資源簡介

(共46張PPT)
4.2 整式的加法與減法-
第1課時 合并同類項
第四章 整式的加減
【2024新教材】人教版數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
幻燈片 1：封面
標題：4.2 整式的加法與減法 - 第 1 課時 合并同類項
副標題：探索整式運算的基礎
背景圖：選擇一幅簡潔的數學元素背景圖，如方程式圖案等，增加視覺吸引力。
幻燈片 2：學習目標
理解同類項的概念：明確同類項判斷的兩個關鍵條件，能夠準確識別同類項。
掌握合并同類項的法則：熟練運用法則進行同類項的合并運算。
能在合并同類項的基礎上進行化簡和求值運算：學會利用合并同類項解決簡單的數學問題。
幻燈片 3：情境引入
展示圖片：展示超市商品分類擺放的圖片，提問：“在生活中，我們為什么要對商品進行分類擺放？” 引導學生理解分類可以使事物更有條理，便于管理和查找。
引出問題：“在多項式中，也有類似的‘分類’情況。例如多項式\(3x^2 + 2x + 5x^2 - 3x\)，式子中的項能否像超市商品一樣進行分類呢？這樣分類有什么好處？” 引發學生思考，自然導入同類項的學習。
幻燈片 4：同類項的概念
概念講解：“所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項，叫做同類項。幾個常數項也是同類項。” 例如\(8n\)與\(5n\)，都含有字母\(n\)，且\(n\)的指數都是\(1\)，所以它們是同類項；再如\(3ab^2\)與\(-ab^2\)，都有字母\(a\)和\(b\)，\(a\)的指數是\(1\)，\(b\)的指數是\(2\)，同樣是同類項；而\(2\)和\(7\)作為常數項，也屬于同類項。
重點強調：同類項與系數無關，與字母的排列順序無關。如\(6xy\)與\(6yx\)是同類項。
幻燈片 5：同類項判斷練習
展示題目：判斷下列各組式子是否為同類項，并說明理由。
\(3x\)與\(3y\)
\(2x^2\)與\(-5x^2\)
\(ab^2\)與\(a^2b\)
\(-4\)與\(5\)
\(3pq\)與\(3qp\)
答案解析：
\(3x\)與\(3y\)，所含字母不同，不是同類項。
\(2x^2\)與\(-5x^2\)，所含字母相同，相同字母\(x\)的指數也相同，是同類項。
\(ab^2\)與\(a^2b\)，雖然字母相同，但相同字母的指數不同，不是同類項。
\(-4\)與\(5\)，都是常數項，是同類項。
\(3pq\)與\(3qp\)，所含字母相同，相同字母的指數相同，且與字母順序無關，是同類項。
幻燈片 6：合并同類項的概念
概念講解：“把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項。” 例如在多項式\(3x^2 + 5x^2\)中，\(3x^2\)和\(5x^2\)是同類項，將它們合并成一項，即\(3x^2 + 5x^2 = (3 + 5)x^2 = 8x^2\)。
幻燈片 7：合并同類項的法則
法則講解：“合并同類項的法則為同類項的系數相加，所得的結果作為系數，字母和字母的指數不變。” 以\(4xy - 2xy\)為例，系數\(4\)與\(-2\)相加得\(4 + (-2) = 2\)，字母\(x\)和\(y\)以及它們的指數保持不變，結果為\(2xy\)。
口訣輔助：展示口訣 “判斷同類項，條件不能忘，字母要相同，指數要對等；合并同類項，法則不能忘，只把系數算，字母指數不變樣。” 幫助學生記憶。
幻燈片 8：合并同類項例題（一）
題目展示：合并多項式\(4x^2 - 8x^2 + 2x + 3x + 7 - 2\)中的同類項。
解答過程：
步驟一：找同類項并標記：用不同顏色的下劃線或圈圈出同類項，\(\underline{4x^2}\)與\(\underline{-8x^2}\)是同類項，\(\underline{2x}\)與\(\underline{3x}\)是同類項，\(\underline{7}\)與\(\underline{-2}\)是同類項。
步驟二：運用交換律將同類項結合（移）：\(4x^2 - 8x^2 + 2x + 3x + 7 - 2 = (4x^2 - 8x^2)+(2x + 3x)+(7 - 2)\)。
