資源簡介

(共35張PPT)
2.3.1 乘方-第2課時 有理數(shù)的混合運算
第二章 有理數(shù)的運算
【2024新教材】人教版數(shù)學(xué) 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
2.3.1 乘方 - 第 2 課時 有理數(shù)的混合運算
一、復(fù)習(xí)回顧，情境導(dǎo)入
（一）知識回顧
乘方相關(guān)知識：回顧乘方的定義，提問學(xué)生\(a^n\)中\(zhòng)(a\)、\(n\)分別表示什么，以及乘方的運算法則，如正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)、偶次冪是正數(shù)等。隨機(jī)抽取學(xué)生計算\((-3)^3\)、\(2^4\) ，強(qiáng)化對乘方運算的掌握。
四則運算順序：復(fù)習(xí)有理數(shù)四則運算順序 “先乘除，后加減”，通過簡單算式如\(3 + 4 2\)、\(12 ·3 - 2\) ，讓學(xué)生說出運算順序并計算，為學(xué)習(xí)有理數(shù)混合運算做鋪墊。
（二）情境導(dǎo)入
創(chuàng)設(shè)理財情境：小明有\(zhòng)(100\)元壓歲錢，他將錢存入銀行，年利率為\(2\%\) ，按復(fù)利計算（即每年的利息計入下一年的本金），兩年后小明的錢變?yōu)閈(100 (1 + 2\%)^2\)元。但他取出錢后，花了\(15\)元買文具，又用剩下的錢的\(\frac{1}{3}\)買了一本書，問最后小明還剩多少錢？引導(dǎo)學(xué)生列出算式\([100 (1 + 2\%)^2 - 15] (1 - \frac{1}{3})\) ，引出有理數(shù)混合運算的學(xué)習(xí)內(nèi)容，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)在生活中的實際應(yīng)用。
二、知識新授
（一）有理數(shù)混合運算的順序
完整運算順序講解：類比小學(xué)學(xué)過的整數(shù)混合運算順序，詳細(xì)講解有理數(shù)混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；如果有括號，先算小括號里的，再算中括號里的，最后算大括號里的。例如對于算式\(\{[(-2)^3 + 5] 2 - 4\} ·3\) ，先計算小括號里的乘方\((-2)^3 = -8\) ，再算小括號內(nèi)的加法\(-8 + 5 = -3\) ；接著算中括號里的乘法\(-3 2 = -6\) ，再算中括號內(nèi)的減法\(-6 - 4 = -10\) ；最后算大括號外的除法\(-10 ·3 = -\frac{10}{3}\) 。
同級運算規(guī)則強(qiáng)調(diào)：強(qiáng)調(diào)在只有乘除或只有加減的同級運算中，要按照從左到右的順序進(jìn)行計算。如\(12 ·3 2\) ，應(yīng)先算\(12 ·3 = 4\) ，再算\(4 2 = 8\) ；\(5 - 3 + 2\) ，先算\(5 - 3 = 2\) ，再算\(2 + 2 = 4\) 。
（二）有理數(shù)混合運算的技巧
合理運用運算律：講解在有理數(shù)混合運算中，合理運用運算律可以簡化計算。例如計算\((\frac{1}{4} - \frac{1}{2} + \frac{2}{3}) (-12) - 8 ·2^3\) ，對于\((\frac{1}{4} - \frac{1}{2} + \frac{2}{3}) (-12)\)部分，運用乘法分配律可得\(\frac{1}{4} (-12) - \frac{1}{2} (-12) + \frac{2}{3} (-12)= -3 + 6 - 8 = -5\) ；再計算\(8 ·2^3 = 8 ·8 = 1\) ，最后得出\(-5 - 1 = -6\) 。
注意運算符號：提醒學(xué)生在運算過程中，要特別注意符號的變化。在進(jìn)行乘方運算時，確定底數(shù)的正負(fù)；在乘除運算中，根據(jù)法則確定結(jié)果的符號；在加減運算中，注意去括號時符號的變化等。如計算\(-2^2 - (-3)^2\) ，先算乘方\(-2^2 = -4\) ，\((-3)^2 = 9\) ，再算減法\(-4 - 9 = -13\) 。
