資源簡介

(共39張PPT)
2.3.1 乘方-第1課時 乘方
第二章 有理數(shù)的運算
【2024新教材】人教版數(shù)學(xué) 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
2.3.1 乘方 - 第 1 課時 乘方
一、復(fù)習(xí)舊知，情境導(dǎo)入
（一）知識回顧
回顧有理數(shù)的乘法運算，通過提問和計算練習(xí)，強化學(xué)生對乘法法則的掌握。隨機抽取學(xué)生計算如\(( - 3) 4\)、\(5 ( - 2)\)、\(( - 6) ( - 7)\)等題目，讓學(xué)生再次明確兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘的法則，為學(xué)習(xí)乘方運算奠定基礎(chǔ)，因為乘方是相同因數(shù)的乘法運算的簡便表示形式 。
（二）情境導(dǎo)入
折紙情境：拿出一張紙，進行對折操作，提問學(xué)生：對折\(1\)次后，紙張層數(shù)為\(2\)層；對折\(2\)次后，紙張層數(shù)為\(2 2 = 4\)層；對折\(3\)次后，紙張層數(shù)為\(2 2 2 = 8\)層；如果對折\(10\)次，紙張層數(shù)是多少呢？此時寫成\(2 2 2 · · · 2\)（共\(10\)個\(2\)相乘），這樣的書寫方式比較繁瑣，有沒有更簡便的表示方法呢？從而引出乘方的概念。
細胞分裂情境：假設(shè)某種細胞每\(30\)分鐘由\(1\)個分裂成\(2\)個。經(jīng)過\(1\)小時，\(1\)個細胞分裂成\(2 2 = 4\)個；經(jīng)過\(1.5\)小時，分裂成\(2 2 2 = 8\)個；經(jīng)過\(5\)小時，細胞會分裂\(10\)次，此時細胞個數(shù)為\(2 2 · · · 2\)（\(10\)個\(2\)相乘） 。這種多個相同因數(shù)相乘的情況在實際生活中經(jīng)常出現(xiàn)，為了更簡潔地表示，我們需要學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識 —— 乘方。
二、知識新授
（一）乘方的定義
概念講解：一般地，\(n\)個相同的因數(shù)\(a\)相乘，記作\(a^n\)，讀作 “\(a\)的\(n\)次方”。即\(a a · · · a\)（\(n\)個\(a\)相乘）\(= a^n\)。例如，\(2 2 2 2 = 2^4\)，讀作 “\(2\)的\(4\)次方”；\(( - 3) ( - 3) ( - 3)= ( - 3)^3\)，讀作 “\(-3\)的\(3\)次方” 。
各部分名稱：在\(a^n\)中，\(a\)叫做底數(shù)，\(n\)叫做指數(shù)，當(dāng)\(a^n\)看作\(a\)的\(n\)次方的結(jié)果時，也可讀作 “\(a\)的\(n\)次冪” 。例如在\(5^3\)中，底數(shù)是\(5\)，指數(shù)是\(3\)，它表示\(3\)個\(5\)相乘，結(jié)果是\(125\)，也可讀作 “\(5\)的\(3\)次冪” 。強調(diào)底數(shù)是相同的因數(shù)，指數(shù)是相同因數(shù)的個數(shù)，讓學(xué)生明確乘方運算中各部分的含義。
（二）乘方的運算法則
正數(shù)的乘方：計算\(2^2 = 2 2 = 4\)，\(3^3 = 3 3 3 = 27\) ，\(4^4 = 4 4 4 4 = 256\)等，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)正數(shù)的任何次冪都是正數(shù) 。
負數(shù)的乘方：計算\(( - 2)^2 = ( - 2) ( - 2)= 4\)，\(( - 2)^3 = ( - 2) ( - 2) ( - 2)= - 8\) ，\(( - 2)^4 = ( - 2) ( - 2) ( - 2) ( - 2)= 16\) 。總結(jié)得出：負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù) 。