步驟三：合并同類項：根據法則，同類項系數相加，得到\((4 - 8)x^2 + (2 + 3)x + (7 - 2) = -4x^2 + 5x + 5\)。
步驟四：按同一個字母的降冪（或升冪排列）：結果已經是按\(x\)的降冪排列。
幻燈片 9：合并同類項例題（二）
題目展示：合并多項式\(6x + 2x^2 - 3x + x^2 + 1\)中的同類項。
解答過程：
找同類項：\(\underline{6x}\)與\(\underline{-3x}\)是同類項，\(\underline{2x^2}\)與\(\underline{x^2}\)是同類項，\(1\)單獨一項。
移項：\((6x - 3x)+(2x^2 + x^2)+1\)。
合并：\((6 - 3)x + (2 + 1)x^2 + 1 = 3x + 3x^2 + 1\)。
排列：通常按\(x\)的升冪排列為\(1 + 3x + 3x^2\)。
幻燈片 10：合并同類項例題（三）
題目展示：合并多項式\(-3ab + 7 - 2a^2 - 9ab - 3\)中的同類項。
解答過程：
找同類項：\(\underline{-3ab}\)與\(\underline{-9ab}\)是同類項，\(\underline{7}\)與\(\underline{-3}\)是同類項，\(-2a^2\)單獨一項。
移項：\((-3ab - 9ab)-2a^2+(7 - 3)\)。
合并：\((-3 - 9)ab - 2a^2 + 4 = -12ab - 2a^2 + 4\)。
排列：已經是較為簡潔的形式。
幻燈片 11：課堂練習（一） - 判斷同類項
題目展示：
\(6xy\)與\(6x\)
\(-5m^2n^3\)與\(2n^3m^2\)
\(7\)與\(-7\)
\(3x^2y\)與\(2yx^2\)
\(4m^2n\)與\(4mn^2\)
學生活動：讓學生在練習本上寫出判斷結果，然后請幾位同學回答，教師進行點評和講解。
幻燈片 12：課堂練習（二） - 合并同類項
題目展示：
\(2x^2 - 3x + 5x^2 + 4x\)
\(3a^2b - 2ab^2 + 4a^2b + 3ab^2\)
\(-x^3 + 2x^2 - 3x^3 - 5x^2\)
學生活動：學生在練習本上獨立完成，教師巡視，發現學生的問題并及時指導。之后選取幾位同學的練習進行展示，集體訂正答案。
幻燈片 13：課堂練習（三） - 綜合應用
題目展示：已知多項式\(3x^m + (n - 5)x - 2\)是關于\(x\)的二次三項式，求\(m\)、\(n\)的值。
分析講解：因為是二次三項式，所以最高次項\(3x^m\)的次數\(m = 2\)；又因為是三項式，所以\(x\)的一次項系數\(n - 5\neq0\)，即\(n\neq5\)。
答案：\(m = 2\)，\(n\neq5\)。
幻燈片 14：課堂總結
回顧同類項概念：再次強調同類項的定義，判斷同類項的關鍵條件，以及同類項與系數、字母順序無關的特點。
回顧合并同類項法則和步驟：總結合并同類項的法則，即系數相加，字母和指數不變；回顧合并同類項的步驟，一找同類項，二移項結合，三合并同類項，四按要求排列。
強調知識重要性：說明合并同類項是整式加減運算的基礎，對于后續學習整式的乘除、解方程等內容具有重要意義，鼓勵學生熟練掌握。
幻燈片 15：作業布置
基礎作業：
指出下列多項式中的同類項，并合并同類項。
\(3x^2 - 2x + 1 + 5x^2 - 4x - 3\)
\(-a^3b + 2a^2b^2 - 3ab + 4 - 2a^3b - a^2b^2 + 5ab - 1\)
判斷下列各組式子是否為同類項。
\( -3x^2y\)與\(2yx^2\)
\(4m^2n\)與\(4mn^2\)
\( -8\)與\(5\)
拓展作業：
若\(2x^my^3\)與\(-3x^2y^n\)是同類項，求\(m + n\)的值。
已知\(A = 3x^2 - 2x + 1\)，\(B = -x^2 + 4x - 3\)，求\(A + B\)，并合并同類項。
幻燈片 16：結束頁
感謝語：“感謝同學們的認真學習，希望大家通過本節課的學習，對合并同類項有更深入的理解和掌握！”
背景圖：選擇一幅積極向上的圖片，如學生們在圖書館認真學習的圖片等。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1.知道什么是同類項，會判斷同類項.
