資源簡介

(共29張PPT)
3.1 列代數式表示數量關系-
第2課時 列代數式
第三章 代數式
【2024新教材】人教版數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
3.1 列代數式表示數量關系 - 第 2 課時 列代數式
一、復習導入（10 分鐘）
回顧上節課內容，提問學生代數式的定義、書寫規范，隨機抽取學生回答，如 “單獨的一個數是不是代數式？”“數字與字母相乘時書寫有什么要求？” 。
展示一些簡單的代數式，讓學生說出其意義，如\(2x - 1\)、\(\frac{a}{3} + b\) ，強化學生對代數式的理解。
提出問題：“我們已經認識了代數式，那如何用代數式準確表示各種數量關系呢？” 從而引出本節課 “列代數式” 的學習內容。
二、知識新授（20 分鐘）
（一）列代數式的一般步驟
分析數量關系：強調要仔細審題，明確題目中涉及的各種數量以及它們之間的運算關系、大小關系等。例如，在 “小明的年齡比小華年齡的\(2\)倍少\(3\)歲” 這一描述中，涉及小明和小華的年齡兩個數量，它們的關系是小明年齡 = 小華年齡 ×\(2 - 3\) 。
設未知數：如果題目中沒有給出代表相關數量的字母，通常選取一個合適的字母來表示其中一個關鍵數量，其他數量則根據與該數量的關系用含此字母的代數式表示。如設小華年齡為\(x\)歲，那么小明年齡就可表示為\((2x - 3)\)歲 。
列出代數式：根據分析得出的數量關系和設出的未知數，運用運算符號將數和字母連接起來，列出代數式。
（二）常見數量關系的代數式表示
和差關系：通過實例講解，如 “\(a\)與\(b\)的和的\(3\)倍”，先表示出\(a\)與\(b\)的和為\((a + b)\)，再乘以\(3\)，得到\(3(a + b)\)；“\(m\)比\(n\)的平方小\(5\)”，\(n\)的平方為\(n^2\)，則可列出\(n^2 - m = 5\)，變形為\(m = n^2 - 5\) 。
倍數關系：舉例 “\(x\)的\(\frac{1}{2}\)與\(y\)的\(3\)倍的差”，\(x\)的\(\frac{1}{2}\)是\(\frac{1}{2}x\)，\(y\)的\(3\)倍是\(3y\)，差為\(\frac{1}{2}x - 3y\) ；“\(a\)是\(b\)的\(k\)倍多\(c\)”，可列出\(a = kb + c\) 。
實際問題中的數量關系：結合生活場景，如 “購買\(x\)支單價為\(5\)元的鋼筆和\(y\)本單價為\(3\)元的筆記本，總費用是多少”，根據 “總價 = 單價 × 數量”，鋼筆總價為\(5x\)元，筆記本總價為\(3y\)元，總費用就是\((5x + 3y)\)元 。
（三）復雜數量關系的分析方法
分段分析：對于較復雜的數量關系，將其分成若干個簡單的部分，分別分析每部分的數量關系，再綜合起來。例如，“某出租車的收費標準是：起步價\(8\)元（行駛距離不超過\(3\)千米），超過\(3\)千米后，每增加\(1\)千米加收\(2\)元。若行駛距離為\(x\)千米（\(x > 3\)），收費多少元？” 先分析\(3\)千米內的費用是\(8\)元，超過\(3\)千米的部分是\((x - 3)\)千米，這部分費用是\(2(x - 3)\)元，所以總收費為\(8 + 2(x - 3)\)元 。
列表分析：當涉及多個數量及其關系時，可通過列表的方式，將各個數量及其變化情況清晰呈現出來，便于分析和列代數式。如 “某工廠生產零件，原計劃每天生產\(a\)個，實際每天比原計劃多生產\(b\)個，生產\(m\)個零件，原計劃需要多少天？實際需要多少天？” 列出表格：
| 項目 | 每天生產個數 | 生產\(m\)個所需天數 |
|----|----|----|
| 原計劃 |\(a\)|\(\frac{m}{a}\)|
| 實際 |\(a + b\)|\(\frac{m}{a + b}\)|
三、例題講解（20 分鐘）
例 1：用代數式表示
一個數\(x\)與\(6\)的和的\(\frac{2}{3}\)