三、例題講解
例 1：計算
\( - 3^2 + 18 ·(-3)^2 (-\frac{2}{3})\)
分析：根據(jù)運算順序，先算乘方，\(-3^2 = -9\) ，\((-3)^2 = 9\) ；再算乘除，\(18 ·9 = 2\) ，\(2 (-\frac{2}{3}) = -\frac{4}{3}\) ；最后算加減，\(-9 + (-\frac{4}{3}) = -9 - \frac{4}{3} = -\frac{27}{3} - \frac{4}{3} = -\frac{31}{3}\) 。
解答：\(
\begin{align*}
- 3^2 + 18 ·(-3)^2 (-\frac{2}{3})&= -9 + 18 ·9 (-\frac{2}{3})\\
&= -9 + 2 (-\frac{2}{3})\\
&= -9 - \frac{4}{3}\\
&= -\frac{31}{3}
\end{align*}
\)
\([(-2)^3 - 5 (-1)^4] ·[3 - (-2)^2]\)
分析：先分別計算小括號里的乘方，\((-2)^3 = -8\) ，\((-1)^4 = 1\) ，\((-2)^2 = 4\) ；再算小括號內(nèi)的乘法和加減法，\(-8 - 5 1 = -8 - 5 = -13\) ，\(3 - 4 = -1\) ；最后算除法\(-13 ·(-1) = 13\) 。
解答：\(
\begin{align*}
[(-2)^3 - 5 (-1)^4] ·[3 - (-2)^2]&= [-8 - 5 1] ·[3 - 4]\\
&= [-8 - 5] ·(-1)\\
&= (-13) ·(-1)\\
&= 13
\end{align*}
\)
\((\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) (-6)^2 - 2^3 ·(-\frac{1}{4})\)
分析：先算乘方，\((-6)^2 = 36\) ，\(2^3 = 8\) ；再算括號里的減法\(\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}\) ；接著算乘除，\(\frac{1}{6} 36 = 6\) ，\(8 ·(-\frac{1}{4}) = 8 (-4) = -32\) ；最后算減法\(6 - (-32) = 6 + 32 = 38\) 。
解答：\(
\begin{align*}
(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) (-6)^2 - 2^3 ·(-\frac{1}{4})&= (\frac{1}{6}) 36 - 8 ·(-\frac{1}{4})\\
&= 6 - 8 (-4)\\
&= 6 + 32\\
&= 38
\end{align*}
\)
例 2：某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件成本價為\(80\)元，原來售價為\(120\)元。為了促銷，公司決定先將售價降低\(10\%\) ，一個月后再降低\(10\%\) 。在兩次降價期間，每件產(chǎn)品的成本因原材料漲價增加了\(5\)元。求兩次降價后每件產(chǎn)品的利潤是多少元？（利潤 = 售價 - 成本）
分析：先計算第一次降價后的售價為\(120 (1 - 10\%) = 120 0.9 = 108\)元；再計算第二次降價后的售價為\(108 (1 - 10\%) = 108 0.9 = 97.2\)元；成本變?yōu)閈(80 + 5 = 85\)元。最后根據(jù)利潤公式計算利潤，即\(97.2 - 85 = 12.2\)元。
解答：\(
\begin{align*}
&120 (1 - 10\%) (1 - 10\%) - (80 + 5)\\
=&120 0.9 0.9 - 85\\
=&108 0.9 - 85\\
=&97.2 - 85\\
=&12.2
\end{align*}
\)
答：兩次降價后每件產(chǎn)品的利潤是\(12.2\)元。
四、課堂練習(xí)
計算
\( - 2^3 + 16 ·(-2)^2 \frac{1}{2}\)
\([(-3)^2 - 2 (-1)^5] ·[4 - (-2)^3]\)
\((\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) (-12)^2 - 3^2 ·(-\frac{1}{3})\)