\(0\)的乘方：因為\(0\)乘任何數(shù)都為\(0\)，所以\(0\)的任何正整數(shù)次冪都是\(0\) ，如\(0^2 = 0\)，\(0^5 = 0\) 。
\(1\)和\(-1\)的乘方：\(1\)的任何次冪都等于\(1\)，即\(1^2 = 1\)，\(1^{100} = 1\)；\(-1\)的偶次冪等于\(1\)，如\(( - 1)^2 = 1\)，\(( - 1)^4 = 1\)；\(-1\)的奇次冪等于\(-1\)，如\(( - 1)^3 = - 1\)，\(( - 1)^5 = - 1\) 。
（三）乘方與乘法的關(guān)系
強調(diào)乘方是乘法的簡便運算，但二者又有區(qū)別。乘法是求幾個數(shù)的積的運算，而乘方是求幾個相同因數(shù)的積的運算。例如\(3 4\)表示\(3\)個\(4\)相加或\(4\)個\(3\)相加；\(3^4\)表示\(4\)個\(3\)相乘 。在計算乘方時，本質(zhì)上還是進行乘法運算，如計算\(( - 2)^3\)，就是計算\(( - 2) ( - 2) ( - 2)\) ，通過乘法運算得出結(jié)果\(-8\) 。
三、例題講解
例 1：把下列各式寫成乘方的形式
\(6 6 6 6\)
分析：式子中有\(zhòng)(4\)個\(6\)相乘，根據(jù)乘方的定義，底數(shù)是\(6\)，指數(shù)是\(4\) 。
解答：\(6 6 6 6 = 6^4\) 。
\(( - 5) ( - 5) ( - 5)\)
分析：這里是\(3\)個\(-5\)相乘，底數(shù)為\(-5\)，指數(shù)是\(3\) 。
解答：\(( - 5) ( - 5) ( - 5)= ( - 5)^3\) 。
\(\frac{2}{3} \frac{2}{3} \frac{2}{3} \frac{2}{3} \frac{2}{3}\)
分析：\(5\)個\(\frac{2}{3}\)相乘，底數(shù)是\(\frac{2}{3}\)，指數(shù)為\(5\) 。
解答：\(\frac{2}{3} \frac{2}{3} \frac{2}{3} \frac{2}{3} \frac{2}{3}= (\frac{2}{3})^5\) 。
例 2：計算
\(3^4\)
分析：\(3^4\)表示\(4\)個\(3\)相乘，即\(3 3 3 3\) 。
解答：\(3^4 = 3 3 3 3 = 81\) 。
\(( - 2)^5\)
分析：\(( - 2)^5\)表示\(5\)個\(-2\)相乘，根據(jù)負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，先確定符號為負，再計算\(2 2 2 2 2\) 。
解答：\(( - 2)^5 = ( - 2) ( - 2) ( - 2) ( - 2) ( - 2)= - 32\) 。
\(-2^5\)
分析：這里要注意與\(( - 2)^5\)的區(qū)別，\(-2^5\)表示\(2^5\)的相反數(shù)，先計算\(2^5 = 2 2 2 2 2 = 32\) ，再取相反數(shù) 。
解答：\(-2^5 = - (2 2 2 2 2)= - 32\) 。
\(0^7\)
分析：根據(jù)\(0\)的任何正整數(shù)次冪都是\(0\) 。
解答：\(0^7 = 0\) 。
四、課堂練習(xí)
把下列各式寫成乘方的形式
\(4 4 4 4 4\)
\(( - 7) ( - 7) ( - 7) ( - 7)\)
\(\frac{1}{5} \frac{1}{5} \frac{1}{5}\)
計算
\(4^3\)
\(( - 3)^4\)
\(-3^4\)
\(1^{2024}\)
\(( - 1)^{2025}\)
已知一個正方體的棱長為\(a\)，當(dāng)棱長變?yōu)樵瓉淼腬(2\)倍時，它的體積變?yōu)樵瓉淼亩嗌俦叮浚ㄕ襟w體積公式\(V = a^3\)）
教師在學(xué)生練習(xí)過程中巡視，觀察學(xué)生對乘方概念的理解、乘方運算的掌握以及對易混淆情況（如\(( - a)^n\)與\(-a^n\)）的區(qū)分，及時糾正學(xué)生出現(xiàn)的錯誤，對理解困難的學(xué)生進行個別輔導(dǎo)。