分析：先求出\(x\)與\(6\)的和為\((x + 6)\)，再求它的\(\frac{2}{3}\)，即\(\frac{2}{3}(x + 6)\) 。
解答：\(\frac{2}{3}(x + 6)\) 。
比\(a\)的平方的\(2\)倍少\(1\)的數
分析：\(a\)的平方是\(a^2\)，其\(2\)倍為\(2a^2\)，比它少\(1\)的數就是\(2a^2 - 1\) 。
解答：\(2a^2 - 1\) 。
某商場購進一批商品，每件進價為\(m\)元，售價提高\(30\%\)后，因季節原因又降價\(20\%\)，此時每件商品的售價是多少元？
分析：售價提高\(30\%\)后的價格為\(m(1 + 30\%)\)元，在此基礎上又降價\(20\%\)，則此時售價為\(m(1 + 30\%)(1 - 20\%)\)元 。
解答：\(m(1 + 30\%)(1 - 20\%) = 1.04m\) 元。
例 2：為了綠化校園，學校決定修建一塊長方形草坪，長為\(a\)米，寬為\(b\)米，并在草坪上修建如圖所示的十字路，已知十字路寬\(x\)米，用代數式表示草坪的實際面積。
分析：整個長方形草坪的面積是\(ab\)平方米，十字路橫向部分面積是\(ax\)平方米，縱向部分面積是\(bx\)平方米，但中間交叉部分\(x^2\)平方米被重復計算了一次，所以草坪實際面積為長方形草坪面積減去十字路面積，即\(ab - ax - bx + x^2\)平方米 。
解答：草坪的實際面積為\((ab - ax - bx + x^2)\)平方米。
四、課堂練習（15 分鐘）
用代數式表示
\(x\)的\(3\)倍與\(y\)的\(\frac{1}{4}\)的和
比\(m\)的立方小\(n\)的數
某商品原價為\(p\)元，先漲價\(10\%\)，再降價\(10\%\)，此時的價格是多少元？
某農場有耕地\(m\)畝，計劃每畝施肥\(n\)千克，實際每畝多施肥\(2\)千克，實際施肥總量是多少千克？若\(m = 100\)，\(n = 5\)，實際施肥總量是多少？
一個梯形的上底為\(a\)，下底為\(b\)，高為\(h\)，若上底增加\(2\)，下底減少\(2\)，高不變，梯形面積會發生變化嗎？用代數式表示變化前后的梯形面積。
教師在學生練習過程中巡視，觀察學生對列代數式方法的掌握情況，特別是在分析復雜數量關系時的思路，及時糾正學生出現的錯誤，對理解困難的學生進行個別輔導。
五、課堂總結（5 分鐘）
回顧列代數式步驟：再次強調列代數式的一般步驟，即分析數量關系、設未知數、列出代數式，提醒學生在審題時要細致，準確把握數量之間的關系。
總結常見數量關系表示方法：總結和差關系、倍數關系以及實際問題中數量關系的代數式表示方法，鼓勵學生多積累常見的數量關系模型，提高列代數式的速度和準確性。
強調學習要點：強調對于復雜數量關系，可采用分段分析、列表分析等方法，將問題簡化。同時，在列代數式后要檢查是否符合代數式的書寫規范 。
六、作業布置
基礎作業
用代數式表示
\(a\)與\(b\)的差的\(5\)倍
比\(x\)的平方的\(\frac{1}{3}\)多\(2\)的數
某商店將進價為\(c\)元的商品按進價提高\(40\%\)后標價，再打\(8\)折銷售，此時售價是多少元？
已知一個三角形的底邊長為\(a\)，高為\(h\)，若底邊長增加\(2\)，高減少\(2\)，用代數式表示變化前后三角形的面積。
拓展作業
如圖，邊長為\(a\)的正方形，在它的四個角上分別剪去一個邊長為\(b\)的小正方形（\(b < \frac{a}{2}\)），然后將它折成一個無蓋的長方體盒子，用代數式表示這個盒子的容積。
觀察下列等式：\(1 = 1^2\)，\(1 + 3 = 2^2\)，\(1 + 3 + 5 = 3^2\)，\(1 + 3 + 5 + 7 = 4^2\)，…… ，用含\(n\)（\(n\)為正整數）的代數式表示這一規律，并求\(1 + 3 + 5 + \cdots + 2023\)的值。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1.熟練掌握代數式的意義并理解代數式表示的數量關系.
