資源簡介

(共27張PPT)
3.1 列代數式表示數量關系-
第3課時 反比例關系
第三章 代數式
【2024新教材】人教版數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
3.1 列代數式表示數量關系 - 第 3 課時 反比例關系
一、情境導入（10 分鐘）
展示生活中的兩個場景：
場景一：班級組織搬運圖書活動，共有 300 本圖書需要搬運。當安排 5 名同學搬運時，每人需搬運 60 本；若安排 10 名同學搬運，每人只需搬運 30 本。
場景二：學校食堂準備一批食材做包子，每個包子用餡料 20 克時，可以做 150 個包子；若每個包子用餡料 30 克，則只能做 100 個包子。
引導學生觀察并思考：在這兩個場景中，分別存在哪兩個變量？這兩個變量之間的變化有什么規律？隨著學生的討論與回答，逐步引出本節課的主題 —— 反比例關系，讓學生初步感知反比例關系在生活中的體現 。
二、知識新授（20 分鐘）
（一）反比例關系的概念
定義講解：通過上述實例，總結反比例關系的定義。兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的乘積一定，那么這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關系叫做反比例關系。用字母表示為\(xy = k\)（\(k\)為常數，\(k 0\)） 。例如在搬運圖書場景中，同學人數\(x\)與每人搬運圖書數量\(y\)，\(5 60 = 10 30 = 300\)，這里\(300\)就是常數\(k\)，同學人數和每人搬運圖書數量成反比例關系。
概念剖析：強調 “兩種相關聯的量”，即一個量的變化會引起另一個量的變化；“乘積一定” 是判斷反比例關系的關鍵。同時，對比正比例關系（兩種相關聯的量，比值一定），讓學生明確兩者的區別 。
（二）反比例關系的性質
變量變化規律：深入分析反比例關系中兩個變量的變化規律。當一個量增大時，另一個量會減小；反之，當一個量減小時，另一個量會增大。例如在做包子場景中，每個包子餡料用量增加，包子的個數就會減少 。
圖像特點：簡單介紹反比例函數\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)為常數，\(k 0\)）的圖像特點，其圖像是雙曲線。當\(k>0\)時，雙曲線的兩支分別位于第一、三象限；當\(k<0\)時，雙曲線的兩支分別位于第二、四象限 。不過在本節課中，主要讓學生對圖像有初步印象，不進行深入的圖像繪制與分析。
（三）反比例關系的判斷方法
分析數量關系：講解判斷兩種量是否成反比例關系，首先要分析它們是否相關聯，再看它們相對應的乘積是否一定。例如，判斷長方形的面積一定時，長和寬是否成反比例關系。因為長方形面積 = 長 × 寬，面積一定，也就是長和寬的乘積是定值，所以長和寬成反比例關系 。
舉例判斷：給出一些例子，讓學生判斷兩種量是否成反比例關系。如：
路程一定，速度和時間。因為路程 = 速度 × 時間，路程一定，所以速度和時間成反比例關系。
總頁數一定，已看頁數和未看頁數。已看頁數 + 未看頁數 = 總頁數，是和一定，不是乘積一定，所以已看頁數和未看頁數不成反比例關系 。
三、實例探究（15 分鐘）
小組討論：提出實際問題，組織學生以小組為單位進行討論。問題：某工廠要生產一批零件，每小時生產零件的個數與生產時間成反比例關系嗎？為什么？
引導學生從反比例關系的定義出發，分析每小時生產零件個數和生產時間這兩個量的關系。每小時生產零件個數 × 生產時間 = 零件總數，因為要生產的零件總數是一定的，所以每小時生產零件的個數與生產時間成反比例關系 。
成果分享：每個小組選派代表分享討論結果，教師進行點評和總結，強調判斷過程中要緊扣反比例關系的關鍵要素 。
四、例題講解（15 分鐘）
例 1：判斷下列各題中的兩種量是否成反比例關系，并說明理由
三角形的面積一定，它的底和高。
分析：根據三角形面積公式\(S = \frac{1}{2}ah\)（\(S\)表示面積，\(a\)表示底，\(h\)表示高），面積一定，即\(\frac{1}{2}ah\)為定值，那么\(ah\)也為定值，所以底和高成反比例關系。
解答：成反比例關系，因為三角形面積一定時，底和高的乘積是定值。
購買筆記本的單價一定，購買的數量和總價。
分析：因為總價 ÷ 數量 = 單價（一定），是比值一定，不是乘積一定，所以購買的數量和總價成正比例關系，不成反比例關系。
解答：不成反比例關系，購買的數量和總價成正比例關系，因為它們的比值一定。
例 2：已知\(y\)與\(x\)成反比例關系，當\(x = 4\)時，\(y = 3\)，求當\(x = 6\)時，\(y\)的值。