2.掌握合并同類項的方法，能準確合并同類項.
3.通過類比數的運算探究、合并同類項的方法，從中體會“數式通性”和類比思想.
學習目標
1.單項式－xy2z3的系數和次數分別是（ ）
A.－1，5 B.0，6 C.－1，6 D.0，5
2.多項式的各項分別是（ ）
A.－x2, ,1 B.－x2, －,－1
C.x2, ,1 D.以上答案都不對
3.多項式a3－3ab2+3a2b－b3是_____次_____項式，它的各項的次數都是_____.
知識回顧
三
四
3
C
B
問題 港珠澳大橋是集主橋、海底隧道和人工島于一體的世界上最長的跨海大橋.一輛汽車從香港口岸行駛到東人工島的平均速度為96 km/h，在海底隧道和主橋上行駛的平均速度分別為72 km/h和92 km/h.請根據這些數據回答下列問題：
汽車從香港口岸到西人工島包含兩段路程，一段為香港口岸到東人工島，另一段為海底隧道. 如果汽車通過海底隧道需要a h,那么從香港口岸到東人工島所需時間是1.25a h，香港口岸到西人工島的全長（單位：km）怎么表示？
香港口岸
東人工島
西人工島
海底隧道
72a
96×1.25a
課堂導入
+
72a+96×1.25a
= 72a+120a.
探究：
(1)運用運算律計算:
72×2+120×2= ________________________.
72×(－2)+120×(－2)= _____________________________.
(72+120)×2
= 192×2
(72+120)×(－2)
= 192 ×(－2).
這個多項式該怎么計算呢？
知識點1 同類項
新知探究
知識點1 同類項
新知探究
探究：
(2)根據(1)中的方法完成下面的運算，并說明其中的道理：
72a+120a= __________________.
(72+120)a
與前面的式子有相同的結構，并且字母a代表的是一個乘數，因此同樣適用分配律.
= 192a
知識點1 同類項
新知探究
探究
填空：
(1) 72a－120a=____________=_____a;
(2) 3m2+2m2=____________=_____m2;
(3) 3xy2－4xy2=____________=_____xy2.
(72－120)a
(3+2) m2
(3－4) xy2
－48
5
－1
它們含有相同的字母a，并且a的指數都是1.
它們含有相同的字母m，并且m的指數都是2.
它們含有相同的字母x，y，并且x的指數都是1，y的指數都是2.
①每個式子的項含有相同的字母；
②并且相同字母的指數也相同.
上述各多項式的項有什么共同特點？
知識點1 同類項
新知探究
像72a與－120a，3m2與2m2，3xy2與－4xy2這樣，所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項叫作同類項.幾個常數項也是同類項.
知識點1 同類項
新知探究
例1 下列各組單項式：
①x2與y2；②－a2b3與2a3b2；③2x2y與 5yx2；④－2 024與0.
其中是同類項的有（ ）
A.4組 B.3組 C.2組 D.1組
C
知識點1 同類項
新知探究
跟蹤訓練 （1）若單項式－3amb2與單項式 a3bn 是同類項，則m=____，n=____.　
（2）若－x3ym 與 2xny 是同類項，則 2 024m+n的值為 __________.