五、課堂總結(jié)
回顧乘方的概念：強調(diào)乘方是\(n\)個相同因數(shù)\(a\)相乘的簡便表示形式，\(a^n\)中\(zhòng)(a\)是底數(shù)，\(n\)是指數(shù)，可讀作 “\(a\)的\(n\)次方” 或 “\(a\)的\(n\)次冪” 。
總結(jié)乘方的運算法則：再次明確正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，偶次冪是正數(shù)；\(0\)的任何正整數(shù)次冪都是\(0\)；\(1\)的任何次冪都為\(1\)，\(-1\)的偶次冪為\(1\)，奇次冪為\(-1\) 。
強調(diào)易錯點：提醒學(xué)生注意區(qū)分\(( - a)^n\)與\(-a^n\)的意義和計算結(jié)果的不同，在進行乘方運算時，要先確定符號，再計算數(shù)值 。鼓勵學(xué)生在課后多做練習(xí)，熟練掌握乘方運算。
六、作業(yè)布置
基礎(chǔ)作業(yè)
把下列各式寫成乘方的形式
\(7 7 7 7 7 7\)
\(( - 9) ( - 9) ( - 9) ( - 9)\)
\(\frac{3}{4} \frac{3}{4} \frac{3}{4} \frac{3}{4}\)
計算
\(5^3\)
\(( - 4)^3\)
\(-4^3\)
\(0^{10}\)
\(( - 1)^{2023}\)
拓展作業(yè)
觀察下列算式：\(2^1 = 2\)，\(2^2 = 4\)，\(2^3 = 8\)，\(2^4 = 16\)，\(2^5 = 32\)，\(2^6 = 64\)，\(2^7 = 128\)，\(2^8 = 256\)，…… ，通過觀察，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出\(2^{2024}\)的個位數(shù)字是多少？引導(dǎo)學(xué)生探索乘方運算中數(shù)字的規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的觀察和歸納能力。
已知\(a\)、\(b\)互為相反數(shù)，\(c\)、\(d\)互為倒數(shù)，\(m\)的絕對值是\(2\)，求\(m^2 - (a + b) + ( - cd)^{2023}\)的值。讓學(xué)生綜合運用相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值以及乘方的知識進行計算，提高學(xué)生綜合運用知識解決問題的能力 。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓(xùn)練
7
中考考法
8
小結(jié)梳理
學(xué)習(xí)目錄
1
復(fù)習(xí)引入
2
新知講解
3
典例講解
1．知道有理數(shù)乘方的意義，能說出乘方運算、冪、底數(shù)、指數(shù)等概念.
2．能正確進行有理數(shù)的乘方運算.
學(xué)習(xí)目標(biāo)
知識回顧
大家都見過拉面師傅拉面嗎？一次小明看到拉面師傅拉了6次，一碗面就拉好了，你能列出算式，幫他算算這碗面共有多少根嗎？
這個問題就是這節(jié)課我們要學(xué)習(xí)的乘方.
知識點1 乘方的定義
新知探究
2
2
2
2
2
探究 計算下列圖形中正方形的面積和正方體的體積.
面積：2×2=4
體積：2×2×2=8
知識點1 乘方的定義
新知探究
2
2
2
2
2
面積：2×2 =4
體積：2×2×2 =8
讀作“2的平方”（或“2的2次方”）
22
23
讀作“2的立方”（或“2的3次方”）
知識點1 乘方的定義
新知探究
()× () × () × () × ()
()5
讀法： ()5讀作“的5次方”.
同樣地，(2)× (2) × (2) × (2)
(2)4
讀法： (2)4讀作“2的4次方”.
(2)4與24一樣嗎？
為什么？
知識點1 乘方的定義
新知探究
(2)4 與 24 一樣嗎？為什么？
(2)× (2) × (2) × (2)
(2)4
(2)4與24不一樣.