分析：因為\(y\)與\(x\)成反比例關系，所以設\(y = \frac{k}{x}\)（\(k\)為常數，\(k 0\)）。將\(x = 4\)，\(y = 3\)代入\(y = \frac{k}{x}\)，可得\(3 = \frac{k}{4}\)，解得\(k = 12\)，所以反比例關系式為\(y = \frac{12}{x}\)。再將\(x = 6\)代入\(y = \frac{12}{x}\)，求出\(y\)的值。
解答：
設\(y = \frac{k}{x}\)（\(k\)為常數，\(k 0\)），
把\(x = 4\)，\(y = 3\)代入得：\(3 = \frac{k}{4}\)，解得\(k = 12\)，
所以\(y = \frac{12}{x}\)，
當\(x = 6\)時，\(y = \frac{12}{6} = 2\)。
五、課堂練習（15 分鐘）
判斷下列兩種量是否成反比例關系，并說明理由
工作總量一定，工作效率和工作時間。
圓的周長和它的直徑。
被除數一定，除數和商。
已知\(a\)與\(b\)成反比例關系，當\(a = 5\)時，\(b = 8\)，求當\(a = 10\)時，\(b\)的值。
某車間要加工一批零件，原計劃每天加工 40 個，30 天完成任務。如果要提前 5 天完成，每天需要加工多少個零件？（用反比例關系解答）
教師在學生練習過程中巡視，觀察學生對反比例關系的判斷、運用反比例關系解決問題的情況，及時發現并糾正學生出現的錯誤，對學習困難的學生進行針對性輔導 。
六、課堂總結（5 分鐘）
回顧核心概念：再次強調反比例關系的定義，明確判斷兩種量成反比例關系的關鍵是它們相對應的乘積一定，以及兩個變量的變化規律。
總結解題方法：總結判斷反比例關系的方法和利用反比例關系解決問題的步驟，如先設出反比例關系式，再根據已知條件求出常數\(k\)，最后進行計算 。
強調實際應用：回顧本節課中生活實例，鼓勵學生在日常生活中繼續尋找反比例關系的應用，體會數學與生活的緊密聯系 。
七、作業布置
基礎作業
判斷下列各題中的兩種量是否成反比例關系，并說明理由
長方形的周長一定，它的長和寬。
煤的總量一定，每天的燒煤量和能夠燒的天數。
分子一定，分母和分數值。
已知\(m\)與\(n\)成反比例關系，當\(m = 6\)時，\(n = 4\)，求\(m\)與\(n\)的關系式，并求當\(m = 8\)時，\(n\)的值。
拓展作業
一個長方形的面積是 36 平方厘米，它的長和寬成反比例關系。請你列舉出長和寬可能的取值，并在方格紙上畫出幾個這樣的長方形（每個小方格邊長為 1 厘米），觀察這些長方形的形狀變化，你有什么發現？
觀察生活中還有哪些成反比例關系的例子，記錄下來并嘗試用反比例關系的知識進行分析，下節課與同學們分享 。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1.結合具體情境理解兩個量的反比例關系.
2.準確判斷實際問題中的兩個量是否成反比例關系.
3.掌握正比例關系與反比例關系的區別.
學習目標
某品牌蘋果采摘機器人平均每秒可以完成5 m2范圍內蘋果的識別.
工作量=工作效率×工作時間
該機器人 t s能識別的范圍（單位：m2）是5×t =5t.
機器人能識別的范圍與所用時間的比值總是一定的（等于5）.
因此機器人能識別的范圍與所用時間是成正比例的量，它們成正比例關系.
知識點1 反比例關系
一般地，對于工程問題，當工作效率保持不變，工作量與工作時間是成正比例的量，它們成正比例關系.
下面我們來討論，如果工作量保持不變，工作時間與工作效率之間的關系.先看一個實際問題：
知識點1 反比例關系
問題 北京是全球首個既舉辦過夏季奧運會又舉辦過冬季奧運會的城市，在冬季奧運會前，某賽場計劃造雪260 000 m3.解答下列問題：
（1）根據每天造雪量，計算所需的造雪天數，填寫表3.1-1.
每天造雪量/m3 5 000 5 200 6 500 …
造雪天數 …
表3.1-1
造雪總量
造雪天數=
52
50
40
知識點1 反比例關系
（2）每天造雪量和造雪天數這兩個量是怎樣變化的？它們之間有什么關系？
每天造雪量/m3 5 000 5 200 6 500 …
造雪天數 …
表3.1-1
52
50
40
每天造雪量變大
造雪天數變小
可以發現，造雪天數隨著每天造雪量的變大而變小，而且造雪天數與每天造雪量的乘積一定，總是260 000.
像這樣，兩個相關聯的量，一個量變化，另一個量也隨著變化，且這兩個量的乘積一定，這兩個量就叫作成反比例的量，它們之間的關系叫作反比例關系.
知識點2 反比例關系的表示方法
如果用字母x和y表示兩個相關聯的量，用k表示它們的積（k是一個確定的值，且k≠0），反比例關系可以用xy=k或y=來表示，其中k叫作比例系數.
無論x，y如何變化，x與y的乘積始終等于常數k.
例1 如圖，四個圓柱形容器內部的底
面積分別為10 cm2，20 cm2，30 cm2，60 cm2.
分別往這四個容器中注入300cm3的水.