某水果店購進(jìn)一批水果，每千克進(jìn)價為\(8\)元，按進(jìn)價提高\(50\%\)作為售價。賣出一半后，為了盡快售完，按售價的\(80\%\)進(jìn)行促銷。如果這批水果共\(100\)千克，求售完這批水果后的總利潤是多少元？
已知\(a = -1\)，\(b = 2\)，\(c = -3\)，求\(a^2b - c^3 ·( - a)\)的值。
教師在學(xué)生練習(xí)過程中巡視，觀察學(xué)生對混合運算順序的掌握、運算律的運用以及計算的準(zhǔn)確性，及時發(fā)現(xiàn)并糾正學(xué)生出現(xiàn)的錯誤，對學(xué)習(xí)困難的學(xué)生進(jìn)行針對性輔導(dǎo)。
五、課堂總結(jié)
回顧運算順序：再次強(qiáng)調(diào)有理數(shù)混合運算順序 “先乘方，再乘除，最后加減；有括號先算括號內(nèi)”，明確同級運算從左到右的規(guī)則，要求學(xué)生在計算時嚴(yán)格按照順序進(jìn)行。
總結(jié)運算技巧：總結(jié)在運算過程中運用運算律簡化計算的方法，以及注意符號變化的要點，提醒學(xué)生在做題時要仔細(xì)觀察式子特點，選擇合適的方法進(jìn)行運算。
強(qiáng)調(diào)實際應(yīng)用：回顧本節(jié)課通過生活實例引入混合運算的過程，鼓勵學(xué)生在日常生活中發(fā)現(xiàn)更多與有理數(shù)混合運算相關(guān)的問題，運用所學(xué)知識解決實際問題，體會數(shù)學(xué)的實用性。
六、作業(yè)布置
基礎(chǔ)作業(yè)
計算下列各式
\( - 3^2 + 12 ·(-2)^3 (-3)\)
\([(-1)^3 - 3 (-2)^2] ·[5 - (-1)^4]\)
\((\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) (-20)^2 - 4^2 ·(-\frac{1}{2})\)
某服裝店一款衣服原價\(200\)元，先打八折銷售，一周后在此基礎(chǔ)上再打九折。如果這款衣服的成本是\(120\)元，求這款衣服最終的利潤是多少元？
拓展作業(yè)
計算\(( - 1)^{2024} - 2^3 ·[4 - (-2)^2 3]\) ，思考在復(fù)雜運算中如何準(zhǔn)確運用運算順序和法則。
觀察算式\(1 - \frac{1}{2^2} = (1 - \frac{1}{2})(1 + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \frac{3}{2}\) ，\(1 - \frac{1}{3^2} = (1 - \frac{1}{3})(1 + \frac{1}{3}) = \frac{2}{3} \frac{4}{3}\) ，…… ，嘗試找出規(guī)律并計算\((1 - \frac{1}{2^2})(1 - \frac{1}{3^2}) · · ·(1 - \frac{1}{10^2})\)的值，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、歸納和運算能力。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓(xùn)練
7
中考考法
8
小結(jié)梳理
學(xué)習(xí)目錄
1
復(fù)習(xí)引入
2
新知講解
3
典例講解
1．知道有理數(shù)加、減、乘、除、乘方混合運算的運算順序.
2．會進(jìn)行有理數(shù)的混合運算.
學(xué)習(xí)目標(biāo)
加法，減法，乘法，除法，乘方.
問題2 有理數(shù)的混合運算順序是什么？
問題1 我們學(xué)習(xí)了有理數(shù)的哪些運算？
課堂導(dǎo)入
知識點1 有理數(shù)的混合運算
新知探究
有理數(shù)的混合運算順序：
1.先乘方，再乘除，最后加減；
2.同級運算，從左到右進(jìn)行；
3.如有括號，先做括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號依次進(jìn)行.
知識點1 有理數(shù)的混合運算
新知探究
解：(1)原式=2×(－27)－(－12)+15
=－54+12+15
=－27.
