，圖形 表示
運算，則 ___.
0
14.（8分）［2025徐州期中］計算：
（1） ;
解：原式 .
（2） .
解：原式
.
15.（8分）［教材習題 變式］春節將至，玲玲為了招待來家里的
親朋好友，要買6箱香梨，以每箱 為標準，超過或不足的千克數分
別用正，負數（單位： ）來表示，記錄如下：
，0，，，， .
（1）與標準質量相比，這6箱香梨總計超過或不足多少千克？
解： .
答：與標準質量相比，這6箱香梨總計超過 .
（2）若香梨每千克售價6元，則買這6箱香梨需要多少錢？
解： （元）.
答：買這6箱香梨需要181.2元.
16.（12分） 觀察下面的等式：
， ；
，
；
，
，
….
解決下列問題：
（1）計算 ；
解：根據題意得 .
（2）計算 的結果是__________；
（3）求 的值.
解：原式 .
課堂小結
數軸上兩點A，B的距離| AB | 與這兩點所對應的數a，b的關系為：| AB | ＝ | a－b |.
引入相反數后，加減混合運算可以統一為加法運算.
a＋b－c＝a＋b＋ (－c).
有理數的減法
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