2.理解并掌握實際問題中常用的關系式.
3.能分析具體問題中的數量關系，并用代數式表示.
學習目標
思考 如何用代數式表示a，b兩數的和與差的積？
a
b
a
b
兩數的差
a＋b
a－b
兩數的和
它們的積
（a＋b）（a－b）
a，b兩數的差，a與b的差，都指“a-b”.
知識點 列代數式表示數量關系
在解決一些數學問題與實際問題時，往往需要先把問題中的數量關系用含有數、字母和運算符號的式子表示出來，也就是要列代數式.
知識點 列代數式表示數量關系
例1 用代數式表示：
（1）購買2個單價為a元的面包和3瓶單價為b元的飲料所需的錢數.
分析：總錢數=2個面包的總價＋3瓶飲料的總價.
總錢數
2a
3b
解：（1）購買2個單價為a元的面包和3瓶單價為b元的飲料所需的錢數為（2a+3b）元.
知識點 列代數式表示數量關系
例1 用代數式表示：
（2）把a元錢存入銀行，存期3年，年利率為2.75%，到期時的利息是多少元？
分析：利息=本金×年利率×存期；
解：（2）根據題意，得a×2.75%×3=8.25%a，
因此到期時的利息為8.25%a元.
a
2.75%
3
知識點 列代數式表示數量關系
例1 用代數式表示：
（3）某商品的進價為x元，先按進價的1.1倍標價，后又降價80元出售，現在的售價是多少元？
分析：現在的售價=原來的標價－降價數.
解:（3）現在的售價為
（1.1x－80）元.
1.1x
80
打折銷售問題：
售價=標價（原價）×折扣；
利潤=售價－進價（成本價）；
利潤率= ×100%.
知識點 列代數式表示數量關系
跟蹤訓練 用代數式表示：
（1）a與b的和的平方： ；a與b的平方和： ；
（2）a的3倍與b的平方的差： ；
（a+b）2
a2 +b2
①
②
①
②
①
②
③
3a -b2
知識點 列代數式表示數量關系
實際問題中常用的關系式：
購買、分配類問題：
費用=單位費用×數量；總量=單位量×數量；
總費用=甲的單位費用×甲的數量+乙的單位費用×乙的數量；
總數量=甲的數量+乙的數量.
知識點 列代數式表示數量關系
實際問題中常用的關系式：
工程問題：總工作量=工作效率×工作時間.
行程問題：路程=速度×時間.
航行問題：
順流速度=靜水速度＋水流速度；
逆流速度=靜水速度－水流速度.
增長率問題：增長率 = ×100%.
總工作量未定時，可設總工作量為單位“1”.
例2 甲、乙兩地之間公路全長240km，汽車從甲地開往乙地，行駛速度為 v km/h.
（1）汽車從甲地到乙地需要行駛多少小時？
知識點 列代數式表示數量關系
路程
速度
時間
分析：本題包含路程、速度和時間三個量，它們之間具有關系：時間= .
解：（1）汽車從甲地到乙地需要行駛 h.