例1 計算： (1) 2×(－3)3－4×(－3)+15;
(2) (－2)3+(－3)×(－42+2)－(－3)2÷(－2).
知識點1 有理數(shù)的混合運算
新知探究
例1 計算： (1) 2×(－3)3－4×(－3)+15;
(2) (－2)3+(－3)×(－42+2)－(－3)2÷(－2).
解：(2)原式= －8+(－3)×(－16+2)－9÷(－2)
= －8+(－3)×(－14)－(－4.5)
= －8+42+4.5
= 38.5.
知識點1 有理數(shù)的混合運算
新知探究
跟蹤訓(xùn)練 1.計算：
(1) (－1)10×2+(－2)3÷4； (2) (－5)3－3×(－)4.
解：(1) (－1)10×2+(－2)3÷4
=1×2+(－8)÷4
=2－2
=0;
(2) (－5)3－3×(－)4
=－125－
=－125 .
知識點1 有理數(shù)的混合運算
新知探究
跟蹤訓(xùn)練 1.計算：
(3) ； (4) (－10)4+[(－4)2－(3+32)×2].
解：(3)
=
=－ ；
(4) (－10)4+[(－4)2－(3+32)×2]
=10 000+[16－(3+9)×2]
=10 000+(16－12×2)
=10 000+(16－24)
=10 000－8
=9 992.
知識點2 有理數(shù)乘方的規(guī)律探究
新知探究
(1)第①行中的數(shù)可以看成按什么規(guī)律排列？
分析：(1)觀察第①行中的數(shù)，發(fā)現(xiàn)各數(shù)均為2的倍數(shù).聯(lián)系數(shù)的乘方，從符號和絕對值兩方面考慮，可以發(fā)現(xiàn)排列的規(guī)律.
解：(1)第①行中的數(shù)可以看成按如下規(guī)律排列：
－2，(－2)2，(－2)3，(－2)4， .
例2 觀察下面三行數(shù)：
－2， 4， －8， 16， －32， 64， ； ①
0， 6， －6， 18， －30， 66， ； ②
－1， 2， －4， 8， －16， 32， . ③
知識點2 有理數(shù)乘方的規(guī)律探究
新知探究
(2)第②③行中的數(shù)與第①行中的數(shù)分別有什么關(guān)系？
解：(2)對比第①②兩行中位置對應(yīng)的數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)：第②行中的數(shù)是第①行中相應(yīng)的數(shù)加2，即
－2+2，(－2)2 +2 ，(－2)3 +2 ，(－2)4 +2， ；
例2 觀察下面三行數(shù)：
－2， 4， －8， 16， －32， 64， ； ①
0， 6， －6， 18， －30， 66， ； ②
－1， 2， －4， 8， －16， 32， . ③
知識點2 有理數(shù)乘方的規(guī)律探究
新知探究
(2)第②③行中的數(shù)與第①行中的數(shù)分別有什么關(guān)系？
解：(2) 對比第①③兩行中位置對應(yīng)的數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)：第③行中的數(shù)是第①行中相應(yīng)數(shù)的，即
(－2)×，(－2)2 ×，(－2)3 ×，(－2)4 ×， .
例2 觀察下面三行數(shù)：
－2， 4， －8， 16， －32， 64， ； ①
0， 6， －6， 18， －30， 66， ； ②
－1， 2， －4， 8， －16， 32， . ③
知識點2 有理數(shù)乘方的規(guī)律探究
新知探究
(3)取每行中的第10個數(shù)，計算這三個數(shù)的和.
解：(3) (－2)10+[(－2)10+2]+(－2)10×
=1 024+(1 024+2)+1 024×
=1 024+1 026+512
=2 562.