24
2×2×2×2
=16
=16
同學(xué)們書寫時，要注意括號的準(zhǔn)確性哦！
知識點1 乘方的定義
新知探究
那么：類似地，
2×2×2×2×2
20個2
2×2×2×2×2×···×2
2×2×···×2×2×2
n個2
2×2×2×2
24
25
220
2n
知識點1 乘方的定義
新知探究
a×a×···×a×a
n個a
an
一般地，n個相同的乘數(shù)a相乘，即a a a，記作 an，讀作“a的n次方”.
n個a
求n個相同乘數(shù)的積的運算，叫作乘方，乘方的結(jié)果叫作冪.
知識點1 乘方的定義
新知探究
a×a×···×a×a
n個a
a n
底數(shù)
指數(shù)
冪
讀法： a n 讀作“a的n次方”
a n 也讀作“a的n次冪”
知識點1 乘方的定義
新知探究
跟蹤訓(xùn)練 1.把乘法形式寫成冪的形式：
（1）(3)×(3)×(3)×(3)=_________.
（2）5×5×5 =_________.
(3)4
53
2.把冪的形式寫成乘法形式：
（1）( )5=
（2） = .
.
括號很重要哦！
知識點1 乘方的定義
新知探究
例1　計算：(1) (－4)3； (2) (－2)4； (3) .
解：(1) (－4)3 =(－4)×(－4)×(－4)=－64；
(2) (－2)4 =(－2)×(－2)×(－2)×(－2)=16；
(3)
知識點1 乘方的定義
新知探究
一個數(shù)可以看作這個數(shù)本身的1次方.
5就是51，指數(shù)1通常省略不寫.
跟蹤訓(xùn)練
3.在(－2)5中，底數(shù)是 ，指數(shù)是 ，結(jié)果是 .
－2
5
－32
4.在－24中，底數(shù)是 ，指數(shù)是 ，結(jié)果是 .
2
4
－16
那 5 的底數(shù)和指數(shù)是啥？
知識點2 負數(shù)的冪的正負與指數(shù)的關(guān)系
新知探究
探究
請再舉一些計算乘方的例子，你發(fā)現(xiàn)負數(shù)的冪的正負與指數(shù)有什么關(guān)系？（判斷結(jié)果的正負即可）
(－2)4； (－2)5；
(－1)2 024； (－1)2 025；
(－)22； (－)33；
表示4個(－2)相乘.
正
表示5個(－2)相乘.
負
表示2 024個(－1)相乘.
正
表示2 025個(－1)相乘.
負
表示22個(－ )相乘.
正
表示33個(－ )相乘.
負
知識點2 負數(shù)的冪的正負與指數(shù)的關(guān)系
新知探究
根據(jù)有理數(shù)的乘法法則可以得出：
1. 負數(shù)的奇次冪是______，負數(shù)的偶次冪是______ ；
2. 正數(shù)的任何次冪都是______ ；
3. 0的任何正整數(shù)次冪都是______.
負數(shù)
正數(shù)
正數(shù)
0
知識點2 負數(shù)的冪的正負與指數(shù)的關(guān)系
新知探究
例2 計算：
(－1)1=_____;
(－1)3=_____;
(－1)2 025=_____;
12 025 =_____.
(－1)2=_____;
(－1)4=_____;
(－1)2 024=_____;
12 024 =_____.
－1
－1
－1
1
1
1
1
1
1的任何次冪等于1；
－1的偶次冪等于1；－1的奇次冪等于－1．
知識點2 負數(shù)的冪的正負與指數(shù)的關(guān)系
新知探究
跟蹤訓(xùn)練 5.你能迅速判斷下列各冪的正負嗎？
正
正
負
正
負
正
165 254 (－8)5
(－3)6 (－1)101 (－)50
知識點2 負數(shù)的冪的正負與指數(shù)的關(guān)系
新知探究
例3 用計算器計算 (－8)5 和 (－3)6 .
顯示結(jié)果為－32768；
解：用帶符號鍵 的計算器，有
(－)
(－)
8
5
(
)
=
(－)
3
6
(
)
=
顯示結(jié)果為729.
