資源簡介

(共39張PPT)
2.2.1 有理數的乘法-第2課時
有理數的乘法運算律及多個有理數相乘
第二章 有理數的運算
【2024新教材】人教版數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
2.2.1 有理數的乘法 - 第 2 課時 有理數的乘法運算律及多個有理數相乘
一、知識回顧
有理數乘法法則：通過提問學生回顧上節課內容，強調兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；任何數與\(0\)相乘，積仍為\(0\)。隨機抽取學生計算簡單題目，如\(( - 5) 7\)、\(( - 6) ( - 8)\) 、\(0 ( - 9)\) ，強化對法則的記憶與運用。
有理數加法運算律：簡要回顧加法交換律\(a + b = b + a\)和結合律\((a + b) + c = a + (b + c)\) ，引導學生思考在有理數乘法運算中是否也存在類似的運算律，為新知識的學習做好鋪墊。
二、情境導入
展示超市促銷活動場景：某種飲料每箱\(12\)瓶，原價每瓶\(5\)元。超市推出促銷方案，方案一：先將每瓶價格降低\(1\)元，再購買\(3\)箱；方案二：先購買\(3\)箱，再每瓶優惠\(1\)元。提問學生兩種方案購買飲料的總花費是否相同，如何通過數學運算來驗證。設購買飲料總花費為\(y\)元，方案一可列式為\([(5 - 1) 12] 3\) ，方案二可列式為\((5 - 1) (12 3)\) ，引發學生對有理數乘法運算規律的思考，從而導入本節課內容。
三、知識新授
（一）有理數乘法運算律
乘法交換律
實例探究：計算\(( - 2) 3\)與\(3 ( - 2)\) ，根據有理數乘法法則，\(( - 2) 3 = - 6\) ，\(3 ( - 2)= - 6\) ，發現\(( - 2) 3 = 3 ( - 2)\) 。再計算\(\frac{2}{3} ( - \frac{3}{4})\)與\(( - \frac{3}{4}) \frac{2}{3}\) ，同樣得到相等的結果。
總結規律：引導學生觀察多組類似計算，歸納出乘法交換律：兩個數相乘，交換因數的位置，積不變。用字母表示為\(a b = b a\) ，其中\(a\)，\(b\)為任意有理數。強調交換律在簡化計算中的作用，例如在計算多個數相乘時，可以交換因數位置，將便于計算的數先相乘。
乘法結合律
實例探究：計算\([( - 2) 3] ( - 4)\)與\(( - 2) [3 ( - 4)]\) 。先計算\([( - 2) 3] ( - 4)= ( - 6) ( - 4)=24\) ，再計算\(( - 2) [3 ( - 4)]=( - 2) ( - 12)=24\) ，發現\([( - 2) 3] ( - 4)=( - 2) [3 ( - 4)]\) 。再舉例\((\frac{1}{2} \frac{2}{3}) \frac{3}{4}\)與\(\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \frac{3}{4})\) ，驗證結果相等。
總結規律：引導學生總結出乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把后兩個數相乘，積不變。用字母表示為\((a b) c = a (b c)\) ，說明結合律可以改變乘法運算的順序，在計算多個數相乘時，合理運用結合律能使計算更簡便。
乘法分配律
實例探究：計算\(2 (3 + 5)\)與\(2 3 + 2 5\) 。\(2 (3 + 5)=2 8 = 16\) ，\(2 3 + 2 5 = 6 + 10 = 16\) ，得到\(2 (3 + 5)=2 3 + 2 5\) 。再計算\(( - 3) (4 - 6)\)與\(( - 3) 4 - ( - 3) 6\) ，驗證等式成立。
總結規律：歸納出乘法分配律：一個數同兩個數的和相乘，等于把這個數分別同這兩個數相乘，再把積相加。用字母表示為\(a (b + c)=a b + a c\) ，進一步拓展到\(a (b - c)=a b - a c\) ，強調分配律在有理數混合運算中，可將復雜的乘法與加法（或減法）混合運算轉化為相對簡單的乘法運算，簡化計算過程。
（二）多個有理數相乘
符號確定規則
實例分析：計算\(( - 2) ( - 3) ( - 4)\) ，先計算\(( - 2) ( - 3)=6\) ，再計算\(6 ( - 4)= - 24\) ，此時有\(3\)個負因數，結果為負；計算\(( - 2) ( - 3) 4\) ，\(( - 2) ( - 3)=6\) ，\(6 4 = 24\) ，有\(2\)個負因數，結果為正；計算\(0 ( - 2) ( - 3) ( - 4)=0\) 。