例2 觀察下面三行數(shù)：
－2， 4， －8， 16， －32， 64， ； ①
0， 6， －6， 18， －30， 66， ； ②
－1， 2， －4， 8， －16， 32， . ③
知識點2 有理數(shù)乘方的規(guī)律探究
新知探究
跟蹤訓(xùn)練 2.觀察下列算式：
21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，，
根據(jù)上述算式中的規(guī)律，你認(rèn)為220的末位數(shù)字是（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
C
分析：由已知算式可知：末位數(shù)字以2、4、8、6四個數(shù)字為一組循環(huán)出現(xiàn)；故用指數(shù)20除以4，余數(shù)是幾，個位數(shù)字就和第幾個數(shù)字相同，沒有余數(shù)就和第四個數(shù)字相同，由此解答即可.
知識點1 有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方混合運算
1.下面是小明在作業(yè)上記錄的計算題，請補(bǔ)充完整.
（1）計算： ；
解：原式__________________（先算______） ________________
（再算______） ____（最后算加減）.
乘方
乘法
12
（2）計算： .
解：原式 ___________________（先算________里面的）
_______（再算________里面的）
_____（最后算加減）.
（共10空，共20分）
小括號
中括號
2.［2025唐山期末］計算： ( )
B
A. B. C. D.
3.下列各組運算中，其值最小的是( )
A
A. B. C. D.
4.如圖，數(shù)學(xué)課上，老師在黑板上出了一道有理數(shù)的混合運算題，則該
題的運算結(jié)果為( )
B
A. B.1 C. D.5
5.（16分）［教材P 練習(xí)變式］計算：
（1） ；
解：原式
.
（2） ；
解：原式
.
（3） ；
解：原式
.
（4） .
解：原式
.
知識點2 有理數(shù)混合運算中規(guī)律的探索
6.觀察下列數(shù)據(jù)，按規(guī)律在橫線上填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：1，，，， ，
_____.
7.觀察下列等式：
， ，
， .
用你得出的規(guī)律填空：
____×_______ .
48
52
4
8.對于式子 ，要使計算出來的值最大，則“□”中應(yīng)填入的
運算符號是( )
C
A. B.- C.× D.
9.［2025新鄉(xiāng)調(diào)研］如圖，，，， 四張卡片分別代表一種運算，
例如，5經(jīng)過順序的運算，可列式為 ，
8經(jīng)過順序的運算，可列式為.則
經(jīng)過 順序的運算結(jié)果為( )
A
A.13 B.9 C.1 D.3
10. 觀察下列等式：，， ，
，，，， .則 的末位數(shù)字
是( )
C
A.9 B.1 C.3 D.7
11.定義一種新運算“*”，規(guī)定運算法則為
，均為整數(shù)，且.例：，則
___.
8
12.（12分）計算：
（1） ；
解：原式
.
（2） ；
解：原式 .
（3） .
解：原式 .
13.（12分）［教材 例4變式］觀察下面三行數(shù)：
第一行數(shù)：2，，8，，32，， ；
第二行數(shù)：0，，6，，30，， ；
第三行數(shù)：1，，4，，16，， .
（1）第一行中的數(shù)可以看成按什么規(guī)律排列？
解：第一行中的數(shù)可以看成按如下規(guī)律排列：
，，，，，， .
（2）第二行、第三行中的數(shù)與第一行中的數(shù)分別是什么關(guān)系？
解：第二行的每個位置上的數(shù)是第一行相應(yīng)位置上的數(shù)減2得到的，第
三行的每個位置上的數(shù)是第一行相應(yīng)位置上的數(shù)除以2得到的.
（3）取每行中的第8個數(shù)，計算這三個數(shù)的和.
解：第一行中的第8個數(shù)是 ，故每行中的第8個數(shù)的和為
.
14.（8分）觀察下列運算過程：
，①
，得 ，②
，得，所以 .
運用上面的計算方法計算：
.
解：設(shè) ，①
則 ，②
，得 ，
所以 ，
即 .
課堂小結(jié)
3.如有括號，先做括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號依次進(jìn)行.
有理數(shù)的混合運算順序
2.同級運算，從左到右進(jìn)行；
1.先乘方，再乘除，最后加減；
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