資源簡介

(共32張PPT)
5.1 方程-5.1.1 從算式到方程
-第1課時 方程
第五章 一元一次方程
【2024新教材】人教版數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
幻燈片 1：封面
標題：第 1 課時 方程
幻燈片 2：目錄
方程的概念引入
方程的定義
方程與等式的關系
典型例題講解
課堂小結
課后作業布置
幻燈片 3：方程的概念引入
展示情境：小明去文具店，買了 3 支鉛筆，每支鉛筆 2 元，又買了一些筆記本，每個筆記本 5 元，最后一共花了 16 元。問小明買了幾個筆記本？
引導思考：同學們，我們能用之前學過的算式快速算出筆記本的數量嗎？大家嘗試用算式表示一下，看看遇到了什么困難。
分析問題：在這個問題中，已知鉛筆的單價、數量和總花費，筆記本的單價，但筆記本數量未知。用算式求解會比較復雜，有沒有更簡便的方法呢？
幻燈片 4：方程的定義
定義呈現：含有未知數的等式叫做方程。例如：\(3x + 5y = 16\)（這里\(x\)表示筆記本數量，\(y\)表示鉛筆數量，在本題中\(y = 3\)），\(2x - 3 = 7\)，\(4a + 1 = 9\)等都是方程。
要素強調：方程必須滿足兩個條件，一是含有未知數（像\(x\)、\(y\)、\(a\)等），二是必須是一個等式（有等號連接左右兩邊）。
幻燈片 5：方程與等式的關系
集合圖展示：用一個大圈表示等式集合，在大圈里畫一個小圈表示方程集合。說明方程是等式的一部分，所有的方程都是等式，但等式不一定是方程。例如\(3 + 5 = 8\)是等式，但不含未知數，所以不是方程；而\(2x = 10\)既是等式又是方程。
舉例對比：再列舉一些等式和方程，讓學生判斷，加深理解。如等式\(7 - 2 = 5\)，方程\(3b + 2 = 8\)。
幻燈片 6：典型例題講解 - 例 1
題目：判斷下列式子是否為方程：
\(4x + 3\)
\(5 + 7 = 12\)
\(3y - 2 = 9\)
\(8 > 2x\)
分析解答：
\(4x + 3\)，雖然含有未知數\(x\)，但它不是等式，所以不是方程。
\(5 + 7 = 12\)，是等式，但沒有未知數，不是方程。
\(3y - 2 = 9\)，既含有未知數\(y\)又是等式，是方程。
\(8 > 2x\)，含有未知數\(x\)，但它是不等式，不是等式，所以不是方程。
幻燈片 7：典型例題講解 - 例 2
題目：根據下面的問題，設未知數并列出方程：
某數的 2 倍比這個數大 5，求這個數。
一個長方形的長比寬多 3 厘米，周長是 24 厘米，求長方形的寬。
分析解答：
設這個數為\(x\)，某數的 2 倍即\(2x\)，比這個數大 5，可列出方程\(2x - x = 5\)。
設長方形的寬為\(x\)厘米，長比寬多 3 厘米，則長為\((x + 3)\)厘米。長方形周長 = 2×（長 + 寬），可列出方程\(2(x + x + 3) = 24\)。
幻燈片 8：課堂小結
知識回顧：今天我們學習了方程的概念，方程是含有未知數的等式。方程與等式的關系是方程屬于等式，但等式不一定是方程。還通過例題學會了判斷方程以及根據實際問題列出方程。
方法總結：判斷方程時，先看是否有等號（是等式），再看有沒有未知數；列方程時，要先設出合適的未知數，再根據題目中的數量關系列出等式。
幻燈片 9：課后作業布置
基礎作業：
判斷下列式子哪些是方程，哪些不是方程：
\(6 - 3 = 3\)
\(2x + 5 > 9\)
\(4m = 16\)
\(x - 3\)
根據問題設未知數并列出方程：一個數的 3 倍與 4 的和是 13，求這個數。
拓展作業：在生活中找一個可以用方程解決的問題，設未知數并列出方程，下節課和同學們分享。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1.通過對現實情境中數量關系的分析，感受方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型，初步形成模型觀念.
2.理解方程的意義，會根據實際情境列方程.
學習目標
甲、乙兩支登山隊沿同一條路線同時向一山峰進發.甲隊從距大本營1 km 的一號營地出發，每小時行進1.2 km；乙隊從距大本營3 km的二號營地出發，每小時行進0.8 km.
多長時間后，甲隊在途中追上乙隊
課堂導入
(3-1)÷(1.2-0.8)=5 (時)
你能用小學學過的算術方法解決這個問題嗎
思考
如果用方程解決本題，什么是已知的，什么是未知的呢？
知識點1 方程的定義
新知探究
在這個問題中，甲、乙兩隊的行進速度是已知的，甲、乙兩隊到大本營的距離也是已知的，行進的時間和路程是未知的.
