資源簡(jiǎn)介

(共36張PPT)
2.2.2 有理數(shù)的除法-第1課時(shí)
有理數(shù)的除法法則
第二章 有理數(shù)的運(yùn)算
【2024新教材】人教版數(shù)學(xué) 七年級(jí)上冊(cè)
授課教師：********
班 級(jí)：********
時(shí) 間：********
2.2.2 有理數(shù)的除法 - 第 1 課時(shí) 有理數(shù)的除法法則
一、知識(shí)回顧
有理數(shù)乘法法則：回顧兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘；任何數(shù)與\(0\)相乘，積仍為\(0\)。隨機(jī)提問(wèn)學(xué)生計(jì)算如\(( - 3) 4\)、\(( - 5) ( - 2)\) 、\(0 ( - 7)\) ，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)乘法法則的記憶，為學(xué)習(xí)除法法則做好鋪墊，因?yàn)槌ㄊ浅朔ǖ哪孢\(yùn)算，二者聯(lián)系緊密。
有理數(shù)乘法運(yùn)算律：簡(jiǎn)要回顧乘法交換律\(a b = b a\)、結(jié)合律\((a b) c = a (b c)\)和分配律\(a (b + c)=a b + a c\) ，引導(dǎo)學(xué)生思考乘法與除法運(yùn)算在性質(zhì)和規(guī)律上的異同，激發(fā)學(xué)生對(duì)新知識(shí)的探索興趣。
二、情境導(dǎo)入
創(chuàng)設(shè)分糖果的情境：小明有\(zhòng)(12\)顆糖果，要平均分給\(3\)個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友能得到幾顆糖果？學(xué)生很容易列出算式\(12 ·3 = 4\) 。接著改變情境，小明有\(zhòng)(-12\)顆糖果（可以理解為欠別人\(12\)顆糖果），同樣要平均分給\(3\)個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友 “得到” 幾顆糖果呢？該如何列式計(jì)算？由此引出本節(jié)課有理數(shù)除法法則的學(xué)習(xí)內(nèi)容，讓學(xué)生在熟悉的情境中感受有理數(shù)除法的實(shí)際意義。
三、知識(shí)新授
（一）有理數(shù)除法法則的探究
從乘法逆運(yùn)算角度推導(dǎo)：因?yàn)槌ㄊ浅朔ǖ哪孢\(yùn)算，所以我們可以通過(guò)乘法來(lái)推導(dǎo)除法法則。例如，計(jì)算\(( - 12) ·3\) ，思考哪個(gè)數(shù)乘以\(3\)等于\(-12\) ，根據(jù)有理數(shù)乘法法則，\(( - 4) 3 = - 12\) ，所以\(( - 12) ·3 = - 4\) 。再如計(jì)算\(12 ·( - 3)\) ，由于\(( - 4) ( - 3)=12\) ，所以\(12 ·( - 3)= - 4\) ；計(jì)算\(( - 12) ·( - 3)\) ，因?yàn)閈(4 ( - 3)= - 12\) ，所以\(( - 12) ·( - 3)=4\) 。
總結(jié)規(guī)律：引導(dǎo)學(xué)生觀察以上計(jì)算結(jié)果，總結(jié)有理數(shù)除法的符號(hào)規(guī)律：兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)。再觀察商的絕對(duì)值，發(fā)現(xiàn)商的絕對(duì)值等于被除數(shù)的絕對(duì)值除以除數(shù)的絕對(duì)值。例如\(\vert - 12\vert ·\vert3\vert = 12 ·3 = 4\) ，\(\vert12\vert ·\vert - 3\vert = 12 ·3 = 4\) ，\(\vert - 12\vert ·\vert - 3\vert = 12 ·3 = 4\) 。
特殊情況討論：思考\(0\)做被除數(shù)或除數(shù)的情況。因?yàn)槿魏螖?shù)乘以\(0\)都等于\(0\) ，所以\(0 ·a = 0\)（\(a\neq0\)）；而找不到一個(gè)數(shù)與\(0\)相乘能得到非零的數(shù)，所以\(a ·0\)（\(a\)為非零有理數(shù)）是沒(méi)有意義的，即\(0\)不能做除數(shù)。
（二）有理數(shù)除法法則的表述
文字表述：有理數(shù)除法法則為：兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。\(0\)除以任何一個(gè)不等于\(0\)的數(shù)，都得\(0\) 。