（1）四個容器中水的高度分別是多少厘米？
知識點2 反比例關系的表示方法
分析：題中涉及圓柱的體積、底面積及高三個量，它們之間具有關系：圓柱的體積=底面積×高，高= .
解：（1）四個容器中水的高度分別為
=30（cm）, =15（cm）,=10（cm）, =5（cm）.
例1 （2）分別用x（單位：cm2）和y （單位：cm）表示容器內部的底面積與水的高度，用式子表示y與x的關系，y與x成什么比例關系？
知識點2 反比例關系的表示方法
容器內部的底面積×水的高度=水的體積
水的高度=
x y =300
y =
y與x成反比例關系.
思考 生活中，成反比例關系的例子是很常見的.例如，在購買某種物品時，總價一定，購物的數量與商品的單價成反比例關系，你還能舉出一些例子嗎？
知識點2 反比例關系的表示方法
機器加工一批零件，加工的總數量一定時，每小時加工的數量與加工的時間成反比例關系.
知識點3 正比例與反比例關系的區別
正比例關系 反比例關系
兩個相關聯的量x，y的乘積一定，這兩個量就叫作反比例的量，它們之間的關系叫作反比例關系.即xy=k（k是一個確定的值，且k≠0）.
例2 判斷下面各題中的兩個量x，y是否成反比例關系，并說明理由.
（1）普通投影儀燈泡的使用壽命約為1 500小時，它的可使用天數y（天）與平均每天使用的時間x（時）；
知識點3 正比例與反比例關系的區別
解：（1）y = 是反比例關系，因為y與x的積是定值.
例2 判斷下面各題中的兩個量x，y是否成反比例關系，并說明理由.
（2）一種商品的單價為a（元/件），所花費的錢數y（元）與購買的
件數x（件）；
知識點3 正比例與反比例關系的區別
解：（2）y = ax,不是反比例關系，因為y與x的比值是定值，是正比例關系.
例2 判斷下面各題中的兩個量x，y是否成反比例關系，并說明理由.
（3）小明應完成的作業量a一定，他已完成的作業量x和未完成的作業量y；
知識點3 正比例與反比例關系的區別
解：（3）x+y = a,不是反比例關系，因為y與x的和是定值.
例2 判斷下面各題中的兩個量x，y是否成反比例關系，并說明理由.
（4）一批零件300個，一個工人每小時做15個，人數x與完成任務所需的時間y.
知識點3 正比例與反比例關系的區別
解：（4）y = = ,是反比例關系，因為y與x的積是定值.
x個工人每小時做15x個
知識點 反比例關系
1.下列等式中，與 成反比例關系的是( )
B
A. B. C. D.
2.下列各組變量中，成反比例關系的是( )
B
A.人的身高與年齡
B.汽車從甲地到乙地，所用時間與行駛速度
C.長方形的周長一定，它的長和寬
D.圓的周長與它的半徑
3.在總價、單價、數量這三個量中，當單價一定時，總價和數量成____
比例關系；當總價一定時，單價和數量成____比例關系.（填“正”或
“反”）
正
反
4.下表中和 兩個量成反比例關系，請把表格填寫完整.
2 40
5 0.1
50
100
0.25
12
5.（8分）石衡高速開通后，極大方便了兩地居民的出行，淇淇了解到
石衡高速主線全長約 ，一輛轎車從石家莊出發開往衡水，轎車到
達衡水所需的時間和行駛的平均速度 之間有怎樣的關系？
解：根據題意，得這輛轎車到達衡水所需時間 與行駛的平均速度
之間的關系式為，和 成反比例關系.
6. 物理上用壓強來表示壓力產生的效果，壓強越大，
壓力的作用效果越明顯.對于固體，物體的壓力（單位： ）一定時，
壓強與受力面積成反比例，其部分對應數值如下表，則 的值為
( )
10 7
70 98 140
C
A.980 B.920 C.14 D.10
7.某公司計劃運輸一批貨物，每天運輸的噸數與運輸的天數 之間的關
系如下表：
500 250 100 50 …
1 2 5 10 …
下列結論：①這批貨物共有500噸；②用式子表示與 的關系是
；③每天運輸的噸數與運輸的天數是反比例關系；④如果該公
司計劃4天運完貨物，則每天需要運輸貨物120噸.其中正確結論的個數
是( )
C
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
8.（8分）小英畫了一組面積相等的長方形，下表是各長方形的長與寬：
長方形的長 48 24 16 ______ 8
長方形的寬 1 2 ________ 4 6
（1）請將上表補充完整.
3
12
（2）這組長方形的長與寬之間是否成反比例關系？請說明理由.
解：這組長方形的長與寬之間成反比例關系，理由如下：
設長方形的長為，寬為 ，根據表格中數據可知，無論長和寬如何變化，
都有 ，
即這組長方形的長與寬的乘積一定，
所以這組長方形的長與寬之間成反比例關系.
課堂小結
反比例關系
反比例關系
正比例關系與反比例關系的區別
反比例關系的表示方法
謝謝觀看！

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