甲、乙兩支登山隊沿同一條路線同時向一山峰進發.甲隊從距大本營1 km 的一號營地出發，每小時行進1.2 km；乙隊從距大本營3 km的二號營地出發，每小時行進0.8 km.多長時間后，甲隊在途中追上乙隊
大本營
一號營地
二號營地
峰頂
甲
1.2 km/h
乙
0.8 km/h
1km
3km
追上地點
1.2x
用圖展示更加直觀.
0.8x
甲隊距大本營的路程：(1.2x+1) km
乙隊距大本營的路程：(0.8x+3) km
知識點1 方程的定義
新知探究
如果設兩隊行進的時間為x h，
想一想，甲隊追上乙隊時，他們距大本營的路程之間有什么關系？
甲隊追上乙隊時，他們距大本營的路程相等.
知識點1 方程的定義
新知探究
甲隊距大本營的路程=乙隊距大本營的路程.
1.2x+1=0.8x+3.
用算術方法解題時，列出的算式只能用已知數.而列方程時，方程中既含有已知數，又含有用字母表示的未知數.這就是說，在方程中未知數（字母）可以和已知數一起表示問題中的數量關系.
問題1 用買3個大水杯的錢，可以買4個小水杯，大水杯的單價比小水杯的單價多5元，兩種水杯的單價各是多少元？
設大水杯的單價為x元，那么小水杯的單價為(x-5)元.
知識點1 方程的定義
新知探究
3x=4(x-5).
等量關系是什么呢
3個大水杯的總價= 4個小水杯的總價.
根據“單價×數量=總價”，列得方程
由這個含有未知數 x 的等式可以求出大水杯的單價，進而可以求出小水杯的單價.
問題1 用買3個大水杯的錢，可以買4個小水杯，大水杯的單價比小水杯的單價多5元，兩種水杯的單價各是多少元？
設小水杯的單價為x元，那么大水杯的單價為(x+5)元.
知識點1 方程的定義
新知探究
3(x+5)=4x.
若將小水杯的單價設為x元，你會列方程嗎？
3個大水杯的總價= 4個小水杯的總價.
由這個含有未知數 x 的等式可以求出小水杯的單價，進而可以求出大水杯的單價.
如果設這枚紀念幣的長為x mm，則紀念幣的寬可以表示為x mm.
依據長方形的面積公式，可得
問題2 右圖是一枚長方形的慶祝中國共產黨成立100周年紀念幣，其面積是4 000 mm2. 長和寬的比為8:5（即寬是長的）.這枚紀念幣的長和寬分別是多少毫米？
知識點1 方程的定義
新知探究
x2 =4 000.
由這個含有未知數x的等式可以求出這枚紀念幣的長，進而可以求出紀念幣的寬.
知識點1 方程的定義
新知探究
1.2x+1=0.8x+3
3x=4(x-5)
x2 =4000
3(x+5)=4x
觀察
上面得到的這些等式有什么共同點呢？
像這樣，先設出字母表示未知數，然后根據問題中的相等關系，列出一個含有未知數的等式，這樣的等式叫作方程.
注意 方程必須具備兩個條件：
(1)是等式；(2)含有未知數. 兩者缺一不可.
知識點1 方程的定義
新知探究
例1 已知下列式子：+8=3；12-x；2x-3y=3；x+1=2x+1；3a2=10；2+5=7；x-1≠0； =1 ；xy=1. 其中方程的個數為( )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析：12-x，x-1≠0不是等式，所以它不是方程；
2+5=7是等式，但其中不含未知數，所以它不是方程；
+8=3 , 2x-3y=3, x+1=2x+1, 3a2=10, =1, xy=1都符合方程的定義，所以都是方程.
未知數的個數不一定是一個
未知數也可以用其他字母表示
D
知識點1 方程的定義
新知探究
跟蹤訓練 判斷下列各式哪些是方程？是的標記“√”，不是的標記“×”.
（1） 5x+3y-6x=37. （ ）（2） 4x-7. （ ）
（3） 5x≥3. （ ）（4） 6x2+x-2=0. （ ）
（5） 1+2=3. （ ）（6）m=11. （ ）
知識點1 方程的定義
新知探究
李善蘭(1811-1882)
溯源
漢語中“方程”一詞源于討論含多個未知數的等式的問題.我國古代數學著作《九章算術》中有專門的“方程”章，其中以一些實際應用問題為例，給出了由幾個一次方程組成的方程組的解法，稱為“方程術”.19世紀50年代，清代數學家李善蘭翻譯外國數學著作時，開始將equation
(指含有未知數的等式)一詞譯為“方程”.