數(shù)學(xué)符號(hào)表述：設(shè)\(a\)、\(b\)為有理數(shù)（\(b\neq0\)），當(dāng)\(a\)、\(b\)同號(hào)時(shí)，\(a ·b = + (\vert a\vert ·\vert b\vert)\)；當(dāng)\(a\)、\(b\)異號(hào)時(shí)，\(a ·b = - (\vert a\vert ·\vert b\vert)\)；當(dāng)\(a = 0\)，\(b\neq0\)時(shí)，\(a ·b = 0\) 。
（三）有理數(shù)除法與乘法的關(guān)系
講解除以一個(gè)不等于\(0\)的數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。例如\(6 ·3 = 6 \frac{1}{3}=2\) ，\(( - 8) ·( - 2)=( - 8) ( - \frac{1}{2}) = 4\) ，\(10 ·( - 5)=10 ( - \frac{1}{5}) = - 2\) 。強(qiáng)調(diào)在進(jìn)行有理數(shù)除法運(yùn)算時(shí)，可以將除法轉(zhuǎn)化為乘法，利用乘法法則進(jìn)行計(jì)算，這樣能使計(jì)算更加簡(jiǎn)便，同時(shí)也進(jìn)一步體現(xiàn)了乘法與除法之間的緊密聯(lián)系。
四、例題講解
例 1：計(jì)算
\(( - 15) ·( - 3)\)
分析：兩個(gè)數(shù)都是負(fù)數(shù)，屬于同號(hào)相除，根據(jù)有理數(shù)除法法則，同號(hào)得正，再把絕對(duì)值相除，\(\vert - 15\vert ·\vert - 3\vert = 15 ·3 = 5\) 。
解答：\(( - 15) ·( - 3)= + (\vert - 15\vert ·\vert - 3\vert)=5\) 。
\(36 ·( - 9)\)
分析：一個(gè)正數(shù)除以一個(gè)負(fù)數(shù)，異號(hào)相除，根據(jù)法則，異號(hào)得負(fù)，然后計(jì)算絕對(duì)值相除，\(\vert36\vert ·\vert - 9\vert = 36 ·9 = 4\) 。
解答：\(36 ·( - 9)= - (\vert36\vert ·\vert - 9\vert)= - 4\) 。
\(0 ·( - 7)\)
分析：根據(jù)\(0\)除以任何一個(gè)不等于\(0\)的數(shù)都得\(0\)的法則。
解答：\(0 ·( - 7)=0\) 。
\(( - 0.5) ·\frac{1}{4}\)
分析：先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，\(\frac{1}{4}\)的倒數(shù)是\(4\) ，則\(( - 0.5) ·\frac{1}{4}=( - 0.5) 4\) ，再根據(jù)有理數(shù)乘法法則計(jì)算，\(( - 0.5) 4 = - 2\) 。
解答：\(
\begin{align*}
&( - 0.5) ·\frac{1}{4}\\
=&( - 0.5) 4\\
=& - 2
\end{align*}
\)
例 2：某工廠生產(chǎn)一批零件，規(guī)定每天生產(chǎn)\(20\)個(gè)為標(biāo)準(zhǔn)，超過(guò)的數(shù)量記為正，不足的數(shù)量記為負(fù)。一周的生產(chǎn)記錄如下（單位：個(gè)）：\(+3\) ，\(-2\) ，\(+5\) ，\(-1\) ，\(+0\) ，\(+4\) ，\(-3\) 。如果生產(chǎn)的零件總數(shù)平均分配到\(7\)天，那么每天實(shí)際生產(chǎn)多少個(gè)零件？
分析：首先計(jì)算一周生產(chǎn)零件的總數(shù)，\(20 7 + 3 - 2 + 5 - 1 + 0 + 4 - 3 = 140 + 6 = 146\)個(gè)。然后用總數(shù)除以\(7\)天，即\(146 ·7\) ，根據(jù)有理數(shù)除法法則計(jì)算。
解答：\(
\begin{align*}
&(20 7 + 3 - 2 + 5 - 1 + 0 + 4 - 3) ·7\\
=&146 ·7\\
=&\frac{146}{7}\\
=&20\frac{6}{7}
\end{align*}
\)
答：每天實(shí)際生產(chǎn)\(20\frac{6}{7}\)個(gè)零件。
五、課堂練習(xí)
計(jì)算
\(( - 24) ·( - 6)\)
\(48 ·( - 8)\)
\(0 ·( - 5)\)
\(( - \frac{3}{4}) ·\frac{1}{2}\)