總結規律：引導學生總結出多個有理數相乘的符號確定規則：幾個不等于\(0\)的數相乘，負因數的個數為偶數時，積為正；負因數的個數為奇數時，積為負。只要有一個因數為\(0\)，積就為\(0\) 。
計算方法：在確定符號后，將所有因數的絕對值相乘，得到積的絕對值。例如計算\(( - 3) ( - 2) 5 ( - 4)\) ，負因數有\(3\)個，積的符號為負，\(\vert - 3\vert \vert - 2\vert \vert5\vert \vert - 4\vert = 3 2 5 4 = 120\) ，所以結果為\(-120\) 。強調計算時要先準確確定符號，再進行絕對值的運算，避免因符號錯誤導致結果錯誤。
四、例題講解
例 1：運用運算律計算
\(( - 8) ( - 25) ( - 0.125)\)
分析：觀察式子發現\(-8\)與\(-0.125\)相乘可得整數，根據乘法交換律和結合律進行簡便計算。
解答：\(
\begin{align*}
&( - 8) ( - 25) ( - 0.125)\\
=&( - 8) ( - 0.125) ( - 25)& ¤ \\
=&[ ( - 8) ( - 0.125)] ( - 25)& \\
=&1 ( - 25)\\
=& - 25
\end{align*}
\)
\((\frac{1}{4} - \frac{1}{2} + \frac{2}{3}) ( - 12)\)
分析：式子符合乘法分配律的形式，利用乘法分配律進行計算。
解答：\(
\begin{align*}
&(\frac{1}{4} - \frac{1}{2} + \frac{2}{3}) ( - 12)\\
=&\frac{1}{4} ( - 12) - \frac{1}{2} ( - 12) + \frac{2}{3} ( - 12)& é \\
=& - 3 + 6 - 8\\
=&3 - 8\\
=& - 5
\end{align*}
\)
\(( - 19) ( - 25) 4 ( - 5)\)
分析：先利用乘法交換律交換因數位置，再用乘法結合律將便于計算的數結合起來計算。
解答：\(
\begin{align*}
&( - 19) ( - 25) 4 ( - 5)\\
=&( - 19) [( - 25) 4] ( - 5)& ¤ \\
=&( - 19) ( - 100) ( - 5)\\
=&[ ( - 19) ( - 100)] ( - 5)\\
=&1900 ( - 5)\\
=& - 9500
\end{align*}
\)
例 2：計算多個有理數相乘
\(( - 1) ( - 2) ( - 3) ( - 4) ( - 5)\)
分析：式子中有\(5\)個負因數，負因數個數為奇數，根據多個有理數相乘的符號確定規則，積為負，再計算絕對值的乘積。
解答：\(
\begin{align*}
&( - 1) ( - 2) ( - 3) ( - 4) ( - 5)\\
=& - (\vert - 1\vert \vert - 2\vert \vert - 3\vert \vert - 4\vert \vert - 5\vert)\\
=& - (1 2 3 4 5)\\
=& - 120
\end{align*}
\)
\(0 ( - 3) ( - 4) ( - 5) ( - 6)\)
分析：因為式子中有一個因數\(0\)，根據規則，積為\(0\) 。
解答：\(0 ( - 3) ( - 4) ( - 5) ( - 6)=0\) 。
五、課堂練習
運用運算律計算
\(( - 5) 7 ( - 4)\)
\((\frac{1}{3} - \frac{1}{6} + \frac{1}{2}) ( - 18)\)
\(( - 25) 39 ( - 4)\)
計算多個有理數相乘
\(( - 2) ( - 3) ( - 4) 5\)
\(0 ( - 2) ( - 3) ( - 4) ( - 5) ( - 6)\)
\(( - 1) ( - 2) ( - 3) ( - 10)\)（提示：判斷負因數個數）
某公司去年每月的盈利情況如下（盈利為正，虧損為負，單位：萬元）：\(+12\)，\(-5\)，\(+8\)，\(-3\)，\(+6\)，\(-4\)，\(+10\)，\(-2\)，\(+9\)，\(-7\)，\(+11\)，\(-6\) 。請用簡便方法計算該公司去年全年的盈利總額。
教師在學生練習過程中巡視，觀察學生對乘法運算律和多個有理數相乘規則的運用情況，及時發現并糾正學生出現的錯誤，對運算過程不規范的學生進行指導，幫助學生熟練掌握相關知識和計算方法。
六、課堂總結