3
2
2 027
知識點2 合并同類項
新知探究
探究
填空：
(1) 72a－120a=____________=_____a;
(2) 3m2+2m2=____________=_____m2;
(3) 3xy2－4xy2=____________=_____xy2.
(72－120)a
(3+2) m2
(3－4) xy2
－48
5
－1
①根據分配律把多項式各項的系數相加；
②字母部分保持不變.
上述多項式的運算有什么共同特點？
把多項式中的同類項合并成一項，叫作合并同類項.
合并同類項后，所得項的系數是合并前各同類項的系數的和，字母連同它的指數不變.
知識點2 合并同類項
新知探究
4x2+2x+7+3x－8x 2－2
= 4x2－8x2+2x+3x+7－2 (交換律)
= (4x 2 －8x2)+(2x+3x)+(7－2) (結合律)
= (4－8)x2+(2+3)x+(7－2) (分配律)
= －4x2+5x+5.
知識點2 合并同類項
新知探究
例如： 4x2+2x+7+3x－8x 2 －2.
通常我們把一個多項式的各項按照某個字母的指數從大到小(降冪)或者從小到大(升冪)的順序排列.
知識點2 合并同類項
新知探究
例2 合并下列各式的同類項：
(1) xy2xy2； (2) 4a2+3b2+2ab－4a2－4b2.
解： (1) xy2xy2
=(1－ )xy2
= xy2.
(2) 4a2+3b2+2ab－4a2－4b2
=(4a2－4a2)+(3b2－4b2)+2ab
=(4－4)a2+(3－4)b2+2ab
=－b2+2ab.
知識點2 合并同類項
新知探究
合并同類項的一般步驟：
(1)找：找出同類項，當項數較多時，通常在同類項的下面做相同的標記.
(2)換：運用加法交換律、結合律將多項式中的同類項結合.
(3)合：利用分配律，合并同類項.
(4)寫：寫出合并后的結果并按某一個字母的降冪(或升冪)排列.
例3（1）求多項式2x2－5x+x2+4x－3x2－2的值，其中x = ;
知識點2 合并同類項
新知探究
解: (1) 2x2－5x+x2+4x－3x2－2
=(2+1－3)x2+(－5+4)x－2
=－x－2.
當x = 時，原式 2 .
知識點2 合并同類項
新知探究
例3（2）求多項式3a+abc－c2－3a+ c2的值，其中a=, b=2, c=－3.
解：(2)3a+abc－c2－3a+ c2
=(3－3)a+abc+(－+ )c2
=abc.
當a=, b=2, c=－3時，原式=()2(－3)=1.
知識點2 合并同類項
新知探究
請你把字母的值直接代入原式求值.與例3的運算過程比較，哪種方法更簡便？
解：(1) 2x2－5x+x2+4x－3x2－2
= 2×()2－5×+()2+4×－3×()2－2
= －++2－－2
= －
知識點2 合并同類項
新知探究
請你把字母的值直接代入原式求值.與例3的運算過程比較，哪種方法更簡便？
解：(2)3a+abc－c2－3a+ c2
= 3×()+()×2×(－3)－×(－3)2－3×()+ ×(－3)2
= +1－3++3
= 1.
與例3的運算過程比較，可以看出，先化簡，再代入求值比較簡便.
知識點2 合并同類項
新知探究
例4 (1)水庫水位第一天連續下降了a h，平均每小時下降2 cm；第二天連續上升了a h，平均每小時上升0.5 cm.這兩天水位總的變化情況如何？
解：(1)把下降的水位變化量記為負，上升的水位變化量記為正，則第一天水位的變化量是－2a cm，第二天水位的變化量是0.5a cm.
由 －2a+0.5a=(－2+0.5)a=－1.5a
可知，這兩天水位總的變化情況為下降了1.5a cm.
知識點2 合并同類項
新知探究
例4 (2)某商店原有 5 袋大米，每袋大米為x kg. 上午售出3袋，下午又購進同樣包裝的大米 4 袋. 進貨后這個商店有大米多少千克？
解：(2)把進貨的數量記為正，售出的數量記為負，則上午大米質量的變化量是－3x kg，下午大米質量的變化量是4x kg.