例2 甲、乙兩地之間公路全長240km，汽車從甲地開往乙地，行駛速度為 v km/h.
（2）如果汽車的行駛速度增加3km/h，那么汽車從甲地到乙地需要行駛多少小時？汽車加快速度后可以早到多少小時？
知識點 列代數式表示數量關系
路程
速度
現在的速度為（v+3）km/h
分析：早到的時間=原來需要行駛的時間－加快速度后需要行駛的時間.
解：（2）如果汽車的行駛速度增加 3km/h ，那么汽車從甲地到乙地需要行駛 h.汽車加快速度后可以早到（ － ）h.
知識點 列代數式表示數量關系
跟蹤訓練 一項工程，甲單獨做需要m天，乙單獨做需要n天.
（1）如果甲單獨做了3天，完成的工作量是多少？
甲的工作效率為
乙的工作效率為
解：（1）甲完成的工作量是.
知識點 列代數式表示數量關系
跟蹤訓練 一項工程，甲單獨做需要m天，乙單獨做需要n天.
（2）如果甲單獨先做了2天，然后乙單獨又做了5天，甲、乙一共
完成的工作量是多少？
甲
乙
解：（2）甲、乙一共完成的工作量是 + .
知識點 列代數式表示數量關系
跟蹤訓練 一項工程，甲單獨做需要m天，乙單獨做需要n天.
（3）如果甲、乙合做了2天，乙又單獨做了3天，甲、乙一共完成的工作量是多少？
甲做了2天，乙做了5天
解：（3）甲、乙一共完成的工作量是 + .
知識點 列代數式
1.將“的平方與 的差的5倍”用代數式表示為( )
A
A. B. C. D.
2.某市居民用電每度0.6元，黃老師家本月底電表顯示數為 度，上月底
電表顯示數為 度，則黃老師本月應交電費( )
D
A.元 B.元 C.元 D. 元
3.［2025重慶期中］某中學七（2）班有48名同學，開學之際，要將一
批作業練習本分發給全班同學，如果每人分 本，則剩余3本，那么這批
作業練習本共有( )
B
A.本 B.本 C.本 D. 本
4.如圖，邊長為 的正方形中陰影部分的面積為( )
A
A. B.
C. D.
5.“的相反數與 的倒數的和”用代數式表示為_ ______.
6.［2025淄博期末］買4支鉛筆和3本筆記本共花去 元，已知每本筆記
本的價格是 元，則每支鉛筆的價格是_____元.
7.（8分）某工廠第一車間有人，第二車間的人數比第一車間人數的
少30.
（1）第二車間有多少人？
解：第二車間有 人.
（2）如果從第二車間調出10人到第一車間，那么調動后，第一車間比
第二車間多多少人？
解： ，
所以第一車間比第二車間多 人.
8.為慶祝元旦，某商場舉行促銷活動，促銷的方法是“消費超過200元時，
所購買的商品按原價打8折后，再減少20元”.若某商品的原價為 元
，則購買該商品實際付款的金額是( )
A
A.元 B. 元
C.元 D. 元
9.［2025溫州期中］已知甲、乙碼頭相距 ，某船在靜水中的速度為
，水流速度為 ，則該船一次往返兩個碼頭所需
的時間為( )
D
A. B.
C. D.
10.［教材習題變式］已知是兩位數，是一位數，把 接寫在
的后面，就成為一個三位數.則這個三位數可表示成_________.
11. 苯是一種有機化合物，是組成結構最簡單的芳香烴，
可以合成一系列衍生物.如圖是某小組用小木棒擺放的苯及其衍生物的
結構簡式，第1個圖形需要9根小木棒，第2個圖形需要16根小木棒，第3
個圖形需要23根小木棒， ，按此規律，第 個圖形需要的小木棒根數
是________.
課堂小結
列代數式
列代數式表示數量關系
解決實際問題
謝謝觀看！

展開更多......

收起↑