已知\(a = - 12\) ，\(b = 3\) ，求\(a ·b\)與\(b ·a\)的值。
某商店一周內(nèi)每天的利潤(rùn)情況如下（盈利為正，虧損為負(fù)，單位：元）：\(+150\) ，\(-20\) ，\(+80\) ，\(-35\) ，\(+120\) ，\(-50\) ，\(+100\) 。如果將這一周的總利潤(rùn)平均分配到\(7\)天，那么每天的平均利潤(rùn)是多少元？
教師在學(xué)生練習(xí)過(guò)程中巡視，觀察學(xué)生對(duì)有理數(shù)除法法則的掌握情況，特別是符號(hào)的確定和除法與乘法轉(zhuǎn)化的運(yùn)用，及時(shí)糾正學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤，對(duì)理解困難的學(xué)生進(jìn)行個(gè)別輔導(dǎo)。
六、課堂總結(jié)
回顧有理數(shù)除法法則：再次強(qiáng)調(diào)兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除；\(0\)除以任何一個(gè)不等于\(0\)的數(shù)都得\(0\) ，\(0\)不能做除數(shù)。讓學(xué)生清晰記憶法則內(nèi)容，明確在進(jìn)行有理數(shù)除法運(yùn)算時(shí)，先判斷符號(hào)，再計(jì)算絕對(duì)值。
總結(jié)除法與乘法的關(guān)系：回顧除以一個(gè)不等于\(0\)的數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，強(qiáng)調(diào)在實(shí)際計(jì)算中，可以靈活將除法轉(zhuǎn)化為乘法，利用乘法法則和運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算。
強(qiáng)調(diào)易錯(cuò)點(diǎn)：提醒學(xué)生在計(jì)算過(guò)程中，要特別注意\(0\)不能做除數(shù)，以及在將除法轉(zhuǎn)化為乘法時(shí)，要準(zhǔn)確找到除數(shù)的倒數(shù)，避免因這些問(wèn)題導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤。
七、作業(yè)布置
基礎(chǔ)作業(yè)
計(jì)算下列各式
\(( - 32) ·( - 8)\)
\(72 ·( - 9)\)
\(0 ·( - 12)\)
\(( - \frac{2}{3}) ·\frac{3}{4}\)
已知\(\vert x\vert = 18\) ，\(y = - 6\) ，求\(x ·y\)的值（注意分情況討論）。
拓展作業(yè)
若\(a\)、\(b\)互為相反數(shù)（\(a\neq0\)），\(c\)、\(d\)互為倒數(shù)，\(m\)的絕對(duì)值是\(2\) ，求\(\frac{a + b}{m}+m - cd\)的值。思考如何綜合運(yùn)用有理數(shù)的相關(guān)概念和除法法則進(jìn)行計(jì)算，提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。
觀察算式：\(1 ·(1 - \frac{1}{2})\) ，\(1 ·(1 - \frac{1}{2}) ·(1 - \frac{1}{3})\) ，\(1 ·(1 - \frac{1}{2}) ·(1 - \frac{1}{3}) ·(1 - \frac{1}{4})\) ，…… ，找出規(guī)律并計(jì)算\(1 ·(1 - \frac{1}{2}) ·(1 - \frac{1}{3}) · ·(1 - \frac{1}{100})\)的值。引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)有理數(shù)除法式子的觀察、分析，歸納出一般性規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和探究能力。
5
課堂檢測(cè)
4
新知講解
6
變式訓(xùn)練
7
中考考法
8
小結(jié)梳理
學(xué)習(xí)目錄
1
復(fù)習(xí)引入
2
新知講解
3
典例講解
1. 掌握有理數(shù)除法法則.
2．能熟練運(yùn)用法則進(jìn)行有理數(shù)除法運(yùn)算.
學(xué)習(xí)目標(biāo)
知識(shí)回顧
你能很快地說(shuō)出下列各數(shù)的倒數(shù)嗎
a 7 0
a的倒數(shù)
1
1. 乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù).
2. 0沒(méi)有倒數(shù).