由 5x－3x+4x=(5－3+4)x=6x
可知，進貨后這個商店有大米6x kg.
知識點1 同類項的概念
1.下列單項式中， 的同類項是( )
A
A. B. C. D.
2.下列各選項中的兩個式子，屬于同類項的是( )
B
A.與 B.與 C.與 D.與
3.已知與是同類項，則 的值為( )
A
A. B.1 C. D.2
4. ［2024河南中考］請寫出 的一個同類項:________
_______________.
（答案不唯一）
知識點2 合并同類項
5.進行合并同類項 時，依據的運
算律是( )
C
A.乘法交換律 B.加法結合律 C.分配律 D.乘法結合律
6.［2024常州中考］計算 的結果是( )
B
A.2 B. C. D.
7.下列運算正確的是( )
C
A. B.
C. D.
8.計算：
（1） ____；
（2） _______.
9.（12分）合并同類項：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） .
解：原式
.
10.（8分）［教材 例2變式］先化簡，再求值：
，其中 .
解：原式 .
當時，原式 .
知識點3 合并同類項的應用
11.有三個工程隊合作挖水渠，第一隊挖了 ，第二隊挖的比第一隊的
2倍還多，第三隊挖的比第一隊的3倍少 ，則第二隊挖了______
____，第三隊挖了__________，三個隊一共挖了_________ .
12.（8分）［教材例3變式］水庫中的水位第一天連續上升了 ，平
均每小時上升，第二天連續下降了，平均每小時下降 ，
第三天連續下降了，平均每小時下降 ，這三天水位總的變化
情況如何？
解：把上升水位變化量記為正，下降水位變化量記為負.由題意得
.
所以這三天水位總的變化情況是下降了 .
13.如果單項式與的和是單項式，那么 的
值為( )
C
A. B.0 C.1 D.
14.若多項式合并同類項后不含項，則
的值是___.
1
15.（4分）先化簡，再求值： ，其中
， .
解：原式 ，
當， 時，原式
.
16.（12分）［教材 活動1變式］將連續的奇數1，3，
5，7，9， 排成如圖所示的數表.
（1）十字框中的五個數之和是中間數15的___倍.
5
（2）設中間數為 ，如何用代數式表示十字框中的五個數之和？
解：由題意得其余的4個數分別為，，， ，
則十字框中的五個數之和為 .
（3）若將十字框上下左右移動，可框住另外五個數，則這五個數還有
上述的規律嗎？
解：設移動后中間數為，則其余的4個數分別為， ，
， ，
由題意，得 ，
因此這五個數之和還是中間數的5倍.
17.（8分）［2025洛陽期末］【閱讀材料】
我們知道，類似地，我們把 看
成一個整體，則
.“整體
思想”是中學數學解題中的一種重要的思想方法，它在多項式的化簡與
求值中應用極為廣泛.
【嘗試應用】
（1）把 看成一個整體，化簡：
；
解：原式 .
（2）已知 ，求（1）中代數式的值.
解：當時，原式 .
18.（8分）數學課上，老師出示了這樣一道題目：“當， 時，
求多項式 的值.”
解完這道題后，張恒同學說：“， 是多余的條件.”師生討論
后，一致認為這種說法是正確的，老師及時給予表揚，同學們對敢于提
出自己見解的張恒同學投去了贊賞的目光.
（1）請你說明張恒的說法正確的理由.
解：原式 ，
所以原式的化簡結果為常數，與， 的取值無關，故張恒的說法正確.
（2）受此啟發，老師又出示了一道題目：“無論 取何值，多項式
的值都不變，求系數， 的值.”請你解決這個
問題.
解：原式 ，
由該多項式的值與的取值無關，得， ，解得
， .
課堂小結
把多項式中的同類項合并成一項，叫作合并同類項.
合并同類項后，所得項的系數是合并前各同類項的系數的和，且字母部分不變.
所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項叫作同類項.
幾個常數項也是同類項.
同類項
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