因此，(－8)5=－32 768 ， (－3)6 = 729.
知識點1 有理數(shù)的乘方的意義
1.［2025株洲期末］ 可以表示為( )
C
A. B. C. D.
2.下列關(guān)于 的說法中，錯誤的是( )
A
A.表示3個相加 B.底數(shù)是
C.表示3個 相乘 D.指數(shù)是3
3.將 寫成冪的形式是_ ______，讀作______
_______________.
負二分之三的四次方
4.填空.
乘方
底數(shù) ___ _______ ______ ___
指數(shù) _ ___ ___ ___ _____________________
4
5
4
3
6
2
知識點2 有理數(shù)乘方的運算
5.計算 的結(jié)果為( )
A
A. B. C.9 D.
6.［2025武漢期中］下列選項中為負數(shù)的是( )
C
A.3 B. C. D.
7.下列各組數(shù)中，運算后結(jié)果相等的是( )
B
A.和 B.和
C.和 D.和
8.（24分）［教材P練習(xí)T 變式］計算：
（1） ；
解： .
（2） ；
解： .
（3） ；
解： .
（4） ；
解： .
（5） ；
解： .
（6） .
解： .
知識點3 利用計算器計算有理數(shù)的乘方
9.用計算器計算 ,按鍵順序正確的是 ( )
D
A. B. C. D.
10.（16分）用計算器計算：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） ；
解：原式 .
（4） .
解：原式 .
11.以下是嘉淇同學(xué)的練習(xí)題，他最后的得分是( )
填空題（評分標(biāo)準(zhǔn)：每道題5分）
（1）;（2）;（3） ;（4）
0.
C
A.20分 B.15分 C.10分 D.5分
. .
. .
. .
12.小明在計算時，誤算成 與2的積，求得的答案比正確答案
( )
B
A.小3 B.小15 C.大3 D.大15
13. 《莊子》中記載：“一尺之捶，日取其半，萬世不竭.”
這句話的意思是一尺長的木棍，每天截取它的一半，永遠也截不完.若
按此方式截一根長為1尺的木棍，第5天截取后木棍剩余的長度是( )
C
A.尺 B.尺 C.尺 D. 尺
14.（12分）當(dāng)你把一張紙對折1次時，就得到2層；對折2次時，就得到
4層； ，照這樣對折下去（最多對折7次）.
（1）層數(shù)和對折的次數(shù)有什么關(guān)系嗎？
解：設(shè)對折的次數(shù)是，則層數(shù)是（且 為正整數(shù)）.
（2）對折6次時，層數(shù)是多少？
解：對折6次，即時，層數(shù)是 .
（3）如果紙的厚度是 ，求對折7次時，總厚度是多少.
解：對折7次時，總厚度為 .
15.（8分）數(shù)學(xué)課上，李老師在黑板上寫了一道題目：當(dāng) 為正整數(shù)時，
計算 的結(jié)果.
琪琪說：“因為的值不確定，所以 的結(jié)果也不能確定.”
聰聰說：“ 的結(jié)果是不變的，可以求出.”
你同意誰的說法？請說明理由.
解：同意聰聰?shù)恼f法.理由如下：
因為為正整數(shù)，所以 可能為正偶數(shù)，也可能為正奇數(shù).
①當(dāng)為正偶數(shù)時， 為正奇數(shù)，則
.
②當(dāng)為正奇數(shù)時， 為正偶數(shù)，則
.
所以 的結(jié)果是不變的，可以求出.所以同意聰聰?shù)恼f法.
課堂小結(jié)
根據(jù)有理數(shù)的乘法法則可以得出：
1.負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)；
2. 正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；
3. 0的任何正整數(shù)次冪都是0.
一般地，n個相同的乘數(shù)a相乘，記作 an，讀作“a的n次方”.
求n個相同乘數(shù)的積的運算，叫作乘方，乘方的結(jié)果叫作冪.
乘方
謝謝觀看！

展開更多......

收起↑