知識(shí)回顧
回顧 回憶在小學(xué)中你學(xué)過(guò)的除法運(yùn)算.
思考 有理數(shù)的除法呢？？
除法是已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算.除法是乘法的逆運(yùn)算
知識(shí)點(diǎn) 有理數(shù)除法法則
新知探究
思考 怎樣計(jì)算8÷(4)？
根據(jù)除法是乘法的逆運(yùn)算，計(jì)算8÷(4) ，就是要求一個(gè)數(shù)，使它與4相乘得8.
因?yàn)? (2)(4)=____.
8
2
所以 8÷(4)=2.
①
又因?yàn)? 8()=____.
②
根據(jù)①②可得 8÷(4)=8().
一個(gè)數(shù)除以4可以轉(zhuǎn)化為進(jìn)行，即一個(gè)數(shù)除以4，等于乘4的倒數(shù).
探究 換其他數(shù)再試一試？
(3)×2=____
6
6÷2=____
6÷2 = 6×
3
(3)×(2)=____
6÷ (2)=____
6÷ (2)=6 ×()
6×=____
3
6×()=____
3
6
3
知識(shí)點(diǎn) 有理數(shù)除法法則
新知探究
有理數(shù)除法法則1：
除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù).
這個(gè)法則也可以表示成
a÷b=a· （b0）.
注意：兩個(gè)有理數(shù)相除（除數(shù)不為0），商是一個(gè)有理數(shù).
除法在運(yùn)算時(shí)有2個(gè)要素要發(fā)生變化.
1.除號(hào)→乘號(hào)；2.除數(shù)→倒數(shù).
變
變
知識(shí)點(diǎn) 有理數(shù)除法法則
新知探究
探究
72÷9=___________=____;
(12)÷() =___________=____;
()÷2=___________=____;
12÷( )=___________=____;
0÷(6) =___________=____.
8
72×
48
12×()
16
同號(hào)兩數(shù)相除，轉(zhuǎn)變成同號(hào)兩數(shù)相乘，結(jié)果得正.
異號(hào)兩數(shù)相除，轉(zhuǎn)變成異號(hào)兩數(shù)相乘，結(jié)果得負(fù).
零除以任何非零數(shù)得零.
知識(shí)點(diǎn) 有理數(shù)除法法則
新知探究
(12)×(4)
()×
0×()
0
a÷b=a· （b0）.
兩數(shù)相除，同號(hào)得 ，異號(hào)得 ，且商的絕對(duì)
值等于被除數(shù)的絕對(duì)值除以除數(shù)的絕對(duì)值的商.
0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得 .
正
負(fù)
0
有理數(shù)除法法則2：
知識(shí)點(diǎn) 有理數(shù)除法法則
新知探究
例1 計(jì)算: (1) (－36) ÷9； (2) .
.
解： (1) (－36)÷9＝－(36÷9)＝－4.
(2)
當(dāng)除數(shù)是分?jǐn)?shù)時(shí)，一般選擇方法：
把除法轉(zhuǎn)化為乘法進(jìn)行計(jì)算.
變倒數(shù)
知識(shí)點(diǎn) 有理數(shù)除法法則
新知探究
跟蹤訓(xùn)練 1.計(jì)算：
(1)(18)÷6 (2) (63)÷(7)
(3)1÷(9) (4)0÷(8)
(5) (6.5)÷0.13 (6)
=3
=9
=0
=50
=3
=
知識(shí)點(diǎn) 有理數(shù)除法法則
新知探究
例2 化簡(jiǎn): (1) ； (2).
解： (1) = (2) ÷3=( 2÷3) = .
(2) = (45) ÷(12)= 45÷12 = .
帶有分?jǐn)?shù)線的數(shù)可以理解為分子除以分母.
在上面我們得到 = 這表明是負(fù)分?jǐn)?shù)，因而是有理數(shù)；
反過(guò)來(lái)看， = ，又表明 可以寫(xiě)成 這樣兩個(gè)整數(shù)相除的形式.
先定符號(hào)，
再算絕對(duì)值．
知識(shí)點(diǎn) 有理數(shù)除法法則
新知探究
一般地，根據(jù)有理數(shù)的除法，形如 (p,q 是整數(shù), q ≠0)的數(shù)都是有理數(shù)；有理數(shù)又都可以寫(xiě)成上述形式(整數(shù)可以看成分母為1的分?jǐn)?shù)).這樣，有理數(shù)就是形如 (p，q 是整數(shù)，
q ≠0 )的數(shù).