回顧乘法運算律：再次強調乘法交換律\(a b = b a\)、結合律\((a b) c = a (b c)\)和分配律\(a (b + c)=a b + a c\) ，說明合理運用運算律可以簡化有理數乘法及混合運算的計算過程，提高計算效率和準確性。
總結多個有理數相乘規則：回顧多個有理數相乘時，先根據負因數的個數確定積的符號（負因數個數為偶數時積為正，為奇數時積為負，有一個因數為\(0\)時積為\(0\)），再計算各因數絕對值的乘積，得到積的絕對值。
強調學習要點：提醒學生在進行有理數乘法運算時，要仔細觀察式子的特點，選擇合適的運算律進行簡便計算；在多個有理數相乘時，務必先準確判斷符號，再進行數值計算，養成良好的運算習慣。
七、作業布置
基礎作業
運用運算律計算下列各式
\(( - 4) ( - 8) ( - 25)\)
\((\frac{2}{3} - \frac{3}{4} - \frac{1}{6}) ( - 24)\)
\(( - 125) ( - 25) ( - 8) ( - 4)\)
計算多個有理數相乘
\(( - 1) ( - 2) ( - 3) ( - 4)\)
\(0 ( - 5) ( - 6) ( - 7) ( - 8)\)
\(( - 2) ( - 3) ( - 4) ( - 5) ( - 6)\)
拓展作業
已知\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)是有理數，\(\vert a - b\vert\leqslant9\)，\(\vert c - d\vert\leqslant16\)，且\(\vert a - b - c + d\vert = 25\) ，求\(\vert b - a\vert - \vert d - c\vert\)的值。思考如何通過有理數的運算律和絕對值的性質，對式子進行變形和計算，培養學生綜合運用知識解決問題的能力。
觀察算式：\(1 2 3 4 + 1 = 25 = 5^2\) ，\(2 3 4 5 + 1 = 121 = 11^2\) ，\(3 4 5 6 + 1 = 361 = 19^2\) ，…… ，找出規律并嘗試證明。引導學生通過對多個有理數相乘式子的觀察、分析，歸納出一般性規律，提升學生的數學探究能力和邏輯推理能力。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1．知道有理數乘法的運算律，并會運用運算律簡化乘法運算.
2．掌握有理數相乘的運算順序及積的符號確定規則.
學習目標
知識回顧
有了有理數的乘法法則后，就要研究乘法的運算律.在小學我們學過乘法的交換律、結合律、乘法對加法的分配律，對于有理數的乘法它們還成立嗎？
知識點1 有理數的乘法運算律
新知探究
探究 計算下列各題，并比較它們的結果，你有什么發現？請再舉幾個例子驗證你的發現．
(1)5×(－6) (2)(－6)×5
(3)[3 ×(－4)] ×(－5) (4)3×[(－4)×(－5)]
=－30
=－30
=60
=60
從上述計算中，你能得出什么結論？
一般地，在有理數乘法中，兩個數相乘，交換乘數的位置，積不變.
乘法交換律：ab=ba.
乘數交換位置
(1)5×(－6) (2)(－6)×5
=－30
=－30
積相等
知識點1 有理數的乘法運算律
新知探究
a×b也可以寫為ab或ab.
當用字母表示乘數時，
“×”可以寫為“”或省略.
(3)[3×(－4)] ×(－5)=60 (4)3×[(－4)×(－5)]=60
類似地，可以發現有理數的乘法結合律仍然成立，
乘法結合律： (ab)c=a(bc).
根據乘法交換律和結合律，多個有理數相乘，可以任意交換乘數的位置，也可以先把其中的幾個數相乘.
即：在有理數乘法中，三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把后兩個數相乘，積不變.
知識點1 有理數的乘法運算律
新知探究
探究
計算下列各題，并比較它們的結果，你有什么發現？
5×[3+(－7)] 5×3+5×(－7)
5×[3+(－7)]=5×3+5×(－7)
=5×(－4)=－20
=15－35=－20
從上述計算中，你能得出什么結論？
知識點1 有理數的乘法運算律
新知探究
一般地，在有理數中，一個數與兩個數的和相乘，等于把這個數分別與這兩個數相乘，再把積相加．
分配律： a(b+c)=ab+ac.
交換律、結合律、分配律等運算律在運算中有重要作用,它們是解決許多數學問題的基礎.
知識點1 有理數的乘法運算律
新知探究
知識點1 有理數的乘法運算律
新知探究
例1 （1）計算2×3×0.5×(－7)；
解：(1) 2×3×0.5×(－7)
=(2×0.5)×[3×(－7)]
=1×(－21)
=－21.