知識點1 方程的定義
新知探究
知識點1 方程的定義
新知探究
用算術方法解題時，列出的算式表示用算術方法解題的計算過程，其中只含有已知數，不含未知數；而方程是根據問題中的相等關系列出的等式，其中既含有已知數，也含有用字母表示的未知數，這為解決許多問題帶來了方便通過今后的學習，
你會逐步認識到：從算式到方程是數學的一大進步.
知識點2 列方程
新知探究
例2 根據下列問題，設未知數并列出方程：
（1）某校女生占全體學生數的52%，比男生多80人，這所學校有多少名學生？
解：(1)設這所學校的學生數為x，那么女生數為0.52x，男生數為(1-0.52)x.
列得方程
0.52x-(1-0.52)x=80.
相等關系是什么？
女生人數-男生人數=80.
知識點2 列方程
新知探究
例2 根據下列問題，設未知數并列出方程：
(2)如圖，一塊正方形綠地沿某一方向加寬5 m，擴大后的綠地面積是500 m2，求正方形綠地的邊長.
解： (2)設正方形綠地的邊長為x m.
列得方程
x(x+5)=500.
x2+5x=500.
相等關系是什么？
x
x+5
擴大后的綠地面積=長×寬.
知識點2 列方程
新知探究
跟蹤訓練 根據問題，設未知數并列出方程：
甲種鉛筆每支1.4元，乙種鉛筆每支1.8元. 用23元錢買這兩種鉛筆，一共買了15支，兩種鉛筆各買了多少支？
解：設買甲種鉛筆x支，則買乙種鉛筆(15-x)支.
由題意得， 1.4x+1.8(15-x)=23.
甲種鉛筆總價+乙種鉛筆總價=23.
甲種鉛筆數量+乙種鉛筆數量=15.
準確找出相等關系是列方程的關鍵，一般可以從以下幾個方面入手：
(1) 根據周長、面積、體積等公式列方程；
(2) 根據題目中的不變量確定相等關系；
(3) 根據關鍵詞確定相等關系，如和差關系通常用“一共有……”“比……多……”“比……少……”表示，倍數關系通常用“是……的幾倍”表示.
知識點2 列方程
新知探究
知識點2 列方程
新知探究
歸納
分析實際問題中的數量關系，利用其中的相等關系列出方程，是用數學解決實際問題的一種方法.
這個過程可以表示如下：
設未知數，用含有未知數的等式表示相等關系
實際問題
方程
知識點1 方程的概念
1.［2025鄭州期末］下列各式中，是方程的是( )
A
A. B. C. D.
2.下列各式：；； ；
；； .其中是等式的是________
___，是方程的是________.（填序號）
②③④⑤
②④⑤
知識點2 列方程
3.［2025青島期末］用方程表示：“ 的一半與10的和等于8”，下列正確
的是( )
B
A. B. C. D.
4.如圖，根據圖形中標出的量及其滿足的關系，可列方程為( )
D
A. B.
C. D.
5.（8分）［教材P練習T，T 變式］根據下列問題，設未知數列方程：
（1）買兩種布料共 ，花了540元，其中藍布料每米5元，黑布料
每米3元，兩種布料各買了多少米？
解：設藍布料買了 ，
則 .
（2）從正方形的鐵皮上截去一個 寬的長方形條，余下長方形的面
積是 ，則原來的正方形鐵皮的邊長是多少？
解：設原來的正方形鐵皮的邊長是，則 .
6.一個長方形的周長為42，將它的長減少3，寬增加2，恰好得到一個正
方形，設這個長方形的長為 ，則根據題意列方程為( )
B
A. B.
C. D.
7.［2025重慶期末］一輛小汽車和一輛大巴車分別從， 兩地出發，同
向而行，小汽車在后面追趕大巴車，小汽車車速為 ，大巴車車
速為.已知，兩地相距，大巴車出發 后小汽車才出
發，問小汽車經過多少小時追上大巴車？設小汽車經過 追上大巴車，
則可列方程為_____________________.
8.（12分）新年將至，樂樂和麗麗所在的活動小組計劃做一批“中國結”.
若每人做5個，則比計劃多了9個；若每人做4個，則比計劃少15個.
（1）若設樂樂和麗麗所在的活動小組有人，你能用含 的代數式表示
該活動小組計劃做的“中國結”的個數嗎？
解：該活動小組計劃做的“中國結”的個數為個或 個.
（2）若設該活動小組計劃做“中國結”個，你能用含 的代數式表示該
活動小組的人數嗎？
解：該活動小組的人數為人或 人.
（3）由 ，你能得到哪些方程？
解：由（1）可得方程 ；
由（2）可得方程 .
課堂小結
分析實際問題中的數量關系，利用其中的相等關系列出方程，是用數學解決實際問題的一種方法.
方程的定義：
含有未知數的等式叫作方程.
方程
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