知識(shí)點(diǎn) 有理數(shù)除法法則
新知探究
有理數(shù)的概念擴(kuò)充了哦！
一般地，根據(jù)有理數(shù)的除法，形如 (p,q 是整數(shù), q ≠0)的數(shù)都是有理數(shù)；有理數(shù)又都可以寫(xiě)成上述形式(整數(shù)可以看成分母為1的分?jǐn)?shù)).這樣，有理數(shù)就是形如 (p，q 是整數(shù)，
q ≠0 )的數(shù).
知識(shí)點(diǎn) 有理數(shù)除法法則
新知探究
有理數(shù)表示為分?jǐn)?shù)形式非常重要，在以后的學(xué)習(xí)中，你將逐漸體會(huì)到它在數(shù)學(xué)中的價(jià)值.
跟蹤訓(xùn)練 2.化簡(jiǎn)：
(1) ； (2) ； (3) ； (4).
解： (1) = (72) ÷9=( 72÷9) =8；
(2) = (30) ÷(45)= 30÷45 = ；
(3) = 0；
(4) = 27 ÷6= .
知識(shí)點(diǎn) 有理數(shù)除法法則
新知探究
知識(shí)點(diǎn)1 有理數(shù)的除法法則
1.把 轉(zhuǎn)化為乘法是( )
C
A. B. C. D.
2.［2025天津北辰區(qū)月考］計(jì)算 的結(jié)果等于( )
A
A.3 B. C.2 D.
3.下列計(jì)算錯(cuò)誤的是( )
B
A. B.
C. D.
4.已知算式 ( ) ，則括號(hào)內(nèi)的數(shù)為( )
D
A. B. C. D.
5.兩個(gè)非零有理數(shù)的和為0，則它們的商是( )
B
A.0 B. C.1 D.不能確定
6.（24分）［教材練習(xí) 變式］計(jì)算：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） ；
解：原式 .
（4） ；
解：原式 .
（5） ；
解：原式 .
（6） .
解：原式 .
知識(shí)點(diǎn)2 分?jǐn)?shù)的化簡(jiǎn)
7.化簡(jiǎn)下列分?jǐn)?shù)：
（1） ____；
（2） __；
（3） ___.
0
8.（16分）化簡(jiǎn)下列各分?jǐn)?shù)：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） ;
解：原式 .
（4） .
解：原式 .
9.［2025鄭州期中］某同學(xué)在計(jì)算時(shí)，誤將“ ”看成“ ”，得
到的結(jié)果是，則 的正確結(jié)果是( )
B
A.2 B. C. D.
10.已知有理數(shù)，滿足， ，則( )
D
A.，同號(hào)且同為負(fù)數(shù) B.， 同號(hào)且同為正數(shù)
C.，異號(hào)且正數(shù)的絕對(duì)值大 D.， 異號(hào)且負(fù)數(shù)的絕對(duì)值大
11.如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的有理數(shù)分別為， ，則下列結(jié)論：
；；； .其中正確的有( )
B
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
12.已知，，則 的值為_(kāi)______.
6或
13.（12分）［教材練習(xí) 變式］計(jì)算：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） .
解：原式 .
14.（8分）［2025長(zhǎng)春月考］如果對(duì)于任何有理數(shù)，定義運(yùn)算“ ”
如下：，如 .
（1）求 的值；
解： .
（2）求 的值.
解： ，
所以 .
15.（8分） 閱讀：比較與 的大小.
解：方法一：利用兩數(shù)的差的正負(fù)來(lái)判斷.
因?yàn)椋?.
方法二：利用兩數(shù)的商，看商是大于1還是小于1來(lái)判斷.
因?yàn)椋?，
所以 .
請(qǐng)從以上兩種方法中任選一種你認(rèn)為簡(jiǎn)單的方法比較下列有理數(shù)的大小：
（1）和 ；
解：因?yàn)?，
所以 .
（2）和 .
解：因?yàn)?，
所以，所以 .
課堂小結(jié)
有理數(shù)除法法則2：兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，且商的絕對(duì)值等于被除數(shù)的絕對(duì)值除以除數(shù)的絕對(duì)值的商.
0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0.
有理數(shù)除法法則1：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù).
有理數(shù)的除法
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