知識點1 有理數的乘法運算律
新知探究
例1 （2）用兩種方法計算 12；
解：(2)解法1： 12
=12
=12
=－1
知識點1 有理數的乘法運算律
新知探究
例1 （2）用兩種方法計算 12；
= 12+ 12－ 12
=3+2－6
=－1
比較解法1與解法2，它們在運算順序上有什么區別？解法2用了什么運算律？哪種解法更簡便？
解：(2)解法2： 12
解法1是先做括號里面的加減法運算，再做乘法運算.
解法2是先去括號做乘法運算，再做加減法運算.
解法2運用了分配律，解法2運算量小，
解法2更簡便.
知識點1 有理數的乘法運算律
新知探究
知識點2 多個有理數相乘的積的符號法則
新知探究
探究
改變例1（1）的乘積式子中某些乘數的符號，得到下列一些式子，觀察這些式子，它們的積是正的還是負的？
2×3×0.5×(－7)；
2×3×(－0.5)×(－7)；
2×(－3)×(－0.5)×(－7)；
(－2)× (－3) ×(－0.5)×(－7).
算式 得數 負的乘數的個數
2×3×0.5×(－7)
2×3×(－0.5)×(－7)
2×(－3)×(－0.5)×(－7)
(－2)× (－3) ×(－0.5)×(－7)
－21
21
－21
21
1
2
3
4
知識點2 多個有理數相乘的積的符號法則
新知探究
歸納
幾個不為0的數相乘，負的乘數的個數是______時，積為正數；負的乘數的個數是______時，積為負數；幾個數相乘，如果其中有乘數為0，那么積為0.
偶數
奇數
知識點2 多個有理數相乘的積的符號法則
新知探究
幾個不為0的數相乘，積的符號與負的乘數的個數之間有什么關系？如果有乘數為0，那么積有什么特點？
(2) (－5)×6
(1)
例2 計算.
解：
=
=.
解：(－5)×6
=5×6
=6.
先定符號，再算絕對值.
知識點2 多個有理數相乘的積的符號法則
新知探究
跟蹤訓練 計算.
（1）
（2）(－1)×0×(－1).
解：（1）
（2）(－1) ×0×(－1)=0.
知識點2 多個有理數相乘的積的符號法則
新知探究
=
= .
知識點1 有理數的乘法運算律
1.填空：
（1）______ ；
（2） ______ ；
（3） __ ______.
2.算式 中，運用了( )
A
A.乘法交換律和乘法結合律 B.分配律
C.乘法交換律和分配律 D.乘法結合律和分配律
3.計算 時，可以使運算簡便的是( )
B
A.乘法交換律 B.分配律 C.乘法結合律 D.加法結合律
4.在算式 中，
逆用了( )
D
A.加法交換律 B.乘法交換律 C.乘法結合律 D.分配律
5.（12分）［教材P練習T 變式］用簡便方法計算：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式
.
（3） .
解：原式 .
知識點2 多個有理數相乘
6.下列算式的結果為正數的是( )
A
A. B.
C. D.
7.［2025無錫期中］若，5，的積是一個負數，則 的值可以是
( )
A
A.12 B. C. D.0
8.計算 的結果是( )
A
A. B. C. D.
9.（12分）計算：
（1） ；
解： .
（2） ；
解： .
（3） .
解： .
10.若四個有理數相乘，積為負數，則負的乘數的個數是( )
D
A.1 B.2 C.3 D.1或3
11.在，，，， 這五個數中，任意三個數的積最小為
( )
B
A. B. C. D.
12.如圖，數軸上有，，， 四個點，現從中選取一個點作為原點，
使其余三個點表示的數的積為正數，則選取的這一點可以是( )
B
A.點或點 B.點或點 C.點或點 D.點或 點
13.（8分）計算：
（1） ；
解：原式
.
（2） .
解：原式
.
14.（12分） 學習了有理數的乘法后，老師給同學們出
了這樣一道題：計算 ，看誰算得又對又快.有兩位同學的解
法如下：
（1）兩位同學的解法，______的解法比較好；
小俊
（2）你還有更好的方法嗎？如果有，請把它寫出來；
解：有.
原式
.
（3）用你認為最合適的方法計算： .
解：原式
.
15.（4分） 閱讀材料，回答問題.
；
.
根據以上信息，計算下列算式：
.
解：
.
課堂小結
多個有理數相乘的積的符號法則：
幾個不為0的數相乘，負的乘數的個數是偶數時，積為正數；負的乘數的個數是奇數時，積為負數；幾個數相乘，如果其中有乘數為0，那么積為0.
有理數的乘法運算律:
乘法交換律：ab=ba;
乘法結合律：(ab)c=a(bc);
分配律：a(b+c)=ab+ac.
有理數的乘法
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